División de Polinomios: Ejercicios Resueltos

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El dividendo se factoriza como \((x+2)(x+3)\), por lo que la división es exacta. El algoritmo lo confirma en dos pasos.

Paso 1

Divido el término de mayor grado: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x+2)=x^2+2x\). Cambio los signos y sumo: \(x^2\) se anula. Polinomio restante: \(3x+6\).

Paso 2

Divido: \(3x\div x=3\). Multiplico: \(3(x+2)=3x+6\). Cambio los signos: \(3x\) y \(6\) se anulan. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x+2)(x+3)=x^2+5x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Reconocemos la diferencia de cuadrados \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). El término \(0x\) se escribe como marcador de posición.

Paso 1

Divido: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-3)=x^2-3x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Polinomio restante: \(3x-9\).

Paso 2

Divido: \(3x\div x=3\). Multiplico: \(3(x-3)=3x-9\). Cambio los signos: \(3x\) y \(-9\) se anulan. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-3)(x+3)=x^2-9\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Como \(f(1)=1+2-3=0\), el teorema del resto garantiza que \((x-1)\) divide exactamente al dividendo.

Paso 1

Divido: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Polinomio restante: \(3x-3\).

Paso 2

Divido: \(3x\div x=3\). Multiplico: \(3(x-1)=3x-3\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-1)(x+3)=x^2+2x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El coeficiente principal del dividendo es \(2\), por eso el primer término del cociente será \(2x\). Además, \(f(-1)=0\), de modo que la división es exacta.

Paso 1

Divido: \(2x^2\div x=2x\). Multiplico: \(2x(x+1)=2x^2+2x\). Cambio los signos: \(2x^2\) se anula. Polinomio restante: \(-3x-3\).

Paso 2

Divido: \(-3x\div x=-3\). Multiplico: \(-3(x+1)=-3x-3\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+1,\quad R(x)=2 \]

Idea de resolución

Por el teorema del resto, \(R=f(1)=1+1=2\neq0\), así que la división no es exacta. El término \(0x\) se escribe como marcador de posición.

Paso 1

Divido: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Polinomio restante: \(x+1\).

Paso 2

Divido: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1(x-1)=x-1\). Cambio los signos: \(x\) se anula y \(1+1=2\). Como el resto tiene grado menor que el divisor, nos detenemos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+1,\quad R(x)=2} \]

Comprobación: \( (x-1)(x+1)+2=x^2+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Usamos la identidad \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), con \(a=x\) y \(b=2\). Los términos \(0x^2\) y \(0x\) se escriben como marcadores de posición.

Paso 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Polinomio restante: \(2x^2-8\).

Paso 2

Divido: \(2x^2\div x=2x\). Multiplico: \(2x(x-2)=2x^2-4x\). Cambio los signos: \(2x^2\) se anula. Polinomio restante: \(4x-8\).

Paso 3

Divido: \(4x\div x=4\). Multiplico: \(4(x-2)=4x-8\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Usamos la identidad \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), con \(a=x\) y \(b=1\). Además, \(f(-1)=0\), así que la división es exacta.

Paso 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x+1)=x^3+x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Polinomio restante: \(-x^2+1\).

Paso 2

Divido: \(-x^2\div x=-x\). Multiplico: \(-x(x+1)=-x^2-x\). Cambio los signos: \(-x^2\) se anula. Polinomio restante: \(x+1\).

Paso 3

Divido: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1(x+1)=x+1\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x+1)(x^2-x+1)=x^3+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3 \]

Idea de resolución

Falta el término \(x^2\), así que lo escribimos como \(0x^2\). Por el teorema del resto, \(f(1)=1+1+1=3\), por lo que la división no es exacta.

Paso 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Polinomio restante: \(x^2+x+1\).

Paso 2

Divido: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Polinomio restante: \(2x+1\).

Paso 3

Divido: \(2x\div x=2\). Multiplico: \(2(x-1)=2x-2\). Cambio los signos: \(2x\) se anula y \(1+2=3\). Resto: \(3\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3} \]

Comprobación: \( (x-1)(x^2+x+2)+3=x^3+x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El dividendo es \((x-1)^3\). Al dividir por \((x-1)\), se obtiene \((x-1)^2=x^2-2x+1\). La división es exacta.

Paso 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Polinomio restante: \(-2x^2+3x-1\).

Paso 2

Divido: \(-2x^2\div x=-2x\). Multiplico: \(-2x(x-1)=-2x^2+2x\). Cambio los signos: \(-2x^2\) se anula. Polinomio restante: \(x-1\).

Paso 3

Divido: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1(x-1)=x-1\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-1)^3\div(x-1)=(x-1)^2=x^2-2x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1 \]

Idea de resolución

Por el teorema del resto, \(R=f(2)=4-6+1=-1\), de modo que la división no es exacta.

Paso 1

Divido: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-2)=x^2-2x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Polinomio restante: \(-x+1\).

Paso 2

Divido: \(-x\div x=-1\). Multiplico: \(-1(x-2)=-x+2\). Cambio los signos: \(-x\) se anula y \(1-2=-1\). Resto: \(-1\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1} \]

Comprobación: \( (x-2)(x-1)-1=x^2-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Como \(f(1)=1+1-1-1=0\), la división es exacta. El cociente \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) es un cuadrado perfecto.

Paso 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Polinomio restante: \(2x^2-x-1\).

Paso 2

Divido: \(2x^2\div x=2x\). Multiplico: \(2x(x-1)=2x^2-2x\). Cambio los signos: \(2x^2\) se anula. Polinomio restante: \(x-1\).

Paso 3

Divido: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1(x-1)=x-1\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9 \]

Idea de resolución

Falta el término \(x^2\), así que escribimos el dividendo como \(2x^3+0x^2-3x+1\). Por el teorema del resto, \(f(-2)=-16+6+1=-9\).

Paso 1

Divido: \(2x^3\div x=2x^2\). Multiplico: \(2x^2(x+2)=2x^3+4x^2\). Cambio los signos: \(2x^3\) se anula. Polinomio restante: \(-4x^2-3x+1\).

Paso 2

Divido: \(-4x^2\div x=-4x\). Multiplico: \(-4x(x+2)=-4x^2-8x\). Cambio los signos: \(-4x^2\) se anula. Polinomio restante: \(5x+1\).

Paso 3

Divido: \(5x\div x=5\). Multiplico: \(5(x+2)=5x+10\). Cambio los signos: \(5x\) se anula y \(1-10=-9\). Resto: \(-9\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9} \]

Comprobación: \( (x+2)(2x^2-4x+5)-9=2x^3-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+2,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El divisor \(x^2-1\) tiene grado \(2\). Por tanto, el cociente tendrá grado \(1\) y el resto deberá tener grado menor que \(2\).

Paso 1

Divido: \(x^3\div x^2=x\). Multiplico: \(x(x^2-1)=x^3-x\). Cambio los signos: \(x^3\) y \(-x\) se anulan. Polinomio restante: \(2x^2-2\).

Paso 2

Divido: \(2x^2\div x^2=2\). Multiplico: \(2(x^2-1)=2x^2-2\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+2,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8 \]

Idea de resolución

El divisor tiene grado \(2\) y el dividendo grado \(3\), así que el cociente tendrá grado \(1\). El resto debe tener grado menor que \(2\).

Paso 1

Divido: \(2x^3\div x^2=2x\). Multiplico: \(2x(x^2-x-2)=2x^3-2x^2-4x\). Cambio los signos: \(2x^3\) se anula. Polinomio restante: \(x^2-3x+6\).

Paso 2

Divido: \(x^2\div x^2=1\). Multiplico: \(1(x^2-x-2)=x^2-x-2\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Resto: \(-2x+8\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8} \]

Comprobación: \( (x^2-x-2)(2x+1)+(-2x+8)=2x^3-x^2-7x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3 \]

Idea de resolución

Falta el término \(x^3\), así que escribimos el dividendo como \(x^4+0x^3+2x^2+x-1\). El cociente tendrá grado \(2\) y el resto grado menor que \(2\).

Paso 1

Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2\). Cambio los signos: \(x^4\) se anula. Polinomio restante: \(-x^3+x^2+x-1\).

Paso 2

Divido: \(-x^3\div x^2=-x\). Multiplico: \(-x(x^2+x+1)=-x^3-x^2-x\). Cambio los signos: \(-x^3\) se anula. Polinomio restante: \(2x^2+2x-1\).

Paso 3

Divido: \(2x^2\div x^2=2\). Multiplico: \(2(x^2+x+1)=2x^2+2x+2\). Cambio los signos: \(2x^2\) y \(2x\) se anulan; \(-1-2=-3\). Resto: \(-3\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3} \]

Comprobación: \( (x^2+x+1)(x^2-x+2)-3=x^4+2x^2+x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Faltan los términos \(x^3\) y \(x\), así que escribimos el dividendo como \(x^4+0x^3-5x^2+0x+4\). Además, \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)\), por lo que la división es exacta.

Paso 1

Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\). Cambio los signos: \(x^4\) se anula. Polinomio restante: \(-4x^2+4\).

Paso 2

Divido: \(-4x^2\div x^2=-4\). Multiplico: \(-4(x^2-1)=-4x^2+4\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9 \]

Idea de resolución

El dividendo tiene grado \(3\) y el divisor grado \(2\). Por tanto, el cociente tendrá grado \(1\) y el resto tendrá grado menor que \(2\).

Paso 1

Divido: \(3x^3\div x^2=3x\). Multiplico: \(3x(x^2+x-1)=3x^3+3x^2-3x\). Cambio los signos: \(3x^3\) se anula. Polinomio restante: \(-5x^2+4x-4\).

Paso 2

Divido: \(-5x^2\div x^2=-5\). Multiplico: \(-5(x^2+x-1)=-5x^2-5x+5\). Cambio los signos: \(-5x^2\) se anula. Resto: \(9x-9\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9} \]

Comprobación: \( (x^2+x-1)(3x-5)+(9x-9)=3x^3-2x^2+x-4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El divisor se factoriza como \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\). La división es exacta y el cociente obtenido también puede factorizarse.

Paso 1

Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2+x-2)=x^4+x^3-2x^2\). Cambio los signos: \(x^4\) se anula. Polinomio restante: \(-2x^3-5x^2+x+6\).

Paso 2

Divido: \(-2x^3\div x^2=-2x\). Multiplico: \(-2x(x^2+x-2)=-2x^3-2x^2+4x\). Cambio los signos: \(-2x^3\) se anula. Polinomio restante: \(-3x^2-3x+6\).

Paso 3

Divido: \(-3x^2\div x^2=-3\). Multiplico: \(-3(x^2+x-2)=-3x^2-3x+6\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x^2+x-2)(x^2-2x-3)=x^4-x^3-7x^2+x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Usamos la identidad de la serie geométrica: \(x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\). Los términos intermedios del dividendo son nulos.

Paso 1

Divido: \(x^5\div x=x^4\). Multiplico: \(x^4(x-1)=x^5-x^4\). Cambio los signos: \(x^5\) se anula. Polinomio restante: \(x^4-1\).

Paso 2

Divido: \(x^4\div x=x^3\). Multiplico: \(x^3(x-1)=x^4-x^3\). Cambio los signos: \(x^4\) se anula. Polinomio restante: \(x^3-1\).

Paso 3

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Polinomio restante: \(x^2-1\).

Paso 4

Divido: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Polinomio restante: \(x-1\).

Paso 5

Divido: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1(x-1)=x-1\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El dividendo se factoriza como \(x(x-2)(x^2-1)\) y el divisor como \(x(x-2)\). Por tanto, la división es exacta.

Paso 1

Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2-2x)=x^4-2x^3\). Cambio los signos: \(x^4\) y \(-2x^3\) se anulan. Polinomio restante: \(-x^2+2x\).

Paso 2

Divido: \(-x^2\div x^2=-1\). Multiplico: \(-1(x^2-2x)=-x^2+2x\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( x(x-2)(x^2-1)=x(x-2)(x-1)(x+1)\;\checkmark \)