Los conjuntos compactos son una de las nociones centrales del análisis matemático. Describen conjuntos que, aun pudiendo contener infinitos puntos, conservan algunas propiedades típicas de los conjuntos finitos.
La importancia de la compacidad radica en que, sobre los conjuntos compactos, muchas propiedades fundamentales quedan garantizadas: toda sucesión de puntos del conjunto admite una subsucesión convergente a un punto del conjunto, las funciones continuas alcanzan máximo y mínimo, y los recubrimientos abiertos pueden reducirse a un número finito de abiertos.
En esta exposición introduciremos la definición de conjunto compacto mediante los recubrimientos abiertos, aclararemos su significado intuitivo y analizaremos los primeros ejemplos fundamentales. La relación entre compacidad y el hecho de ser cerrado y acotado se precisará después en el teorema de Heine-Borel.
Índice
- Idea intuitiva de conjunto compacto
- Definición de recubrimiento abierto
- Definición de conjunto compacto
- Significado de la definición
- Primeros ejemplos de conjuntos compactos
- Primeros ejemplos de conjuntos no compactos
- Compacidad y sucesiones
- Compacidad y funciones continuas
- Por qué cerrado y acotado no es la definición de compacto
- Resumen final
Idea intuitiva de conjunto compacto
La idea intuitiva de compacidad es la de un conjunto que no presenta ni escapes al infinito ni puntos faltantes allí donde el conjunto tiende a acumularse.
Por ejemplo, el intervalo
\[ [0,1] \]
es un conjunto que parece, intuitivamente, bien controlado: está acotado, porque todos sus puntos se encuentran entre \(0\) y \(1\), y es cerrado, porque contiene también sus extremos.
Por el contrario, el intervalo
\[ (0,1) \]
no contiene los extremos \(0\) y \(1\). Aunque todos sus puntos siguen estando comprendidos entre \(0\) y \(1\), el conjunto presenta dos puntos de acumulación que faltan. En efecto, es posible acercarse indefinidamente a \(0\) o a \(1\) permaneciendo dentro de \((0,1)\), pero ni \(0\) ni \(1\) pertenecen al conjunto.
Tampoco el intervalo
\[ [0,+\infty) \]
es compacto. En este caso el problema no es la ausencia de extremos, sino la posibilidad de alejarse indefinidamente hacia \(+\infty\).
La compacidad formaliza precisamente esta idea: un conjunto compacto no presenta escapes al infinito ni puntos de acumulación faltantes. Desde el punto de vista del análisis, es un conjunto que puede controlarse con un número finito de datos.
Definición de recubrimiento abierto
Antes de definir los conjuntos compactos, debemos introducir el concepto de recubrimiento abierto.
En esta exposición, cuando hablemos de abiertos de \(\mathbb R\), entenderemos siempre los abiertos en el sentido ordinario: por ejemplo los intervalos abiertos \((a,b)\) y las uniones de intervalos abiertos.
Sea \(A\subseteq \mathbb R\). Una familia de conjuntos abiertos
\[ \{U_i\}_{i\in I} \]
se llama recubrimiento abierto de \(A\) si todo punto de \(A\) pertenece al menos a uno de los abiertos de la familia.
En símbolos, la familia \(\{U_i\}_{i\in I}\) es un recubrimiento abierto de \(A\) si
\[ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
El conjunto \(I\) se denomina conjunto de índices y puede ser finito o infinito.
Decir que \(\{U_i\}_{i\in I}\) recubre \(A\) significa, por tanto, que ningún punto de \(A\) queda fuera de la unión de los abiertos \(U_i\).
Ejemplo de recubrimiento abierto
Consideremos el conjunto
\[ A=[0,1]. \]
La familia de intervalos abiertos
\[ U_n=\left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1, \]
es un recubrimiento abierto de \(A\). En efecto, para todo \(n\geq 1\) se tiene
\[ [0,1]\subseteq \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right). \]
En particular,
\[ [0,1]\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty} \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right). \]
Así pues, todo punto del intervalo \([0,1]\) pertenece al menos a uno de los abiertos de la familia.
Subrecubrimiento
Si \(\{U_i\}_{i\in I}\) es un recubrimiento abierto de \(A\), un subrecubrimiento es una subfamilia de abiertos que sigue recubriendo \(A\).
Más precisamente, si \(J\subseteq I\), la familia
\[ \{U_j\}_{j\in J} \]
es un subrecubrimiento de \(A\) si
\[ A\subseteq \bigcup_{j\in J} U_j. \]
Un subrecubrimiento se dice finito si consta únicamente de un número finito de abiertos.
Definición de conjunto compacto
Podemos dar ya la definición fundamental.
Un conjunto \(K\subseteq \mathbb R\) se dice compacto si de todo recubrimiento abierto de \(K\) es posible extraer un subrecubrimiento finito.
Dicho de otro modo, \(K\) es compacto si, cada vez que una familia de abiertos recubre \(K\), existen entonces un número finito de abiertos de la familia que bastan todavía para recubrir todo \(K\).
En símbolos, \(K\subseteq \mathbb R\) es compacto si, para toda familia de abiertos \(\{U_i\}_{i\in I}\) tal que
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
existen índices \(i_1,i_2,\ldots,i_m\in I\), con \(m\in\mathbb N\), tales que
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup \cdots \cup U_{i_m}. \]
Esta es la definición de compacidad mediante recubrimientos abiertos.
Una observación importante
La definición no dice que \(K\) pueda recubrirse con un número finito de abiertos elegidos a voluntad. Dice algo más sutil: sea cual sea el recubrimiento abierto dado, aunque esté formado por infinitos abiertos, siempre es posible seleccionar un número finito de ellos que recubra todavía todo \(K\).
Por tanto, la compacidad es una propiedad global del conjunto \(K\), pues atañe a todos los posibles recubrimientos abiertos de \(K\).
Significado de la definición
A primera vista, la definición de compacidad puede parecer abstracta. Sin embargo, su significado profundo es muy concreto: un conjunto compacto es un conjunto que nunca requiere infinitas informaciones esenciales para ser controlado mediante abiertos.
Supongamos que queremos recubrir un conjunto \(K\) con una familia de abiertos. Si \(K\) es compacto, entonces, aun cuando el recubrimiento contenga infinitos abiertos, solo un número finito de ellos es realmente necesario para cubrir todo \(K\).
Este comportamiento es semejante al de los conjuntos finitos. En efecto, si
\[ A=\{x_1,x_2,\ldots,x_m\}, \]
entonces todo recubrimiento abierto de \(A\) admite siempre un subrecubrimiento finito. Basta con elegir, para cada punto \(x_j\), un abierto del recubrimiento que lo contenga.
La compacidad extiende esta propiedad a los conjuntos infinitos. Un compacto puede contener infinitos puntos, pero sigue teniendo un comportamiento finito respecto de los recubrimientos abiertos.
¿Por qué la definición usa los abiertos?
Los abiertos son los conjuntos que describen los entornos de los puntos. Por esta razón los recubrimientos abiertos permiten estudiar un conjunto a través de información local.
Decir que un conjunto es compacto significa entonces que, cada vez que se lo controla localmente mediante abiertos, ese control puede reducirse a un control finito.
Esta idea está en la base de muchos teoremas fundamentales del análisis. Por ejemplo, el hecho de que una función continua sobre un conjunto compacto alcance máximo y mínimo depende precisamente de la posibilidad de pasar de información local a un número finito de informaciones globales.
Primeros ejemplos de conjuntos compactos
Veamos algunos ejemplos fundamentales. En esta etapa nos apoyaremos sobre todo en la intuición geométrica de la compacidad; la caracterización completa de los conjuntos compactos de \(\mathbb R\) se precisará en el teorema de Heine-Borel.
Intervalos cerrados y acotados
Los intervalos del tipo
\[ [a,b], \qquad a,b\in\mathbb R,\ a\leq b, \]
son los primeros ejemplos fundamentales de conjuntos compactos en \(\mathbb R\).
Están acotados, porque todos sus puntos están comprendidos entre \(a\) y \(b\), y son cerrados, porque contienen también los extremos \(a\) y \(b\).
El hecho de que todo intervalo cerrado y acotado sea compacto es un resultado profundo del análisis real. En esta exposición lo usaremos como ejemplo fundamental; la caracterización general de los conjuntos compactos de \(\mathbb R\), en cambio, se precisará en el teorema de Heine-Borel.
Conjuntos finitos
Todo conjunto finito de números reales es compacto.
En efecto, sea
\[ A=\{x_1,x_2,\ldots,x_m\}. \]
Consideremos un recubrimiento abierto cualquiera de \(A\):
\[ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
Puesto que el recubrimiento cubre \(A\), para cada punto \(x_j\in A\) existe al menos un índice \(i_j\in I\) tal que
\[ x_j\in U_{i_j}. \]
Por consiguiente, los abiertos
\[ U_{i_1},U_{i_2},\ldots,U_{i_m} \]
recubren todos los puntos de \(A\). Por tanto
\[ A\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Hemos extraído así un subrecubrimiento finito. Por definición, \(A\) es compacto.
El conjunto formado por una sucesión convergente y su límite
Otro ejemplo importante es el conjunto
\[ K=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Este conjunto es infinito, pero es compacto.
Intuitivamente, los puntos
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
se acumulan únicamente en \(0\), y el punto \(0\) pertenece al conjunto. No hay, por tanto, puntos de acumulación que falten.
Además, el conjunto está acotado, porque todos sus elementos pertenecen al intervalo \([0,1]\).
Veamos directamente por qué este conjunto es compacto usando la definición con recubrimientos abiertos.
Sea \(\{U_i\}_{i\in I}\) un recubrimiento abierto de \(K\). Puesto que \(0\in K\), existe un abierto \(U_{i_0}\) del recubrimiento tal que
\[ 0\in U_{i_0}. \]
Como \(U_{i_0}\) es abierto, existe \(r>0\) tal que
\[ (-r,r)\subseteq U_{i_0}. \]
Dado que
\[ \frac1n\to 0, \]
existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\geq N\),
\[ \frac1n\in (-r,r)\subseteq U_{i_0}. \]
Así pues, el abierto \(U_{i_0}\) recubre \(0\) y todos los puntos \(\displaystyle \frac1n\) a partir de cierto índice.
Solo queda un número finito de puntos:
\[ 1,\frac12,\ldots,\frac{1}{N-1}. \]
Para cada uno de estos puntos elegimos un abierto del recubrimiento que lo contenga. De este modo obtenemos un número finito de abiertos que, junto con \(U_{i_0}\), recubren todo \(K\).
Por tanto, todo recubrimiento abierto de \(K\) admite un subrecubrimiento finito. En consecuencia, \(K\) es compacto.
Primeros ejemplos de conjuntos no compactos
Para comprender de verdad la compacidad es importante observar también ejemplos de conjuntos que no son compactos. En general, un conjunto puede dejar de ser compacto porque es demasiado grande, o bien porque tiene puntos de acumulación que no pertenecen al conjunto.
El intervalo abierto \((0,1)\)
El intervalo
\[ (0,1) \]
no es compacto.
La razón intuitiva es que el conjunto se acerca a los extremos \(0\) y \(1\), pero no los contiene. En particular, \(0\) y \(1\) son puntos de acumulación del conjunto, pero no pertenecen a \((0,1)\).
Veamos cómo se manifiesta este defecto en la definición a través de recubrimientos abiertos.
Consideremos la familia de abiertos
\[ U_n=\left(\frac1n,1-\frac1n\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 3. \]
La familia \(\{U_n\}_{n\geq 3}\) es un recubrimiento abierto de \((0,1)\). En efecto, si \(x\in(0,1)\), entonces
\[ x>0 \qquad \text{y} \qquad 1-x>0. \]
Podemos, pues, elegir \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ \frac1n<x \qquad \text{y} \qquad \frac1n<1-x. \]
De estas desigualdades se sigue que
\[ \frac1n<x<1-\frac1n, \]
es decir,
\[ x\in U_n. \]
Por tanto
\[ (0,1)\subseteq \bigcup_{n=3}^{+\infty} \left(\frac1n,1-\frac1n\right). \]
No obstante, este recubrimiento no admite ningún subrecubrimiento finito.
En efecto, al elegir un número finito de abiertos de la familia, existe un índice máximo \(N\) entre los elegidos. Como los intervalos \(U_n\) crecen al crecer \(n\), la unión finita de los abiertos elegidos está contenida en
\[ \left(\frac{1}{N},1-\frac{1}{N}\right). \]
Pero el punto
\[ \frac{1}{2N} \]
pertenece a \((0,1)\) y no pertenece a \(\left(\displaystyle \frac{1}{N},1-\displaystyle \frac{1}{N}\right)\). Por tanto, la unión finita de los abiertos elegidos no recubre todo \((0,1)\).
Hemos encontrado así un recubrimiento abierto de \((0,1)\) que no admite ningún subrecubrimiento finito. Por definición, \((0,1)\) no es compacto.
La semirrecta \([0,+\infty)\)
Tampoco la semirrecta
\[ [0,+\infty) \]
es compacta.
En este caso el problema no es la ausencia de un extremo izquierdo, pues \(0\) pertenece al conjunto. El problema es la falta de acotación: los puntos del conjunto pueden alejarse indefinidamente hacia \(+\infty\).
Consideremos la familia de abiertos
\[ U_n=(-1,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
Es un recubrimiento abierto de \([0,+\infty)\). En efecto, si \(x\in[0,+\infty)\), basta elegir un entero \(n>x\), y entonces
\[ x\in (-1,n)=U_n. \]
Por tanto
\[ [0,+\infty)\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty} (-1,n). \]
Sin embargo, no existe ningún subrecubrimiento finito. Si elegimos solo un número finito de estos abiertos, existe un índice máximo \(N\), y la unión finita está contenida en
\[ (-1,N). \]
Pero el punto \(N+1\) pertenece a \([0,+\infty)\) y no pertenece a \((-1,N)\).
Por tanto, la familia \(\{(-1,n)\}_{n\geq 1}\) es un recubrimiento abierto de \([0,+\infty)\) sin subrecubrimientos finitos. En consecuencia, \([0,+\infty)\) no es compacto.
El conjunto \(\left\{\displaystyle \frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}\)
Consideremos ahora el conjunto
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Este conjunto no es compacto.
En efecto, sus puntos se acumulan en \(0\), pero \(0\notin A\). El conjunto tiene, por tanto, un punto de acumulación que falta.
Podemos ver el problema también a través de las sucesiones: la sucesión
\[ x_n=\frac1n \]
está enteramente contenida en \(A\), pero converge a \(0\), que no pertenece a \(A\).
Esto muestra por qué, para obtener un conjunto compacto, no basta con considerar los puntos \(\displaystyle \frac1n\): hay que añadir también su límite \(0\).
En efecto, el conjunto
\[ \left\{0\right\}\cup \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\} \]
es compacto, como hemos visto en la sección anterior.
Compacidad y sucesiones
La compacidad está estrechamente ligada al comportamiento de las sucesiones. En \(\mathbb R\), un conjunto compacto puede reconocerse también a través de una propiedad sucesional: toda sucesión de sus puntos admite una subsucesión convergente cuyo límite pertenece todavía al conjunto.
Esta propiedad expresa en forma sucesional la idea de que, dentro de un compacto, no es posible ni escapar al infinito ni converger hacia un punto de acumulación que falte.
Caracterización sucesional de la compacidad
Un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto si y solo si toda sucesión \((x_n)\) de puntos de \(K\) admite una subsucesión \((x_{n_k})\) convergente a un punto \(x\in K\).
En símbolos:
\[ K \text{ es compacto} \quad \Longleftrightarrow \quad \forall (x_n)\subseteq K,\ \exists (x_{n_k}) \text{ tal que } x_{n_k}\to x\in K. \]
Este resultado permite interpretar la compacidad de manera muy concreta: cualquiera que sea la sucesión que se elija dentro de \(K\), siempre es posible extraer una subsucesión que converge sin salir del conjunto.
Sucesiones que escapan al infinito
Consideremos la semirrecta
\[ [0,+\infty). \]
La sucesión
\[ x_n=n \]
está enteramente contenida en \([0,+\infty)\), pero no admite ninguna subsucesión convergente en \(\mathbb R\), pues toda subsucesión suya tiende a \(+\infty\).
Esto muestra, desde el punto de vista sucesional, por qué \([0,+\infty)\) no es compacto.
Sucesiones que convergen hacia un punto que falta
Consideremos el intervalo abierto
\[ (0,1). \]
La sucesión
\[ x_n=\frac1n \]
está contenida en \((0,1)\) para todo \(n\geq 2\), pero converge a \(0\), que no pertenece a \((0,1)\).
Toda subsucesión de \(\left(\displaystyle \frac1n\right)\) converge de nuevo a \(0\). Por tanto, no existe ninguna subsucesión convergente a un punto de \((0,1)\).
Esto muestra que \((0,1)\) no es compacto porque posee un punto de acumulación que falta.
Sucesiones en un conjunto compacto
Consideremos en cambio el conjunto
\[ K=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Toda sucesión de puntos de \(K\) admite una subsucesión convergente a un punto de \(K\).
En efecto, dada una sucesión \((x_n)\subseteq K\), pueden presentarse dos casos.
Si al menos uno de los puntos de \(K\) aparece infinitas veces en la sucesión, entonces puede extraerse una subsucesión constante. Toda subsucesión constante converge a su valor constante, que pertenece a \(K\).
Si, por el contrario, ningún punto de \(K\) aparece infinitas veces, entonces la sucesión debe tomar infinitos valores distintos del conjunto. Como los únicos puntos distintos de \(K\), además de \(0\), son de la forma \(\displaystyle \frac1n\), podemos extraer una subsucesión del tipo
\[ \frac{1}{n_k}, \qquad n_k\to+\infty. \]
Por consiguiente
\[ \frac{1}{n_k}\to 0. \]
Puesto que \(0\in K\), también en este caso el límite de la subsucesión pertenece a \(K\).
Este ejemplo pone de manifiesto el papel esencial del punto \(0\): añadir el límite de la sucesión \(\displaystyle \frac1n\) transforma un conjunto no compacto en un conjunto compacto.
Compacidad y funciones continuas
Una de las razones principales por las que los conjuntos compactos son tan importantes es su comportamiento respecto de las funciones continuas.
Sobre un conjunto compacto, una función continua no puede oscilar de manera incontrolada, no puede crecer indefinidamente y no puede acercarse a un extremo sin alcanzarlo.
Imagen continua de un compacto
Si \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto y \(f:K\to\mathbb R\) es continua, entonces la imagen
\[ f(K)=\{f(x):x\in K\} \]
es un conjunto compacto de \(\mathbb R\).
Esto significa que la compacidad se conserva por las funciones continuas.
La idea es la siguiente: si una función es continua, entonces el control local de los valores de \(f\) puede reconducirse al control local de los puntos del dominio. Como el dominio compacto permite reducir todo control abierto a un número finito de informaciones, la imagen también conserva una propiedad de compacidad.
Existencia de máximo y mínimo
Una consecuencia fundamental es el teorema de Weierstrass.
Si \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto y \(f:K\to\mathbb R\) es continua, entonces \(f\) alcanza máximo y mínimo absolutos en \(K\).
Es decir, existen \(x_m,x_M\in K\) tales que
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \qquad \text{para todo } x\in K. \]
En este caso \(f(x_m)\) es el mínimo absoluto de \(f\) en \(K\), mientras que \(f(x_M)\) es el máximo absoluto de \(f\) en \(K\).
La compacidad del dominio es esencial. Sin compacidad, una función continua puede no tener máximo, mínimo, o ambos.
¿Por qué es necesaria la compacidad?
Consideremos la función
\[ f(x)=x \]
definida sobre el intervalo abierto \((0,1)\).
La función es continua, pero no alcanza ni mínimo ni máximo en \((0,1)\). En efecto, los valores de \(f\) se acercan arbitrariamente a \(0\) y a \(1\), pero ni \(0\) ni \(1\) son valores que la función tome sobre el dominio.
Más precisamente,
\[ f((0,1))=(0,1). \]
La imagen no contiene ni su propio ínfimo \(0\) ni su propio supremo \(1\).
Consideremos en cambio la misma función sobre el intervalo compacto \([0,1]\). En este caso
\[ f([0,1])=[0,1], \]
y la función alcanza el mínimo en \(0\) y el máximo en \(1\).
Este ejemplo muestra que la compacidad impide que los extremos queden como meros valores-límite no alcanzados.
Por qué cerrado y acotado no es la definición de compacto
En \(\mathbb R\), los conjuntos compactos están profundamente ligados a los conjuntos cerrados y acotados. Sin embargo, es importante no confundir una caracterización con la definición.
La definición de conjunto compacto es la basada en los recubrimientos abiertos:
\[ K \text{ es compacto} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{todo recubrimiento abierto de } K \text{ admite un subrecubrimiento finito.} \]
El hecho de que, en la recta real, los conjuntos compactos coincidan con los conjuntos cerrados y acotados es un resultado fundamental, no una definición.
Este resultado se estudiará en el teorema de Heine-Borel, que proporciona una de las caracterizaciones más importantes de la compacidad en \(\mathbb R\).
¿Por qué es importante esta distinción?
La distinción es importante porque la compacidad surge como propiedad de los recubrimientos abiertos, de modo que atañe a la manera en que un conjunto puede recubrirse mediante abiertos.
La acotación, en cambio, depende de la distancia y del orden de la recta real. En otros contextos matemáticos, la relación entre compacidad, clausura y acotación puede cambiar.
Por esta razón es más correcto decir que en \(\mathbb R\) la compacidad puede caracterizarse mediante el hecho de ser cerrado y acotado, pero su definición general sigue siendo la dada en términos de recubrimientos abiertos.
En síntesis, la compacidad se define mediante los recubrimientos abiertos, mientras que la relación con ser cerrado y acotado es una caracterización específica de la recta real:
\[ \text{compacidad mediante recubrimientos abiertos} \qquad \text{definición general}; \]
\[ \text{compacto en } \mathbb R \quad \Longleftrightarrow \quad \text{cerrado y acotado} \qquad \text{caracterización en } \mathbb R. \]
Esta distinción es esencial: la definición introduce el concepto, mientras que el teorema de Heine-Borel proporciona un criterio práctico para reconocerlo en la recta real.
Resumen final
Un conjunto compacto es un conjunto que, respecto de los recubrimientos abiertos, se comporta como un conjunto finito: todo recubrimiento abierto admite un subrecubrimiento finito.
Formalmente, un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto si, para toda familia de abiertos \(\{U_i\}_{i\in I}\) tal que
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
existen \(i_1,\ldots,i_m\in I\) tales que
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Los conjuntos compactos excluyen dos fenómenos típicos de los conjuntos no compactos: el escape al infinito y la convergencia hacia puntos de acumulación que faltan.
Desde el punto de vista de las sucesiones, un conjunto compacto de \(\mathbb R\) es un conjunto en el que toda sucesión admite una subsucesión convergente a un punto del conjunto.
Desde el punto de vista de las funciones continuas, la compacidad garantiza propiedades fundamentales: la imagen continua de un compacto es compacta y toda función continua real definida sobre un compacto alcanza máximo y mínimo absolutos.
La relación precisa entre compacidad y el hecho de ser cerrado y acotado en la recta real se expresará en el teorema de Heine-Borel.