Una colección progresiva de ejercicios resueltos paso a paso para aprender a transformar correctamente las ecuaciones con valor absoluto, distinguir los casos necesarios y verificar las soluciones obtenidas.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ |x|=7 \]
Resultado
\[ x=-7 \quad \text{o} \quad x=7 \]
Resolución
Si el valor absoluto de un número es igual a \(7\), entonces el número puede ser \(7\) o \(-7\).
\[ |x|=7 \iff x=7 \quad \text{o} \quad x=-7 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=-7 \quad \text{o} \quad x=7} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ |x-3|=5 \]
Resultado
\[ x=-2 \quad \text{o} \quad x=8 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad: \[ |A|=k \iff A=k \quad \text{o} \quad A=-k \] con \(k\ge 0\).
Entonces: \[ x-3=5 \quad \text{o} \quad x-3=-5 \]
Resolvemos la primera ecuación: \[ x-3=5 \Rightarrow x=8 \]
Resolvemos la segunda: \[ x-3=-5 \Rightarrow x=-2 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=-2 \quad \text{o} \quad x=8} \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ |2x-1|=9 \]
Resultado
\[ x=-4 \quad \text{o} \quad x=5 \]
Resolución
El valor absoluto es igual a \(9\), por lo que la expresión interna puede valer \(9\) o \(-9\).
\[ 2x-1=9 \quad \text{o} \quad 2x-1=-9 \]
Primer caso: \[ 2x-1=9 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5 \]
Segundo caso: \[ 2x-1=-9 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4 \]
Entonces: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{o} \quad x=5} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ |x+2|=0 \]
Resultado
\[ x=-2 \]
Resolución
Un valor absoluto es igual a cero solo cuando la expresión que contiene es igual a cero.
\[ |x+2|=0 \iff x+2=0 \]
Resolvemos: \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Entonces: \[ \boxed{x=-2} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ |3x+6|=12 \]
Resultado
\[ x=-6 \quad \text{o} \quad x=2 \]
Resolución
La expresión dentro del valor absoluto puede ser igual a \(12\) o a \(-12\).
\[ 3x+6=12 \quad \text{o} \quad 3x+6=-12 \]
Primer caso: \[ 3x+6=12 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2 \]
Segundo caso: \[ 3x+6=-12 \Rightarrow 3x=-18 \Rightarrow x=-6 \]
Entonces: \[ \boxed{x=-6 \quad \text{o} \quad x=2} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ |x-4|=-3 \]
Resultado
\[ \varnothing \]
Resolución
El valor absoluto de una expresión es siempre mayor o igual a cero: \[ |x-4|\ge 0 \]
Por este motivo nunca puede ser igual a un número negativo.
Como: \[ -3<0 \] la ecuación no tiene solución.
Entonces: \[ \boxed{\varnothing} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ |x-1|=x+3 \]
Resultado
\[ x=-1 \]
Resolución
El segundo miembro debe ser no negativo: \[ x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3 \]
Resolvemos distinguiendo los dos casos del valor absoluto.
Primer caso: \[ x-1=x+3 \] \[ -1=3 \] imposible.
Segundo caso: \[ -(x-1)=x+3 \] \[ -x+1=x+3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \]
La solución encontrada cumple la condición \(x\ge -3\), por lo que es aceptable.
Por lo tanto: \[ \boxed{x=-1} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
\[ |2x-5|=x+1 \]
Resultado
\[ x=\frac{4}{3} \quad \text{o} \quad x=6 \]
Resolución
Primero imponemos que el segundo miembro sea no negativo: \[ x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1 \]
Después resolvemos los dos casos.
Primer caso: \[ 2x-5=x+1 \] \[ x=6 \]
Segundo caso: \[ -(2x-5)=x+1 \] \[ -2x+5=x+1 \] \[ -3x=-4 \] \[ x=\frac{4}{3} \]
Ambas soluciones cumplen \(x\ge -1\).
Entonces: \[ \boxed{x=\frac{4}{3} \quad \text{o} \quad x=6} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ |x+4|=2x-1 \]
Resultado
\[ x=5 \]
Resolución
El segundo miembro debe ser no negativo: \[ 2x-1\ge 0 \] \[ x\ge \frac{1}{2} \]
Primer caso: \[ x+4=2x-1 \] \[ x=5 \]
Segundo caso: \[ -(x+4)=2x-1 \] \[ -x-4=2x-1 \] \[ -3=3x \] \[ x=-1 \]
La solución \(x=-1\) no cumple la condición \(x\ge \frac{1}{2}\), por lo que se descarta.
Queda: \[ \boxed{x=5} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ |x-2|=|x+6| \]
Resultado
\[ x=-2 \]
Resolución
Dos valores absolutos son iguales cuando las expresiones internas son iguales u opuestas.
Primer caso: \[ x-2=x+6 \] \[ -2=6 \] imposible.
Segundo caso: \[ x-2=-(x+6) \] \[ x-2=-x-6 \] \[ 2x=-4 \] \[ x=-2 \]
Entonces: \[ \boxed{x=-2} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
\[ |2x+3|=|x-5| \]
Resultado
\[ x=\frac{2}{3} \quad \text{o} \quad x=-8 \]
Resolución
Resolvemos imponiendo que las dos expresiones sean iguales u opuestas.
Primer caso: \[ 2x+3=x-5 \] \[ x=-8 \]
Segundo caso: \[ 2x+3=-(x-5) \] \[ 2x+3=-x+5 \] \[ 3x=2 \] \[ x=\frac{2}{3} \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=\frac{2}{3} \quad \text{o} \quad x=-8} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
\[ |3x-2|=|x+4| \]
Resultado
\[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-\frac{1}{2} \]
Resolución
También en este caso usamos: \[ |A|=|B| \iff A=B \quad \text{o} \quad A=-B \]
Primer caso: \[ 3x-2=x+4 \] \[ 2x=6 \] \[ x=3 \]
Segundo caso: \[ 3x-2=-(x+4) \] \[ 3x-2=-x-4 \] \[ 4x=-2 \] \[ x=-\frac{1}{2} \]
Entonces: \[ \boxed{x=3 \quad \text{o} \quad x=-\frac{1}{2}} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
\[ |x-1|+|x+3|=6 \]
Resultado
\[ x=-4 \quad \text{o} \quad x=2 \]
Resolución
Los puntos críticos son los que anulan los argumentos de los valores absolutos: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
Estudiamos entonces los intervalos: \[ x<-3, \quad -3\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Primer intervalo: \(x<-3\). En este intervalo ambas expresiones son negativas: \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=-(x+3) \] Por lo tanto: \[ -x+1-x-3=6 \] \[ -2x-2=6 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] La solución pertenece al intervalo \(x<-3\), por lo que es válida.
Segundo intervalo: \(-3\le x<1\). En este intervalo: \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=x+3 \] Por lo tanto: \[ -x+1+x+3=6 \] \[ 4=6 \] imposible.
Tercer intervalo: \(x\ge 1\). En este intervalo ambas expresiones son no negativas: \[ |x-1|=x-1, \qquad |x+3|=x+3 \] Por lo tanto: \[ x-1+x+3=6 \] \[ 2x+2=6 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] La solución pertenece al intervalo \(x\ge 1\), por lo que es válida.
Por lo tanto: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{o} \quad x=2} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ |x+2|+|x-4|=10 \]
Resultado
\[ x=-4 \quad \text{o} \quad x=6 \]
Resolución
Los puntos críticos son: \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Consideramos los intervalos: \[ x<-2, \quad -2\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primer intervalo: \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+4=10 \] \[ -2x+2=10 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] Válida porque \(x<-2\).
Segundo intervalo: \(-2\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+4=10 \] \[ 6=10 \] imposible.
Tercer intervalo: \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-4=10 \] \[ 2x-2=10 \] \[ 2x=12 \] \[ x=6 \] Válida porque \(x\ge 4\).
Entonces: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{o} \quad x=6} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
\[ |2x-1|+|x+2|=8 \]
Resultado
\[ x=-3 \quad \text{o} \quad x=\frac{7}{3} \]
Resolución
Encontramos los puntos críticos: \[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \] \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Los intervalos a estudiar son: \[ x<-2, \quad -2\le x<\frac{1}{2}, \quad x\ge \frac{1}{2} \]
Primer intervalo: \(x<-2\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=-(x+2) \] \[ -2x+1-x-2=8 \] \[ -3x-1=8 \] \[ -3x=9 \] \[ x=-3 \] Válida porque \(x<-2\).
Segundo intervalo: \(-2\le x<\frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=x+2 \] \[ -2x+1+x+2=8 \] \[ -x+3=8 \] \[ x=-5 \] No pertenece al intervalo \(-2\le x<\frac{1}{2}\), por lo que se descarta.
Tercer intervalo: \(x\ge \frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \] \[ 2x-1+x+2=8 \] \[ 3x+1=8 \] \[ 3x=7 \] \[ x=\frac{7}{3} \] Válida porque \(x\ge \frac{1}{2}\).
Por lo tanto: \[ \boxed{x=-3 \quad \text{o} \quad x=\frac{7}{3}} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
\[ |x-2|+|x+1|=3 \]
Resultado
\[ -1\le x\le 2 \]
Resolución
Los puntos críticos son: \[ x=-1, \qquad x=2 \]
Estudiamos los tres intervalos: \[ x<-1, \quad -1\le x<2, \quad x\ge 2 \]
Primer intervalo: \(x<-1\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+2-x-1=3 \] \[ -2x+1=3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \] Esta solución no pertenece al intervalo \(x<-1\), por lo que no se acepta en este caso.
Segundo intervalo: \(-1\le x<2\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+2+x+1=3 \] \[ 3=3 \] La identidad es verdadera para cualquier valor del intervalo.
Por lo tanto, son soluciones todos los valores: \[ -1\le x<2 \]
Tercer intervalo: \(x\ge 2\). \[ |x-2|=x-2, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-2+x+1=3 \] \[ 2x-1=3 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] Válida porque \(x\ge 2\).
Uniendo los resultados: \[ \boxed{-1\le x\le 2} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
\[ |x-3|-|x+1|=2 \]
Resultado
\[ x=0 \]
Resolución
Los puntos críticos son: \[ x=-1, \qquad x=3 \]
Estudiamos los intervalos: \[ x<-1, \quad -1\le x<3, \quad x\ge 3 \]
Primer intervalo: \(x<-1\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+3-(-x-1)=2 \] \[ -x+3+x+1=2 \] \[ 4=2 \] imposible.
Segundo intervalo: \(-1\le x<3\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+3-(x+1)=2 \] \[ -2x+2=2 \] \[ -2x=0 \] \[ x=0 \] Válida porque \(0\in[-1,3)\).
Tercer intervalo: \(x\ge 3\). \[ |x-3|=x-3, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-3-(x+1)=2 \] \[ -4=2 \] imposible.
Verificamos la solución por sustitución: \[ |0-3|-|0+1|=3-1=2 \;\checkmark \]
Entonces: \[ \boxed{x=0} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ |2x+1|-|x-4|=3 \]
Resultado
\[ x=-8 \quad \text{o} \quad x=2 \]
Resolución
Los puntos críticos son: \[ 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Estudiamos los intervalos: \[ x<-\frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{2}\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primer intervalo: \(x<-\frac{1}{2}\). \[ |2x+1|=-(2x+1), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -2x-1-(-x+4)=3 \] \[ -2x-1+x-4=3 \] \[ -x-5=3 \] \[ x=-8 \] Válida porque \(-8<-\frac{1}{2}\).
Segundo intervalo: \(-\frac{1}{2}\le x<4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ 2x+1-(-x+4)=3 \] \[ 2x+1+x-4=3 \] \[ 3x-3=3 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Válida porque \(2\in\left[-\frac{1}{2},4\right)\).
Tercer intervalo: \(x\ge 4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ 2x+1-(x-4)=3 \] \[ x+5=3 \] \[ x=-2 \] No pertenece al intervalo \(x\ge 4\), por lo que se descarta.
Verificamos las soluciones por sustitución: \[ x=-8: \quad |-15|-|-12|=15-12=3 \;\checkmark \] \[ x=2: \quad |5|-|-2|=5-2=3 \;\checkmark \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=-8 \quad \text{o} \quad x=2} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ |x-1|+|2x+4|=9 \]
Resultado
\[ x=-4 \quad \text{o} \quad x=2 \]
Resolución
Los puntos críticos son: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ 2x+4=0 \Rightarrow x=-2 \]
Estudiamos los intervalos: \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Primer intervalo: \(x<-2\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=-(2x+4) \] \[ -x+1-2x-4=9 \] \[ -3x-3=9 \] \[ -3x=12 \] \[ x=-4 \] Válida porque \(x<-2\).
Segundo intervalo: \(-2\le x<1\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ -x+1+2x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] No pertenece al intervalo \(-2\le x<1\), por lo que se descarta.
Tercer intervalo: \(x\ge 1\). \[ |x-1|=x-1, \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ x-1+2x+4=9 \] \[ 3x+3=9 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Válida porque \(x\ge 1\).
Entonces: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{o} \quad x=2} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ |x+2|+|x-1|+|x-4|=9 \]
Resultado
\[ x=-2 \quad \text{o} \quad x=4 \]
Resolución
Los puntos críticos son: \[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=4 \]
Estudiamos los intervalos: \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad 1\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primer intervalo: \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+1-x+4=9 \] \[ -3x+3=9 \] \[ -3x=6 \] \[ x=-2 \] Este valor no pertenece al intervalo \(x<-2\), pero será incluido en el intervalo siguiente si resulta válido.
Segundo intervalo: \(-2\le x<1\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+1-x+4=9 \] \[ -x+7=9 \] \[ x=-2 \] Válida porque \(-2\in[-2,1)\).
Tercer intervalo: \(1\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2+x-1-x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] Este valor no pertenece al intervalo \(1\le x<4\), pero será incluido en el intervalo siguiente si resulta válido.
Cuarto intervalo: \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-1+x-4=9 \] \[ 3x-3=9 \] \[ 3x=12 \] \[ x=4 \] Válida porque \(x\ge 4\).
Por lo tanto: \[ \boxed{x=-2 \quad \text{o} \quad x=4} \]