Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre ecuaciones exponenciales, concebida para aprender no solo a encontrar el resultado, sino sobre todo a reconocer el método adecuado en cada caso. En cada ejercicio analizaremos la estructura de la ecuación, determinaremos qué transformación conviene aplicar y desarrollaremos todos los pasos sin omitir ninguno.
Recordemos el principio fundamental: si \(a>0\) y \(a\ne1\), entonces:
\[ a^u=a^v \quad \Longleftrightarrow \quad u=v \]
Esta propiedad establece que, cuando dos potencias tienen la misma base positiva y distinta de \(1\), la igualdad entre las potencias equivale a la igualdad entre los exponentes. Por esta razón, en muchos ejercicios el primer objetivo será transformar ambos miembros en potencias con la misma base.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 2^x=16 \]
Solución
\[ S=\{4\} \]
Resolución
La ecuación es exponencial porque la incógnita \(x\) aparece en el exponente:
\[ 2^x=16 \]
El primer miembro es ya una potencia de base \(2\). Para poder comparar los exponentes, debemos escribir también el segundo miembro como potencia de \(2\).
Observamos que:
\[ 16=2^4 \]
en efecto:
\[ 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16 \]
Sustituyendo \(16\) por \(2^4\), la ecuación queda:
\[ 2^x=2^4 \]
Ahora los dos miembros son potencias con la misma base \(2\). Como:
\[ 2>0 \quad \text{y} \quad 2\ne1 \]
podemos aplicar la inyectividad de la función exponencial e igualar los exponentes:
\[ x=4 \]
Por tanto:
\[ S=\{4\} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 3^x=81 \]
Solución
\[ S=\{4\} \]
Resolución
Esta también es una ecuación exponencial, pues la incógnita \(x\) se encuentra en el exponente.
El primer miembro es una potencia de base \(3\):
\[ 3^x \]
Para aplicar el método de la misma base, debemos reescribir también el segundo miembro como potencia de \(3\).
Calculamos las potencias sucesivas de \(3\):
\[ 3^1=3,\qquad 3^2=9,\qquad 3^3=27,\qquad 3^4=81 \]
Luego:
\[ 81=3^4 \]
La ecuación puede reescribirse como:
\[ 3^x=3^4 \]
En este punto las bases son iguales. No estamos eliminando el \(3\) de forma mecánica: estamos aplicando el hecho de que la función exponencial de base \(3\) es inyectiva.
Por tanto, los exponentes deben ser iguales:
\[ x=4 \]
La solución es:
\[ S=\{4\} \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 5^{x-1}=25 \]
Solución
\[ S=\{3\} \]
Resolución
El primer miembro es una potencia de base \(5\), pero el exponente no es simplemente \(x\): es \(x-1\).
Esto no altera el método. Debemos igualmente intentar escribir el segundo miembro como potencia de la misma base.
Como:
\[ 25=5^2 \]
podemos reescribir la ecuación en la forma:
\[ 5^{x-1}=5^2 \]
Ahora tenemos dos potencias con la misma base \(5\). Puesto que:
\[ 5>0 \quad \text{y} \quad 5\ne1 \]
podemos igualar los exponentes:
\[ x-1=2 \]
Esta ya no es una ecuación exponencial, sino una simple ecuación lineal. Sumamos \(1\) a ambos miembros:
\[ x=2+1 \]
de donde:
\[ x=3 \]
Por tanto:
\[ S=\{3\} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 2^{2x+1}=32 \]
Solución
\[ S=\{2\} \]
Resolución
La ecuación contiene una potencia de base \(2\):
\[ 2^{2x+1} \]
El segundo miembro es el número \(32\). Antes de comparar los exponentes, debemos escribir \(32\) como potencia de \(2\).
Como:
\[ 32=2^5 \]
la ecuación queda:
\[ 2^{2x+1}=2^5 \]
Las dos potencias tienen la misma base positiva y distinta de \(1\). Podemos, pues, igualar los exponentes:
\[ 2x+1=5 \]
Resolvemos ahora la ecuación lineal obtenida. Restamos \(1\) a ambos miembros:
\[ 2x=5-1 \]
de donde:
\[ 2x=4 \]
Dividimos ambos miembros entre \(2\):
\[ x=2 \]
Por tanto:
\[ S=\{2\} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 4^x=64 \]
Solución
\[ S=\{3\} \]
Resolución
El primer miembro es una potencia de base \(4\):
\[ 4^x \]
Para resolver la ecuación con el método de la misma base, debemos escribir también el segundo miembro como potencia de \(4\).
Observamos que:
\[ 64=4^3 \]
en efecto:
\[ 4^3=4\cdot4\cdot4=64 \]
La ecuación queda entonces:
\[ 4^x=4^3 \]
Ahora las dos potencias tienen la misma base \(4\). Como \(4>0\) y \(4\ne1\), podemos igualar los exponentes:
\[ x=3 \]
Por tanto:
\[ S=\{3\} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 9^x=3^{x+2} \]
Solución
\[ S=\{2\} \]
Resolución
En esta ecuación las bases no coinciden: en el primer miembro aparece la base \(9\), mientras que en el segundo aparece la base \(3\).
Sin embargo, el número \(9\) puede escribirse como potencia de \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Reescribimos entonces el primer miembro:
\[ 9^x=(3^2)^x \]
Aplicamos ahora la propiedad de la potencia de una potencia:
\[ (a^m)^n=a^{mn} \]
Obtenemos así:
\[ (3^2)^x=3^{2x} \]
La ecuación inicial queda entonces:
\[ 3^{2x}=3^{x+2} \]
Ahora los dos miembros son potencias con la misma base positiva y distinta de \(1\). Podemos, pues, igualar los exponentes:
\[ 2x=x+2 \]
Restamos \(x\) a ambos miembros:
\[ 2x-x=2 \]
de donde:
\[ x=2 \]
Por tanto:
\[ S=\{2\} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 8^x=4^{x+1} \]
Solución
\[ S=\{2\} \]
Resolución
En esta ecuación aparecen dos bases distintas:
\[ 8 \quad \text{y} \quad 4 \]
Antes de comparar los exponentes, debemos buscar una base común.
Observamos que tanto \(8\) como \(4\) son potencias de \(2\):
\[ 8=2^3 \]
y:
\[ 4=2^2 \]
Reescribimos entonces ambos miembros.
Para el primer miembro:
\[ 8^x=(2^3)^x \]
Aplicando la propiedad de la potencia de una potencia, obtenemos:
\[ (2^3)^x=2^{3x} \]
Para el segundo miembro:
\[ 4^{x+1}=(2^2)^{x+1} \]
Aplicando de nuevo la misma propiedad:
\[ (2^2)^{x+1}=2^{2(x+1)} \]
La ecuación queda:
\[ 2^{3x}=2^{2(x+1)} \]
Ahora las bases coinciden, por lo que podemos igualar los exponentes:
\[ 3x=2(x+1) \]
Desarrollamos el segundo miembro:
\[ 3x=2x+2 \]
Restamos \(2x\) a ambos miembros:
\[ 3x-2x=2 \]
de donde:
\[ x=2 \]
Por tanto:
\[ S=\{2\} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=8 \]
Solución
\[ S=\{2\} \]
Resolución
En el primer miembro aparece el producto de dos potencias con la misma base:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2} \]
Cuando se multiplican potencias con la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Aplicando esta propiedad, obtenemos:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=2^{(x+1)+(x-2)} \]
Simplificamos ahora el exponente:
\[ (x+1)+(x-2)=x+1+x-2=2x-1 \]
El primer miembro queda entonces:
\[ 2^{2x-1} \]
La ecuación toma así la forma:
\[ 2^{2x-1}=8 \]
Escribimos ahora también \(8\) como potencia de \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Obtenemos:
\[ 2^{2x-1}=2^3 \]
Como las bases coinciden, igualamos los exponentes:
\[ 2x-1=3 \]
Sumamos \(1\) a ambos miembros:
\[ 2x=4 \]
Dividimos ambos miembros entre \(2\):
\[ x=2 \]
La solución es:
\[ S=\{2\} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}}=27 \]
Solución
\[ S=\mathbb{R} \]
Resolución
En el primer miembro aparece un cociente de potencias con la misma base:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} \]
Cuando se dividen potencias con la misma base, se conserva la base y se restan los exponentes:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a\ne0) \]
Aplicamos esta propiedad:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} = 3^{(x+2)-(x-1)} \]
Simplificamos con cuidado el exponente:
\[ (x+2)-(x-1)=x+2-x+1 \]
de donde:
\[ (x+2)-(x-1)=3 \]
El primer miembro queda, pues:
\[ 3^3 \]
Como:
\[ 3^3=27 \]
la ecuación inicial se reduce a:
\[ 27=27 \]
Esta igualdad es siempre verdadera y no impone ninguna condición sobre la incógnita \(x\).
Todo número real satisface, por tanto, la ecuación.
Por tanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 5^{2x}=125\cdot5^x \]
Solución
\[ S=\{3\} \]
Resolución
En el segundo miembro aparece el número \(125\) multiplicado por una potencia de \(5\). Para trabajar con una única base, reescribimos \(125\) como potencia de \(5\).
Como:
\[ 125=5^3 \]
obtenemos:
\[ 125\cdot5^x=5^3\cdot5^x \]
Aplicamos ahora la propiedad del producto de potencias con la misma base:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Luego:
\[ 5^3\cdot5^x=5^{3+x} \]
es decir:
\[ 5^3\cdot5^x=5^{x+3} \]
La ecuación inicial queda:
\[ 5^{2x}=5^{x+3} \]
Ahora las bases coinciden, por lo que podemos igualar los exponentes:
\[ 2x=x+3 \]
Restamos \(x\) a ambos miembros:
\[ 2x-x=3 \]
de donde:
\[ x=3 \]
Por tanto:
\[ S=\{3\} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Solución
\[ S=\{0,2\} \]
Resolución
En esta ecuación no podemos resolver directamente igualando las bases, pues la incógnita aparece en varios términos:
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Sin embargo, observamos una estructura importante:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Esto significa que la ecuación puede interpretarse como una ecuación de segundo grado en la cantidad \(2^x\).
Introducimos, pues, la sustitución:
\[ t=2^x \]
Como una potencia de base positiva es siempre positiva, debemos imponer:
\[ t>0 \]
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos:
\[ t^2-5t+4=0 \]
Ya no tenemos una ecuación exponencial, sino una ecuación de segundo grado ordinaria.
Buscamos dos números cuyo producto sea \(4\) y cuya suma sea \(-5\). Dichos números son \(-1\) y \(-4\).
Podemos, pues, factorizar el trinomio:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
La ecuación queda:
\[ (t-1)(t-4)=0 \]
Un producto es nulo cuando al menos uno de sus factores es nulo. Obtenemos, pues:
\[ t-1=0 \]
o bien:
\[ t-4=0 \]
De donde:
\[ t=1 \]
o bien:
\[ t=4 \]
Ambos valores son positivos, luego satisfacen la condición \(t>0\).
Volvemos ahora a la variable original.
Si:
\[ t=1 \]
entonces:
\[ 2^x=1 \]
Recordamos que:
\[ 1=2^0 \]
luego:
\[ 2^x=2^0 \]
de donde:
\[ x=0 \]
Si, en cambio:
\[ t=4 \]
entonces:
\[ 2^x=4 \]
Como:
\[ 4=2^2 \]
obtenemos:
\[ 2^x=2^2 \]
luego:
\[ x=2 \]
Las soluciones finales son:
\[ S=\{0,2\} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 3^{2x}-10\cdot3^x+9=0 \]
Solución
\[ S=\{0,2\} \]
Resolución
También en esta ecuación aparece una estructura análoga a la de un trinomio de segundo grado.
En efecto:
\[ 3^{2x}=(3^x)^2 \]
Introducimos, pues, la sustitución:
\[ t=3^x \]
Como una potencia de base positiva es siempre positiva:
\[ t>0 \]
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos:
\[ t^2-10t+9=0 \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(9\) y cuya suma sea \(-10\). Dichos números son \(-1\) y \(-9\).
Podemos, pues, factorizar:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
La ecuación queda:
\[ (t-1)(t-9)=0 \]
Un producto es nulo cuando al menos uno de sus factores es nulo. Obtenemos:
\[ t=1 \]
o bien:
\[ t=9 \]
Ambas soluciones satisfacen la condición \(t>0\).
Volvemos ahora a la variable original.
Si:
\[ t=1 \]
entonces:
\[ 3^x=1 \]
Como:
\[ 1=3^0 \]
obtenemos:
\[ 3^x=3^0 \]
luego:
\[ x=0 \]
Si, en cambio:
\[ t=9 \]
entonces:
\[ 3^x=9 \]
Como:
\[ 9=3^2 \]
obtenemos:
\[ 3^x=3^2 \]
de donde:
\[ x=2 \]
Las soluciones finales son:
\[ S=\{0,2\} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Resuelve la ecuación:
\[ 4^x-6\cdot2^x+8=0 \]
Solución
\[ S=\{1,2\} \]
Resolución
En esta ecuación aparecen tanto \(4^x\) como \(2^x\). Para poder aplicar una sustitución, debemos expresar todo en función de la misma base.
Observamos que:
\[ 4=2^2 \]
luego:
\[ 4^x=(2^2)^x \]
Aplicando la propiedad de la potencia de una potencia:
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
Además:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
La ecuación inicial queda entonces:
\[ (2^x)^2-6\cdot2^x+8=0 \]
Introducimos ahora la sustitución:
\[ t=2^x \]
con la condición:
\[ t>0 \]
Obtenemos así:
\[ t^2-6t+8=0 \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(8\) y cuya suma sea \(-6\). Dichos números son \(-2\) y \(-4\).
Podemos, pues, factorizar:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
La ecuación queda:
\[ (t-2)(t-4)=0 \]
De donde:
\[ t=2 \]
o bien:
\[ t=4 \]
Ambas soluciones son positivas, luego son aceptables.
Volvemos a la variable original.
Si:
\[ t=2 \]
entonces:
\[ 2^x=2 \]
es decir:
\[ 2^x=2^1 \]
de donde:
\[ x=1 \]
Si, en cambio:
\[ t=4 \]
entonces:
\[ 2^x=4 \]
Como:
\[ 4=2^2 \]
obtenemos:
\[ 2^x=2^2 \]
luego:
\[ x=2 \]
Las soluciones finales son:
\[ S=\{1,2\} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Resuelve la ecuación:
\[ 2^{x+1}+2^x=24 \]
Solución
\[ S=\{3\} \]
Resolución
En esta ecuación aparecen dos potencias con la misma base \(2\), pero con exponentes distintos:
\[ 2^{x+1} \quad \text{y} \quad 2^x \]
La idea consiste en reescribir ambas potencias en función de la misma cantidad, es decir, \(2^x\).
Observamos que:
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
Como:
\[ 2^1=2 \]
obtenemos:
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
Sustituimos esta expresión en la ecuación inicial:
\[ 2\cdot2^x+2^x=24 \]
Ahora los dos términos del primer miembro tienen el factor común \(2^x\). Podemos, pues, extraerlo:
\[ 2^x(2+1)=24 \]
Calculamos la suma entre paréntesis:
\[ 2+1=3 \]
La ecuación queda:
\[ 3\cdot2^x=24 \]
Dividimos ambos miembros entre \(3\):
\[ 2^x=8 \]
Escribimos ahora \(8\) como potencia de \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Obtenemos:
\[ 2^x=2^3 \]
Como las bases coinciden, igualamos los exponentes:
\[ x=3 \]
La solución es:
\[ S=\{3\} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Resuelve la ecuación:
\[ 3^{x+2}-3^x=72 \]
Solución
\[ S=\{2\} \]
Resolución
En esta ecuación aparecen dos potencias con la misma base \(3\), pero con exponentes distintos:
\[ 3^{x+2} \quad \text{y} \quad 3^x \]
La idea consiste en reescribir \(3^{x+2}\) de modo que quede en evidencia el factor común \(3^x\).
Usando la propiedad:
\[ a^{m+n}=a^m\cdot a^n \]
podemos escribir:
\[ 3^{x+2}=3^x\cdot3^2 \]
Puesto que:
\[ 3^2=9 \]
se sigue:
\[ 3^{x+2}=9\cdot3^x \]
Sustituimos en la ecuación inicial:
\[ 9\cdot3^x-3^x=72 \]
Los dos términos del primer miembro tienen el factor común \(3^x\). Extraemos dicho factor:
\[ 3^x(9-1)=72 \]
Calculamos:
\[ 9-1=8 \]
Luego:
\[ 8\cdot3^x=72 \]
Dividimos ambos miembros entre \(8\):
\[ 3^x=9 \]
Escribimos ahora \(9\) como potencia de \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Obtenemos:
\[ 3^x=3^2 \]
Como las bases coinciden, igualamos los exponentes:
\[ x=2 \]
Por tanto:
\[ S=\{2\} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Resuelve la ecuación:
\[ 2^{x+2}-2^{x+1}=8 \]
Solución
\[ S=\{2\} \]
Resolución
En esta ecuación aparecen dos potencias de base \(2\):
\[ 2^{x+2} \quad \text{y} \quad 2^{x+1} \]
Para simplificar la expresión, conviene reescribir ambas en función de \(2^x\).
Para la primera potencia:
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot2^2 \]
Como:
\[ 2^2=4 \]
obtenemos:
\[ 2^{x+2}=4\cdot2^x \]
Para la segunda potencia:
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
y por tanto:
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
Sustituimos estas expresiones en la ecuación inicial:
\[ 4\cdot2^x-2\cdot2^x=8 \]
Extraemos el factor común \(2^x\):
\[ 2^x(4-2)=8 \]
Calculamos:
\[ 4-2=2 \]
Luego:
\[ 2\cdot2^x=8 \]
Dividimos ambos miembros entre \(2\):
\[ 2^x=4 \]
Escribimos \(4\) como potencia de \(2\):
\[ 4=2^2 \]
Luego:
\[ 2^x=2^2 \]
Igualando los exponentes:
\[ x=2 \]
La solución es:
\[ S=\{2\} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Resuelve la ecuación:
\[ 2^x+2^{-x}=\frac{5}{2} \]
Solución
\[ S=\{-1,1\} \]
Resolución
En esta ecuación aparecen dos potencias relacionadas entre sí:
\[ 2^x \quad \text{y} \quad 2^{-x} \]
La presencia del exponente negativo sugiere utilizar la propiedad:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]
Aplicándola, obtenemos:
\[ 2^{-x}=\frac{1}{2^x} \]
La ecuación queda entonces:
\[ 2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2} \]
En este punto aparece reiteradamente la cantidad \(2^x\). Introducimos, pues, la sustitución:
\[ t=2^x \]
Como una potencia de base positiva es siempre positiva, debemos recordar que:
\[ t>0 \]
Además:
\[ \frac{1}{2^x}=\frac{1}{t} \]
La ecuación se transforma en:
\[ t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2} \]
Para eliminar el denominador, multiplicamos ambos miembros por \(2t\).
Esta operación es válida porque \(t>0\), luego:
\[ 2t\ne0 \]
Obtenemos:
\[ 2t\left(t+\frac{1}{t}\right)=2t\cdot\frac{5}{2} \]
Desarrollamos el primer miembro:
\[ 2t\cdot t+2t\cdot\frac{1}{t}=5t \]
es decir:
\[ 2t^2+2=5t \]
Pasamos todos los términos al primer miembro:
\[ 2t^2-5t+2=0 \]
Factorizamos el trinomio:
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
La ecuación queda:
\[ (2t-1)(t-2)=0 \]
Por la regla del producto nulo:
\[ 2t-1=0 \]
o bien:
\[ t-2=0 \]
En el primer caso:
\[ 2t=1 \]
luego:
\[ t=\frac{1}{2} \]
En el segundo caso:
\[ t=2 \]
Ambos valores satisfacen la condición \(t>0\).
Volvemos ahora a la variable original.
Si:
\[ t=\frac{1}{2} \]
entonces:
\[ 2^x=\frac{1}{2} \]
Como:
\[ \frac{1}{2}=2^{-1} \]
obtenemos:
\[ 2^x=2^{-1} \]
luego:
\[ x=-1 \]
Si, en cambio:
\[ t=2 \]
entonces:
\[ 2^x=2 \]
es decir:
\[ 2^x=2^1 \]
de donde:
\[ x=1 \]
Las soluciones finales son:
\[ S=\{-1,1\} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Resuelve la ecuación:
\[ 3^x=7 \]
Solución
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Resolución
En esta ecuación la incógnita \(x\) aparece en el exponente:
\[ 3^x=7 \]
El primer miembro es una potencia de base \(3\). Para aplicar el método de la misma base, deberíamos poder escribir también \(7\) como potencia de \(3\).
Sin embargo, \(7\) no es una potencia entera de \(3\). En efecto:
\[ 3^1=3 \]
mientras que:
\[ 3^2=9 \]
El número \(7\) se encuentra entre \(3\) y \(9\), pero no coincide con ninguna potencia entera de \(3\).
Esto no significa que la ecuación sea imposible. Significa únicamente que la solución no se obtiene con un exponente entero sencillo.
Para determinar el exponente al que hay que elevar \(3\) para obtener \(7\), utilizamos el logaritmo en base \(3\).
Por definición:
\[ \log_3 7 \]
es precisamente el exponente al que hay que elevar \(3\) para obtener \(7\).
Por tanto:
\[ 3^x=7 \quad \Longleftrightarrow \quad x=\log_3 7 \]
La solución es:
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Resuelve la ecuación:
\[ 2^{3x-1}=5 \]
Solución
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Resolución
La ecuación es exponencial porque la incógnita aparece en el exponente:
\[ 2^{3x-1}=5 \]
El primer miembro es una potencia de base \(2\). Si el segundo miembro fuera una potencia de \(2\), podríamos igualar directamente los exponentes.
Sin embargo, \(5\) no es una potencia entera de \(2\). En efecto:
\[ 2^2=4 \]
mientras que:
\[ 2^3=8 \]
El número \(5\) está comprendido entre \(4\) y \(8\), luego la solución existe, pero no es un número entero.
Para aislar el exponente \(3x-1\), utilizamos el logaritmo en base \(2\). Aplicando el logaritmo en base \(2\) a ambos miembros, obtenemos:
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=\log_2 5 \]
El logaritmo en base \(2\) y la función exponencial de base \(2\) son operaciones inversas. Por ello:
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=3x-1 \]
La ecuación queda entonces:
\[ 3x-1=\log_2 5 \]
Ya no tenemos una ecuación exponencial, sino una simple ecuación lineal en la incógnita \(x\).
Sumamos \(1\) a ambos miembros:
\[ 3x=1+\log_2 5 \]
Dividimos ambos miembros entre \(3\):
\[ x=\frac{1+\log_2 5}{3} \]
La solución es:
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resuelve la ecuación:
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
Solución
\[ S=\{1\} \]
Resolución
En esta ecuación aparecen dos potencias distintas:
\[ 4^x \quad \text{y} \quad 2^x \]
La presencia de \(4^x\) y \(2^x\) sugiere reescribir todo en función de la misma cantidad.
Puesto que:
\[ 4=2^2 \]
podemos transformar \(4^x\) de la siguiente manera:
\[ 4^x=(2^2)^x \]
Aplicando la propiedad de la potencia de una potencia:
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
Además:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Luego:
\[ 4^x=(2^x)^2 \]
La ecuación inicial:
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
queda:
\[ (2^x)^2+2^x-6=0 \]
En este punto, la estructura es similar a la de una ecuación de segundo grado. Introducimos, pues, la sustitución:
\[ t=2^x \]
Como una potencia de base positiva es siempre positiva, debemos imponer:
\[ t>0 \]
Sustituyendo, obtenemos:
\[ t^2+t-6=0 \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(-6\) y cuya suma sea \(1\). Dichos números son \(3\) y \(-2\).
Podemos, pues, factorizar:
\[ t^2+t-6=(t+3)(t-2) \]
La ecuación queda:
\[ (t+3)(t-2)=0 \]
Por la regla del producto nulo, al menos uno de los dos factores debe ser nulo. Obtenemos:
\[ t+3=0 \]
o bien:
\[ t-2=0 \]
En el primer caso:
\[ t=-3 \]
En el segundo caso:
\[ t=2 \]
Recordamos, no obstante, la condición de la sustitución:
\[ t>0 \]
El valor:
\[ t=-3 \]
debe descartarse, pues no existe ningún número real \(x\) tal que:
\[ 2^x=-3 \]
Queda, por tanto, únicamente:
\[ t=2 \]
Volvemos a la variable original. Como:
\[ t=2^x \]
de la condición \(t=2\) obtenemos:
\[ 2^x=2 \]
es decir:
\[ 2^x=2^1 \]
Como las bases coinciden, igualamos los exponentes:
\[ x=1 \]
La solución final es:
\[ S=\{1\} \]