Una colección práctica para aprender a reconocer y desarrollar cuadrados de binomio, diferencias de cuadrados y cubos. Encontrarás pasos detallados y pequeños consejos para no confundirte con los signos, de modo que puedas ganar soltura con los cálculos poco a poco.
Resultado
Desarrollo
Idea clave
La expresión es el cuadrado de un binomio de la forma \((a + b)^2\). Se aplica directamente la fórmula del cuadrado del binomio suma, evitando así multiplicar el binomio por sí mismo.
Fórmula empleada
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
Comparando \((x + 3)^2\) con el modelo \((a + b)^2\): \[ a = x \qquad b = 3 \]
Aplicación de la fórmula
Se sustituyen \(a = x\) y \(b = 3\) en la fórmula:
\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \]
Cálculo de cada término
Primer término: \(x^2\)
Término central: \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\)
Último término: \(3^2 = 9\)
Resultado
\[ \boxed{x^2 + 6x + 9} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se reconoce el cuadrado de un binomio diferencia \((a - b)^2\). La fórmula es análoga a la de la suma, pero el término central cambia de signo.
Fórmula empleada
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = x \qquad b = 4 \]
Aplicación de la fórmula
\[ (x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \]
Cálculo de cada término
Primer término: \(x^2\)
Término central: \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\), con signo negativo: \(-8x\)
Último término: \(4^2 = 16\)
Resultado
\[ \boxed{x^2 - 8x + 16} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
El producto tiene la forma \((a + b)(a - b)\): una suma multiplicada por su correspondiente diferencia. Se aplica la fórmula de la diferencia de cuadrados, que produce un resultado compuesto únicamente por dos términos.
Fórmula empleada
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = x \qquad b = 5 \]
Aplicación de la fórmula
\[ (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 \]
Cálculo
\[ x^2 - 25 \]
Resultado
\[ \boxed{x^2 - 25} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
La estructura sigue siendo \((a + b)^2\), pero ahora \(a = 2x\) incluye un coeficiente. Hay que prestar especial atención al cálculo de \(a^2 = (2x)^2\), que no equivale a \(2x^2\) sino a \(4x^2\).
Fórmula empleada
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = 2x \qquad b = 1 \]
Aplicación de la fórmula
\[ (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 \]
Cálculo de cada término
Primer término: \((2x)^2 = 4x^2\)
Término central: \(2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x\)
Último término: \(1^2 = 1\)
Resultado
\[ \boxed{4x^2 + 4x + 1} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se trata del cuadrado de un binomio diferencia con coeficiente delante de la \(x\). Se aplica \((a - b)^2\) con \(a = 3x\).
Fórmula empleada
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = 3x \qquad b = 5 \]
Aplicación de la fórmula
\[ (3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 5 + 5^2 \]
Cálculo de cada término
Primer término: \((3x)^2 = 9x^2\)
Término central: \(2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x\), con signo negativo: \(-30x\)
Último término: \(5^2 = 25\)
Resultado
\[ \boxed{9x^2 - 30x + 25} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se trata de una diferencia de cuadrados con coeficiente. La fórmula se aplica directamente identificando correctamente \(a = 4x\).
Fórmula empleada
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = 4x \qquad b = 3 \]
Aplicación de la fórmula
\[ (4x + 3)(4x - 3) = (4x)^2 - 3^2 \]
Cálculo
\[ (4x)^2 = 16x^2 \qquad 3^2 = 9 \]
Resultado
\[ \boxed{16x^2 - 9} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
La expresión es el cubo de un binomio suma \((a + b)^3\). La fórmula produce cuatro términos con coeficientes binomiales \(1, 3, 3, 1\).
Fórmula empleada
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = x \qquad b = 2 \]
Aplicación de la fórmula
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 \]
Cálculo de cada término
Primer término: \(x^3\)
Segundo término: \(3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2\)
Tercer término: \(3 \cdot x \cdot 4 = 12x\)
Cuarto término: \(2^3 = 8\)
Resultado
\[ \boxed{x^3 + 6x^2 + 12x + 8} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se aplica la fórmula del cubo del binomio diferencia \((a - b)^3\). Los signos se alternan: \(+, -, +, -\).
Fórmula empleada
\[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = x \qquad b = 1 \]
Aplicación de la fórmula
\[ (x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 \]
Cálculo de cada término
Toda potencia de \(1\) es igual a \(1\), de modo que los coeficientes numéricos no se ven afectados:
Primer término: \(x^3\)
Segundo término: \(-3x^2\)
Tercer término: \(+3x\)
Cuarto término: \(-1\)
Resultado
\[ \boxed{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se aplica \((a + b)^3\) con \(a = 2x\). La atención debe centrarse en el cálculo de \((2x)^3\) y \((2x)^2\), que involucran el cubo y el cuadrado del coeficiente \(2\).
Fórmula empleada
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = 2x \qquad b = 3 \]
Aplicación de la fórmula
\[ (2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 + 3^3 \]
Cálculo de cada término
Primer término: \((2x)^3 = 8x^3\)
Segundo término: \(3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2\)
Tercer término: \(3 \cdot 2x \cdot 9 = 54x\)
Cuarto término: \(3^3 = 27\)
Resultado
\[ \boxed{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se aplica \((a + b)^2\) donde uno de los términos es ya una potencia: \(a = x^2\). Conviene recordar que \((x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4\).
Fórmula empleada
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = x^2 \qquad b = y \]
Aplicación de la fórmula
\[ (x^2 + y)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 \]
Cálculo de cada término
Primer término: \((x^2)^2 = x^4\) (se multiplican los exponentes)
Término central: \(2x^2 y\)
Último término: \(y^2\)
Resultado
\[ \boxed{x^4 + 2x^2 y + y^2} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se reconoce la fórmula de la suma de cubos: el segundo factor \(x^2 - x + 1\) es exactamente el complementario de \((x + 1)\) que exige la fórmula. Identificar este patrón evita un largo desarrollo algebraico.
Fórmula empleada
\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = x \qquad b = 1 \]
Verificación del segundo factor
El segundo factor debe coincidir con \(a^2 - ab + b^2\):
\[ x^2 - x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - x + 1 \checkmark \]
Aplicación de la fórmula
\[ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 \]
Resultado
\[ \boxed{x^3 + 1} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se reconoce la fórmula de la diferencia de cubos: el segundo factor \(x^2 + 2x + 4\) es el complementario asociado a \((x - 2)\).
Fórmula empleada
\[ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \]
Identificación de \(a\) y \(b\)
\[ a = x \qquad b = 2 \]
Verificación del segundo factor
\[ a^2 + ab + b^2 = x^2 + 2x + 4 \checkmark \]
Aplicación de la fórmula
\[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8 \]
Resultado
\[ \boxed{x^3 - 8} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se desarrollan por separado los dos cuadrados de binomio y luego se suman los polinomios obtenidos, agrupando los términos semejantes.
Desarrollo de \((x+1)^2\)
\[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
Desarrollo de \((x-1)^2\)
\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \]
Suma de los dos desarrollos
\[ (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) \]
Agrupación de términos semejantes
Los términos en \(x\) se anulan mutuamente: \(+2x - 2x = 0\).
\[ x^2 + x^2 + 2x - 2x + 1 + 1 = 2x^2 + 2 \]
Resultado
\[ \boxed{2x^2 + 2} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se desarrollan ambos cuadrados de binomio y luego se restan. Como alternativa, se puede aprovechar la diferencia de cuadrados: tomando \(A = (x+3)\) y \(B = (x-3)\), se tiene \(A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)\).
Método directo — desarrollo
\[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
\[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]
Resta
\[ (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) \]
Distribuyendo el signo menos:
\[ x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 \]
Agrupación de términos semejantes
\(x^2\) y \(9\) se cancelan por pares:
\[ 6x + 6x = 12x \]
Resultado
\[ \boxed{12x} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se desarrollan los dos cuadrados y se restan, o bien —con mayor elegancia— se aplica la diferencia de cuadrados poniendo \(A = x+y\) y \(B = x-y\), obteniendo \((A+B)(A-B)\).
Método mediante diferencia de cuadrados
Sean \(A = x+y\) y \(B = x-y\). Entonces:
\[ A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) \]
\[ A + B = (x+y) + (x-y) = 2x \]
\[ A - B = (x+y) - (x-y) = 2y \]
Producto
\[ (2x)(2y) = 4xy \]
Resultado
\[ \boxed{4xy} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se trata la cantidad \((x+y)\) como una sola entidad y se aplica \((a + b)^2\) con \(a = x+y\) y \(b = 2\). Solo en un segundo momento se expande \((x+y)^2\).
Paso 1: aplicación de la fórmula con \(a = x+y,\ b = 2\)
\[ \left[(x+y)+2\right]^2 = (x+y)^2 + 2 \cdot (x+y) \cdot 2 + 2^2 \]
Paso 2: desarrollo de \((x+y)^2\)
\[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]
Paso 3: desarrollo del término central
\[ 2 \cdot (x+y) \cdot 2 = 4(x+y) = 4x + 4y \]
Agrupación final
\[ x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4 \]
Resultado
\[ \boxed{x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
En lugar de desarrollar por separado los dos cuadrados y luego multiplicar, conviene agrupar aprovechando las propiedades de las potencias: \((x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2\).
Paso 1: agrupamiento estratégico
\[ (x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2 \]
Paso 2: diferencia de cuadrados en el interior
\[ (x+1)(x-1) = x^2 - 1 \]
Paso 3: cuadrado del resultado
\[ (x^2 - 1)^2 \]
Se aplica \((a - b)^2\) con \(a = x^2,\ b = 1\):
\[ = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1 \]
Resultado
\[ \boxed{x^4 - 2x^2 + 1} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
Se desarrollan los dos cubos por separado y luego se efectúa la resta agrupando los términos semejantes. Especial cuidado merece la correcta distribución del signo menos delante del segundo cubo.
Desarrollo de \((x+1)^3\)
\[ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]
Desarrollo de \((x-1)^3\)
\[ (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]
Resta (distribuir el signo menos)
\[ (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \]
\[ = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \]
Agrupación de términos semejantes
\(x^3 - x^3 = 0\) \(3x - 3x = 0\) \(3x^2 + 3x^2 = 6x^2\) \(1 + 1 = 2\)
\[ = 6x^2 + 2 \]
Resultado
\[ \boxed{6x^2 + 2} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
El cuadrado del trinomio no es un producto notable elemental, pero se puede reducir a uno agrupando dos de los tres términos: se trata \((a+b)\) como una sola entidad y se aplica \((a+b+c)^2 = \left[(a+b)+c\right]^2\).
Paso 1: agrupamiento
Sea \(P = a + b\). Entonces:
\[ (a+b+c)^2 = (P + c)^2 = P^2 + 2Pc + c^2 \]
Paso 2: desarrollo de \(P^2 = (a+b)^2\)
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Paso 3: desarrollo de \(2Pc\)
\[ 2(a+b)c = 2ac + 2bc \]
Paso 4: agrupación final
\[ a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \]
Reordenando por convención:
\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Regla mnemotécnica
El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de los tres términos más el doble de todos los productos tomados de dos en dos.
Resultado
\[ \boxed{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc} \]
Resultado
Desarrollo
Idea clave
La expresión consta de tres bloques diferenciados. Se simplifica cada bloque aplicando los productos notables y luego se combinan los resultados. La clave está en advertir que el primer bloque se reduce exactamente al segundo, lo que permite una cancelación inmediata.
Simplificación del primer bloque
Se usa la propiedad de las potencias: \(A^2 \cdot B^2 = (AB)^2\).
\[ (x+y)^2(x-y)^2 = \left[(x+y)(x-y)\right]^2 \]
Se aplica la diferencia de cuadrados al producto interior:
\[ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \]
De modo que el primer bloque queda:
\[ (x^2 - y^2)^2 \]
Sustitución en la expresión
\[ (x^2 - y^2)^2 - (x^2 - y^2)^2 + (x^2 + y^2)^2 \]
Cancelación
Los dos primeros términos son idénticos y se anulan:
\[ 0 + (x^2 + y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 \]
Desarrollo del término restante
Se aplica \((a+b)^2\) con \(a = x^2,\ b = y^2\):
\[ (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \]
Resultado
\[ \boxed{x^4 + 2x^2y^2 + y^4} \]