La completitud de \(\mathbb R\) es una propiedad fundamental de los números reales. Expresa el hecho de que la recta real no presenta «huecos»: todo conjunto real no vacío y acotado superiormente posee un supremo real.
Esta propiedad distingue profundamente \(\mathbb R\) del conjunto de los números racionales \(\mathbb Q\). En efecto, en los racionales existen conjuntos no vacíos y acotados superiormente que no poseen supremo racional. En \(\mathbb R\), en cambio, este fenómeno no puede darse.
En este artículo presentaremos el significado de la completitud de \(\mathbb R\), enunciaremos el axioma de completitud mediante el supremo y veremos por qué esta propiedad sustenta muchos de los resultados fundamentales del análisis matemático.
Índice
- Idea intuitiva de la completitud de \(\mathbb R\)
- Por qué \(\mathbb Q\) no es completo
- Repaso: cotas superiores, cotas inferiores, máximo y mínimo
- Repaso: supremo e ínfimo
- Axioma de completitud de \(\mathbb R\)
- Significado del axioma de completitud
- Ejemplos de aplicación del axioma de completitud
- Completitud de \(\mathbb R\) y sucesiones
- Consecuencias fundamentales de la completitud de \(\mathbb R\)
- Resumen final
Idea intuitiva de la completitud de \(\mathbb R\)
Decir que \(\mathbb R\) es completo significa, intuitivamente, decir que la recta real no tiene huecos.
Esta afirmación debe interpretarse con cuidado. Los números racionales \(\mathbb Q\) están distribuidos de manera muy densa sobre la recta: entre dos racionales distintos existe siempre al menos otro racional. Sin embargo, a pesar de esta densidad, \(\mathbb Q\) no llena por completo la recta.
Por ejemplo, el número
\[ \sqrt{2} \]
no es racional. Y, aun así, es posible construir números racionales cada vez más próximos a \(\sqrt{2}\), tanto por defecto como por exceso.
Dicho de otro modo, dentro de \(\mathbb Q\) existen procesos de aproximación que «apuntan» hacia un número que no pertenece a \(\mathbb Q\). Desde el punto de vista de los racionales, ese punto es un hueco.
El conjunto \(\mathbb R\), en cambio, se construye precisamente para colmar esos huecos. Toda magnitud que pueda determinarse como límite, como supremo o como punto de separación entre dos clases de números pertenece a la recta real.
La completitud de \(\mathbb R\) formaliza esta idea: todo conjunto real no vacío y acotado superiormente posee un supremo en \(\mathbb R\).
Por qué \(\mathbb Q\) no es completo
Para comprender la completitud de \(\mathbb R\) conviene observar primero por qué \(\mathbb Q\) no es completo.
Consideremos el conjunto
\[ A=\{q\in\mathbb Q:q^2<2\}. \]
El conjunto \(A\) está formado por los números racionales cuyo cuadrado es menor que \(2\).
Por ejemplo,
\[ 1\in A, \]
porque
\[ 1^2=1<2. \]
Además, \(A\) está acotado superiormente en \(\mathbb Q\). Por ejemplo, \(2\) es una cota superior racional de \(A\), ya que todo racional \(q\) con \(q^2<2\) es ciertamente menor que \(2\).
Sin embargo, \(A\) no posee supremo en \(\mathbb Q\).
En efecto, si razonamos dentro de \(\mathbb R\), su supremo es
\[ \sup A=\sqrt{2}. \]
Pero
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Por tanto, observando el conjunto solo dentro de \(\mathbb Q\), falta el número que debería representar la menor de las cotas superiores.
Este es el punto esencial: \(\mathbb Q\) contiene muchos números y es denso en la recta, pero no es completo. Existen conjuntos racionales no vacíos y acotados superiormente que no tienen supremo racional.
El hueco correspondiente a \(\sqrt{2}\)
El conjunto
\[ A=\{q\in\mathbb Q:q^2<2\} \]
describe todos los racionales que, intuitivamente, están a la izquierda de \(\sqrt{2}\).
Dentro de \(\mathbb Q\), sin embargo, el número \(\sqrt{2}\) no existe. Así, el conjunto \(A\) se aproxima indefinidamente a un umbral que no pertenece a los racionales.
En los reales, en cambio, ese umbral existe y es precisamente \(\sqrt{2}\). Por esta razón \(\mathbb R\) es completo, mientras que \(\mathbb Q\) no lo es.
Repaso: cotas superiores, cotas inferiores, máximo y mínimo
Antes de enunciar el axioma de completitud, recordemos algunas definiciones fundamentales.
Sea \(A\subseteq\mathbb R\) un conjunto no vacío.
Un número \(M\in\mathbb R\) se denomina cota superior de \(A\) si todo elemento de \(A\) es menor o igual que \(M\). En símbolos:
\[ x\leq M \qquad \text{para todo } x\in A. \]
Si \(A\) posee al menos una cota superior, se dice que \(A\) está acotado superiormente.
Análogamente, un número \(m\in\mathbb R\) se denomina cota inferior de \(A\) si todo elemento de \(A\) es mayor o igual que \(m\). En símbolos:
\[ m\leq x \qquad \text{para todo } x\in A. \]
Si \(A\) posee al menos una cota inferior, se dice que \(A\) está acotado inferiormente.
Máximo y mínimo
Un elemento \(M\in A\) se denomina máximo de \(A\) si es mayor o igual que todo elemento de \(A\):
\[ x\leq M \qquad \text{para todo } x\in A. \]
En este caso se escribe
\[ M=\max A. \]
Un elemento \(m\in A\) se denomina mínimo de \(A\) si es menor o igual que todo elemento de \(A\):
\[ m\leq x \qquad \text{para todo } x\in A. \]
En este caso se escribe
\[ m=\min A. \]
Es importante observar que el máximo y el mínimo, cuando existen, deben pertenecer al conjunto.
Por ejemplo, el intervalo
\[ (0,1) \]
está acotado tanto superior como inferiormente, pero no tiene ni máximo ni mínimo. En efecto, \(1\) y \(0\) son, respectivamente, su supremo y su ínfimo, pero no pertenecen al intervalo.
Repaso: supremo e ínfimo
Las nociones de máximo y mínimo no bastan para describir todos los conjuntos acotados. En efecto, existen conjuntos que no tienen máximo pero que, aun así, poseen una menor cota superior.
Sea \(A\subseteq\mathbb R\) un conjunto no vacío y acotado superiormente. Un número \(s\in\mathbb R\) se denomina supremo de \(A\) si cumple dos propiedades:
- \(s\) es una cota superior de \(A\);
- \(s\) es la menor de todas las cotas superiores de \(A\).
En este caso se escribe
\[ s=\sup A. \]
Decir que \(s=\sup A\) significa, por tanto, que
\[ x\leq s \qquad \text{para todo } x\in A, \]
y que todo número menor que \(s\) deja de ser una cota superior de \(A\).
De manera equivalente, \(s=\sup A\) si y solo si \(s\) es una cota superior de \(A\) y, para todo \(\varepsilon>0\), existe al menos un elemento \(x\in A\) tal que
\[ s-\varepsilon<x\leq s. \]
Esta segunda caracterización es muy importante: afirma que los elementos de \(A\) pueden aproximarse arbitrariamente al \(\sup A\) por debajo.
Ínfimo
De modo análogo, sea \(A\subseteq\mathbb R\) un conjunto no vacío y acotado inferiormente. Un número \(i\in\mathbb R\) se denomina ínfimo de \(A\) si cumple dos propiedades:
- \(i\) es una cota inferior de \(A\);
- \(i\) es la mayor de todas las cotas inferiores de \(A\).
En este caso se escribe
\[ i=\inf A. \]
Decir que \(i=\inf A\) significa, por tanto, que
\[ i\leq x \qquad \text{para todo } x\in A, \]
y que todo número mayor que \(i\) deja de ser una cota inferior de \(A\).
De manera equivalente, \(i=\inf A\) si y solo si \(i\) es una cota inferior de \(A\) y, para todo \(\varepsilon>0\), existe al menos un elemento \(x\in A\) tal que
\[ i\leq x<i+\varepsilon. \]
Diferencia entre máximo y supremo
El máximo, cuando existe, es un elemento del conjunto. El supremo, en cambio, puede no pertenecer al conjunto.
Por ejemplo, para el intervalo
\[ A=(0,1) \]
se tiene
\[ \sup A=1, \qquad \inf A=0. \]
Sin embargo,
\[ 1\notin A \qquad \text{y} \qquad 0\notin A. \]
Por tanto, \(A\) no tiene ni máximo ni mínimo.
Este ejemplo muestra que el supremo y el ínfimo son conceptos más generales que el máximo y el mínimo.
Axioma de completitud de \(\mathbb R\)
Ya podemos enunciar la propiedad fundamental de los números reales.
Axioma de completitud de \(\mathbb R\). Todo subconjunto no vacío de \(\mathbb R\) que esté acotado superiormente admite supremo en \(\mathbb R\).
En símbolos, si \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\) y \(A\) está acotado superiormente, entonces existe un número real \(s\in\mathbb R\) tal que
\[ s=\sup A. \]
Este axioma afirma que, en la recta real, todo conjunto no vacío que posee al menos una cota superior posee también la menor de sus cotas superiores.
La completitud de \(\mathbb R\) puede expresarse, por tanto, diciendo que en \(\mathbb R\) no faltan los supremos de los conjuntos no vacíos y acotados superiormente.
Forma equivalente con el ínfimo
El axioma de completitud también puede formularse mediante el ínfimo.
Todo subconjunto no vacío de \(\mathbb R\) que esté acotado inferiormente admite ínfimo en \(\mathbb R\).
En símbolos, si \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\) y \(A\) está acotado inferiormente, entonces existe un número real \(i\in\mathbb R\) tal que
\[ i=\inf A. \]
Las dos formulaciones son equivalentes. En efecto, la existencia de los supremos permite deducir la existencia de los ínfimos aplicando el axioma al conjunto opuesto
\[ -A=\{-x:x\in A\}. \]
En particular, si \(A\) está acotado inferiormente, entonces
\[ \inf A=-\sup(-A). \]
¿Por qué se habla de axioma?
Se habla de axioma porque la completitud no puede deducirse únicamente de las propiedades algebraicas y de orden que los números racionales ya poseen.
También \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado: los números racionales se pueden sumar, multiplicar y comparar. Sin embargo, \(\mathbb Q\) no es completo.
La propiedad que distingue \(\mathbb R\) de \(\mathbb Q\) es precisamente la existencia del supremo para todo conjunto real no vacío y acotado superiormente.
Significado del axioma de completitud
El axioma de completitud afirma que, si un conjunto real es no vacío y no puede superar cierto umbral, entonces existe un umbral mínimo que lo contiene por arriba.
Ese umbral mínimo es el supremo.
Para entender el significado del axioma, imaginemos un conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) formado por puntos situados sobre la recta real. Si \(A\) está acotado superiormente, entonces todos sus puntos quedan a la izquierda de al menos un número real.
El axioma de completitud garantiza que, entre todas esas cotas superiores, existe la más pequeña. Dicho de otro modo, existe un número real que representa exactamente el borde superior del conjunto.
Ese borde puede pertenecer o no al conjunto.
Si pertenece al conjunto, coincide con el máximo. Si no pertenece al conjunto, está igualmente presente en la recta real como supremo.
Ejemplo: intervalo cerrado
Consideremos el intervalo
\[ A=[0,1]. \]
El conjunto \(A\) es no vacío y está acotado superiormente.
Su supremo es
\[ \sup A=1. \]
En este caso \(1\in A\), de modo que el supremo es también el máximo:
\[ \max A=1. \]
Ejemplo: intervalo abierto
Consideremos ahora el intervalo
\[ A=(0,1). \]
También este conjunto es no vacío y está acotado superiormente.
Su supremo sigue siendo
\[ \sup A=1. \]
Sin embargo, \(1\notin A\), por lo que \(A\) no tiene máximo.
El axioma de completitud garantiza, no obstante, la existencia del supremo, incluso cuando este no pertenece al conjunto.
El punto esencial
El punto esencial es el siguiente: la completitud no afirma que todo conjunto acotado tenga máximo o mínimo.
Afirma, en cambio, que todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo, y que todo conjunto no vacío y acotado inferiormente tiene ínfimo.
Esta distinción es fundamental. El máximo debe pertenecer al conjunto; el supremo, en cambio, puede no pertenecer a él.
Ejemplos de aplicación del axioma de completitud
Veamos ahora algunos ejemplos que muestran cómo el axioma de completitud garantiza la existencia del supremo incluso cuando el conjunto no posee máximo.
Ejemplo 1: un intervalo abierto
Consideremos el conjunto
\[ A=(0,1). \]
El conjunto \(A\) es no vacío y está acotado superiormente. Por ejemplo, \(1\) es una cota superior de \(A\), porque
\[ x\leq 1 \qquad \text{para todo } x\in A. \]
Por el axioma de completitud, \(A\) admite supremo en \(\mathbb R\). En este caso
\[ \sup A=1. \]
Sin embargo, \(1\notin A\), por lo que \(A\) no tiene máximo.
Este ejemplo muestra que el axioma de completitud no garantiza la existencia del máximo, sino la existencia del supremo.
Ejemplo 2: el conjunto de los cuadrados menores que \(2\)
Consideremos el conjunto
\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<2\}. \]
Este conjunto es no vacío, porque \(0\in A\). Además, está acotado superiormente: por ejemplo, \(2\) es una cota superior de \(A\).
Por el axioma de completitud, existe
\[ \sup A. \]
En este caso se tiene
\[ \sup A=\sqrt{2}. \]
En efecto, \(\sqrt{2}\) es una cota superior de \(A\), porque si \(x^2<2\), entonces \(x<\sqrt{2}\). Además, ningún número menor que \(\sqrt{2}\) puede ser una cota superior, porque existen elementos de \(A\) arbitrariamente próximos a \(\sqrt{2}\) por la izquierda.
Este ejemplo muestra el papel esencial de los números reales: el número \(\sqrt{2}\), que falta en \(\mathbb Q\), existe en \(\mathbb R\) y puede reconocerse como el supremo de un conjunto.
Ejemplo 3: un conjunto sin máximo
Consideremos el conjunto
\[ A=\left\{1-\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Los primeros elementos del conjunto son
\[ 0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\ldots \]
El conjunto es no vacío y está acotado superiormente. En efecto, cada uno de sus elementos es menor que \(1\).
Por el axioma de completitud, \(A\) posee supremo. En este caso
\[ \sup A=1. \]
Pero \(1\notin A\), porque no existe ningún \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 1-\frac{1}{n}=1. \]
Por tanto, \(A\) no tiene máximo.
Este ejemplo es importante porque muestra un conjunto discreto, formado por infinitos puntos aislados, que se aproxima indefinidamente a un valor exterior al conjunto.
Completitud de \(\mathbb R\) y sucesiones
La completitud de \(\mathbb R\) también puede expresarse mediante las sucesiones. Una de las formulaciones más importantes es el criterio de Cauchy.
Una sucesión \((x_n)\) de números reales se denomina sucesión de Cauchy si sus términos se vuelven arbitrariamente próximos entre sí a medida que crecen los índices.
En símbolos, \((x_n)\) es de Cauchy si, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(m,n\geq N\), se tiene
\[ |x_n-x_m|<\varepsilon. \]
La idea es que una sucesión de Cauchy no exige conocer de antemano su límite: describe una sucesión cuyos términos se estabilizan cada vez más entre sí.
Completitud mediante sucesiones de Cauchy
La completitud de \(\mathbb R\) puede formularse así:
Toda sucesión de Cauchy de números reales converge a un número real.
En símbolos, si \((x_n)\subseteq\mathbb R\) es una sucesión de Cauchy, entonces existe \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ x_n\to x. \]
Esta propiedad es otra forma de la completitud de \(\mathbb R\). Afirma que, si una sucesión real se comporta como si debiera converger, entonces su límite existe realmente dentro de \(\mathbb R\).
Por qué \(\mathbb Q\) no es completo desde el punto de vista de las sucesiones
En los racionales esto no sucede. Existen sucesiones de números racionales que son de Cauchy pero que no convergen a ningún número racional.
Por ejemplo, podemos considerar una sucesión de aproximaciones racionales de \(\sqrt{2}\):
\[ 1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ 1.4142,\ldots \]
Esta sucesión está formada por números racionales y sus términos se aproximan cada vez más entre sí. Converge, en \(\mathbb R\), a
\[ \sqrt{2}. \]
Sin embargo,
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Por tanto, vista como sucesión en \(\mathbb Q\), no converge a ningún número racional.
Esto muestra que \(\mathbb Q\) no es completo: contiene sucesiones que deberían converger, pero cuyo límite cae fuera de \(\mathbb Q\).
Conexión con el axioma del supremo
El axioma del supremo y la completitud mediante sucesiones de Cauchy son dos formulaciones distintas de la misma propiedad fundamental de los números reales.
El axioma del supremo afirma que los conjuntos reales no vacíos y acotados superiormente tienen un borde superior real.
La completitud mediante sucesiones de Cauchy afirma, en cambio, que todo proceso de aproximación interno a los reales converge a un número real.
Ambas formulaciones expresan la misma idea: en la recta real no faltan los puntos límite necesarios para completar los procesos de aproximación.
Consecuencias fundamentales de la completitud de \(\mathbb R\)
La completitud de \(\mathbb R\) no es una propiedad aislada. Muchos teoremas fundamentales del análisis real dependen precisamente del hecho de que la recta real no tiene huecos.
Veamos algunas de las consecuencias más importantes.
Existencia de supremos e ínfimos
La consecuencia más directa es la existencia de los supremos y los ínfimos.
Si \(A\subseteq\mathbb R\) es no vacío y está acotado superiormente, entonces existe
\[ \sup A\in\mathbb R. \]
Si \(A\subseteq\mathbb R\) es no vacío y está acotado inferiormente, entonces existe
\[ \inf A\in\mathbb R. \]
Esta propiedad permite trabajar con conjuntos que no poseen máximo o mínimo pero que, aun así, tienen un borde superior o inferior bien definido.
Teorema de los intervalos encajados
Otra consecuencia de la completitud es el teorema de los intervalos encajados.
Si
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad n\in\mathbb N, \]
es una sucesión de intervalos cerrados, acotados y encajados, es decir,
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots, \]
entonces su intersección es no vacía:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\neq\varnothing. \]
Si, además, la longitud de los intervalos tiende a \(0\), es decir,
\[ b_n-a_n\to 0, \]
entonces la intersección contiene un único punto.
Este resultado depende de la completitud: en un conjunto no completo, una sucesión de intervalos encajados puede «cerrarse» en torno a un punto que falta.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
La completitud también sustenta el teorema de Bolzano-Weierstrass.
Este teorema afirma que toda sucesión real acotada admite una subsucesión convergente.
En símbolos, si \((x_n)\) es una sucesión acotada de números reales, entonces existen una subsucesión \((x_{n_k})\) y un número real \(x\in\mathbb R\) tales que
\[ x_{n_k}\to x. \]
El punto esencial es que el límite de la subsucesión pertenece de nuevo a \(\mathbb R\). Esto es posible porque \(\mathbb R\) es completo.
Criterio de convergencia de Cauchy
Una consecuencia fundamental de la completitud es el criterio de convergencia de Cauchy.
Una sucesión real converge si y solo si es una sucesión de Cauchy.
En símbolos:
\[ (x_n) \text{ converge en } \mathbb R \quad \Longleftrightarrow \quad (x_n) \text{ es de Cauchy}. \]
La implicación de izquierda a derecha es válida en todo espacio métrico: toda sucesión convergente es de Cauchy.
La implicación opuesta, en cambio, es una propiedad de completitud: en \(\mathbb R\), toda sucesión de Cauchy converge a un número real.
Teoremas de existencia en análisis
Muchos resultados de existencia del análisis se apoyan, directa o indirectamente, en la completitud de \(\mathbb R\).
Por ejemplo, la completitud sustenta el teorema de Weierstrass, el teorema de los ceros (de Bolzano), el teorema de los valores intermedios y diversos resultados sobre la convergencia de las sucesiones y de las series.
En todos estos casos, la idea de fondo es la misma: se construye un objeto mediante aproximaciones sucesivas y la completitud garantiza que el objeto límite exista realmente en \(\mathbb R\).
Resumen final
La completitud de \(\mathbb R\) es la propiedad que distingue los números reales de los números racionales. Expresa el hecho de que la recta real no presenta huecos.
La formulación más clásica de la completitud es el axioma del supremo:
todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de \(\mathbb R\) posee supremo en \(\mathbb R\).
En símbolos, si \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\) y \(A\) está acotado superiormente, entonces existe
\[ \sup A\in\mathbb R. \]
De modo equivalente, todo subconjunto no vacío y acotado inferiormente de \(\mathbb R\) posee ínfimo en \(\mathbb R\).
La completitud no afirma que todo conjunto acotado tenga máximo o mínimo. Afirma, en cambio, que todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo, incluso cuando dicho supremo no pertenece al conjunto.
El conjunto de los números racionales \(\mathbb Q\) no es completo: existen conjuntos racionales no vacíos y acotados superiormente que no tienen supremo racional. Un ejemplo fundamental es el conjunto de los racionales \(q\) tales que \(q^2<2\), cuyo supremo real es \(\sqrt{2}\), que no pertenece a \(\mathbb Q\).
La completitud de \(\mathbb R\) también puede expresarse en forma sucesional: toda sucesión de Cauchy de números reales converge a un número real.
Esta propiedad sustenta muchos resultados fundamentales del análisis matemático, entre ellos el teorema de los intervalos encajados, el teorema de Bolzano-Weierstrass, el criterio de convergencia de Cauchy y numerosos teoremas de existencia.
En síntesis, la completitud es lo que convierte a \(\mathbb R\) en el ámbito natural del análisis: todo proceso de aproximación bien definido encuentra su límite dentro de la recta real.