La parábola es una curva plana definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz. Su eje de simetría pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.
Índice
- Ecuación Canónica de la Parábola
- Parábola con Eje Vertical y Parábola con Eje Horizontal
- Forma del Vértice de la Parábola
- Vértice, Foco, Directriz y Eje de Simetría
- Ecuación de la Parábola Conocidos el Vértice y un Punto
- Ejercicios Resueltos sobre la Parábola
Ecuación Canónica de la Parábola
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz.
Consideremos el caso más sencillo: el foco es \(F(0,p)\), con \(p>0\), y la directriz es la recta \(y=-p\). Un punto \(P(x,y)\) pertenece a la parábola si y solo si su distancia al foco es igual a su distancia a la directriz:
\[ d(P,F)=d(P,r). \]
Puesto que
\[ d(P,F)=\sqrt{x^2+(y-p)^2} \]
y
\[ d(P,r)=|y+p|, \]
obtenemos la ecuación
\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|. \]
En este caso la parábola se encuentra por encima de la directriz, luego \(y\geq -p\) y \(y+p\geq 0\). Podemos entonces escribir:
\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p. \]
Elevando al cuadrado ambos miembros, se obtiene
\[ x^2+(y-p)^2=(y+p)^2. \]
Desarrollando los cuadrados:
\[ x^2+y^2-2py+p^2=y^2+2py+p^2. \]
Simplificando, obtenemos
\[ x^2=4py. \]
Puesto que \(p>0\), podemos dividir entre \(4p\) para obtener:
\[ y=\frac{1}{4p}x^2. \]
Si denotamos
\[ a=\frac{1}{4p}, \]
la ecuación se convierte en
\[ y=ax^2. \]
Esta es la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen y eje de simetría coincidente con el eje \(y\).
En el caso que acabamos de estudiar tenemos \(a>0\), luego la parábola se abre hacia arriba. De forma más general, para todo \(a\neq 0\), la parábola de ecuación
\[ y=ax^2 \]
tiene vértice \(V(0,0)\), eje de simetría \(x=0\), foco
\[ F\left(0,\frac{1}{4a}\right) \]
y directriz
\[ y=-\frac{1}{4a}. \]
La cantidad
\[ \frac{1}{4|a|} \]
representa la distancia entre el vértice y el foco. La parábola tiene concavidad hacia arriba si \(a>0\), mientras que tiene concavidad hacia abajo si \(a<0\).
Parábola con Eje Vertical y Parábola con Eje Horizontal
La ecuación de la parábola adopta formas distintas según la orientación de su eje de simetría. Los dos casos fundamentales son la parábola con eje vertical y la parábola con eje horizontal.
Parábola con Eje Vertical
Una parábola con eje vertical y vértice en el origen tiene ecuación
\[ y=ax^2, \qquad a\neq 0. \]
El eje de simetría coincide con el eje \(y\), es decir, con la recta \(x=0\). Si \(a>0\), la parábola tiene concavidad hacia arriba; si en cambio \(a<0\), tiene concavidad hacia abajo.
Los elementos característicos son: vértice \(V(0,0)\), eje de simetría \(x=0\), foco \(F\left(0,\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\) y directriz \(y=-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
La misma ecuación puede escribirse también en la forma
\[ x^2=4py, \]
donde \(p=\displaystyle \frac{1}{4a}\) es el parámetro de la parábola. El signo de \(p\) indica el sentido de apertura, mientras que la distancia entre el vértice y el foco es \( |p|=\displaystyle \frac{1}{4|a|} \).
Ejemplo. Consideremos la parábola
\[ y=2x^2. \]
En este caso \(a=2\), luego
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
El vértice es \(V(0,0)\), el eje de simetría es \(x=0\), el foco es \(F\left(0,\displaystyle \frac{1}{8}\right)\) y la directriz tiene ecuación \(y=-\displaystyle \frac{1}{8}\). Puesto que \(a>0\), la parábola tiene concavidad hacia arriba.
Parábola con Eje Horizontal
Una parábola con eje horizontal y vértice en el origen tiene ecuación
\[ x=ay^2, \qquad a\neq 0. \]
En este caso el eje de simetría coincide con el eje \(x\), es decir, con la recta \(y=0\). Si \(a>0\), la parábola se abre hacia la derecha; si \(a<0\), se abre hacia la izquierda.
Los elementos característicos son: vértice \(V(0,0)\), eje de simetría \(y=0\), foco \(F\left(\displaystyle \frac{1}{4a},0\right)\) y directriz \(x=-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
De manera equivalente, la ecuación puede escribirse en la forma
\[ y^2=4px, \]
donde, también en este caso, \(p=\displaystyle \frac{1}{4a}\) es el parámetro de la parábola. El signo de \(p\) indica el sentido de apertura, mientras que \( |p|=\displaystyle \frac{1}{4|a|} \) representa la distancia entre el vértice y el foco.
Ejemplo. Consideremos la parábola
\[ x=2y^2. \]
En este caso \(a=2\), luego
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
El vértice es \(V(0,0)\), el eje de simetría es \(y=0\), el foco es \(F\left(\displaystyle \frac{1}{8},0\right)\) y la directriz tiene ecuación \(x=-\displaystyle \frac{1}{8}\). Puesto que \(a>0\), la parábola se abre hacia la derecha.
Relación entre el Coeficiente y el Parámetro de la Parábola
En las formas canónicas
\[ y=ax^2 \qquad \text{y} \qquad x=ay^2, \]
el coeficiente \(a\) determina tanto la apertura como la orientación de la parábola. Más precisamente, el parámetro de la parábola es
\[ p=\frac{1}{4a}. \]
Si \(a>0\), entonces \(p>0\) y la parábola se abre en el sentido positivo del eje de simetría. Si \(a<0\), entonces \(p<0\) y la parábola se abre en el sentido negativo del eje de simetría.
La distancia entre el vértice y el foco, en cambio, es siempre positiva y viene dada por
\[ |p|=\frac{1}{4|a|}. \]
Esta distinción es importante: \(p\) conserva la información sobre el sentido de apertura, mientras que \( |p| \) mide una distancia.
Forma del Vértice de la Parábola
Hasta ahora hemos considerado parábolas con vértice en el origen. En muchos casos, sin embargo, el vértice se encuentra en un punto cualquiera del plano. En esta situación se habla de parábola trasladada.
Una traslación desplaza todos los puntos del plano según el mismo vector. Por este motivo, al trasladar una parábola, su forma no cambia: solo cambian la posición del vértice, del foco, de la directriz y del eje de simetría.
Parábola Trasladada con Eje Vertical
Partamos de la parábola canónica
\[ y=ax^2. \]
Si el vértice se desplaza al punto \(V(h,k)\), la ecuación se convierte en
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Esta forma recibe el nombre de forma del vértice. Resulta especialmente útil porque permite identificar de inmediato el vértice de la parábola.
En efecto, en la parábola
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
el vértice es \(V(h,k)\), mientras que el eje de simetría es la recta
\[ x=h. \]
El signo de \(a\) determina el sentido de apertura: la parábola se abre hacia arriba si \(a>0\), y hacia abajo si \(a<0\).
De la Forma del Vértice a la Forma General
Desarrollando el cuadrado en la forma del vértice, obtenemos:
\[ y=a(x-h)^2+k =a(x^2-2hx+h^2)+k. \]
Por tanto
\[ y=ax^2-2ahx+ah^2+k. \]
Si denotamos
\[ b=-2ah, \qquad c=ah^2+k, \]
recuperamos la forma general
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Recíprocamente, partiendo de la forma general \(y=ax^2+bx+c\), con \(a\neq 0\), las coordenadas del vértice son
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=c-\frac{b^2}{4a}. \]
Elementos Geométricos de la Parábola Trasladada
Para una parábola con eje vertical de ecuación
\[ y=a(x-h)^2+k, \qquad a\neq 0, \]
los elementos característicos son: vértice \(V(h,k)\), eje de simetría \(x=h\), foco \(F\left(h,k+\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\) y directriz \(y=k-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
La distancia entre el vértice y el foco es
\[ \frac{1}{4|a|}, \]
mientras que la distancia entre el foco y la directriz es
\[ \frac{1}{2|a|}. \]
Ejemplo. Consideremos la parábola
\[ y=2(x-3)^2-5. \]
Esta se obtiene trasladando la parábola \(y=2x^2\) \(3\) unidades hacia la derecha y \(5\) unidades hacia abajo.
El vértice es, por tanto,
\[ V(3,-5), \]
y el eje de simetría tiene ecuación
\[ x=3. \]
Puesto que \(a=2\), tenemos
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
El foco es
\[ F\left(3,-5+\frac{1}{8}\right) = F\left(3,-\frac{39}{8}\right), \]
mientras que la directriz tiene ecuación
\[ y=-5-\frac{1}{8} = -\frac{41}{8}. \]
Vértice, Foco, Directriz y Eje de Simetría
Los elementos geométricos fundamentales de una parábola son su vértice, su foco, su directriz y su eje de simetría. Estos elementos permiten describir por completo la posición de la parábola en el plano cartesiano.
En esta sección consideramos las parábolas con eje vertical, es decir, las parábolas representadas por la ecuación
\[ y=ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0. \]
Vértice de la Parábola
Para una parábola con eje vertical, el vértice es el punto en el que la función cuadrática alcanza su valor mínimo, si \(a>0\), o su valor máximo, si \(a<0\).
Para determinar las coordenadas del vértice, partimos de la ecuación general
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Extraemos factor común \(a\) en los dos primeros términos:
\[ y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c. \]
Completamos el cuadrado sumando y restando el término \(\left(\displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2\):
\[ y=a\left[ x^2+\frac{b}{a}x+ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right]+c. \]
Obtenemos así:
\[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c. \]
Puesto que \(\Delta=b^2-4ac\), podemos escribir:
\[ -\frac{b^2}{4a}+c = -\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}. \]
Por tanto, la parábola puede reescribirse en la forma
\[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}. \]
Comparando esta expresión con la forma del vértice
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
obtenemos:
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=-\frac{\Delta}{4a}. \]
Por consiguiente, el vértice de la parábola \(y=ax^2+bx+c\) es
\[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right). \]
Eje de Simetría
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice y divide la parábola en dos partes simétricas. Para una parábola con eje vertical de ecuación
\[ y=ax^2+bx+c, \]
el eje de simetría tiene ecuación
\[ x=-\frac{b}{2a}. \]
Esta recta contiene tanto al vértice como al foco de la parábola.
Foco de la Parábola
El foco es el punto fijo que aparece en la definición geométrica de la parábola. Cada punto de la parábola equidista del foco y de la directriz.
Si la parábola está escrita en la forma del vértice
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
su foco es
\[ F\left(h,k+\frac{1}{4a}\right). \]
En el caso de la forma general \(y=ax^2+bx+c\), tenemos
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=-\frac{\Delta}{4a}. \]
Sustituyendo estos valores, obtenemos:
\[ F\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}+\frac{1}{4a} \right). \]
La fórmula es válida tanto para \(a>0\) como para \(a<0\). Si \(a>0\), el foco se encuentra por encima del vértice; si \(a<0\), se encuentra por debajo del vértice.
Directriz de la Parábola
La directriz es la recta fija respecto a la cual se define la parábola. Cada punto de la parábola equidista del foco y de la directriz.
Si la parábola está escrita en la forma
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
la directriz tiene ecuación
\[ y=k-\frac{1}{4a}. \]
Para la parábola de ecuación \(y=ax^2+bx+c\), utilizando de nuevo
\[ k=-\frac{\Delta}{4a}, \]
obtenemos:
\[ y=-\frac{\Delta}{4a}-\frac{1}{4a}. \]
Esta fórmula también tiene en cuenta automáticamente el signo de \(a\). Si \(a>0\), la directriz se encuentra por debajo del vértice; si \(a<0\), se encuentra por encima del vértice.
Distancia Focal
La distancia entre el vértice y el foco recibe el nombre de distancia focal. En la forma del vértice
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
el foco se obtiene a partir del vértice mediante un desplazamiento orientado igual a
\[ \frac{1}{4a} \]
a lo largo del eje de simetría. En consecuencia, la distancia focal es
\[ \frac{1}{4|a|}. \]
La distancia entre el foco y la directriz es, por tanto, el doble:
\[ \frac{1}{2|a|}. \]
Resumen de las Fórmulas
Para una parábola con eje vertical de ecuación
\[ y=ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0, \]
denotando \(\Delta=b^2-4ac\), tenemos: vértice \(V\left(-\displaystyle \frac{b}{2a},-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}\right)\), eje de simetría \(x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\), foco \(F\left(-\displaystyle \frac{b}{2a},-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}+\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\), directriz \(y=-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}-\displaystyle \frac{1}{4a}\) y distancia focal \(\displaystyle \frac{1}{4|a|}\).
Ejemplo. Consideremos la parábola
\[ y=2x^2-8x+3. \]
En este caso
\[ a=2, \qquad b=-8, \qquad c=3. \]
El discriminante es
\[ \Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 3=64-24=40. \]
El vértice es, por tanto,
\[ V\left(-\frac{-8}{2\cdot 2},-\frac{40}{4\cdot 2}\right) = V(2,-5). \]
El eje de simetría tiene ecuación
\[ x=2. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}, \]
el foco es
\[ F\left(2,-5+\frac{1}{8}\right) = F\left(2,-\frac{39}{8}\right), \]
mientras que la directriz tiene ecuación
\[ y=-5-\frac{1}{8} = -\frac{41}{8}. \]
Por último, la distancia focal es
\[ \frac{1}{4|a|} = \frac{1}{8}. \]
Ecuación de la Parábola Conocidos el Vértice y un Punto
Una parábola con eje vertical queda determinada de manera unívoca cuando se conocen su vértice y otro punto de la curva, siempre que este punto no tenga la misma abscisa que el vértice.
Supongamos, entonces, que el vértice es
\[ V(h,k) \]
y que la parábola pasa por el punto
\[ P(x_0,y_0), \qquad x_0\neq h. \]
Puesto que el vértice es conocido, conviene emplear la forma del vértice:
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
En esta ecuación, el único parámetro por determinar es \(a\). Para hallarlo, imponemos que la parábola pase por el punto \(P(x_0,y_0)\). Sustituyendo las coordenadas del punto, obtenemos:
\[ y_0=a(x_0-h)^2+k. \]
De donde:
\[ y_0-k=a(x_0-h)^2. \]
Puesto que \(x_0\neq h\), podemos dividir entre \((x_0-h)^2\) para obtener:
\[ a=\frac{y_0-k}{(x_0-h)^2}. \]
La ecuación de la parábola es, por tanto,
\[ y=\frac{y_0-k}{(x_0-h)^2}(x-h)^2+k. \]
Ejemplo. Determinemos la ecuación de la parábola con eje vertical, vértice
\[ V(3,-2) \]
y que pasa por el punto
\[ P(5,6). \]
Puesto que el vértice es \(V(3,-2)\), escribimos la parábola en la forma:
\[ y=a(x-3)^2-2. \]
Ahora imponemos que pase por el punto \(P(5,6)\):
\[ 6=a(5-3)^2-2. \]
Por tanto:
\[ 6=4a-2. \]
De donde:
\[ 8=4a \]
y, por consiguiente,
\[ a=2. \]
La ecuación buscada es, por tanto,
\[ y=2(x-3)^2-2. \]
Si deseamos escribirla en forma general, desarrollamos el cuadrado:
\[ y=2(x^2-6x+9)-2. \]
Obtenemos:
\[ y=2x^2-12x+18-2, \]
es decir,
\[ y=2x^2-12x+16. \]
Comprobación. Verifiquemos que la parábola obtenida tiene efectivamente vértice \(V(3,-2)\). En la ecuación
\[ y=2x^2-12x+16 \]
tenemos \(a=2\), \(b=-12\), \(c=16\). La abscisa del vértice es:
\[ x_V=-\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2\cdot 2} = 3. \]
La ordenada correspondiente es:
\[ y_V=2\cdot 3^2-12\cdot 3+16 = 18-36+16 = -2. \]
El vértice es, por tanto, efectivamente \(V(3,-2)\).
El Caso de la Parábola con Eje Horizontal
El procedimiento es análogo para una parábola con eje horizontal. Si el vértice es \(V(h,k)\), la forma del vértice es
\[ x=a(y-k)^2+h. \]
Si la parábola pasa por el punto \(P(x_0,y_0)\), con \(y_0\neq k\), sustituyendo las coordenadas del punto obtenemos:
\[ x_0=a(y_0-k)^2+h. \]
De donde:
\[ a=\frac{x_0-h}{(y_0-k)^2}. \]
También en este caso, una vez determinado \(a\), la ecuación de la parábola queda completamente conocida.
Foco y Directriz
Una vez determinado el coeficiente \(a\), podemos calcular también los elementos geométricos de la parábola.
Para una parábola con eje vertical de ecuación
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
el foco es
\[ F\left(h,k+\frac{1}{4a}\right), \]
mientras que la directriz tiene ecuación
\[ y=k-\frac{1}{4a}. \]
La distancia entre el vértice y el foco es
\[ \frac{1}{4|a|}. \]
Ejercicios Resueltos sobre la Parábola
Concluimos con algunos ejercicios resueltos sobre la parábola. Los ejemplos recogen las situaciones más frecuentes: determinar los elementos característicos, obtener la ecuación a partir de datos geométricos, estudiar una parábola con eje horizontal y resolver problemas sencillos de simetría.
Ejercicio 1. Dada la parábola de ecuación
\[ y=3x^2-12x+7, \]
determinar el vértice, el foco, la directriz y la distancia focal.
La ecuación está en la forma
\[ y=ax^2+bx+c. \]
En este caso
\[ a=3,\qquad b=-12,\qquad c=7. \]
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot 3\cdot 7=144-84=60. \]
El vértice de la parábola es
\[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right). \]
Sustituyendo los valores hallados, obtenemos:
\[ V\left(-\frac{-12}{2\cdot 3},-\frac{60}{4\cdot 3}\right) = V(2,-5). \]
Puesto que
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{12}, \]
y puesto que \(a>0\), el foco se encuentra por encima del vértice:
\[ F\left(2,-5+\frac{1}{12}\right) = F\left(2,-\frac{59}{12}\right). \]
La directriz, en cambio, se encuentra por debajo del vértice:
\[ y=-5-\frac{1}{12} = -\frac{61}{12}. \]
Por último, la distancia focal es
\[ \frac{1}{4|a|} = \frac{1}{12}. \]
Ejercicio 2. Determinar la ecuación de la parábola con eje vertical que tiene vértice \(V(-1,4)\) y pasa por el punto \(P(2,-5)\).
Puesto que conocemos el vértice, utilizamos la forma del vértice:
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
En nuestro caso \(h=-1\) y \(k=4\), luego:
\[ y=a(x+1)^2+4. \]
La parábola pasa por el punto \(P(2,-5)\). Sustituyendo \(x=2\) e \(y=-5\), obtenemos:
\[ -5=a(2+1)^2+4. \]
Por tanto:
\[ -5=9a+4. \]
De donde:
\[ -9=9a, \]
y, por consiguiente,
\[ a=-1. \]
La ecuación de la parábola es, por tanto,
\[ y=-(x+1)^2+4. \]
Desarrollando el cuadrado, obtenemos:
\[ y=-(x^2+2x+1)+4, \]
es decir,
\[ y=-x^2-2x+3. \]
Ejercicio 3. Dada la parábola con eje horizontal
\[ x=2y^2-8y+6, \]
determinar el vértice, el foco y la directriz.
Puesto que la parábola tiene eje horizontal, completamos el cuadrado respecto a la variable \(y\):
\[ \begin{aligned} x &=2y^2-8y+6 \\ &=2(y^2-4y)+6 \\ &=2(y^2-4y+4-4)+6 \\ &=2(y-2)^2-8+6 \\ &=2(y-2)^2-2. \end{aligned} \]
La parábola está, por tanto, en la forma
\[ x=a(y-k)^2+h. \]
Comparando las dos expresiones, obtenemos:
\[ a=2,\qquad h=-2,\qquad k=2. \]
El vértice es, por tanto,
\[ V(-2,2). \]
Además,
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Puesto que \(a>0\), la parábola se abre hacia la derecha. El foco se encuentra, por tanto, a la derecha del vértice:
\[ F\left(-2+\frac{1}{8},2\right) = F\left(-\frac{15}{8},2\right). \]
La directriz, en cambio, se encuentra a la izquierda del vértice:
\[ x=-2-\frac{1}{8} = -\frac{17}{8}. \]
Ejercicio 4. Dada la parábola
\[ y=-2x^2+8x-5, \]
determinar la ecuación de la parábola simétrica respecto al eje de abscisas. Calcular además los puntos de intersección entre ambas parábolas.
La simetría respecto al eje de abscisas transforma cada punto \((x,y)\) en el punto \((x,-y)\). Para hallar la ecuación de la parábola simétrica, sustituimos por tanto \(y\) por \(-y\) en la ecuación inicial:
\[ -y=-2x^2+8x-5. \]
Multiplicando ambos miembros por \(-1\), obtenemos:
\[ y=2x^2-8x+5. \]
Esta es la ecuación de la parábola simétrica respecto al eje de abscisas.
Para determinar los puntos de intersección entre ambas parábolas, resolvemos el sistema:
\[ \begin{cases} y=-2x^2+8x-5 \\ y=2x^2-8x+5. \end{cases} \]
Igualando ambas expresiones de \(y\), obtenemos:
\[ -2x^2+8x-5=2x^2-8x+5. \]
Pasando todos los términos a un mismo miembro:
\[ 4x^2-16x+10=0. \]
Dividiendo entre \(2\):
\[ 2x^2-8x+5=0. \]
Aplicando la fórmula resolutiva, obtenemos:
\[ x= \frac{8\pm\sqrt{64-40}}{4} = \frac{8\pm\sqrt{24}}{4} = \frac{8\pm 2\sqrt6}{4} = \frac{4\pm\sqrt6}{2}. \]
Puesto que una curva y su simétrica respecto al eje de abscisas se cortan sobre el propio eje \(x\), las ordenadas de los puntos de intersección son nulas. Los puntos de intersección son, por tanto:
\[ A\left(\frac{4+\sqrt6}{2},0\right), \qquad B\left(\frac{4-\sqrt6}{2},0\right). \]
Ejercicio 5. Determinar la ecuación de la parábola con eje vertical que tiene foco \(F(1,5)\) y directriz \(y=3\). Comprobar además si el punto \(P(3,6)\) pertenece a la parábola.
El foco es \(F(1,5)\) y la directriz es la recta \(y=3\). Puesto que la directriz es horizontal, el eje de la parábola es vertical y pasa por el foco.
El vértice se encuentra a mitad de camino entre el foco y la directriz. Tiene, por tanto, la misma abscisa que el foco, y su ordenada es igual a la media entre \(5\) y \(3\):
\[ V\left(1,\frac{5+3}{2}\right) = V(1,4). \]
La distancia focal es
\[ 5-4=1. \]
Puesto que el foco se encuentra por encima del vértice, la parábola tiene concavidad hacia arriba. Por tanto, el parámetro de la parábola es \(p=1\), y en consecuencia:
\[ a=\frac{1}{4p}=\frac{1}{4}. \]
La ecuación de la parábola es, por tanto,
\[ y=\frac{1}{4}(x-1)^2+4. \]
Comprobemos ahora si el punto \(P(3,6)\) pertenece a la parábola. Sustituyendo \(x=3\) en la ecuación hallada, obtenemos:
\[ y=\frac{1}{4}(3-1)^2+4 = \frac{1}{4}\cdot 4+4 = 5. \]
Para \(x=3\), la parábola tiene ordenada \(5\), mientras que el punto dado tiene ordenada \(6\). Por tanto, el punto \(P(3,6)\) no pertenece a la parábola.
Podemos confirmar el mismo resultado utilizando también la definición geométrica. La distancia de \(P\) al foco es
\[ d(P,F) = \sqrt{(3-1)^2+(6-5)^2} = \sqrt5, \]
mientras que la distancia de \(P\) a la directriz es
\[ d(P,\text{directriz}) = |6-3| = 3. \]
Puesto que \(\sqrt5\neq 3\), el punto no pertenece a la parábola.