La composición de funciones es una operación que permite aplicar una función después de otra. Si una función transforma un elemento \(x\) en \(g(x)\), y una segunda función puede aplicarse al valor \(g(x)\), entonces podemos considerar la función que asigna directamente a \(x\) el valor \(f(g(x))\).
Esta operación es fundamental en el estudio de las funciones, pues permite construir nuevas funciones a partir de funciones ya conocidas. Además, la composición está en la base de muchos conceptos importantes, como la función inversa, las transformaciones de la gráfica, la regla de la cadena en el cálculo diferencial y el cambio de variable en las integrales.
Sin embargo, para definir correctamente la composición no basta con escribir formalmente \(f(g(x))\). Es necesario controlar con precisión dominios y codominios: el valor producido por la primera función debe pertenecer al dominio de la segunda. Por este motivo, la composición de funciones es un concepto sencillo en su idea, pero que exige cuidado en sus condiciones de existencia.
Índice
- Idea intuitiva de la composición de funciones
- Definición de composición de funciones
- Condición de existencia de la composición
- Dominio de la función compuesta
- Orden de la composición
- Ejemplos de composición de funciones
- Composición con la función identidad
- Asociatividad de la composición
- Composición de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
- Composición y función inversa
Idea intuitiva de la composición de funciones
La idea de la composición de funciones consiste en aplicar dos funciones una tras otra.
Supongamos que tenemos una función \(g\) que asigna a un elemento \(x\) un valor \(g(x)\). Supongamos, además, que disponemos de una segunda función \(f\), que puede aplicarse al valor \(g(x)\). Entonces podemos construir una nueva función que, partiendo de \(x\), llega directamente al valor \(f(g(x))\).
El esquema es el siguiente:
\[ x \xrightarrow{\;g\;} g(x) \xrightarrow{\;f\;} f(g(x)). \]
En este caso se dice que hemos compuesto \(f\) con \(g\). La función obtenida se denota mediante
\[ f\circ g. \]
El símbolo \(f\circ g\) se lee \(f\) compuesta con \(g\) o bien \(f\) después de \(g\).
Es importante observar el orden: en la composición \(f\circ g\), la función \(g\) se aplica en primer lugar, mientras que la función \(f\) se aplica en segundo lugar.
En efecto, para todo \(x\) en el que la composición esté definida, se cumple
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
La composición \(f\circ g\) no significa, por tanto, que se aplique primero \(f\) y luego \(g\), sino exactamente lo contrario: primero se calcula \(g(x)\) y después se aplica \(f\) al resultado obtenido.
Definición de composición de funciones
Sean
\[ g:A\to B \]
y
\[ f:B\to C \]
dos funciones. La composición de \(f\) con \(g\) es la función
\[ f\circ g:A\to C \]
definida poniendo, para todo \(x\in A\),
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
En esta definición, la función \(g\) se aplica primero, mientras que la función \(f\) se aplica después. En efecto, partiendo de un elemento \(x\in A\), se obtiene primero el valor \(g(x)\in B\) y luego se aplica \(f\) a dicho valor:
\[ x\in A \quad \xrightarrow{\;g\;} \quad g(x)\in B \quad \xrightarrow{\;f\;} \quad f(g(x))\in C. \]
La función compuesta \(f\circ g\) asigna así directamente a cada elemento \(x\in A\) el elemento \(f(g(x))\in C\).
Conviene notar que, en la escritura \(f\circ g\), el orden de lectura no coincide con el orden de aplicación: la función escrita a la derecha, esto es, \(g\), se aplica primero; la función escrita a la izquierda, esto es, \(f\), se aplica en segundo lugar.
Condición de existencia de la composición
La composición \(f\circ g\) está definida cuando los valores que toma \(g\) pueden emplearse como argumentos de la función \(f\).
En la situación
\[ g:A\to B, \qquad f:B\to C, \]
esta condición se satisface automáticamente, ya que para todo \(x\in A\) se tiene \(g(x)\in B\), y \(B\) es precisamente el dominio de la función \(f\).
Más en general, si
\[ g:A\to B \]
y
\[ f:D\to C, \]
entonces la composición \(f\circ g\) está definida para todos los elementos \(x\in A\) tales que
\[ g(x)\in D. \]
En particular, si la imagen de \(g\) está contenida en el dominio de \(f\), es decir, si
\[ g(A)\subseteq D, \]
entonces la composición \(f\circ g\) está definida en todo \(A\).
Esta es la condición fundamental para poder componer dos funciones: la salida de la primera función debe pertenecer al dominio de la segunda.
En símbolos, si se quiere definir \(f\circ g\) en todo \(A\), debe cumplirse
\[ g(A)\subseteq \operatorname{Dom}(f). \]
Sin esta condición, la expresión \(f(g(x))\) podría carecer de sentido para algunos valores de \(x\), pues \(g(x)\) podría no pertenecer al dominio de \(f\).
Dominio de la función compuesta
Cuando las funciones se dan mediante fórmulas, el dominio de la función compuesta debe determinarse con cuidado.
Supongamos que \(g\) está definida en un conjunto \(A\) y que \(f\) está definida en un conjunto \(D\). La función compuesta \(f\circ g\) está definida exactamente para aquellos elementos \(x\in A\) para los cuales \(g(x)\) pertenece al dominio de \(f\).
Por tanto, el dominio de \(f\circ g\) es
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)= \{x\in \operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in \operatorname{Dom}(f)\}. \]
Esta fórmula es fundamental: para determinar el dominio de una función compuesta no basta con considerar el dominio de \(g\), sino que hay que imponer también que el valor \(g(x)\) sea admisible como argumento de \(f\).
Consideremos, por ejemplo, las funciones
\[ g(x)=x-1, \qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
La función compuesta \(f\circ g\) es
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-1)=\sqrt{x-1}. \]
Para que esta expresión esté definida en los números reales, debe cumplirse
\[ x-1\ge 0. \]
Por tanto
\[ x\ge 1. \]
En consecuencia
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[1,+\infty). \]
En este ejemplo el dominio de la compuesta no es todo el dominio de \(g\), sino únicamente la parte del dominio de \(g\) en la que el valor \(g(x)\) pertenece al dominio de la raíz cuadrada.
Orden de la composición
El orden en que se componen dos funciones es fundamental. En general, \(f\circ g\) y \(g\circ f\) son funciones distintas.
En efecto, por definición,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
mientras que
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
En el primer caso se aplica primero \(g\) y luego \(f\); en el segundo caso se aplica primero \(f\) y luego \(g\). Como cambia el orden de aplicación, el resultado puede cambiar.
Consideremos, por ejemplo, las funciones
\[ f(x)=x^2, \qquad g(x)=x+1. \]
Calculemos primero \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2. \]
Calculemos ahora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2+1. \]
Las dos funciones obtenidas son
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2 \]
y
\[ (g\circ f)(x)=x^2+1. \]
En general, estas expresiones no coinciden. Por ejemplo, para \(x=1\) se tiene
\[ (f\circ g)(1)=(1+1)^2=4, \]
mientras que
\[ (g\circ f)(1)=1^2+1=2. \]
Por tanto
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
La composición de funciones, pues, no es conmutativa: al cambiar el orden de las funciones, en general cambia la función compuesta.
Ejemplos de composición de funciones
Veamos algunos ejemplos para aclarar el cálculo de la función compuesta y de su dominio.
Ejemplo 1. Consideremos las funciones
\[ f(x)=3x+2, \qquad g(x)=x^2. \]
La composición \(f\circ g\) se obtiene sustituyendo \(g(x)\) en el lugar de la variable de \(f\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=3x^2+2. \]
La composición \(g\circ f\), en cambio, es
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2. \]
También en este caso las dos composiciones son distintas:
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
Ejemplo 2. Consideremos las funciones
\[ f(x)=\sqrt{x}, \qquad g(x)=x^2-1. \]
La compuesta \(f\circ g\) es
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Para que esta función esté definida en los números reales, debe cumplirse
\[ x^2-1\ge 0. \]
Resolviendo la desigualdad, obtenemos
\[ x\le -1 \qquad \text{o} \qquad x\ge 1. \]
Por tanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
La compuesta \(g\circ f\), en cambio, es
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
En este caso, sin embargo, hay que recordar que \(f(x)=\sqrt{x}\) solo está definida para \(x\ge 0\). Por tanto
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Este ejemplo muestra que dos composiciones pueden tener no solo fórmulas distintas, sino también dominios distintos.
Ejemplo 3. Consideremos las funciones
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad g(x)=x-2. \]
La función compuesta \(f\circ g\) es
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2)=\frac{1}{x-2}. \]
Esta expresión está definida si y solo si
\[ x-2\ne 0. \]
Por tanto
\[ x\ne 2. \]
En consecuencia
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{2\}. \]
También aquí el dominio de la compuesta se obtiene imponiendo que el valor de la función interior pertenezca al dominio de la función exterior.
Composición con la función identidad
La función identidad es el elemento neutro respecto de la composición de funciones.
Recordemos que, dado un conjunto \(A\), la función identidad sobre \(A\) es la función
\[ \operatorname{id}_A:A\to A \]
definida por
\[ \operatorname{id}_A(x)=x \]
para todo \(x\in A\).
Sea ahora
\[ f:A\to B \]
una función. Componiendo \(f\) por la derecha con la identidad de \(A\), obtenemos
\[ f\circ \operatorname{id}_A:A\to B. \]
Para todo \(x\in A\), se tiene
\[ (f\circ \operatorname{id}_A)(x)=f(\operatorname{id}_A(x))=f(x). \]
Por tanto
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f. \]
Componiendo, en cambio, \(f\) por la izquierda con la identidad de \(B\), obtenemos
\[ \operatorname{id}_B\circ f:A\to B. \]
Para todo \(x\in A\), resulta
\[ (\operatorname{id}_B\circ f)(x)=\operatorname{id}_B(f(x))=f(x). \]
Así pues
\[ \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
En conclusión, para toda función \(f:A\to B\), se cumple
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f \qquad \text{y} \qquad \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
Asociatividad de la composición
La composición de funciones es asociativa. Esto significa que, al componer tres funciones compatibles, la manera de colocar los paréntesis no altera el resultado final.
Sean
\[ h:A\to B,\qquad g:B\to C,\qquad f:C\to D \]
tres funciones. Entonces están definidas ambas composiciones
\[ (f\circ g)\circ h \]
y
\[ f\circ (g\circ h). \]
Para todo \(x\in A\), se tiene
\[ ((f\circ g)\circ h)(x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x))). \]
Por otra parte,
\[ (f\circ (g\circ h))(x) = f((g\circ h)(x)) = f(g(h(x))). \]
Así pues, las dos funciones toman el mismo valor para todo \(x\in A\). En consecuencia,
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h). \]
Gracias a la asociatividad, cuando no hay ambigüedad puede escribirse simplemente
\[ f\circ g\circ h, \]
recordando, no obstante, que el orden de aplicación sigue siendo de derecha a izquierda: primero \(h\), luego \(g\) y, por último, \(f\).
Composición de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
La composición conserva algunas propiedades importantes de las funciones, como la inyectividad, la sobreyectividad y la biyectividad.
Sean
\[ g:A\to B \]
y
\[ f:B\to C \]
dos funciones.
Si \(g\) y \(f\) son ambas inyectivas, entonces también \(f\circ g:A\to C\) es inyectiva.
En efecto, supongamos que
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Entonces
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Como \(f\) es inyectiva, se sigue que
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Como \(g\) es inyectiva, obtenemos
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto, \(f\circ g\) es inyectiva.
Si \(g\) y \(f\) son ambas sobreyectivas, entonces también \(f\circ g:A\to C\) es sobreyectiva.
En efecto, sea \(z\in C\). Como \(f\) es sobreyectiva, existe \(y\in B\) tal que
\[ f(y)=z. \]
Como \(g\) es sobreyectiva, existe \(x\in A\) tal que
\[ g(x)=y. \]
En consecuencia,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(y)=z. \]
Así pues, todo elemento de \(C\) es imagen de al menos un elemento de \(A\) mediante \(f\circ g\), y por tanto \(f\circ g\) es sobreyectiva.
Si \(g\) y \(f\) son ambas biyectivas, entonces \(f\circ g\) es biyectiva, ya que es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Composición y función inversa
La composición es el instrumento natural para definir y reconocer la función inversa.
Sea
\[ f:A\to B \]
una función. Una función
\[ g:B\to A \]
es la inversa de \(f\) si, al componer las dos funciones en los dos órdenes posibles, se obtienen las funciones identidad:
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ g=\operatorname{id}_B. \]
La primera igualdad significa que, partiendo de un elemento \(x\in A\), aplicar primero \(f\) y luego \(g\) lleva de nuevo al punto de partida:
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=x. \]
La segunda igualdad significa que, partiendo de un elemento \(y\in B\), aplicar primero \(g\) y luego \(f\) lleva de nuevo al punto de partida:
\[ (f\circ g)(y)=f(g(y))=y. \]
En este caso se escribe
\[ g=f^{-1}. \]
La composición muestra, por tanto, que una función inversa no es simplemente una fórmula obtenida «invirtiendo los pasos», sino una función que deshace el efecto de \(f\) tanto por la derecha como por la izquierda, devolviendo cada elemento del dominio y del codominio a su propio punto de partida.
En particular, una función \(f:A\to B\) admite inversa \(f^{-1}:B\to A\) si y solo si es biyectiva.
La composición de funciones es, pues, una operación fundamental para construir nuevas funciones a partir de funciones ya conocidas. Su definición es sencilla:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
pero exige siempre atención al orden de aplicación y a los dominios de las funciones implicadas.
En particular, en la composición \(f\circ g\), la función \(g\) se aplica primero, mientras que \(f\) se aplica en segundo lugar. Además, la composición está definida solo para aquellos valores de \(x\) para los que \(g(x)\) pertenece al dominio de \(f\).
La composición no es, en general, conmutativa, pero sí es asociativa. La función identidad actúa como elemento neutro, mientras que la función inversa puede describirse precisamente mediante la composición con las funciones identidad.
Por este motivo, la composición de funciones es una herramienta esencial en el estudio de las funciones, de sus propiedades y de las relaciones entre una función, su inversa, su dominio y su codominio.