Una colección progresiva para aprender a resolver ecuaciones con radicales. En cada ejercicio aislamos las raíces, elevamos al cuadrado con cuidado y comprobamos siempre las soluciones obtenidas. Esta fase de comprobación resulta fundamental, porque elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas: se trata de valores que surgen correctamente de los cálculos algebraicos, pero que no satisfacen la ecuación original y, por tanto, deben descartarse.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x}=3 \]
Resultado
\[ x=9 \]
Resolución
Estrategia de resolución
La raíz ya está aislada. Para eliminarla, elevamos al cuadrado ambos miembros.
Paso 1
\[ \sqrt{x}=3 \]
La raíz cuadrada está aislada en el primer miembro.
\[ (\sqrt{x})^2=3^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz.
\[ x=9 \]
El cuadrado de la raíz devuelve el radicando.
Comprobación
\[ \sqrt{9}=3 \]
La igualdad se cumple, por lo que la solución es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=9} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
Resultado
\[ x=15 \]
Resolución
Estrategia de resolución
La raíz ya está aislada. Elevamos al cuadrado y, a continuación, resolvemos la ecuación lineal que se obtiene.
Paso 1
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
El radical contiene \(x+1\), por lo que hay que eliminar la raíz.
\[ (\sqrt{x+1})^2=4^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros.
\[ x+1=16 \]
Tras elevar al cuadrado queda una ecuación de primer grado.
Paso 2
\[ x=16-1 \]
Restamos \(1\) en ambos miembros para despejar \(x\).
\[ x=15 \]
Comprobación
\[ \sqrt{15+1}=\sqrt{16}=4 \]
La solución satisface la ecuación inicial.
Resultado
\[ \boxed{x=15} \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
Resultado
\[ x=5 \]
Resolución
Estrategia de resolución
La raíz está aislada. Elevamos al cuadrado y, después, resolvemos la ecuación lineal.
Paso 1
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
El radicando es \(2x-1\). Para eliminar la raíz, elevamos al cuadrado.
\[ 2x-1=9 \]
El segundo miembro pasa a ser \(3^2=9\).
Paso 2
\[ 2x=10 \]
Sumamos \(1\) en ambos miembros.
\[ x=5 \]
Dividimos ambos miembros entre \(2\).
Comprobación
\[ \sqrt{2\cdot5-1}=\sqrt{9}=3 \]
La solución es correcta.
Resultado
\[ \boxed{x=5} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolución
Estrategia de resolución
La raíz está aislada. Como \(\sqrt{x}\ge0\), el segundo miembro también ha de ser no negativo: \(x-2\ge0\), es decir, \(x\ge2\).
Paso 1
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Podemos elevar al cuadrado, ya que la raíz está aislada.
\[ x=(x-2)^2 \]
El primer miembro queda como \(x\), mientras que el segundo se desarrolla como cuadrado de un binomio.
Paso 2
\[ x=x^2-4x+4 \]
Hemos desarrollado \((x-2)^2=x^2-4x+4\).
\[ x^2-5x+4=0 \]
Pasamos todos los términos a un mismo miembro para obtener una ecuación de segundo grado.
Paso 3
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \]
Factorizamos el trinomio buscando dos números cuyo producto sea \(4\) y cuya suma sea \(-5\): son \(-1\) y \(-4\).
\[ (x-1)(x-4)=0 \]
Un producto es nulo cuando, al menos, uno de los factores se anula.
\[ x=1 \quad \text{o bien} \quad x=4 \]
Comprobación
Para \(x=1\): \[ \sqrt{1}=1,\qquad 1-2=-1 \]
Los dos miembros no coinciden, por lo que \(x=1\) es una solución extraña.
Para \(x=4\): \[ \sqrt{4}=2,\qquad 4-2=2 \]
Los dos miembros coinciden, así que \(x=4\) es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+2}=x \]
Resultado
\[ x=2 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El segundo miembro es \(x\). Como una raíz cuadrada es siempre no negativa, debe cumplirse \(x\ge0\).
Paso 1
\[ \sqrt{x+2}=x \]
La raíz está aislada, así que podemos elevar al cuadrado.
\[ x+2=x^2 \]
El cuadrado de la raíz elimina el símbolo radical.
Paso 2
\[ x^2-x-2=0 \]
Pasamos todos los términos a un miembro para obtener una cuadrática ordenada.
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
Factorizamos el trinomio: el producto vale \(-2\) y la suma \(-1\).
\[ x=2 \quad \text{o bien} \quad x=-1 \]
Aplicamos la propiedad del producto nulo.
Comprobación
\(x=-1\) no puede aceptarse porque no cumple la condición \(x\ge0\).
Para \(x=2\): \[ \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 \]
La solución satisface la ecuación inicial.
Resultado
\[ \boxed{x=2} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Resultado
\[ x=5 \]
Resolución
Estrategia de resolución
La raíz ya está aislada. Como una raíz cuadrada es siempre no negativa, debe cumplirse también \(x-2\ge0\), es decir, \(x\ge2\).
Paso 1
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Podemos elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz.
\[ x+4=(x-2)^2 \]
El primer miembro queda como el radicando \(x+4\), mientras que el segundo es un cuadrado de binomio.
Paso 2
\[ x+4=x^2-4x+4 \]
Desarrollamos \((x-2)^2\) usando la fórmula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
\[ x^2-5x=0 \]
Pasamos todos los términos a un miembro y simplificamos \(+4\) con \(+4\).
Paso 3
\[ x(x-5)=0 \]
Sacamos factor común \(x\).
\[ x=0 \quad \text{o bien} \quad x=5 \]
Un producto es nulo si alguno de los factores se anula.
Comprobación
\(x=0\) no satisface la condición \(x\ge2\), así que se descarta.
Para \(x=5\): \[ \sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3 \]
El segundo miembro vale: \[ 5-2=3 \]
Los dos miembros coinciden, así que \(x=5\) es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=5} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
Resultado
\[ x=3 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El segundo miembro es \(x\). Como el primer miembro es una raíz cuadrada, debe cumplirse \(x\ge0\). Después de elevar al cuadrado, comprobamos las soluciones.
Paso 1
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
La raíz está aislada, así que podemos elevar al cuadrado ambos miembros.
\[ 2x+3=x^2 \]
El cuadrado de la raíz elimina el radical.
Paso 2
\[ x^2-2x-3=0 \]
Pasamos todos los términos a un miembro para obtener una ecuación de segundo grado en forma normal.
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
Factorizamos el trinomio: hacen falta dos números con producto \(-3\) y suma \(-2\), es decir, \(-3\) y \(+1\).
Paso 3
\[ x-3=0 \quad \text{o bien} \quad x+1=0 \]
Aplicamos la propiedad del producto nulo.
\[ x=3 \quad \text{o bien} \quad x=-1 \]
Comprobación
\(x=-1\) no satisface la condición \(x\ge0\), así que se descarta.
Para \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt{9}=3 \]
El segundo miembro coincide con \(x=3\), así que la ecuación se cumple.
Resultado
\[ \boxed{x=3} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El segundo miembro debe ser no negativo, ya que es igual a una raíz cuadrada. Por tanto, \(x-1\ge0\), es decir, \(x\ge1\).
Paso 1
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
La raíz está aislada: elevamos al cuadrado ambos miembros.
\[ x+5=(x-1)^2 \]
El radical desaparece y el segundo miembro pasa a ser un cuadrado de binomio.
Paso 2
\[ x+5=x^2-2x+1 \]
Desarrollamos \((x-1)^2=x^2-2x+1\).
\[ x^2-3x-4=0 \]
Pasamos todo a un miembro para obtener una cuadrática ordenada.
Paso 3
\[ x^2-3x-4=(x-4)(x+1) \]
Factorizamos el trinomio: el producto debe ser \(-4\) y la suma \(-3\), por lo que los números son \(-4\) y \(+1\).
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
Un producto es nulo cuando, al menos, uno de los factores se anula.
\[ x=4 \quad \text{o bien} \quad x=-1 \]
Comprobación
\(x=-1\) no satisface la condición \(x\ge1\), así que se descarta.
Para \(x=4\): \[ \sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3 \]
El segundo miembro vale: \[ 4-1=3 \]
Los dos miembros coinciden, así que \(x=4\) es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Resultado
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio exige \(x\ge0\). Como hay dos radicales, aislamos una raíz y, luego, elevamos al cuadrado.
Paso 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Aislamos \(\sqrt{x+1}\), pasando \(\sqrt{x}\) al segundo miembro.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x} \]
Ya tenemos una raíz aislada y podemos elevar al cuadrado.
Paso 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x})^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros. A la derecha aparece el cuadrado de un binomio.
\[ x+1=9-6\sqrt{x}+x \]
En efecto, \((3-\sqrt{x})^2=9-6\sqrt{x}+x\).
Paso 3
\[ 1=9-6\sqrt{x} \]
Restamos \(x\) en ambos miembros.
\[ 6\sqrt{x}=8 \]
Pasamos el término con la raíz al primer miembro y el término numérico al segundo.
\[ \sqrt{x}=\dfrac{4}{3} \]
Dividimos ambos miembros entre \(6\).
Paso 4
\[ x=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \]
Elevamos de nuevo al cuadrado para eliminar la última raíz.
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Comprobación
Sustituimos \(x=\dfrac{16}{9}\) en la ecuación inicial: \[ \sqrt{\dfrac{16}{9}+1}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Sumamos dentro de la primera raíz: \[ \sqrt{\dfrac{25}{9}}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Calculamos las dos raíces: \[ \dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}=3 \]
La igualdad se cumple, así que la solución es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=\dfrac{16}{9}} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Resultado
\[ x=3 \]
Resolución
Estrategia de resolución
Los dos radicandos exigen \(x+6\ge0\) y \(x+1\ge0\), por lo que el dominio es \(x\ge-1\). Aislamos una raíz y, después, elevamos al cuadrado.
Paso 1
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Pasamos \(-\sqrt{x+1}\) al segundo miembro.
\[ \sqrt{x+6}=1+\sqrt{x+1} \]
Ya tenemos la raíz \(\sqrt{x+6}\) aislada.
Paso 2
\[ x+6=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros.
\[ x+6=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Desarrollamos el cuadrado del binomio \((1+\sqrt{x+1})^2\).
Paso 3
\[ x+6=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Sumamos los términos numéricos \(1+1=2\).
\[ 4=2\sqrt{x+1} \]
Restamos \(x+2\) en ambos miembros.
\[ \sqrt{x+1}=2 \]
Dividimos ambos miembros entre \(2\).
Paso 4
\[ x+1=4 \]
Elevamos al cuadrado para eliminar la última raíz.
\[ x=3 \]
Restamos \(1\) en ambos miembros.
Comprobación
Sustituimos \(x=3\): \[ \sqrt{3+6}-\sqrt{3+1} \]
Calculamos los radicandos: \[ \sqrt{9}-\sqrt{4} \]
Calculamos las raíces: \[ 3-2=1 \]
La igualdad se cumple, así que la solución es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=3} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Resultado
\[ x=3 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio exige \(x\ge2\). Aislamos una raíz y, luego, elevamos al cuadrado dos veces.
Paso 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Pasamos \(\sqrt{x-2}\) al segundo miembro para aislar una raíz.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x-2} \]
Paso 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x-2})^2 \]
Elevamos al cuadrado para eliminar la primera raíz.
\[ x+1=9-6\sqrt{x-2}+x-2 \]
Paso 3
\[ x+1=x+7-6\sqrt{x-2} \]
Simplificamos los términos semejantes.
\[ 6\sqrt{x-2}=6 \]
\[ \sqrt{x-2}=1 \]
Paso 4
\[ x-2=1 \]
Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz.
\[ x=3 \]
Comprobación
\[ \sqrt{3+1}+\sqrt{3-2}=2+1=3 \]
La solución es correcta.
Resultado
\[ \boxed{x=3} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+5}+\sqrt{x}=5 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio es \(x\ge0\). Aislamos una raíz y, luego, elevamos al cuadrado.
Paso 1
\[ \sqrt{x+5}=5-\sqrt{x} \]
Aislamos una raíz para poder eliminar el radical.
Paso 2
\[ x+5=(5-\sqrt{x})^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros.
\[ x+5=25-10\sqrt{x}+x \]
Paso 3
\[ 5=25-10\sqrt{x} \]
Simplificamos restando \(x\) en ambos miembros.
\[ 10\sqrt{x}=20 \]
\[ \sqrt{x}=2 \]
Paso 4
\[ x=4 \]
Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz.
Comprobación
\[ \sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5 \]
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{3x+4}=x+2 \]
Resultado
\[ x=-1 \quad \text{o bien} \quad x=0 \]
Resolución
Estrategia de resolución
Como el segundo miembro es \(x+2\), debe cumplirse \(x+2\ge0\). La raíz ya está aislada.
Paso 1
\[ 3x+4=(x+2)^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros.
Paso 2
\[ 3x+4=x^2+4x+4 \]
\[ x^2+x=0 \]
Pasamos todos los términos a un miembro.
Paso 3
\[ x(x+1)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{o bien} \quad x=-1 \]
Comprobación
Ambas soluciones satisfacen la ecuación inicial.
Resultado
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{o bien} \quad x=0} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=4 \]
Resultado
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio exige \(x\ge2\). Aislamos una raíz y, luego, elevamos al cuadrado.
Paso 1
\[ \sqrt{x+2}=4-\sqrt{x-2} \]
Paso 2
\[ x+2=(4-\sqrt{x-2})^2 \]
\[ x+2=16-8\sqrt{x-2}+x-2 \]
Paso 3
\[ x+2=x+14-8\sqrt{x-2} \]
\[ 8\sqrt{x-2}=12 \]
\[ \sqrt{x-2}=\dfrac{3}{2} \]
Paso 4
\[ x-2=\dfrac{9}{4} \]
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Comprobación
\[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
Resultado
\[ \boxed{x=\dfrac{17}{4}} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+9}-\sqrt{x}=1 \]
Resultado
\[ x=16 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio exige \(x\ge0\). Aislamos una raíz y, luego, elevamos al cuadrado.
Paso 1
\[ \sqrt{x+9}=1+\sqrt{x} \]
Paso 2
\[ x+9=(1+\sqrt{x})^2 \]
\[ x+9=1+2\sqrt{x}+x \]
Paso 3
\[ 9=1+2\sqrt{x} \]
\[ 2\sqrt{x}=8 \]
\[ \sqrt{x}=4 \]
Paso 4
\[ x=16 \]
Comprobación
\[ 5-4=1 \]
Resultado
\[ \boxed{x=16} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Resultado
\[ x=\dfrac{13}{4} \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio exige \(x-1\ge0\), es decir, \(x\ge1\). Aislamos una de las dos raíces y, luego, elevamos al cuadrado.
Paso 1
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Pasamos \(\sqrt{x-1}\) al segundo miembro para aislar la raíz \(\sqrt{x+3}\).
\[ \sqrt{x+3}=4-\sqrt{x-1} \]
Ya hay una raíz aislada, así que podemos elevar al cuadrado.
Paso 2
\[ x+3=(4-\sqrt{x-1})^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros. A la derecha aparece el cuadrado de un binomio.
\[ x+3=16-8\sqrt{x-1}+x-1 \]
Desarrollamos \((4-\sqrt{x-1})^2\): el doble producto es \(-8\sqrt{x-1}\).
Paso 3
\[ x+3=x+15-8\sqrt{x-1} \]
Sumamos los términos numéricos \(16-1=15\).
\[ 3=15-8\sqrt{x-1} \]
Restamos \(x\) en ambos miembros.
\[ 8\sqrt{x-1}=12 \]
Pasamos el término con la raíz al primer miembro y el término numérico al segundo.
\[ \sqrt{x-1}=\dfrac{3}{2} \]
Dividimos ambos miembros entre \(8\).
Paso 4
\[ x-1=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \]
Elevamos al cuadrado para eliminar la última raíz.
\[ x-1=\dfrac{9}{4} \]
Calculamos el cuadrado de \(\dfrac{3}{2}\).
\[ x=1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4} \]
Sumamos \(1\) en ambos miembros.
Comprobación
Sustituimos \(x=\dfrac{13}{4}\): \[ \sqrt{\dfrac{13}{4}+3}+\sqrt{\dfrac{13}{4}-1} \]
Calculamos los radicandos: \[ \sqrt{\dfrac{25}{4}}+\sqrt{\dfrac{9}{4}} \]
Calculamos las raíces: \[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
La igualdad se cumple, así que la solución es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=\dfrac{13}{4}} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio exige \(x-3\ge0\), es decir, \(x\ge3\). Aislamos una raíz: tras el primer cuadrado quedará todavía una raíz, así que tendremos que elevar al cuadrado una segunda vez.
Paso 1
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Pasamos \(\sqrt{x-3}\) al segundo miembro.
\[ \sqrt{2x+1}=4-\sqrt{x-3} \]
Así, la raíz \(\sqrt{2x+1}\) queda aislada.
Paso 2
\[ 2x+1=(4-\sqrt{x-3})^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros.
\[ 2x+1=16-8\sqrt{x-3}+x-3 \]
Desarrollamos el cuadrado del binomio.
Paso 3
\[ 2x+1=x+13-8\sqrt{x-3} \]
Sumamos los términos numéricos \(16-3=13\).
\[ 8\sqrt{x-3}=12-x \]
Aislamos la raíz que queda.
Paso 4
\[ 64(x-3)=(12-x)^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la segunda raíz.
Paso 5
\[ 64x-192=x^2-24x+144 \]
Desarrollamos ambos miembros: a la izquierda distribuimos el \(64\), y a la derecha desarrollamos el cuadrado \((12-x)^2\).
\[ x^2-88x+336=0 \]
Pasamos todos los términos a un miembro y reducimos los términos semejantes.
Paso 6
\[ x^2-88x+336=(x-4)(x-84) \]
Factorizamos el trinomio: \(4\cdot84=336\) y \(4+84=88\).
\[ (x-4)(x-84)=0 \]
Aplicamos la propiedad del producto nulo.
\[ x=4 \quad \text{o bien} \quad x=84 \]
Comprobación
Para \(x=4\): \[ \sqrt{2\cdot4+1}+\sqrt{4-3} = \sqrt{9}+\sqrt{1} = 3+1=4 \]
Por tanto, \(x=4\) es aceptable.
Para \(x=84\): \[ \sqrt{2\cdot84+1}+\sqrt{84-3} = \sqrt{169}+\sqrt{81} = 13+9=22 \]
El resultado no es \(4\), así que \(x=84\) es una solución extraña.
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Resultado
\[ x=12 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio exige \(x+4\ge0\), es decir, \(x\ge-4\). Aislamos una raíz y, luego, elevamos al cuadrado.
Paso 1
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Pasamos \(-\sqrt{x+4}\) al segundo miembro.
\[ \sqrt{x+13}=1+\sqrt{x+4} \]
Ya tenemos la raíz \(\sqrt{x+13}\) aislada.
Paso 2
\[ x+13=(1+\sqrt{x+4})^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros.
\[ x+13=1+2\sqrt{x+4}+x+4 \]
Desarrollamos el cuadrado del binomio \((1+\sqrt{x+4})^2\).
Paso 3
\[ x+13=x+5+2\sqrt{x+4} \]
Sumamos los términos numéricos \(1+4=5\).
\[ 8=2\sqrt{x+4} \]
Restamos \(x+5\) en ambos miembros.
\[ \sqrt{x+4}=4 \]
Dividimos ambos miembros entre \(2\).
Paso 4
\[ x+4=16 \]
Elevamos al cuadrado para eliminar la última raíz.
\[ x=12 \]
Restamos \(4\) en ambos miembros.
Comprobación
Sustituimos \(x=12\): \[ \sqrt{12+13}-\sqrt{12+4} \]
Calculamos los radicandos: \[ \sqrt{25}-\sqrt{16} \]
Calculamos las raíces: \[ 5-4=1 \]
La igualdad se cumple, así que la solución es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=12} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Resultado
\[ x=-1 \quad \text{o bien} \quad x=3 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio exige \(x+1\ge0\), es decir, \(x\ge-1\). Aislamos una raíz y, luego, elevamos al cuadrado.
Paso 1
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Pasamos \(-\sqrt{x+1}\) al segundo miembro.
\[ \sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1} \]
Ya tenemos la raíz \(\sqrt{2x+3}\) aislada.
Paso 2
\[ 2x+3=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros.
\[ 2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Desarrollamos el cuadrado del binomio.
Paso 3
\[ 2x+3=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Sumamos los términos numéricos.
\[ x+1=2\sqrt{x+1} \]
Restamos \(x+2\) en ambos miembros y aislamos la expresión radical.
Paso 4
Hacemos el cambio: \[ t=\sqrt{x+1} \]
Esta sustitución resulta útil porque en la ecuación aparecen tanto \(x+1\) como \(\sqrt{x+1}\). Además, al ser \(t\) una raíz cuadrada, se cumple \(t\ge0\).
Como: \[ t=\sqrt{x+1} \]
entonces: \[ t^2=x+1 \]
Sustituimos \(x+1\) por \(t^2\) y \(\sqrt{x+1}\) por \(t\).
\[ t^2=2t \]
Paso 5
\[ t^2-2t=0 \]
Pasamos todos los términos al primer miembro.
\[ t(t-2)=0 \]
Sacamos factor común \(t\).
\[ t=0 \quad \text{o bien} \quad t=2 \]
Aplicamos la propiedad del producto nulo.
Paso 6
Si \(t=0\), entonces: \[ \sqrt{x+1}=0 \]
Elevando al cuadrado: \[ x+1=0 \implies x=-1 \]
Si \(t=2\), entonces: \[ \sqrt{x+1}=2 \]
Elevando al cuadrado: \[ x+1=4 \implies x=3 \]
Comprobación
Para \(x=-1\): \[ \sqrt{2(-1)+3}-\sqrt{-1+1} = \sqrt{1}-\sqrt{0} = 1-0=1 \]
Por tanto, \(x=-1\) es aceptable.
Para \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}-\sqrt{3+1} = \sqrt{9}-\sqrt{4} = 3-2=1 \]
Así que también \(x=3\) es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{o bien} \quad x=3} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Resultado
\[ x=7 \]
Resolución
Estrategia de resolución
El dominio exige \(x-3\ge0\), es decir, \(x\ge3\). Aislamos una raíz y, luego, elevamos al cuadrado.
Paso 1
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Pasamos \(\sqrt{x-3}\) al segundo miembro.
\[ \sqrt{x+9}=6-\sqrt{x-3} \]
Ya tenemos la raíz \(\sqrt{x+9}\) aislada.
Paso 2
\[ x+9=(6-\sqrt{x-3})^2 \]
Elevamos al cuadrado ambos miembros.
\[ x+9=36-12\sqrt{x-3}+x-3 \]
Desarrollamos el cuadrado del binomio \((6-\sqrt{x-3})^2\).
Paso 3
\[ x+9=x+33-12\sqrt{x-3} \]
Sumamos los términos numéricos \(36-3=33\).
\[ 9=33-12\sqrt{x-3} \]
Restamos \(x\) en ambos miembros.
\[ 12\sqrt{x-3}=24 \]
Aislamos el término radical.
\[ \sqrt{x-3}=2 \]
Dividimos ambos miembros entre \(12\).
Paso 4
\[ x-3=4 \]
Elevamos al cuadrado para eliminar la última raíz.
\[ x=7 \]
Sumamos \(3\) en ambos miembros.
Comprobación
Sustituimos \(x=7\): \[ \sqrt{7+9}+\sqrt{7-3} \]
Calculamos los radicandos: \[ \sqrt{16}+\sqrt{4} \]
Calculamos las raíces: \[ 4+2=6 \]
La igualdad se cumple, así que la solución es aceptable.
Resultado
\[ \boxed{x=7} \]