Guía Paso a Paso: Aprende a resolver sistemas de inecuaciones lineales y de segundo grado mediante la tabla de signos, la intersección de los conjuntos solución y la escritura correcta de los intervalos en notación de conjuntos.
Ejercicio 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 2 < x < 3 \]
Resolución
Primera inecuación
\(2x-4>0 \implies x>2\)
Segunda inecuación
\(x-3<0 \implies x<3\)
Tabla de signos
La fila Sist. aparece en verde donde ambas condiciones se cumplen simultáneamente.
Solución
\[ S = (2,\,3) \]
Resultado
\[ \boxed{2 < x < 3} \]
Ejercicio 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -2 < x < 5 \]
Resolución
Primera inecuación
\(x+2>0 \implies x>-2\)
Segunda inecuación
\(x-5<0 \implies x<5\)
Tabla de signos
Solución
\[ S = (-2,\,5) \]
Resultado
\[ \boxed{-2 < x < 5} \]
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 3x + 1 \geq 0 \\ 2x - 4 \leq 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -\dfrac{1}{3} \leq x \leq 2 \]
Resolución
Primera inecuación
\(3x+1\geq0 \implies x\geq-\tfrac{1}{3}\)
Segunda inecuación
\(2x-4\leq0 \implies x\leq2\)
Tabla de signos
Los círculos rellenos indican los extremos incluidos.
Solución
\[ S = \left[-\tfrac{1}{3},\,2\right] \]
Resultado
\[ \boxed{-\dfrac{1}{3} \leq x \leq 2} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 4 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ \text{Sin solución} \quad (S = \emptyset) \]
Resolución
Primera inecuación
\(x-1>0 \implies x>1\)
Segunda inecuación
\(x+4<0 \implies x<-4\)
Observación
Las dos condiciones \(x>1\) y \(x<-4\) son incompatibles: no existe ningún número real \(x\) que cumpla ambas a la vez.
Tabla de signos
La fila Sist. está toda en gris: ninguna región es solución.
Resultado
\[ \boxed{S = \emptyset} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -3 < x < -2 \quad \text{o bien} \quad x > 2 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2-4>0\)
\[ (x-2)(x+2)>0 \implies x < -2 \;\text{ o }\; x>2 \]
Segunda inecuación: \(x+3>0\)
\[ x > -3 \]
Tabla de signos
Solución
\[ S = (-3,\,-2)\cup(2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{-3 < x < -2 \quad \text{o bien} \quad x > 2} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 9 \leq 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 1 < x \leq 3 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2-9\leq0\)
\[ (x-3)(x+3)\leq0 \implies -3\leq x\leq3 \]
Segunda inecuación: \(x-1>0\)
\[ x > 1 \]
Tabla de signos
El círculo relleno en \(x=3\) indica que el extremo derecho está incluido (porque la primera inecuación es \(\leq\)).
Solución
\[ S = (1,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{1 < x \leq 3} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 > 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ x < 1 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2-3x+2>0\)
\[ (x-1)(x-2)>0 \implies x < 1 \;\text{ o }\; x>2 \]
Segunda inecuación: \(x-2<0\)
\[ x < 2 \]
Tabla de signos
Intersección: \((x<1\text{ o }x>2)\cap(x<2) = x<1\).
Solución
\[ S = (-\infty,\,1) \]
Resultado
\[ \boxed{x < 1} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \leq 0 \\ x^2 - 4 \geq 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 2 \leq x \leq 3 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2-5x+6\leq0\)
\[ (x-2)(x-3)\leq0 \implies 2\leq x\leq3 \]
Segunda inecuación: \(x^2-4\geq0\)
\[ (x-2)(x+2)\geq0 \implies x\leq-2 \;\text{ o }\; x\geq2 \]
Tabla de signos
Intersección: \([2,3]\cap(x\leq-2\text{ o }x\geq2)=[2,3]\).
Solución
\[ S = [2,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{2 \leq x \leq 3} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x^2 - x - 1 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \leq 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 1 < x \leq 3 \]
Resolución
Primera inecuación: \(2x^2-x-1>0\)
\[ (2x+1)(x-1)>0 \implies x < -\tfrac{1}{2} \;\text{ o }\; x>1 \]
Segunda inecuación: \(x^2-4x+3\leq0\)
\[ (x-1)(x-3)\leq0 \implies 1\leq x\leq3 \]
Tabla de signos
Intersección: \((x<-\tfrac{1}{2}\text{ o }x>1)\cap[1,3]=(1,3]\). El punto \(x=1\) queda excluido porque la primera inecuación es estricta.
Solución
\[ S = (1,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{1 < x \leq 3} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x^2 - x - 6 < 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -1 \leq x < 3 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2-x-6<0\)
\[ (x-3)(x+2)<0 \implies -2 < x < 3 \]
Segunda inecuación: \(x+1\geq0\)
\[ x \geq -1 \]
Tabla de signos
Intersección: \((-2,3)\cap[-1,+\infty)=[-1,3)\). El círculo relleno en \(x=-1\) está incluido (segunda inecuación \(\geq\)); \(x=3\) queda excluido (primera, estricta).
Solución
\[ S = [-1,\,3) \]
Resultado
\[ \boxed{-1 \leq x < 3} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 \geq 0 \\ x^2 + x - 6 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -3 < x \leq -1 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2-2x-3\geq0\)
\[ (x-3)(x+1)\geq0 \implies x\leq-1 \;\text{ o }\; x\geq3 \]
Segunda inecuación: \(x^2+x-6<0\)
\[ (x+3)(x-2)<0 \implies -3 < x < 2 \]
Tabla de signos
Intersección: \((x\leq-1\text{ o }x\geq3)\cap(-3,2)=(-3,-1]\). El círculo relleno en \(x=-1\) está incluido; \(x=-3\) queda excluido (segunda, estricta).
Solución
\[ S = (-3,\,-1] \]
Resultado
\[ \boxed{-3 < x \leq -1} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x+2} > 0 \\[6pt] x^2 - 9 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -3 < x < -2 \quad \text{o bien} \quad 1 < x < 3 \]
Resolución
Primera inecuación
\[ \frac{x-1}{x+2}>0 \implies x < -2 \;\text{ o }\; x>1 \quad (x\neq-2) \]
Segunda inecuación: \(x^2-9<0\)
\[ (x-3)(x+3)<0 \implies -3 < x < 3 \]
Tabla de signos
Solución
\[ S = (-3,\,-2)\cup(1,\,3) \]
Resultado
\[ \boxed{-3 < x < -2 \quad \text{o bien} \quad 1 < x < 3} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} (x-2)^2 > 0 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -1 < x < 1 \]
Resolución
Primera inecuación: \((x-2)^2>0\)
El cuadrado es siempre \(\geq0\); vale \(=0\) únicamente en \(x=2\). Por tanto, \((x-2)^2>0\) para todo \(x\neq2\).
Segunda inecuación: \(x^2-1<0\)
\[ (x-1)(x+1)<0 \implies -1 < x < 1 \]
Tabla de signos
La primera condición se cumple en todas partes salvo en \(x=2\), que de todos modos no pertenece a \((-1,1)\). La intersección es, pues, \((-1,1)\) misma.
Solución
\[ S = (-1,\,1) \]
Resultado
\[ \boxed{-1 < x < 1} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x^2 + x - 2 \geq 0 \\ x^2 - x - 6 \leq 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ x = -2 \quad \text{o bien} \quad 1 \leq x \leq 3 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2+x-2\geq0\)
\[ (x+2)(x-1)\geq0 \implies x\leq-2 \;\text{ o }\; x\geq1 \]
Segunda inecuación: \(x^2-x-6\leq0\)
\[ (x-3)(x+2)\leq0 \implies -2\leq x\leq3 \]
Tabla de signos
Intersección: \((x\leq-2\text{ o }x\geq1)\cap[-2,3]=\{-2\}\cup[1,3]\).
El punto aislado \(x=-2\) pertenece a ambos conjuntos: \(x=-2\leq-2\) ✓ y \(-2\leq-2\leq3\) ✓.
Solución
\[ S = \{-2\}\cup[1,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{x=-2 \quad \text{o bien} \quad 1\leq x\leq3} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 1 < x < 2 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2-5x+6>0\)
\[ (x-2)(x-3)>0 \implies x < 2 \;\text{ o }\; x>3 \]
Segunda inecuación: \(x^2-4x+3<0\)
\[ (x-1)(x-3)<0 \implies 1 < x < 3 \]
Tabla de signos
Intersección: \((x<2\text{ o }x>3)\cap(1<x<3)=(1,2)\).
Solución
\[ S = (1,\,2) \]
Resultado
\[ \boxed{1 < x < 2} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ (x-1)(x-4) \leq 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 3 < x \leq 4 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x(x-3)>0\)
\[ x<0 \;\text{ o }\; x>3 \]
Segunda inecuación: \((x-1)(x-4)\leq0\)
\[ 1\leq x\leq4 \]
Tabla de signos
Intersección: \((x<0\text{ o }x>3)\cap[1,4]=(3,4]\). El círculo relleno en \(x=4\) está incluido.
Solución
\[ S = (3,\,4] \]
Resultado
\[ \boxed{3 < x \leq 4} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} (x+2)(x-1) > 0 \\ (x-4)(x+1) < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 1 < x < 4 \]
Resolución
Primera inecuación
\[ (x+2)(x-1)>0 \implies x < -2 \;\text{ o }\; x>1 \]
Segunda inecuación
\[ (x-4)(x+1)<0 \implies -1 < x < 4 \]
Tabla de signos
Intersección: \((x<-2\text{ o }x>1)\cap(-1,4)=(1,4)\). Nota: \((-\infty,-2)\cap(-1,4)=\emptyset\).
Solución
\[ S = (1,\,4) \]
Resultado
\[ \boxed{1 < x < 4} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 - 9 \geq 0 \\ x^2 - 4x - 5 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 3 \leq x < 5 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2-9\geq0\)
\[ (x-3)(x+3)\geq0 \implies x\leq-3 \;\text{ o }\; x\geq3 \]
Segunda inecuación: \(x^2-4x-5<0\)
\[ (x-5)(x+1)<0 \implies -1 < x < 5 \]
Tabla de signos
Intersección: \((x\leq-3\text{ o }x\geq3)\cap(-1,5)=[3,5)\). El círculo relleno en \(x=3\) está incluido; \(x=5\) queda excluido.
Solución
\[ S = [3,\,5) \]
Resultado
\[ \boxed{3 \leq x < 5} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} |x - 2| < 3 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 1 < x < 5 \]
Resolución
Primera inecuación: \(|x-2|<3\)
\[ -3 < x-2 < 3 \implies -1 < x < 5 \]
Equivale a \((x+1)(x-5)<0\).
Segunda inecuación: \(x^2-1>0\)
\[ (x-1)(x+1)>0 \implies x < -1 \;\text{ o }\; x>1 \]
Tabla de signos
Intersección: \((-1,5)\cap(x<-1\text{ o }x>1)=(1,5)\).
Solución
\[ S = (1,\,5) \]
Resultado
\[ \boxed{1 < x < 5} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 - x - 2 \leq 0 \\ x(x-3) > 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -1 \leq x < 0 \]
Resolución
Primera inecuación: \(x^2-x-2\leq0\)
\[ (x-2)(x+1)\leq0 \implies -1\leq x\leq2 \]
Segunda inecuación: \(x(x-3)>0\)
\[ x<0 \;\text{ o }\; x>3 \]
Tabla de signos
Intersección: \([-1,2]\cap(x<0\text{ o }x>3)=[-1,0)\). El círculo relleno en \(x=-1\) está incluido (primera inecuación \(\leq\)); \(x=0\) queda excluido (segunda, estricta).
Solución
\[ S = [-1,\,0) \]
Resultado
\[ \boxed{-1 \leq x < 0} \]