Esta recopilación de ejercicios resueltos está diseñada per enseñar a simplificare radicales, realizar la extracción de factores y racionalizar denominadores. El manual ofrece explicaciones detalladas paso a paso, abordando desde las operaciones más sencillas hasta las ecuaciones con radicales más complejas, con un enfoque progresivo ideal para asimilar los conceptos de forma gradual.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{75} \]
Resultado
\[ 5\sqrt{3} \]
Desarrollo
Idea de resolución
Se descompone el radicando extrayendo el mayor cuadrado perfecto.
Descomposición del radicando
\[ 75 = 25 \cdot 3 \]
Aplicación de la propiedad
\[ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \boxed{5\sqrt{3}} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{48} \]
Resultado
\[ 4\sqrt{3} \]
Desarrollo
Descomposición del radicando
\[ 48 = 16 \cdot 3 \]
Aplicación de la propiedad
\[ \sqrt{48} = \sqrt{16}\cdot\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \boxed{4\sqrt{3}} \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{\dfrac{25}{4}} \]
Resultado
\[ \dfrac{5}{2} \]
Desarrollo
Idea de resolución
La raíz de una fracción es el cociente entre las raíces del numerador y del denominador.
Aplicación de la propiedad
\[ \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2} \]
Resultado
\[ \boxed{\dfrac{5}{2}} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \]
Resultado
\[ 7\sqrt{3} \]
Desarrollo
Idea de resolución
Los radicales con el mismo radicando se suman como términos semejantes.
Extracción del factor común
\[ (2+5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \boxed{7\sqrt{3}} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{12} + \sqrt{27} \]
Resultado
\[ 5\sqrt{3} \]
Desarrollo
Idea de resolución
Se simplifica cada radical y luego se suman los términos semejantes.
Simplificaciones
\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3} \qquad \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3} \]
Suma
\[ 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \boxed{5\sqrt{3}} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{50} - \sqrt{18} \]
Resultado
\[ 2\sqrt{2} \]
Desarrollo
Simplificaciones
\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2} \qquad \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2} \]
Diferencia
\[ 5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2} \]
Resultado
\[ \boxed{2\sqrt{2}} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} \]
Resultado
\[ 4 \]
Desarrollo
Aplicación de la propiedad
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \]
Resultado
\[ \boxed{4} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{6}\cdot\sqrt{24} \]
Resultado
\[ 12 \]
Desarrollo
Aplicación de la propiedad
\[ \sqrt{6}\cdot\sqrt{24}=\sqrt{144}=12 \]
Resultado
\[ \boxed{12} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \]
Resultado
\[ 2 \]
Desarrollo
Idea de resolución
El producto tiene la forma \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), con \(a=\sqrt{5}\) y \(b=\sqrt{3}\).
Aplicación de la diferencia de cuadrados
\[ (\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2 \]
Resultado
\[ \boxed{2} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ (2\sqrt{3})^2 \]
Resultado
\[ 12 \]
Desarrollo
Cálculo
\[ (2\sqrt{3})^2=4\cdot3=12 \]
Resultado
\[ \boxed{12} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{72}+\sqrt{32}-\sqrt{8} \]
Resultado
\[ 8\sqrt{2} \]
Desarrollo
Simplificación de cada radical
\[ \sqrt{72}=6\sqrt{2} \qquad \sqrt{32}=4\sqrt{2} \qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2} \]
Suma algebraica
\[ 6\sqrt{2}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=8\sqrt{2} \]
Resultado
\[ \boxed{8\sqrt{2}} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
\[ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
Resultado
\[ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]
Desarrollo
Racionalización
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Resultado
\[ \boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
\[ \dfrac{3}{\sqrt{5}} \]
Resultado
\[ \dfrac{3\sqrt{5}}{5} \]
Desarrollo
Racionalización
\[ \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Resultado
\[ \boxed{\dfrac{3\sqrt{5}}{5}} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 \]
Resultado
\[ 5+2\sqrt{6} \]
Desarrollo
Aplicación de \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\[ (\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6} \]
Resultado
\[ \boxed{5+2\sqrt{6}} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
\[ \dfrac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \]
Resultado
\[ \sqrt{7}+\sqrt{2} \]
Desarrollo
Multiplicación por el conjugado
\[ \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}=\frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{7-2}=\frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{5}=\sqrt{7}+\sqrt{2} \]
Resultado
\[ \boxed{\sqrt{7}+\sqrt{2}} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27} \]
Resultado
\[ 5 \]
Desarrollo
Cálculo de las raíces cúbicas
\[ \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2 \qquad \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3 \]
Suma
\[ 2+3=5 \]
Resultado
\[ \boxed{5} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
\[ \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \]
Resultado
\[ \sqrt{3}+\sqrt{5} \]
Desarrollo
Distribución de la división
\[ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}+\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{5} \]
Resultado
\[ \boxed{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}} \]
Resultado
\[ \sqrt{3}+\sqrt{2} \]
Desarrollo
Determinación de \(a\) y \(b\)
Se buscan \(a,b\) tales que \(a^2+b^2=5\) y \(ab=\sqrt{6}\): se obtiene \(a=\sqrt{3},\,b=\sqrt{2}\).
Reescritura
\[ 5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 \]
Cálculo
\[ \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2} \]
Resultado
\[ \boxed{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \]
Resultado
\[ \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} \]
Desarrollo
Multiplicación por el conjugado \((\sqrt{5}-\sqrt{3})\)
\[ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} \]
Resultado
\[ \boxed{\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{8+2\sqrt{15}} \]
Resultado
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Desarrollo
Determinación de \(a\) y \(b\)
Se buscan \(a,b\) tales que \(a^2+b^2=8\) y \(ab=\sqrt{15}\): se obtiene \(a=\sqrt{5},\,b=\sqrt{3}\).
Reescritura
\[ 8+2\sqrt{15}=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 \]
Cálculo
\[ \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \boxed{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \]
Ejercicio 21 — nivel ★★☆☆☆
\[ \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \]
Resultado
\[ 2+\sqrt{3} \]
Desarrollo
Multiplicación por el conjugado
\[ \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \boxed{2+\sqrt{3}} \]
Ejercicio 22 — nivel ★★☆☆☆
\[ \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \]
Resultado
\[ \dfrac{7-2\sqrt{10}}{3} \]
Desarrollo
Multiplicación por el conjugado
\[ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}{5-2}=\frac{7-2\sqrt{10}}{3} \]
Desarrollo del numerador
\[ (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10} \]
Resultado
\[ \boxed{\dfrac{7-2\sqrt{10}}{3}} \]
Ejercicio 23 — nivel ★★★☆☆
\[ \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \]
Resultado
\[ 4 \]
Desarrollo
Primera fracción
\[ \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3} \]
Segunda fracción
\[ \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3} \]
Suma
\[ (2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4 \]
Resultado
\[ \boxed{4} \]
Ejercicio 24 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{3+\sqrt{5}}\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}} \]
Resultado
\[ 2 \]
Desarrollo
Producto bajo la raíz
\[ \sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2 \]
Resultado
\[ \boxed{2} \]
Ejercicio 25 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{2} \]
Resultado
\[ 2\sqrt[3]{2} \]
Desarrollo
Simplificaciones
\[ \sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2} \qquad \sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2} \]
Suma algebraica
\[ 3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}=(3-2+1)\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2} \]
Resultado
\[ \boxed{2\sqrt[3]{2}} \]
Ejercicio 26 — nivel ★★★☆☆
\[ \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} \]
Resultado
\[ 2\sqrt{2} \]
Desarrollo
Racionalización de los dos términos
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1 \qquad \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1 \]
Suma
\[ (\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}+1)=2\sqrt{2} \]
Resultado
\[ \boxed{2\sqrt{2}} \]
Ejercicio 27 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{7+4\sqrt{3}} \]
Resultado
\[ 2+\sqrt{3} \]
Desarrollo
Determinación de \(a\) y \(b\)
Se busca \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2=7+4\sqrt{3}\). Con \(a=2,\,b=\sqrt{3}\): \(a^2+b^2=7\) y \(2ab=4\sqrt{3}\).
Reescritura
\[ 7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2 \implies \sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \boxed{2+\sqrt{3}} \]
Ejercicio 28 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}} \]
Resultado
\[ 2\sqrt{2} \]
Desarrollo
Desanidación
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2} \qquad \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\quad(\sqrt{3}>\sqrt{2}) \]
Diferencia
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2} \]
Resultado
\[ \boxed{2\sqrt{2}} \]
Ejercicio 29 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{2x+1}=x-1 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Desarrollo
Condiciones de existencia
\(2x+1\geq0\) y \(x-1\geq0\), por tanto \(x\geq1\).
Elevación al cuadrado
\[ 2x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1 \implies x^2-4x=0 \implies x(x-4)=0 \]
Comprobación y descarte
\(x=0\) se descarta (\(x\geq1\)). \(x=4\): \(\sqrt{9}=3=4-1\) — válido.
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Ejercicio 30 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}=2 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Desarrollo
Condiciones de existencia
\(x\geq3\).
Estrategia: sistema suma–diferencia
Sea \(u=\sqrt{x+5}\), \(v=\sqrt{x-3}\), con \(u-v=2\) y \(u^2-v^2=8\).
\[ (u+v)\cdot2=8 \implies u+v=4 \]
Sistema: \(u=3,\,v=1\). De \(u^2=x+5\): \(x=4\).
Comprobación
\[ \sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2 \]
Resultado
\[ \boxed{x=4} \]
Ejercicio 31 — nivel ★★★★☆
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^4 \]
Resultado
\[ 49+20\sqrt{6} \]
Desarrollo
Primer cuadrado
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6} \]
Segundo cuadrado
\[ (5+2\sqrt{6})^2=25+20\sqrt{6}+24=49+20\sqrt{6} \]
Resultado
\[ \boxed{49+20\sqrt{6}} \]
Ejercicio 32 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt[4]{48}\cdot\sqrt[4]{3} \]
Resultado
\[ 2\sqrt{3} \]
Desarrollo
Producto bajo la raíz
\[ \sqrt[4]{48\cdot3}=\sqrt[4]{144}=\sqrt[4]{16\cdot9}=\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{9}=2\cdot\sqrt[4]{9} \]
Simplificación de \(\sqrt[4]{9}\)
\[ \sqrt[4]{9}=9^{1/4}=(3^2)^{1/4}=3^{1/2}=\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \boxed{2\sqrt{3}} \]
Ejercicio 33 — nivel ★★★★☆
\[ \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{16}-\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}} \]
Resultado
\[ 2\sqrt[3]{2} \]
Desarrollo
Simplificación de cada término
\[ \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{2} \qquad \sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2} \qquad \frac{2}{\sqrt[3]{4}}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{2}=\sqrt[3]{2} \]
Suma algebraica
\[ \sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2} \]
Resultado
\[ \boxed{2\sqrt[3]{2}} \]
Ejercicio 34 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \]
Resultado
\[ -1 \]
Desarrollo
Producto bajo la raíz cúbica
\[ \sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=\sqrt[3]{-1} \]
Cálculo final
En los reales, \(\sqrt[3]{-1}=-1\), ya que \((-1)^3=-1\).
Resultado
\[ \boxed{-1} \]
Ejercicio 35 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+4}=1 \]
Resultado
\[ x=5 \]
Desarrollo
Condiciones de existencia
\(x\geq-\tfrac{1}{3}\).
Aislamiento de un radical
\[ \sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+4} \]
Primera elevación al cuadrado
\[ 3x+1=1+2\sqrt{x+4}+(x+4)=x+5+2\sqrt{x+4} \]
\[ 2x-4=2\sqrt{x+4} \implies x-2=\sqrt{x+4}\quad(x\geq2) \]
Segunda elevación al cuadrado
\[ (x-2)^2=x+4 \implies x^2-5x=0 \implies x(x-5)=0 \]
Comprobación y descarte
\(x=0\) se descarta. \(x=5\): \(\sqrt{16}-\sqrt{9}=4-3=1\) — válido.
Resultado
\[ \boxed{x=5} \]
Ejercicio 36 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2} \]
Resultado
\[ x=1 \]
Desarrollo
Condiciones de existencia
\(x\geq\tfrac{1}{2}\).
Primera elevación al cuadrado
\[ x+\sqrt{2x-1}=2 \implies \sqrt{2x-1}=2-x\quad(x\leq2) \]
Segunda elevación al cuadrado
\[ 2x-1=(2-x)^2=4-4x+x^2 \implies x^2-6x+5=0 \implies (x-1)(x-5)=0 \]
Comprobación y descarte
\(x=5\) se descarta (\(x\leq2\)). \(x=1\): \(\sqrt{1+\sqrt{1}}=\sqrt{2}\) — válido.
Resultado
\[ \boxed{x=1} \]
Ejercicio 37 — nivel ★★★★★
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \]
Resultado
\[ 1 \]
Desarrollo
Idea de resolución — suma telescópica
El término general, una vez racionalizado, se convierte en \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\):
\[ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\cdot\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \]
Aplicación a los tres términos
\[ (\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3}) \]
Cancelación telescópica
\[ =2-1=1 \]
Resultado
\[ \boxed{1} \]
Ejercicio 38 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}} \]
Resultado
\[ \sqrt{2} \]
Desarrollo
Idea de resolución
Los dos radicales no se desanidan en forma cerrada: se calcula el cuadrado de la diferencia.
Cálculo del cuadrado
\[ \left(\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}\right)^2=(6+\sqrt{11})+(6-\sqrt{11})-2\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})} \]
\[ =12-2\sqrt{36-11}=12-2\sqrt{25}=12-10=2 \]
Extracción de la raíz
La diferencia es positiva (el primer radical es mayor que el segundo), por tanto:
\[ \sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}=\sqrt{2} \]
Resultado
\[ \boxed{\sqrt{2}} \]
Ejercicio 39 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{9-4\sqrt{5}} \]
Resultado
\[ \sqrt{5}-2 \]
Desarrollo
Determinación de \(a\) y \(b\)
Se buscan \(a,b\) tales que \(a^2+b^2=9\) y \(ab=2\sqrt{5}\): se obtiene \(a=\sqrt{5},\,b=2\).
Reescritura
\[ 9-4\sqrt{5}=5-4\sqrt{5}+4=(\sqrt{5}-2)^2 \]
Cálculo de la raíz
Como \(\sqrt{5}>2\):
\[ \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}=\sqrt{5}-2 \]
Resultado
\[ \boxed{\sqrt{5}-2} \]
Ejercicio 40 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}} \]
Resultado
\[ 2 \]
Desarrollo
Simplificación de \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)
\[ 3+2\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+2=(1+\sqrt{2})^2 \implies \sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2} \]
Simplificación de \(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)
\[ 3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2 \implies \sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\quad(\sqrt{2}>1) \]
Diferencia
\[ (1+\sqrt{2})-(\sqrt{2}-1)=2 \]
Resultado
\[ \boxed{2} \]