La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. Dicha distancia constante recibe el nombre de radio. La circunferencia es una curva cerrada, simétrica respecto de su centro, y constituye un caso particular de cónica no degenerada obtenida al seccionar un cono circular recto mediante un plano perpendicular al eje del cono que no pase por el vértice.
Índice
- Definición geométrica y deducción de la ecuación
- Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
- Ecuación de la circunferencia con centro genérico
- Forma general y método de completar el cuadrado
- Condiciones para representar una circunferencia real
- Posición de un punto respecto de la circunferencia
- Recta tangente a la circunferencia
- Intersección entre dos circunferencias
- Haz de circunferencias
- Simetrías y propiedades geométricas
- Ejercicios
Definición geométrica y deducción de la ecuación
Consideremos un punto fijo \( C(x_0, y_0) \) en un sistema de referencia cartesiano ortonormal. La circunferencia de centro \( C \) y radio \( r > 0 \) es el conjunto de puntos \( P(x, y) \) del plano tales que:
\[ \text{dist}(P,C)=r \]
Aplicando la fórmula de la distancia euclídea entre dos puntos del plano cartesiano, se tiene:
\[ \text{dist}(P, C) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \]
Imponiendo la condición \( \text{dist}(P, C) = r \), obtenemos:
\[ \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r \]
Elevando al cuadrado ambos miembros (operación lícita, puesto que ambos son no negativos, ya que \( r > 0 \) por definición):
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Esta es la forma canónica (o forma normal) de la ecuación de la circunferencia de centro \( C(x_0, y_0) \) y radio \( r \). La ecuación representa exactamente los puntos que satisfacen la condición geométrica de pertenencia a la circunferencia.
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
En el caso particular en que el centro coincide con el origen del sistema de referencia, es decir \( C(0, 0) \), tomando \( x_0 = 0 \) e \( y_0 = 0 \) en la forma canónica, la ecuación se simplifica notablemente:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Esta es la ecuación más elemental de la circunferencia y describe el conjunto de todos los puntos equidistantes del origen de los ejes cartesianos. La ecuación goza de las siguientes propiedades de simetría:
- Simetría respecto del eje de abscisas: si \( (x, y) \) pertenece a la circunferencia, entonces también \( (x, -y) \) pertenece a ella
- Simetría respecto del eje de ordenadas: si \( (x, y) \) pertenece a la circunferencia, entonces también \( (-x, y) \) pertenece a ella
- Simetría central respecto del origen: si \( (x, y) \) pertenece a la circunferencia, entonces también \( (-x, -y) \) pertenece a ella
Además, todos los diámetros de la circunferencia pasan por el origen y tienen longitud \( 2r \). El punto \( (r, 0) \) representa la intersección de la circunferencia con el semieje positivo de abscisas.
Ecuación de la circunferencia con centro genérico
Consideremos ahora el caso general de una circunferencia con centro en un punto arbitrario \( C(x_0, y_0) \) del plano y radio \( r > 0 \). La ecuación canónica es:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Desarrollando los cuadrados de los binomios mediante las identidades algebraicas \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \), obtenemos:
\[ x^2 - 2x_0x + x_0^2 + y^2 - 2y_0y + y_0^2 = r^2 \]
Reordenando los términos y trasladando todas las cantidades al primer miembro:
\[ x^2 + y^2 - 2x_0 x - 2y_0 y + (x_0^2 + y_0^2 - r^2) = 0 \]
Introduzcamos ahora los parámetros:
\[ D = -2x_0 \quad , \quad E = -2y_0 \quad , \quad F = x_0^2 + y_0^2 - r^2 \]
A partir de estas relaciones podemos obtener:
\[ x_0 = -\frac{D}{2} \quad , \quad y_0 = -\frac{E}{2} \quad , \quad r^2 = x_0^2 + y_0^2 - F = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
Sustituyendo en la forma desarrollada, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
Forma general y método de completar el cuadrado
Dada una ecuación en forma general:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
para reducirla a la forma canónica y determinar el centro y el radio, empleamos la técnica de completar el cuadrado. El método consiste en transformar las expresiones \( x^2 + Dx \) e \( y^2 + Ey \) en cuadrados perfectos.
Para el término en \( x \):
\[ x^2 + Dx = x^2 + Dx + \frac{D^2}{4} - \frac{D^2}{4} = \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} \]
Análogamente, para el término en \( y \):
\[ y^2 + Ey = y^2 + Ey + \frac{E^2}{4} - \frac{E^2}{4} = \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} \]
Sustituyendo en la ecuación general:
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} + F = 0 \]
Reordenando:
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
Esta es la forma canónica, de la cual podemos leer directamente:
- Centro: \( C\left( -\displaystyle \frac{D}{2}, -\displaystyle\frac{E}{2} \right) \)
- Radio: \( r = \sqrt{\displaystyle\frac{D^2 + E^2}{4} - F} \) (siempre que la expresión bajo el radical sea positiva)
Condiciones para representar una circunferencia real
Consideremos una ecuación de segundo grado en las dos variables \(x\) e \(y\):
\[ ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 \]
Esta puede representar una circunferencia solo si los coeficientes de los términos cuadráticos puros son iguales y el término mixto está ausente. Más precisamente, deben cumplirse las condiciones:
- coeficientes de los términos cuadráticos iguales y no nulos: \(a=b\ne 0\);
- ausencia del término mixto: \(c=0\).
En tal caso, dividiendo la ecuación entre \(a\), se obtiene:
\[ x^2+y^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}y+\frac{f}{a}=0. \]
El centro y el cuadrado del radio son, por tanto:
\[ C\left(-\frac{d}{2a},-\frac{e}{2a}\right), \qquad r^2=\frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}. \]
En consecuencia:
- si \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}>0 \), la ecuación representa una circunferencia real no degenerada;
- si \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}=0 \), la ecuación representa una circunferencia degenerada, reducida a un punto;
- si \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}<0 \), la ecuación carece de puntos reales.
En el caso de la forma estándar
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, \]
el centro y el cuadrado del radio son:
\[ C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right), \qquad r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F. \]
La condición para que la ecuación represente una circunferencia real no degenerada es:
\[ \frac{D^2+E^2}{4}-F>0 \quad \Longleftrightarrow \quad D^2+E^2-4F>0. \]
Distinguimos, pues, tres casos:
- si \(D^2+E^2-4F>0\): la ecuación representa una circunferencia real no degenerada, de radio \( \displaystyle r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F} \);
- si \(D^2+E^2-4F=0\): la ecuación representa una circunferencia degenerada, reducida al centro únicamente;
- si \(D^2+E^2-4F<0\): la ecuación carece de puntos reales.
Posición de un punto respecto de la circunferencia
Dada una circunferencia de ecuación \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \) y un punto \( P(x_P, y_P) \), podemos determinar la posición relativa del punto respecto de la circunferencia calculando la cantidad:
\[ \delta = (x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2 - r^2 \]
Se presentan tres posibilidades:
- Si \( \delta = 0 \): el punto pertenece a la circunferencia
- Si \( \delta < 0 \): el punto es interior a la circunferencia
- Si \( \delta > 0 \): el punto es exterior a la circunferencia
De manera equivalente, comparando la distancia \( d = \sqrt{(x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2} \) del punto al centro con el radio:
- Si \( d = r \): punto sobre la circunferencia
- Si \( d < r \): punto interior
- Si \( d > r \): punto exterior
Recta tangente a la circunferencia
Dada una circunferencia de centro \( C(x_0, y_0) \) y radio \( r \), y un punto \( P(x_1, y_1) \) perteneciente a la circunferencia, la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto \( P \) es:
\[ (x_1 - x_0)(x - x_0) + (y_1 - y_0)(y - y_0) = r^2 \]
En el caso particular de una circunferencia centrada en el origen \( x^2 + y^2 = r^2 \), la ecuación de la tangente en el punto \( P(x_1, y_1) \) se simplifica en:
\[ x_1 x + y_1 y = r^2 \]
La recta tangente es perpendicular al radio trazado en el punto de tangencia. Este resultado se deriva del hecho de que el vector \( \overrightarrow{CP} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) \) es normal a la tangente.
Tangentes desde un punto exterior
Desde un punto exterior \( P(x_P, y_P) \) a una circunferencia pueden trazarse exactamente dos rectas tangentes. Para determinarlas, puede considerarse una recta genérica que pase por \(P\) e imponer que su distancia al centro sea igual al radio. Alternativamente, pueden buscarse directamente los puntos de tangencia \(T\), imponiendo que \(T\) pertenezca a la circunferencia y que la tangente en \(T\) pase por el punto exterior \(P\).
Intersección entre dos circunferencias
Dadas dos circunferencias:
\[ \Gamma_1:\quad x^2 + y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0 \]
\[ \Gamma_2:\quad x^2 + y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0, \]
para hallar los eventuales puntos de intersección se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones. Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene:
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
Si las dos circunferencias no son concéntricas y no coinciden, esta ecuación representa una recta, llamada eje radical. Cuando las circunferencias son secantes, el eje radical pasa por los dos puntos de intersección; cuando son tangentes, pasa por su único punto común.
Si, por el contrario, las dos circunferencias son concéntricas, es decir, tienen el mismo centro, la resta de las dos ecuaciones no produce una recta: se obtiene una ecuación imposible, en el caso de radios distintos, o bien una identidad, en el caso de circunferencias coincidentes.
Las posiciones relativas de las dos circunferencias dependen de la distancia \(d\) entre los centros y de los radios \(r_1\) y \(r_2\):
- si \(d=0\) y \(r_1=r_2\): las dos circunferencias son coincidentes y tienen infinitos puntos en común;
- si \(d=0\) y \(r_1\ne r_2\): las dos circunferencias son concéntricas y no tienen puntos en común;
- si \(d>r_1+r_2\): las dos circunferencias son exteriores entre sí y no tienen puntos en común;
- si \(d=r_1+r_2\): las dos circunferencias son tangentes exteriormente y tienen un único punto en común;
- si \(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\): las dos circunferencias son secantes y tienen dos puntos en común;
- si \(d=|r_1-r_2|\) y \(d>0\): las dos circunferencias son tangentes interiormente y tienen un único punto en común;
- si \(0<d<|r_1-r_2|\): una circunferencia es interior a la otra y no tienen puntos en común.
Haz de circunferencias
Consideremos dos circunferencias de ecuaciones:
\[ \Gamma_1(x,y)=x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0 \]
\[ \Gamma_2(x,y)=x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0. \]
El haz de circunferencias generado por \(\Gamma_1\) y \(\Gamma_2\) es el conjunto de ecuaciones:
\[ \lambda \Gamma_1(x,y)+\mu \Gamma_2(x,y)=0, \]
donde \(\lambda\) y \(\mu\) son parámetros reales no ambos nulos.
Explícitamente:
\[ \lambda(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1)+ \mu(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0. \]
Si \(\lambda+\mu\ne 0\), la ecuación contiene todavía los términos cuadráticos \(x^2+y^2\) y puede representar una circunferencia, una circunferencia degenerada o un lugar geométrico sin puntos reales, según el valor del cuadrado del radio.
Si, en cambio, \(\lambda+\mu=0\), los términos cuadráticos se cancelan. En este caso, cuando las dos circunferencias no son concéntricas, se obtiene la ecuación del eje radical:
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
Desde el punto de vista geométrico, se distinguen algunos casos fundamentales:
- circunferencias generatrices secantes: todas las circunferencias del haz pasan por los dos puntos comunes a las generatrices;
- circunferencias generatrices tangentes: todas las circunferencias del haz pasan por el punto de tangencia común;
- circunferencias generatrices no secantes: las circunferencias del haz carecen de puntos base reales comunes;
- circunferencias generatrices concéntricas: las circunferencias del haz tienen el mismo centro.
En cualquier caso, no todas las ecuaciones del haz representan necesariamente circunferencias reales no degeneradas: algunos valores del parámetro pueden dar lugar a una circunferencia degenerada, a un lugar geométrico carente de puntos reales o, cuando \(\lambda+\mu=0\) y las generatrices no son concéntricas, a una recta.
Simetrías y propiedades geométricas
La circunferencia posee notables propiedades de simetría que la convierten en una figura geométrica de particular interés:
Simetrías
- Simetría central: toda circunferencia es simétrica respecto de su propio centro
- Ejes de simetría: toda recta que pasa por el centro es un eje de simetría
- Invariancia por rotación: la circunferencia es invariante bajo cualquier rotación en torno al centro
Propiedades métricas
- Longitud de la circunferencia: \( L = 2\pi r \)
- Área del círculo: \( A = \pi r^2 \)
- Ángulos central e inscrito: un ángulo inscrito en la circunferencia mide la mitad del ángulo central correspondiente que abarca el mismo arco
Ejercicios
Ejercicio 1. Comprobar si el punto \( P(3, 4) \) pertenece a la circunferencia de ecuación \( x^2 + y^2 = 25 \).
Solución. Sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación:
\[ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
Dado que la igualdad se verifica, el punto \( P(3, 4) \) pertenece a la circunferencia. Geométricamente, esto significa que la distancia de \( P \) al origen es exactamente igual al radio \( r = 5 \).
Ejercicio 2. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro \( C(2, -3) \) y radio \( r = 4 \).
Solución. Aplicando la forma canónica:
\[ (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2 \]
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. \]
Desarrollando, obtenemos la forma general:
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16 \]
\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0. \]
Ejercicio 3. Dada la ecuación \( x^2 + y^2 + 6x - 8y + 5 = 0 \), determinar el centro y el radio de la circunferencia.
Solución. Completamos los cuadrados:
\[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \]
\[ y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16. \]
Sustituyendo:
\[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 5 = 0 \]
\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 20. \]
Por tanto:
- Centro: \( C(-3, 4) \)
- Radio: \( r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \) y \( C(-1, 0) \).
Solución. Empleamos la forma general \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) e imponemos el paso por los tres puntos:
Para \( A(1, 0) \), se tiene
\[ 1 + 0 + D + 0 + F = 0 \implies D + F = -1 \]
Para \( B(0, 1) \), se tiene
\[ 0 + 1 + 0 + E + F = 0 \implies E + F = -1 \]
Para \( C(-1, 0) \), se tiene
\[ 1 + 0 - D + 0 + F = 0 \implies -D + F = -1 \]
Resolviendo el sistema:
\[ \begin{cases} D + F = -1 \\ E + F = -1 \\ -D + F = -1 \end{cases} \]
De la primera y la tercera ecuación: \( D = 0 \), luego \( F = -1 \). De la segunda ecuación: \( E = 0 \).
La ecuación buscada es: \( x^2 + y^2 - 1 = 0 \), es decir, \( x^2 + y^2 = 1 \).
Esta es la circunferencia unitaria centrada en el origen.
Ejercicio 5. Determinar las tangentes a la circunferencia \( x^2 + y^2 = 9 \) trazadas desde el punto exterior \( P(5, 0) \).
Solución. Sea \( T(x_T, y_T) \) un punto de tangencia. Puesto que la circunferencia tiene ecuación \(x^2+y^2=9\), la tangente en el punto \(T(x_T,y_T)\) tiene ecuación:
\[ x_T x + y_T y = 9. \]
Puesto que esta recta pasa por \( P(5, 0) \):
\[ 5x_T + 0 \cdot y_T = 9 \Rightarrow x_T = \frac{9}{5} \]
Al ser \( T \) un punto de la circunferencia: \( x_T^2 + y_T^2 = 9 \), luego:
\[ \left(\frac{9}{5}\right)^2 + y_T^2 = 9 \Rightarrow y_T^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{144}{25} \Rightarrow y_T = \pm\frac{12}{5} \]
Los puntos de tangencia son
\[ T_1\left(\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right) \quad \text{y} \quad T_2\left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right) \]
Las ecuaciones de las tangentes son:
\[ \frac{9}{5}x + \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x + 4y = 15 \]
\[ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x - 4y = 15. \]