La recta es uno de los entes fundamentales de la geometría euclídea. En el plano cartesiano, una recta puede describirse mediante una ecuación de primer grado en las dos variables \(x\) e \(y\), es decir, mediante una ecuación del tipo
\[ ax+by+c=0, \]
donde \(a,b,c\in\mathbb{R}\) y los coeficientes \(a\) y \(b\) no son ambos nulos. Esta forma, llamada forma implícita, comprende todas las rectas del plano, incluidas las rectas verticales y las rectas horizontales.
Cuando la recta no es vertical, su ecuación también puede escribirse en la forma
\[ y=mx+q, \]
llamada forma explícita. En este caso \(m\) es la pendiente, que describe la inclinación de la recta respecto al eje de abscisas, mientras que \(q\) es la ordenada en el origen, es decir, la ordenada del punto en el que la recta corta al eje \(y\).
En esta página veremos cómo obtener la ecuación de una recta a partir de dos puntos, cómo pasar de la forma implícita a la forma explícita, cuál es el significado geométrico de la pendiente, cómo determinar una recta perpendicular a una recta dada y cómo escribir la ecuación paramétrica de una recta.
Índice
- Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
- Forma explícita de la recta
- Forma implícita de la recta
- Significado geométrico de la pendiente
- Ecuación paramétrica de la recta
- Recta perpendicular a una recta dada
- Problemas resueltos sobre la recta
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Supongamos que conocemos dos puntos distintos del plano cartesiano:
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2). \]
Puesto que los dos puntos son distintos, al menos una de las dos diferencias \(x_2-x_1\) e \(y_2-y_1\) es distinta de cero.
Si \(x_1=x_2\), los dos puntos tienen la misma abscisa. En este caso la recta que pasa por \(P_1\) y \(P_2\) es vertical y tiene por ecuación
\[ x=x_1. \]
Supongamos ahora que \(x_1\ne x_2\). En este caso la recta no es vertical y podemos introducir la pendiente
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Si \(y_1=y_2\), entonces \(m=0\) y la recta es horizontal. En este caso su ecuación es
\[ y=y_1. \]
Supongamos entonces que \(y_1\ne y_2\). La recta es oblicua y podemos obtener su ecuación empleando la semejanza de triángulos rectángulos. Sea \(P(x,y)\) un punto genérico de la recta, distinto de \(P_1\). En la figura siguiente se representa esta situación:
Los triángulos rectángulos \(\triangle P_1P'P\) y \(\triangle P_1P'_2P_2\) son semejantes, pues cada uno tiene un ángulo recto y ambos tienen un ángulo agudo congruente, determinado por la inclinación de la recta. Considerando las variaciones horizontales y verticales con su signo, de la semejanza de los triángulos se obtiene la razón
\[ \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Puesto que
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \]
se sigue que
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Esta es la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. Desarrollando los cálculos, obtenemos
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
de donde
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Poniendo
\[ q=y_1-mx_1, \]
obtenemos la forma explícita
\[ y=mx+q. \]
A partir de la forma punto-pendiente podemos obtener también una forma implícita. En efecto,
\[ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1). \]
Multiplicando ambos miembros por \(x_2-x_1\), se obtiene
\[ (x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1). \]
Llevando todos los términos al primer miembro y reordenando, resulta:
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
La fórmula que acabamos de obtener se ha deducido en el supuesto \(x_1\ne x_2\). Sin embargo, sigue siendo válida para cualquier par de puntos distintos: comprende el caso oblicuo, el caso horizontal y también el caso vertical.
Para justificar esta validez general, podemos recurrir a los vectores. Un punto genérico \(P(x,y)\) pertenece a la recta que pasa por \(P_1\) y \(P_2\) si y solo si los tres puntos \(P_1\), \(P_2\) y \(P\) están alineados. Esto sucede cuando los vectores
\[ \overrightarrow{P_1P}=(x-x_1,y-y_1), \qquad \overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1) \]
son linealmente dependientes. En términos algebraicos, esta condición equivale a la anulación del determinante
\[ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{vmatrix}=0. \]
Desarrollando el determinante se obtiene
\[ (x-x_1)(y_2-y_1)-(y-y_1)(x_2-x_1)=0, \]
y por tanto, una vez más,
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
Forma explícita de la recta
Una recta del plano cartesiano admite forma explícita siempre que no sea vertical. En este caso su ecuación puede escribirse en la forma
\[ y=mx+q. \]
El número \(m\) es la pendiente de la recta y mide la variación de la ordenada respecto a la variación de la abscisa. El número \(q\) es la ordenada en el origen, es decir, la ordenada del punto en el que la recta corta al eje \(y\).
En efecto, si en la ecuación \(y=mx+q\) hacemos \(x=0\), se obtiene
\[ y=q. \]
Por tanto, la recta corta al eje de ordenadas en el punto
\[ (0,q). \]
Si conocemos un punto \(P_1(x_1,y_1)\) de la recta y la pendiente \(m\), podemos emplear la forma punto-pendiente:
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Desarrollando los cálculos, se obtiene:
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
y por tanto
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Así pues, en la forma \(y=mx+q\), se tiene
\[ q=y_1-mx_1. \]
Si, en cambio, se conocen dos puntos distintos \(P_1(x_1,y_1)\) y \(P_2(x_2,y_2)\), con \(x_1\ne x_2\), entonces la pendiente es
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
La condición \(x_1\ne x_2\) es esencial: si \(x_1=x_2\), la recta que pasa por los dos puntos es vertical y no puede escribirse en la forma \(y=mx+q\). En ese caso su ecuación es
\[ x=x_1. \]
Forma implícita de la recta
La forma implícita de la ecuación de una recta es
\[ ax+by+c=0, \]
donde \(a,b,c\in\mathbb{R}\) y \(a\) y \(b\) no son ambos nulos. La condición
\[ (a,b)\ne(0,0) \]
es necesaria: en efecto, si \(a=0\) y \(b=0\), la ecuación dejaría de depender de \(x\) e \(y\). Si \(c=0\), la satisfarían todos los puntos del plano; si \(c\ne0\), no la satisfaría ningún punto. En ambos casos no representaría una recta.
La forma implícita es la forma más general de la ecuación de la recta en el plano cartesiano, ya que comprende también las rectas verticales, que no pueden escribirse en la forma \(y=mx+q\).
Si \(b\ne 0\), podemos despejar \(y\):
\[ by=-ax-c, \]
de donde
\[ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}. \]
En este caso la recta no es vertical y su forma explícita es
\[ y=mx+q, \]
con
\[ m=-\frac{a}{b}, \qquad q=-\frac{c}{b}. \]
Si, en cambio, \(b=0\), entonces necesariamente \(a\ne 0\), y la ecuación se convierte en
\[ ax+c=0. \]
Despejando \(x\), obtenemos
\[ x=-\frac{c}{a}. \]
Esta es la ecuación de una recta vertical.
Si \(a=0\), entonces necesariamente \(b\ne 0\), y la ecuación se convierte en
\[ by+c=0. \]
Despejando \(y\), obtenemos
\[ y=-\frac{c}{b}. \]
Esta es la ecuación de una recta horizontal.
La forma implícita resulta especialmente útil porque permite comprobar fácilmente si un punto pertenece a una recta. En efecto, un punto \(P(x_0,y_0)\) pertenece a la recta \(ax+by+c=0\) si y solo si
\[ ax_0+by_0+c=0. \]
Además, partiendo de la forma punto-pendiente
\[ y-y_1=m(x-x_1), \]
se puede obtener una forma implícita llevando todos los términos al primer miembro:
\[ y-y_1-mx+mx_1=0, \]
es decir,
\[ -mx+y+(mx_1-y_1)=0. \]
Significado geométrico de la pendiente
La pendiente de una recta no vertical mide la razón entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa. Si la recta pasa por dos puntos distintos
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
con \(x_1\ne x_2\), entonces la pendiente es
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Esta fórmula muestra que \(m\) describe cuánto varía \(y\) cuando varía \(x\). Por este motivo, la pendiente puede interpretarse también como una medida de la inclinación de la recta.
Si la recta tiene ecuación explícita
\[ y=mx+q, \]
entonces el valor de \(m\) determina el comportamiento geométrico de la recta.
- Si \(m>0\), la recta es creciente: cuando \(x\) aumenta, \(y\) también aumenta. En este caso la recta forma con el semieje positivo de abscisas un ángulo agudo.
- Si \(m<0\), la recta es decreciente: cuando \(x\) aumenta, \(y\) disminuye. En este caso la recta forma con el semieje positivo de abscisas un ángulo obtuso.
- Si \(m=0\), la recta es horizontal. En efecto, la ecuación se reduce a \(y=q\), por lo que la ordenada permanece constante al variar \(x\).
La pendiente también está relacionada con el ángulo de inclinación de la recta. Si \(\alpha\) es el ángulo que la recta forma con el semieje positivo de abscisas, entonces, para una recta no vertical, se cumple
\[ m=\tan\alpha. \]
Las rectas verticales constituyen un caso particular. Una recta vertical tiene por ecuación
\[ x=k. \]
En este caso la pendiente no está definida, porque la abscisa es constante y no es posible expresar \(y\) como función de \(x\). Geométricamente, la recta vertical es paralela al eje \(y\).
Ecuación paramétrica de la recta
Una recta puede describirse también mediante una ecuación paramétrica. En esta forma, las coordenadas de los puntos de la recta dependen de un parámetro real.
Supongamos que la recta pasa por un punto
\[ P_0(x_0,y_0) \]
y tiene como vector director un vector no nulo
\[ \boldsymbol{v}=(a,b). \]
Entonces una representación paramétrica de la recta es
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
El parámetro \(t\) indica el desplazamiento a lo largo de la dirección del vector \(\boldsymbol{v}\). Al variar \(t\) en \(\mathbb{R}\), el punto
\[ (x_0+at,\ y_0+bt) \]
describe todos y solo los puntos de la recta.
Si se conocen dos puntos distintos
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
podemos elegir como vector director
\[ \boldsymbol{v}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1). \]
En este caso una representación paramétrica de la recta que pasa por \(P_1\) y \(P_2\) es
\[ \begin{cases} x=x_1+(x_2-x_1)t\\ y=y_1+(y_2-y_1)t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Para \(t=0\) se obtiene el punto \(P_1\), mientras que para \(t=1\) se obtiene el punto \(P_2\). Los valores de \(t\) en el intervalo \([0,1]\) describen los puntos del segmento \(P_1P_2\), mientras que los demás valores de \(t\) describen puntos de la recta exteriores al segmento.
La forma paramétrica resulta especialmente útil porque describe del mismo modo las rectas oblicuas, horizontales y verticales. Por ejemplo, si el vector director es \((0,b)\), con \(b\ne 0\), entonces la abscisa permanece constante y se obtiene una recta vertical.
Recta perpendicular a una recta dada
Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando cuatro ángulos rectos. En el plano cartesiano, esta condición puede expresarse de forma sencilla mediante las pendientes, siempre que ninguna de las dos rectas sea vertical.
Supongamos que una recta \(r\) tiene por ecuación
\[ r:\ y=mx+q, \]
con \(m\ne 0\). Entonces toda recta perpendicular a \(r\) tiene pendiente
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}. \]
En efecto, si dos rectas no verticales tienen pendientes \(m_1\) y \(m_2\), son perpendiculares si y solo si
\[ m_1m_2=-1. \]
Para hallar la recta perpendicular a \(r\) que pasa por un punto \(P_0(x_0,y_0)\), se emplea entonces la forma punto-pendiente:
\[ y-y_0=-\frac{1}{m}(x-x_0). \]
El punto \(P_0(x_0,y_0)\) es simplemente el punto por el que debe pasar la recta perpendicular; no tiene por qué pertenecer a la recta \(r\).
No obstante, conviene distinguir los casos particulares.
- Si \(r\) es horizontal, tiene por ecuación \(y=k\). Toda recta perpendicular a \(r\) es vertical y tiene por ecuación \(x=h\).
- Si \(r\) es vertical, tiene por ecuación \(x=h\). Toda recta perpendicular a \(r\) es horizontal y tiene por ecuación \(y=k\).
Más en general, empleando la forma implícita, la recta
\[ ax+by+c=0 \]
tiene por vector normal
\[ \boldsymbol{n}=(a,b). \]
Una recta perpendicular a ella tiene, por tanto, una dirección paralela al vector \((a,b)\). Por este motivo, si debe pasar por \(P_0(x_0,y_0)\), una posible ecuación paramétrica suya es
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Esta descripción resulta útil porque funciona igualmente bien cuando la recta de partida es vertical u horizontal.
Problemas resueltos sobre la recta
Concluimos con algunos problemas resueltos sobre la ecuación de la recta. Los ejemplos muestran cómo aplicar las fórmulas expuestas en las secciones anteriores: la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, la recta perpendicular, la pendiente y la forma paramétrica.
Problema 1. Determinar la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos \(A(1,2)\) y \(B(3,6)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2. \]
Puesto que la recta pasa por \(A(1,2)\), empleamos la forma punto-pendiente:
\[ y-2=2(x-1). \]
Desarrollando, obtenemos:
\[ y-2=2x-2, \]
de donde
\[ y=2x. \]
La ecuación de la recta buscada es, por tanto,
\[ y=2x. \]
Comprobemos que ambos puntos pertenecen a la recta:
\[ A(1,2):\quad 2=2\cdot 1, \]
\[ B(3,6):\quad 6=2\cdot 3. \]
Problema 2. Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta \(y=2x\) que pasa por el punto \(P(3,6)\).
La recta dada tiene pendiente
\[ m=2. \]
Puesto que la recta buscada debe ser perpendicular a la recta dada, su pendiente es
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}. \]
Empleamos ahora la forma punto-pendiente con el punto \(P(3,6)\):
\[ y-6=-\frac{1}{2}(x-3). \]
Desarrollando:
\[ y-6=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}. \]
Sumando \(6\) a ambos miembros obtenemos:
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+6. \]
Por tanto
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
La ecuación explícita de la recta buscada es
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
En forma implícita:
\[ 2y=-x+15, \]
es decir,
\[ x+2y-15=0. \]
Comprobemos que la recta pasa por \(P(3,6)\):
\[ 6=-\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{15}{2} =-\frac{3}{2}+\frac{15}{2} =\frac{12}{2}=6. \]
Problema 3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto \(P(3,4)\) y tiene ángulo de inclinación \(30^\circ\) respecto al semieje positivo de abscisas.
La pendiente de una recta no vertical está relacionada con el ángulo de inclinación mediante
\[ m=\tan\alpha. \]
En este caso \(\alpha=30^\circ\), luego
\[ m=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}. \]
Empleamos la forma punto-pendiente con \(P(3,4)\):
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3). \]
Desarrollando:
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}. \]
Por tanto
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
La ecuación de la recta buscada es, por tanto,
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
Comprobemos que la recta pasa por \(P(3,4)\):
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3+4-\sqrt{3} =\sqrt{3}+4-\sqrt{3}=4. \]
Problema 4. Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta \(y=2x\) que pasa por el punto \(P(4,2)\).
La recta \(y=2x\) tiene pendiente
\[ m=2. \]
La recta perpendicular tiene, por tanto, pendiente
\[ m_\perp=-\frac{1}{2}. \]
Empleando la forma punto-pendiente con el punto \(P(4,2)\), obtenemos:
\[ y-2=-\frac{1}{2}(x-4). \]
Desarrollando:
\[ y-2=-\frac{1}{2}x+2. \]
Por tanto
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
La ecuación explícita de la recta buscada es
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
En forma implícita:
\[ 2y=-x+8, \]
es decir,
\[ x+2y-8=0. \]
Comprobemos que la recta pasa por \(P(4,2)\):
\[ 2=-\frac{1}{2}\cdot 4+4=-2+4=2. \]
Problema 5. Escribir la ecuación paramétrica de la recta que pasa por \(A(3,-1)\) y \(B(4,1)\). A continuación, obtener la correspondiente ecuación cartesiana.
Calculamos un vector director de la recta:
\[ \boldsymbol{v}=(4-3,\ 1-(-1))=(1,2). \]
Una representación paramétrica de la recta que pasa por \(A(3,-1)\) con vector director \(\boldsymbol{v}=(1,2)\) es
\[ \begin{cases} x=3+t\\ y=-1+2t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Para pasar a la forma cartesiana, despejamos \(t\) de la primera ecuación:
\[ x=3+t, \]
de donde
\[ t=x-3. \]
Sustituyendo en la segunda ecuación:
\[ y=-1+2(x-3). \]
Desarrollando:
\[ y=-1+2x-6=2x-7. \]
Así pues, la forma explícita de la recta es
\[ y=2x-7. \]
Llevando todos los términos al primer miembro, obtenemos la forma implícita:
\[ 2x-y-7=0. \]
Comprobemos que la recta pasa por ambos puntos:
\[ A(3,-1):\quad -1=2\cdot 3-7, \]
\[ B(4,1):\quad 1=2\cdot 4-7. \]
