Ecuaciones Logarítmicas: Teoría, Método y Ejercicios Resueltos

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita aparece como argumento de al menos un logaritmo. La resolución de estas ecuaciones requiere no solo dominio del cálculo algebraico, sino sobre todo el control riguroso de las condiciones de existencia: toda solución formalmente obtenida debe verificarse respecto al dominio de la ecuación, con el riesgo de introducir soluciones espurias.

Índice

• Recordatorio sobre la Función Logarítmica
• Dominio de una Ecuación Logarítmica
• Definición y Método Exponencial
• Propiedades Operativas de los Logaritmos
• Ecuaciones Logarítmicas Elementales
• Ecuaciones con Suma o Diferencia de Logaritmos
• Ecuaciones con Logaritmos Iguales
• Ecuaciones con Logaritmos de Bases Distintas
• Ecuaciones Resolubles por Sustitución
• Soluciones Espurias: Análisis y Prevención
• Esquema General de Resolución
• Ejercicios Resueltos
• Interpretación Gráfica

Antes de abordar las ecuaciones logarítmicas es imprescindible recordar con precisión las propiedades fundamentales de la función logarítmica, ya que toda la teoría de resolución depende directamente de ellas.

Fijados \( a \in \mathbb{R} \) con \( a > 0 \) y \( a \neq 1 \), la función exponencial \( e_a \colon \mathbb{R} \to (0, +\infty) \), definida por \( e_a(x) = a^x \), es estrictamente monótona —creciente si \( a > 1 \), decreciente si \( 0 < a < 1 \)— y por tanto biyectiva sobre su codominio \( (0, +\infty) \). Su inversa es la función logarítmica de base \( a \):

\[ \log_a \colon (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \log_a x. \]

El dominio natural del logaritmo es \( (0, +\infty) \): el logaritmo de un número no positivo no está definido en \( \mathbb{R} \). Esta restricción es el origen de todas las condiciones de existencia en las ecuaciones logarítmicas.

La función \( x \mapsto \log_a x \) hereda la monotonía estricta de la función exponencial:

• es estrictamente creciente si \( a > 1 \);
• es estrictamente decreciente si \( 0 < a < 1 \).

La monotonía estricta implica la inyectividad: para todo \( u, v \in (0, +\infty) \),

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Esta equivalencia es el fundamento lógico del método de resolución de las ecuaciones con logaritmos iguales. Recordamos finalmente los valores notables:

\[ \log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1, \qquad \log_a a^k = k \quad \forall\, k \in \mathbb{R}. \]

El dominio de una ecuación logarítmica es el conjunto de los valores reales de la incógnita para los cuales toda expresión presente en la ecuación está bien definida. Puesto que el logaritmo real solo está definido para argumentos estrictamente positivos, para cada término \( \log_a f_i(x) \), al variar \( i \) en el conjunto de índices que indexa todos los logaritmos presentes en la ecuación, es necesario imponer la condición:

\[ f_i(x) > 0. \]

El dominio de la ecuación es la intersección de todas estas condiciones:

\[ \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \bigl\{ x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0 \bigr\}, \]

donde \( I \) es el conjunto de índices de los logaritmos presentes en la ecuación.

Regla fundamental. Una vez determinadas las soluciones formales mediante transformaciones algebraicas, deben conservarse únicamente las que pertenezcan a \( \mathcal{D} \). Los valores excluidos de \( \mathcal{D} \) hacen indefinido al menos un logaritmo y no constituyen soluciones de la ecuación original, con independencia de que satisfagan las ecuaciones algebraicas intermedias.

Es metodológicamente imprescindible determinar \( \mathcal{D} \) antes de cualquier manipulación algebraica: de este modo se tiene siempre presente el conjunto en el que deben buscarse las soluciones, y se evita otorgar validez a pasos que presuponen la positividad de los argumentos sin haberla garantizado.

La propia definición de logaritmo proporciona el método de resolución más directo. Para \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) y \( x > 0 \), se tiene por definición:

\[ \log_a x = b \quad \Longleftrightarrow \quad a^b = x. \]

Esta equivalencia permite transformar la ecuación logarítmica \( \log_a f(x) = k \), con \( k \in \mathbb{R} \), en la ecuación exponencial \( f(x) = a^k \), que ya no contiene logaritmos. Obsérvese que la condición \( f(x) > 0 \) queda automáticamente satisfecha por toda solución de \( f(x) = a^k \), dado que \( a^k > 0 \) para todo \( k \in \mathbb{R} \) y toda base admisible \( a \). Sin embargo, esta observación no exime de imponer y verificar las condiciones de dominio establecidas en \( \mathcal{D} \): estas podrían involucrar otros logaritmos presentes en la ecuación original.

Ejemplo. Resolver \( \log_3(x-1) = 2 \).

Dominio. La única condición de existencia es \( x - 1 > 0 \), luego \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Resolución. Aplicando la definición de logaritmo:

\[ x - 1 = 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad x = 10. \]

Comprobación. \( 10 \in (1, +\infty) \). La solución es válida.

Conjunto solución: \( \{10\} \).

Las siguientes propiedades, válidas para \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), para todo \( x, y > 0 \) y para todo \( n \in \mathbb{R} \), se deducen directamente de las correspondientes propiedades de las potencias:

\[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \]

\[ \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y, \]

\[ \log_a(x^n) = n\log_a x. \]

Estas identidades constituyen la herramienta principal para reducir ecuaciones con varios logaritmos a formas canónicas resolubles. Su aplicación requiere, no obstante, respetar escrupulosamente las hipótesis de validez.

Advertencia fundamental. Cada propiedad es válida exclusivamente para argumentos estrictamente positivos:

• La propiedad \( \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \) requiere \( x > 0 \) y \( y > 0 \) por separado. El producto \( xy \) puede ser positivo incluso cuando ambos factores son negativos; en tal caso \( \log_a(xy) \) estaría definido, pero \( \log_a x \) y \( \log_a y \) no lo estarían. La identidad no puede aplicarse, pues, en sentido inverso —de producto a suma— sin garantizar la positividad de cada factor.
• La propiedad \( \log_a(x^n) = n\log_a x \) requiere \( x > 0 \). Un caso paradigmático es \( \log_a(x^2) = 2\log_a x \): la identidad solo es válida para \( x > 0 \), mientras que para \( x < 0 \) el miembro izquierdo está definido (pues \( x^2 > 0 \)) y el derecho no.

Recordamos además la fórmula del cambio de base: para todo \( b > 0 \), \( b \neq 1 \), y para todo \( x > 0 \),

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}. \]

Esta fórmula es indispensable cuando en la ecuación aparecen logaritmos con distintas bases y se desea reducirlos a una base común para aplicar las propiedades operativas o el principio de inyectividad. Su uso sistemático se ilustra en la sección §8.

Una ecuación logarítmica se denomina elemental si es reducible, eventualmente tras simples manipulaciones algebraicas, a la forma canónica:

\[ \log_a f(x) = k, \qquad k \in \mathbb{R}. \]

El método de resolución se articula en los siguientes pasos:

1. Determinar el dominio: \( \mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) > 0\} \).
2. Aplicar la definición de logaritmo para obtener \( f(x) = a^k \).
3. Resolver la ecuación \( f(x) = a^k \).
4. Comprobar que las soluciones pertenecen a \( \mathcal{D} \) y descartar las eventuales soluciones espurias.

Ejemplo. Resolver \( \log_{1/2}(3x - 5) = -3 \).

Dominio. \( 3x - 5 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{5}{3} \), luego \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{5}{3}, +\infty\bigr) \).

Resolución. Aplicando la definición:

\[ 3x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad 3x = 13 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{13}{3}. \]

Comprobación. \( \tfrac{13}{3} \approx 4{,}33 > \tfrac{5}{3} \). Solución válida.

Conjunto solución: \( \Bigl\{\dfrac{13}{3}\Bigr\} \).

Cuando la ecuación contiene una suma o una diferencia de logaritmos con la misma base, se aplican las propiedades del producto y del cociente para reducirla a un único logaritmo, llevándola a la forma elemental. Como ya se ha señalado, las condiciones de dominio deben imponerse sobre los argumentos originales, no sobre el argumento del logaritmo resultante de la fusión.

Ejemplo 1. Resolver \( \log_2 x + \log_2(x-2) = 3 \).

Dominio. \( x > 0 \) y \( x - 2 > 0 \), luego \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \).

Resolución. Aplicando la propiedad del producto:

\[ \log_2[x(x-2)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad x(x-2) = 2^3 = 8. \]

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-4)(x+2) = 0. \]

Las soluciones formales son \( x = 4 \) y \( x = -2 \).

Comprobación. \( x = 4 \in (2, +\infty) \): válida. \( x = -2 \notin (2, +\infty) \): solución extraña, descartada.

Conjunto solución: \( \{4\} \).

Ejemplo 2. Resolver \( \log_3(x+7) - \log_3(x-1) = 1 \).

Dominio. \( x + 7 > 0 \) y \( x - 1 > 0 \), luego \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Resolución. Aplicando la propiedad del cociente:

\[ \log_3\!\left(\frac{x+7}{x-1}\right) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x+7}{x-1} = 3. \]

\[ x + 7 = 3(x-1) \quad \Longrightarrow \quad x + 7 = 3x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 5. \]

Comprobación. \( 5 \in (1, +\infty) \). Solución válida.

Conjunto solución: \( \{5\} \).

Si la ecuación tiene la forma:

\[ \log_a f(x) = \log_a g(x), \]

la inyectividad de la función \( t \mapsto \log_a t \) en \( (0, +\infty) \) permite afirmar que, para todo \( u, v \in (0, +\infty) \):

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Por tanto, siempre que \( f(x) > 0 \) y \( g(x) > 0 \), la ecuación logarítmica es equivalente a la ecuación algebraica \( f(x) = g(x) \). Se impone, sin embargo, una precisión lógica: las condiciones \( f(x) > 0 \) y \( g(x) > 0 \) no son equivalentes en general, pero sí lo son subordinadas a la igualdad \( f(x) = g(x) \). Más precisamente: si \( x_0 \) satisface \( f(x_0) = g(x_0) \), entonces \( f(x_0) > 0 \Longleftrightarrow g(x_0) > 0 \), de modo que verificar una de las dos condiciones basta para garantizar ambas. Desde el punto de vista metodológico es, no obstante, más riguroso imponer ambas condiciones a priori al determinar \( \mathcal{D} \), sin apoyarse en esta implicación.

Ejemplo. Resolver \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Dominio. \( x + 1 > 0 \) y \( 2x - 3 > 0 \), luego \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Resolución. Por inyectividad:

\[ x + 1 = 2x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Comprobación. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Solución válida.

Conjunto solución: \( \{4\} \).

Cuando una ecuación contiene logaritmos con bases distintas, no es posible aplicar directamente el principio de inyectividad ni las propiedades operativas. El método estándar consiste en reducir todos los logaritmos a una misma base mediante la fórmula del cambio de base:

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \]

donde la base auxiliar \( b \) se elige de modo que simplifique los cálculos. Las elecciones más habituales son \( b = 10 \) (logaritmo decimal, denotado \( \lg \)) o \( b = e \) (logaritmo natural, denotado \( \ln \)). En muchos casos, sin embargo, resulta más conveniente tomar como base común una de las bases ya presentes en la ecuación.

Ejemplo 1. Resolver \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Dominio. Ambos logaritmos requieren \( x > 0 \), luego \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolución. Se reduce \( \log_4 x \) a la base \( 2 \) mediante el cambio de base:

\[ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}. \]

Sustituyendo en la ecuación y poniendo \( t = \log_2 x \) por brevedad:

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2. \]

Volviendo a la variable original: \( \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4 \).

Comprobación. \( 4 \in (0, +\infty) \). Solución válida.

Conjunto solución: \( \{4\} \).

Ejemplo 2. Resolver \( \log_3 x \cdot \log_9 x = 4 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolución. Se reduce \( \log_9 x \) a la base \( 3 \):

\[ \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}. \]

Poniendo \( t = \log_3 x \):

\[ t \cdot \frac{t}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad \frac{t^2}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad t^2 = 8 \quad \Longrightarrow \quad t = \pm 2\sqrt{2}. \]

Volviendo a la variable original:

\[ \log_3 x = 2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{2\sqrt{2}}, \qquad \log_3 x = -2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{-2\sqrt{2}}. \]

Comprobación. Ambos valores son positivos y pertenecen a \( \mathcal{D} \). Ambas soluciones son válidas.

Conjunto solución: \( \bigl\{3^{-2\sqrt{2}},\; 3^{2\sqrt{2}}\bigr\} \).

Una clase importante de ecuaciones logarítmicas es aquella en la que el logaritmo aparece como argumento de una expresión polinómica. La forma típica es:

\[ P\!\bigl(\log_a f(x)\bigr) = 0, \]

donde \( P \) es un polinomio. El método consiste en poner \( t = \log_a f(x) \), resolver la ecuación algebraica \( P(t) = 0 \) en \( t \) y, para cada raíz \( t_k \), resolver finalmente la ecuación elemental \( \log_a f(x) = t_k \).

Atención. Cada una de las ecuaciones \( \log_a f(x) = t_k \) debe resolverse por separado con su propia verificación del dominio. La sustitución \( t = \log_a f(x) \) no introduce por sí misma soluciones espurias, pero la fase final de retorno a la variable original puede hacerlo si no se comprueba que las soluciones halladas pertenecen a \( \mathcal{D} \).

Ejemplo 1. Resolver \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Dominio. \( x > 0 \), luego \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Sustitución. Sea \( t = \log_2 x \). La ecuación se convierte en:

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ o }\; t = 3. \]

Retorno a la variable original.

\[ \log_2 x = 2 \;\Rightarrow\; x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 8. \]

Comprobación. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Ambas soluciones son válidas.

Conjunto solución: \( \{4, 8\} \).

Ejemplo 2. Resolver \( (\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + 3 = 0 \).

Dominio. \( x > 0 \), luego \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Simplificación. Para \( x > 0 \) la propiedad de la potencia es aplicable: \( \log_3(x^4) = 4\log_3 x \). La ecuación se convierte en:

\[ (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0. \]

Sustitución. Sea \( t = \log_3 x \):

\[ t^2 - 4t + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-1)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 1 \;\text{ o }\; t = 3. \]

Retorno a la variable original.

\[ \log_3 x = 1 \;\Rightarrow\; x = 3, \qquad \log_3 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 27. \]

Comprobación. \( 3, 27 \in (0, +\infty) \). Ambas soluciones son válidas.

Conjunto solución: \( \{3, 27\} \).

Ejemplo 3. Resolver \( 2(\log_5 x)^2 + 3\log_5 x - 2 = 0 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Sustitución. Sea \( t = \log_5 x \):

\[ 2t^2 + 3t - 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}. \]

Luego \( t_1 = \tfrac{1}{2} \) y \( t_2 = -2 \).

Retorno a la variable original.

\[ \log_5 x = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 5^{1/2} = \sqrt{5}, \qquad \log_5 x = -2 \;\Rightarrow\; x = 5^{-2} = \frac{1}{25}. \]

Comprobación. \( \sqrt{5}, \tfrac{1}{25} \in (0, +\infty) \). Ambas soluciones son válidas.

Conjunto solución: \( \Bigl\{\dfrac{1}{25},\; \sqrt{5}\Bigr\} \).

Se define solución extraña un valor \( x_0 \) que satisface una ecuación algebraica obtenida en el transcurso de las transformaciones, pero que no pertenece al dominio \( \mathcal{D} \) de la ecuación logarítmica original. Dicho valor hace indefinido al menos un logaritmo de la ecuación y por tanto no es una solución válida.

Las soluciones espurias aparecen típicamente en las tres circunstancias siguientes.

1. Aplicación de la propiedad del producto. Escribir \( \log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a[f(x)g(x)] \) exige que \( f(x) > 0 \) y \( g(x) > 0 \) por separado. El producto \( f(x)g(x) \) puede ser positivo incluso cuando ambos factores son negativos; en tal caso el logaritmo del producto estaría definido en la ecuación transformada, pero los logaritmos de los factores individuales no lo estarían en la ecuación original.
2. Aplicación de la propiedad de la potencia. La escritura \( \log_a[f(x)^n] = n\log_a f(x) \) es válida solo si \( f(x) > 0 \). Para \( f(x) < 0 \) y \( n \) par, el miembro izquierdo está definido mientras que el derecho no: la aplicación de la identidad introduce entonces argumentos no admisibles.
3. Reducción a ecuación polinómica. La resolución de una ecuación de grado dos o superior produce en general varias raíces; algunas de ellas pueden quedar fuera del dominio \( \mathcal{D} \).

Ejemplo ilustrativo. Considérese la ecuación:

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2(x - 2) + 1. \]

Dominio. Las condiciones de existencia son \( x^2 - 5x + 6 > 0 \) y \( x - 2 > 0 \). Factorizando: \( (x-2)(x-3) > 0 \) si \( x < 2 \) o \( x > 3 \). Intersectando con \( x > 2 \), se obtiene \( \mathcal{D} = (3, +\infty) \).

Resolución. Se reescribe el miembro derecho usando \( 1 = \log_2 2 \):

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2[2(x-2)]. \]

Por inyectividad:

\[ x^2 - 5x + 6 = 2x - 4 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 7x + 10 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)(x-5) = 0. \]

Soluciones formales: \( x = 2 \) y \( x = 5 \).

Comprobación. \( x = 2 \notin (3, +\infty) \): solución extraña, descartada. \( x = 5 \in (3, +\infty) \): válida.

Conjunto solución: \( \{5\} \).

El siguiente esquema constituye un protocolo completo y riguroso aplicable a cualquier tipo de ecuación logarítmica tratada en este artículo.

1. Determinación del dominio. Para cada logaritmo \( \log_a f_i(x) \) presente en la ecuación, donde \( i \) varía en el conjunto de índices \( I \) de todos los logaritmos presentes, imponer \( f_i(x) > 0 \). Calcular \( \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \{x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0\} \).
2. Reducción a una base común (si es necesario). Si hay logaritmos con bases distintas, aplicar la fórmula del cambio de base para uniformarlos.
3. Simplificación mediante las propiedades de los logaritmos. Aplicar las propiedades de producto, cociente y potencia —recordando que son válidas solo para argumentos positivos— para reducir la ecuación a una de las formas canónicas: \( \log_a f(x) = k \), o bien \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \), o bien \( P(\log_a f(x)) = 0 \).
4. Eliminación del logaritmo. En la primera forma, pasar a la forma exponencial \( f(x) = a^k \). En la segunda, explotar la inyectividad: \( f(x) = g(x) \). En la tercera, aplicar la sustitución \( t = \log_a f(x) \) y resolver la ecuación algebraica en \( t \) para después volver a la variable original.
5. Resolución de la ecuación algebraica resultante.
6. Verificación de las condiciones de dominio. Conservar únicamente las soluciones que pertenezcan a \( \mathcal{D} \). Descartar explícitamente las soluciones espurias, indicando el motivo de su exclusión.
7. Escritura del conjunto solución.

Ejercicio 1. Resolver \( \log_2(x+3) = 4 \).

Dominio. \( x + 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-3, +\infty) \).

Resolución. \( x + 3 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 13 \).

Comprobación. \( 13 \in (-3, +\infty) \). Solución válida.

Conjunto solución: \( \{13\} \).

Ejercicio 2. Resolver \( \log_3 x + \log_3(x-1) = 1 \).

Dominio. \( x > 0 \) y \( x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Resolución.

\[ \log_3[x(x-1)] = 1 \quad \Longrightarrow \quad x(x-1) = 3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 3 = 0. \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}. \]

Comprobación. \( x_1 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2{,}30 > 1 \): válida. \( x_2 = \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} < 0 \): solución extraña, descartada.

Conjunto solución: \( \Bigl\{\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\Bigr\} \).

Ejercicio 3. Resolver \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Dominio. \( x+1 > 0 \) y \( 2x-3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Resolución. Por inyectividad: \( x + 1 = 2x - 3 \Rightarrow x = 4 \).

Comprobación. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Solución válida.

Conjunto solución: \( \{4\} \).

Ejercicio 4. Resolver \( \log_2(x-1) + \log_2(x-5) = 3 \).

Dominio. \( x-1 > 0 \) y \( x-5 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (5, +\infty) \).

Resolución.

\[ \log_2[(x-1)(x-5)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad (x-1)(x-5) = 8. \]

\[ x^2 - 6x - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 3 \pm 2\sqrt{3}. \]

Comprobación. \( x_1 = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46 > 5 \): válida. \( x_2 = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46 < 5 \): solución extraña, descartada.

Conjunto solución: \( \{3 + 2\sqrt{3}\} \).

Ejercicio 5. Resolver \( \log_4(x^2 - 3x) = \log_4(x + 7) \).

Dominio. \( x^2 - 3x > 0 \) y \( x+7 > 0 \). La primera condición da \( x < 0 \) o \( x > 3 \); la segunda da \( x > -7 \). Luego \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \).

Resolución. Por inyectividad: \( x^2 - 3x = x + 7 \Rightarrow x^2 - 4x - 7 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{11} \).

Comprobación. \( x_1 = 2+\sqrt{11} \approx 5{,}32 \in (3, +\infty) \): válida. \( x_2 = 2-\sqrt{11} \approx -1{,}32 \in (-7, 0) \): válida.

Conjunto solución: \( \{2-\sqrt{11},\; 2+\sqrt{11}\} \).

Ejercicio 6. Resolver \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolución. Sea \( t = \log_2 x \):

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ o }\; t = 3. \]

\[ \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 8. \]

Comprobación. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Ambas válidas.

Conjunto solución: \( \{4, 8\} \).

Ejercicio 7. Resolver \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Resolución. \( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2} \). Sea \( t = \log_2 x \):

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Comprobación. \( 4 \in (0, +\infty) \). Solución válida.

Conjunto solución: \( \{4\} \).

La interpretación gráfica de las ecuaciones logarítmicas proporciona una visión cualitativa del número y la posición de las soluciones, complementando el tratamiento analítico.

Resolver la ecuación \( \log_a f(x) = k \) equivale geométricamente a determinar las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica de \( y = \log_a f(x) \) con la recta horizontal \( y = k \). Puesto que la función logarítmica es estrictamente monótona, en cada subintervalo conexo del dominio donde \( f \) es también estrictamente monótona, la composición \( \log_a \circ f \) lo es igualmente, de modo que la ecuación admite como máximo una solución en cada uno de dichos intervalos. Este hecho permite establecer a priori una cota superior para el número de soluciones, incluso antes de realizar ningún cálculo.

Resolver \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) equivale, en cambio, a encontrar los puntos donde las gráficas de \( y = \log_a f(x) \) e \( y = \log_a g(x) \) se cortan. Dichos puntos deben pertenecer al dominio común \( \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g \) de las dos funciones; eventuales intersecciones fuera de ese dominio no corresponden a soluciones de la ecuación original.

La interpretación gráfica hace asimismo evidente por qué las soluciones espurias no son soluciones: corresponden a valores de la incógnita para los cuales una o varias ramas de la gráfica sencillamente no existen, dado que la función logarítmica no está definida fuera de \( (0, +\infty) \). Una solución extraña no es un punto de la gráfica: es un artefacto algebraico carente de contenido geométrico en el contexto de la ecuación original.