Una función es discontinua en un punto cuando, en dicho punto, deja de cumplirse alguna de las condiciones exigidas para la continuidad. Desde un punto de vista intuitivo, la gráfica puede presentar una interrupción, un salto, un crecimiento no acotado o un comportamiento oscilatorio que impide que la función se aproxime a un único valor.
La noción de discontinuidad no debe entenderse, sin embargo, en términos puramente gráficos. Su clasificación depende de manera precisa del comportamiento del límite de la función y, siempre que el dominio permita aproximarse al punto por ambos lados, de la comparación entre el límite por la izquierda y el límite por la derecha.
En esta página estudiaremos con rigor los principales tipos de discontinuidad, precisando el papel que desempeñan el valor \(f(x_0)\), el dominio y los límites por la izquierda y por la derecha. Veremos además por qué algunas discontinuidades pueden eliminarse modificando el valor de la función en un único punto, mientras que otras dependen del comportamiento de la función en todo entorno del punto considerado.
Índice
- Continuidad y discontinuidad en un punto
- El papel fundamental del límite
- Límite por la derecha y límite por la izquierda
- Discontinuidad evitable
- Discontinuidad de salto
- Discontinuidad infinita
- Discontinuidad esencial y comportamiento oscilatorio
- Clasificación tradicional de las discontinuidades
- El papel del dominio de la función
- Discontinuidad y extremos del dominio
- Interpretación gráfica
- Ejemplos de clasificación
- Procedimiento para estudiar una discontinuidad
- Errores frecuentes
- Esquema resumen
Continuidad y discontinuidad en un punto
Sea \(A\subseteq\mathbb{R}\), sea \(f:A\to\mathbb{R}\) una función real y sea \(x_0\in A\). Si \(x_0\) es un punto de acumulación del dominio \(A\), la función \(f\) es continua en \(x_0\) cuando
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Esta igualdad engloba dos condiciones fundamentales: el límite debe existir y ser finito, y su valor debe coincidir con el valor que toma la función en el punto.
Si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
la continuidad exige entonces que
\[ L=f(x_0). \]
Si alguna de estas condiciones no se cumple, la función no es continua en \(x_0\).
Si \(x_0\) es, en cambio, un punto aislado del dominio, la función es automáticamente continua en \(x_0\). Por este motivo, en el estudio de las discontinuidades la atención se centra sobre todo en los puntos de acumulación del dominio y en los puntos excluidos del dominio en los que, no obstante, es posible estudiar el comportamiento de la función cuando \(x\) se aproxima al punto.
Pueden entonces darse situaciones muy diversas: el límite puede existir sin coincidir con \(f(x_0)\); el límite por la izquierda y el límite por la derecha pueden ser distintos; la función puede crecer sin cota; o bien puede oscilar indefinidamente sin aproximarse a valor alguno.
La clasificación de las discontinuidades surge precisamente del análisis de estos diferentes comportamientos.
El papel fundamental del límite
Para comprender correctamente las discontinuidades resulta esencial distinguir el valor de la función en el punto del comportamiento de la función en las proximidades del punto.
El valor
\[ f(x_0) \]
describe lo que ocurre exactamente en \(x_0\).
El límite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
describe, en cambio, el comportamiento de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\). El valor que la función toma exactamente en el punto no interviene en el cálculo del límite.
Ejemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Para \(x\neq1\) podemos factorizar el numerador:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Por consiguiente,
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1, \qquad x\neq1. \]
Así pues,
\[ \lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 2. \]
La función original no está, sin embargo, definida en \(x=1\).
El hecho de que \(f(1)\) no exista no impide, por tanto, que el límite exista. El límite depende de lo que ocurre cuando \(x\) está arbitrariamente próximo a \(1\), no de lo que sucede exactamente en el punto.
Esta distinción es fundamental para comprender las discontinuidades evitables.
Límite por la derecha y límite por la izquierda
Cuando el dominio permite aproximarse a \(x_0\) tanto por valores menores como por valores mayores que \(x_0\), suele ser necesario estudiar por separado ambos comportamientos.
El límite por la izquierda es
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x), \]
mientras que el límite por la derecha es
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Cuando ambos tienen sentido respecto al dominio, el límite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \]
existe y es igual a \(L\) si y solo si el límite por la izquierda y el límite por la derecha existen y coinciden:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L. \]
Esta propiedad permite clasificar numerosas discontinuidades.
Si, por ejemplo,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
con
\[ L_1,L_2\in\mathbb{R}, \qquad L_1\neq L_2, \]
el límite cuando \(x\to x_0\) no existe y se produce una discontinuidad de salto.
Discontinuidad evitable
Se dice que hay una discontinuidad evitable cuando existe un límite finito
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}, \]
pero la función no toma en \(x_0\) el valor \(L\).
Pueden darse dos situaciones.
Si \(x_0\) pertenece al dominio, \(f(x_0)\) está definido, pero
\[ f(x_0)\neq L. \]
Si, en cambio, \(x_0\) no pertenece al dominio pero es un punto de acumulación del dominio, entonces \(f(x_0)\) no está definido. En sentido estrictamente formal, no puede decirse que la función original sea discontinua en un punto que no pertenece a su dominio. En el estudio de las funciones, sin embargo, es habitual hablar también en este caso de discontinuidad evitable, o de singularidad evitable, porque la función puede prolongarse con continuidad asignando en \(x_0\) el valor \(L\).
Ejemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}, \qquad x\neq2. \]
Para \(x\neq2\),
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2. \]
Así pues,
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4. \]
Puesto que \(f(2)\) no está definido, la función presenta un punto que falta en \(x=2\).
Podemos subsanar esta situación definiendo
\[ g(x)= \begin{cases} f(x), & x\neq2,\\ 4, & x=2. \end{cases} \]
Se obtiene así
\[ \lim_{x\to2}g(x)=g(2)=4, \]
de modo que \(g\) es continua en \(x=2\).
La discontinuidad se denomina evitable precisamente porque basta asignar al punto el valor del límite.
Discontinuidad de salto
Se tiene una discontinuidad de salto en \(x_0\) cuando el límite por la izquierda y el límite por la derecha existen, son finitos, pero son distintos:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
con
\[ L_1\neq L_2. \]
En este caso
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
no existe, porque la función se aproxima a dos valores distintos según que \(x\) tienda a \(x_0\) por la izquierda o por la derecha.
Ejemplo. Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 3, & x\geq0. \end{cases} \]
El límite por la izquierda es
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \]
mientras que el límite por la derecha es
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=3. \]
Puesto que
\[ 1\neq3, \]
el límite cuando \(x\to0\) no existe y la función presenta una discontinuidad de salto.
La amplitud del salto es
\[ |L_2-L_1|. \]
En este ejemplo:
\[ |3-1|=2. \]
El valor que toma la función exactamente en \(x=0\) no modifica la naturaleza de la discontinuidad: aunque se modificara \(f(0)\), el límite por la izquierda seguiría siendo \(1\) y el límite por la derecha seguiría siendo \(3\).
Una discontinuidad de salto no puede, por tanto, eliminarse modificando el valor de la función en un único punto.
Discontinuidad infinita
Se habla de discontinuidad infinita cuando, considerando los lados desde los cuales el dominio permite aproximarse a \(x_0\), al menos uno de los límites por la izquierda o por la derecha es igual a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Por ejemplo, puede ocurrir que
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
o bien que
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]
En estos casos la función no se aproxima a un valor real finito. Si \(x_0\) pertenece al dominio, la función no puede ser continua en \(x_0\); si \(x_0\) no pertenece al dominio, no es posible obtener una prolongación continua asignándole un valor real en dicho punto.
Ejemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Cuando \(x\) se aproxima a \(2\), el denominador permanece positivo y tiende a cero. Por consiguiente,
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \]
y
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Así pues,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
La función presenta, por tanto, una discontinuidad infinita en \(x=2\).
Además, la recta
\[ x=2 \]
es una asíntota vertical.
En general, para que \(x=x_0\) sea una asíntota vertical basta con que al menos uno de los límites por la izquierda o por la derecha sea infinito.
Por ejemplo, si
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
entonces \(x=x_0\) es una asíntota vertical con independencia de lo que ocurra a la izquierda del punto.
Discontinuidad esencial y comportamiento oscilatorio
Se tiene una discontinuidad esencial cuando al menos uno de los límites por la izquierda o por la derecha que tiene sentido respecto al dominio no existe ni siquiera como límite finito o infinito.
Un caso especialmente relevante es aquel en que la no existencia del límite se debe a oscilaciones persistentes de la función. Se habla entonces de comportamiento oscilatorio o de discontinuidad oscilatoria.
Ejemplo. Consideremos
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Cuando \(x\to0\), la cantidad
\[ \frac{1}{x} \]
toma valores arbitrariamente grandes en valor absoluto. Por consiguiente, la función seno sigue oscilando entre \(-1\) y \(1\) sin estabilizarse.
Por pequeño que se tome el entorno de \(0\), la función continúa tomando valores arbitrariamente próximos a \(1\), a \(-1\) y a todos los valores intermedios.
Así pues,
\[ \lim_{x\to0}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
no existe.
La no existencia del límite no se debe aquí a un salto entre dos valores finitos ni a un crecimiento hacia \(+\infty\) o \(-\infty\): es la propia oscilación de la función la que impide la existencia del límite.
Ninguna asignación de un valor a \(f(0)\) podría hacer continua la función, porque el problema afecta al comportamiento de \(f(x)\) en todo entorno de \(0\).
Clasificación tradicional de las discontinuidades
En los libros de texto y en los manuales de Análisis Matemático se encuentran diversas convenciones para clasificar las discontinuidades. En particular, se emplean a veces las expresiones discontinuidad de primera especie, de segunda especie y de tercera especie.
Esta terminología no es del todo uniforme entre los autores. Por este motivo, en el estudio riguroso de una función resulta preferible describir directamente el comportamiento matemático observado.
En esta página empleamos, por tanto, las siguientes denominaciones:
- discontinuidad evitable, cuando existe un límite finito pero la función no toma en el punto el valor del límite;
- discontinuidad de salto, cuando el límite por la izquierda y el límite por la derecha existen, son finitos y son distintos;
- discontinuidad infinita, cuando al menos uno de los límites por la izquierda o por la derecha que tiene sentido respecto al dominio es infinito;
- discontinuidad esencial, cuando al menos uno de los límites por la izquierda o por la derecha que tiene sentido respecto al dominio no existe ni siquiera como límite infinito.
Esta clasificación tiene la ventaja de describir directamente lo que le ocurre a la función y no depende de la convención particular utilizada para numerar las distintas especies de discontinuidad.
El papel del dominio de la función
Antes de clasificar una posible discontinuidad es imprescindible determinar el dominio de la función.
Un punto excluido del dominio no implica automáticamente un crecimiento infinito de la función. Es siempre necesario estudiar el comportamiento de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a dicho punto.
Consideremos, por ejemplo,
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
El dominio es
\[ \mathbb{R}\setminus\{1\}, \]
pero
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
La función admite, por tanto, una prolongación continua en \(x=1\) definiendo \(f(1)=2\).
En sentido estrictamente formal, la continuidad de una función en un punto solo se define cuando el punto pertenece al dominio. En el estudio de las funciones, sin embargo, se habla comúnmente de discontinuidad evitable en \(x=1\), entendiendo que la función presenta un punto que falta y que puede completarse mediante una prolongación continua.
La situación es completamente distinta para
\[ g(x)=\frac{1}{x-1}. \]
En este caso
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty \]
y
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
La función presenta, por tanto, una discontinuidad infinita en \(x=1\).
Dos funciones pueden así carecer de definición en el mismo tipo de punto, por ejemplo porque el denominador se anula, y sin embargo presentar comportamientos completamente distintos.
Discontinuidad y extremos del dominio
La comparación entre el límite por la izquierda y el límite por la derecha solo es necesaria cuando el dominio permite aproximarse a \(x_0\) por ambos lados.
Si \(x_0\) es, en cambio, un extremo del dominio, la continuidad se estudia considerando el límite del único lado que pertenece al dominio.
Por ejemplo, sea
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R}. \]
La función es continua en el extremo izquierdo \(a\) cuando
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]
mientras que es continua en el extremo derecho \(b\) cuando
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
No tendría sentido exigir el límite por la izquierda en \(a\) si la función está definida únicamente para \(x\geq a\), del mismo modo que no tendría sentido exigir el límite por la derecha en \(b\) si la función está definida únicamente para \(x\leq b\).
El estudio de la continuidad debe ser, por tanto, siempre coherente con la estructura del dominio de la función.
Interpretación gráfica
Los distintos tipos de discontinuidad presentan características geométricas diferentes.
Discontinuidad evitable
La gráfica presenta habitualmente un punto que falta. Cuando el punto puede alcanzarse tanto por la izquierda como por la derecha, la gráfica se aproxima a la misma ordenada por ambos lados, pero el valor de la función falta o bien se sitúa en una ordenada distinta.
Discontinuidad de salto
Las dos ramas de la gráfica se aproximan a dos ordenadas finitas distintas. La distancia vertical entre estas ordenadas representa la amplitud del salto.
Discontinuidad infinita
Al menos una rama de la gráfica crece o decrece sin cota a medida que \(x\) se aproxima a \(x_0\). En este caso la recta \(x=x_0\) es una asíntota vertical.
Discontinuidad oscilatoria
La gráfica continúa oscilando sin estabilizarse en torno a un único valor.
La interpretación gráfica resulta útil para comprender de manera intuitiva lo que ocurre, pero la clasificación matemática debe determinarse mediante el estudio de los límites.
Ejemplos de clasificación
Ejemplo 1 (discontinuidad evitable). Consideremos
\[ f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}. \]
La función no está definida en \(x=3\). Para \(x\neq3\),
\[ f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]
Así pues,
\[ \lim_{x\to3}f(x)=6. \]
El límite existe y es finito, mientras que \(f(3)\) no está definido. La discontinuidad es evitable.
Ejemplo 2 (valor de la función distinto del límite). Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\neq2,\\ 7, & x=2. \end{cases} \]
Se tiene
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4, \]
mientras que
\[ f(2)=7. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to2}f(x)\neq f(2), \]
la función es discontinua en \(x=2\).
La discontinuidad es evitable, pues bastaría con redefinir
\[ f(2)=4. \]
Ejemplo 3 (discontinuidad de salto). Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ x+3, & x\geq1. \end{cases} \]
El límite por la izquierda es
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \]
mientras que el límite por la derecha es
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=4. \]
Puesto que
\[ 2\neq4, \]
el límite cuando \(x\to1\) no existe y la función presenta una discontinuidad de salto.
Ejemplo 4 (discontinuidad infinita). Consideremos
\[ f(x)=\frac{1}{x-1}. \]
Cuando \(x\to1^-\), el denominador tiende a cero a través de valores negativos:
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
Cuando \(x\to1^+\), el denominador tiende a cero a través de valores positivos:
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
La función presenta, por tanto, una discontinuidad infinita en \(x=1\), y la recta
\[ x=1 \]
es una asíntota vertical.
Ejemplo 5 (discontinuidad oscilatoria). Consideremos
\[ f(x)=\cos\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Cuando \(x\to0\), el argumento \(1/x\) toma valores arbitrariamente grandes en valor absoluto y el coseno continúa oscilando entre \(-1\) y \(1\).
Así pues,
\[ \lim_{x\to0}\cos\left(\frac{1}{x}\right) \]
no existe.
La función presenta, por tanto, una discontinuidad esencial de tipo oscilatorio en \(x=0\).
Procedimiento para estudiar una discontinuidad
Para determinar correctamente la naturaleza de una posible discontinuidad en \(x_0\), conviene proceder de forma ordenada.
Determinar el dominio
Es necesario, ante todo, establecer si \(x_0\) pertenece al dominio y comprobar por qué lados es posible aproximarse al punto.
Estudiar el límite por la izquierda y el límite por la derecha
Cuando ambos tienen sentido respecto al dominio, se calculan
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Si el dominio solo permite aproximarse al punto por un lado, se considera únicamente el límite correspondiente.
Comprobar si existe un límite finito
Si el límite por la izquierda y el límite por la derecha son ambos finitos y coinciden,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L, \]
entonces
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
Si el dominio solo permite aproximarse a \(x_0\) por uno de los dos lados, basta considerar el límite correspondiente. Si dicho límite existe y es finito, desempeña el mismo papel en el estudio de la continuidad respecto al dominio.
Si \(x_0\) pertenece al dominio, es preciso comparar \(L\) con \(f(x_0)\).
Si
\[ f(x_0)=L, \]
la función es continua en \(x_0\).
Si, en cambio,
\[ f(x_0)\neq L, \]
la discontinuidad es evitable.
Si \(x_0\) no pertenece al dominio pero existe el límite finito \(L\), la función puede prolongarse con continuidad asignando en el punto el valor \(L\).
Comprobar si hay un salto
Si el límite por la izquierda y el límite por la derecha existen y son finitos, pero son distintos, la discontinuidad es de salto.
Comprobar la presencia de un comportamiento infinito
Si al menos uno de los límites por la izquierda o por la derecha que tiene sentido respecto al dominio vale \(+\infty\) o \(-\infty\), la discontinuidad es infinita.
Comprobar la no existencia del límite
Si al menos uno de los límites por la izquierda o por la derecha que debe considerarse no existe ni siquiera como límite infinito, la discontinuidad es esencial.
Si la no existencia se debe a oscilaciones persistentes, se habla más concretamente de discontinuidad oscilatoria.
Este procedimiento evita clasificar una discontinuidad atendiendo únicamente a la fórmula de la función o al mero hecho de que un determinado punto esté excluido del dominio.
Errores frecuentes
Confundir el límite con el valor de la función
El hecho de que \(f(x_0)\) no esté definido no implica que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
no exista.
El límite describe el comportamiento de la función cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\), no lo que ocurre exactamente en el punto.
Considerar automáticamente infinita una discontinuidad debida a un denominador nulo
Si el denominador de una función racional se anula en \(x_0\), es preciso comprobar si el numerador y el denominador poseen factores comunes.
Por ejemplo,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} \]
presenta una discontinuidad evitable en \(x=1\), mientras que
\[ \frac{1}{x-1} \]
presenta una discontinuidad infinita.
Fijarse únicamente en \(f(x_0)\)
Conocer el valor de la función en el punto no basta para determinar la continuidad.
Puede ocurrir, por ejemplo, que \(f(x_0)\) esté perfectamente definido pero que el límite por la izquierda y el límite por la derecha sean distintos. En tal caso la función sigue siendo discontinua con independencia del valor asignado a \(f(x_0)\).
No distinguir el límite por la derecha del límite por la izquierda
En los puntos en que cambia la fórmula de la función, el denominador se anula o el comportamiento puede diferir a ambos lados, resulta a menudo imprescindible estudiar por separado
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Concluir que el límite no existe cuando ambos valores son \(+\infty\)
Si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
y
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
se escribe correctamente
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty. \]
No existe un límite real finito, pero sí existe un límite infinito.
Clasificar como salto dos comportamientos infinitos distintos
Si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
no se trata de una discontinuidad de salto.
Una discontinuidad de salto exige, en efecto, que el límite por la izquierda y el límite por la derecha sean ambos finitos.
En este caso la discontinuidad es infinita.
Esquema resumen
La clasificación de una discontinuidad depende del comportamiento de la función cuando \(x\) se aproxima al punto considerado y, posteriormente, de la comparación con el valor que, en su caso, tome la función en dicho punto.
| Comportamiento en \(x_0\) | Conclusión |
|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=L\) | Función continua |
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}\), pero \(f(x_0)\) no está definido o bien \(f(x_0)\neq L\) | Discontinuidad evitable |
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1\), \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2\), con \(L_1,L_2\in\mathbb{R}\) y \(L_1\neq L_2\) | Discontinuidad de salto |
| Al menos uno de los límites por la izquierda o por la derecha que tiene sentido respecto al dominio vale \(+\infty\) o \(-\infty\) | Discontinuidad infinita |
| Al menos uno de los límites por la izquierda o por la derecha que tiene sentido respecto al dominio no existe ni siquiera como límite infinito | Discontinuidad esencial; oscilatoria cuando la no existencia se debe a oscilaciones persistentes |
El estudio de las discontinuidades es, ante todo, un estudio del comportamiento local de la función.
Si existe un límite finito, la comparación con \(f(x_0)\) permite determinar si la función es continua o presenta una discontinuidad evitable. Si el límite por la izquierda y el límite por la derecha son finitos pero distintos, se tiene una discontinuidad de salto. Si al menos uno de los dos comportamientos es infinito, se tiene una discontinuidad infinita. Si, en cambio, el límite no existe ni siquiera como límite infinito, se entra en el caso de las discontinuidades esenciales.
La comparación sistemática entre el dominio, el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función permite, pues, identificar y clasificar con rigor el comportamiento de la función en todo punto significativo del dominio o en su proximidad.