Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de Ecuaciones

\( x = 3 \quad y = 2 \)

Método de eliminación (suma)

Sumando miembro a miembro se elimina \( y \):

\( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \)

Sustituyendo en la primera ecuación: \( 3 + y = 5 \implies y = 2 \).

Verificación

\( 3 + 2 = 5 \) y \( 3 - 2 = 1 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)

\( x = 4 \quad y = 2 \)

Método de sustitución

De la primera ecuación: \( x = 2y \). Sustituyendo en la segunda:

\( 2y + y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \), por tanto \( x = 4 \).

Verificación

\( 4 - 4 = 0 \) y \( 4 + 2 = 6 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 4 \quad y = 2}\)

\( x = 3 \quad y = 1 \)

Método de sustitución

De la primera: \( y = 10 - 3x \). Sustituyendo en la segunda:

\( x + 3(10 - 3x) = 6 \implies x + 30 - 9x = 6 \implies -8x = -24 \implies x = 3 \)

Luego \( y = 10 - 9 = 1 \).

Verificación

\( 9 + 1 = 10 \) y \( 3 + 3 = 6 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 1}\)

\( x = 2 \quad y = 2 \)

Método de sustitución

De la segunda: \( x = 4 - y \). Sustituyendo en la primera:

\( 5(4 - y) + 2y = 14 \implies 20 - 5y + 2y = 14 \implies -3y = -6 \implies y = 2 \)

Luego \( x = 4 - 2 = 2 \).

Verificación

\( 10 + 4 = 14 \) y \( 2 + 2 = 4 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 2}\)

\( x = 2 \quad y = 1 \)

Método de eliminación

Multiplicamos la segunda ecuación por 3 para hacer opuestos los coeficientes de \( y \):

\( \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 12x + 3y = 27 \end{cases} \)

Sumando: \( 14x = 28 \implies x = 2 \). Luego \( y = 1 \).

Verificación

\( 4 - 3 = 1 \) y \( 8 + 1 = 9 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)

\( x = 2 \quad y = 3 \)

Método de eliminación

Los coeficientes de \( y \) ya son opuestos. Sumando las ecuaciones:

\( 8x = 16 \implies x = 2 \). Luego \( y = 3 \).

Verificación

\( 6 + 6 = 12 \) y \( 10 - 6 = 4 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)

\( x = 3 \quad y = 2 \)

Eliminación de fracciones

Primera ecuación ×3: \( x + 3y = 9 \)
Segunda ecuación ×2: \( 2x + y = 8 \)

De la primera: \( x = 9 - 3y \). Sustituyendo: \( 2(9 - 3y) + y = 8 \implies y = 2 \), por tanto \( x = 3 \).

Verificación

\( 1 + 2 = 3 \) y \( 3 + 1 = 4 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)

\( x = 2 \quad y = 3 \)

Método de eliminación

Segunda ecuación ×2: \( 4x + 10y = 38 \). Restando la primera:

\( 13y = 39 \implies y = 3 \). Luego \( x = 2 \).

Verificación

\( 8 - 9 = -1 \) y \( 4 + 15 = 19 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)

Infinitas soluciones

Análisis del sistema

Multiplicando la primera por 2 se obtiene la segunda: las ecuaciones son equivalentes (misma recta).

El sistema es indeterminado. Soluciones: \( x = \frac{6 - 3t}{2} \), \( y = t \) con \( t \in \mathbb{R} \).

Resultado final: \(\boxed{\text{Infinitas soluciones: } x = \dfrac{6-3t}{2},\ y = t \ (t \in \mathbb{R})}\)

Ninguna solución

Análisis del sistema

Multiplicando la primera por 2: \( 6x - 2y = 10 \), lo que contradice la segunda ecuación.

Las rectas son paralelas y distintas → sistema incompatible.

Resultado final: \(\boxed{\text{Sistema incompatible — ninguna solución}}\)

\( x = 1 \quad y = 4 \)

Método de eliminación

Multiplicamos la primera ecuación por 2 para igualar los coeficientes de \( y \):

\( \begin{cases} 10x + 4y = 26 \\ 3x + 4y = 19 \end{cases} \)

Restando: \( 7x = 7 \implies x = 1 \). Luego \( y = 4 \).

Verificación

\( 5 + 8 = 13 \) y \( 3 + 16 = 19 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 1 \quad y = 4}\)

\( x = 4 \quad y = 1 \)

Método de eliminación

Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 3 para eliminar \( y \):

\( \begin{cases} 4x - 6y = 10 \\ 15x + 6y = 66 \end{cases} \)

Sumando: \( 19x = 76 \implies x = 4 \). Luego \( y = 1 \).

Verificación

\( 8 - 3 = 5 \) y \( 20 + 2 = 22 \)

Resultado final: \(\boxed{x = 4 \quad y = 1}\)

\( (x,y) = (1,3) \) o \( (3,1) \)

Método combinado

De la primera: \( x = 4 - y \). Sustituyendo en la segunda:

\( (4 - y) \cdot y = 3 \implies 4y - y^2 = 3 \implies y^2 - 4y + 3 = 0 \implies (y-1)(y-3) = 0 \)

\( y = 1 \implies x = 3 \); \( y = 3 \implies x = 1 \).

Resultado final: \(\boxed{(x,y)=(1,3)\ \text{o}\ (3,1)}\)

\( x = 3 \quad y = 2 \quad z = 1 \)

Eliminación por sustracción

Restando la segunda de la primera: \( 2y = 4 \implies y = 2 \).
Restando la tercera de la primera: \( 2z = 2 \implies z = 1 \).

Luego \( x = 6 - y - z = 3 \).

Verificación

Las tres ecuaciones originales se satisfacen.

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2 \quad z = 1}\)

\( x = 3 \quad y = 2 \quad z = 4 \)

Eliminación por sustracción

Segunda menos primera: \( x = 3 \).
Tercera menos primera: \( y = 2 \).

Luego \( z = 9 - x - y = 4 \).

Verificación

Las tres ecuaciones se satisfacen.

Resultado final: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2 \quad z = 4}\)

\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)

Reducción del sistema

Sumamos la primera y la segunda para eliminar \( y \): \( 3x + z = 6 \).

Resolvemos el sistema 2×2 resultante para obtener \( x = 1 \), \( z = 3 \), luego \( y = 2 \).

Verificación

Las ecuaciones originales se satisfacen.

Resultado final: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)

\( (x,y) = (2,1) \) o \( (-1,-2) \)

Sustitución

\( x = y + 1 \). Sustituyendo: \( (y+1)^2 + y^2 = 5 \implies 2y^2 + 2y - 4 = 0 \implies y^2 + y - 2 = 0 \).

Soluciones: \( y = 1 \) (\( x=2 \)) o \( y = -2 \) (\( x=-1 \)).

Resultado final: \(\boxed{(x,y)=(2,1)\ \text{o}\ (-1,-2)}\)

\( (x,y) \in \{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\} \)

Usando identidad algebraica

\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 10 + 6 = 16 \implies x+y = \pm 4 \).

Se resuelven las ecuaciones cuadráticas para cada caso y se obtienen las cuatro parejas.

Resultado final: \(\boxed{(x,y) \in \{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}}\)

\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)

Suma de las tres ecuaciones

Sumando todas: \( 4(x + y + z) = 24 \implies x + y + z = 6 \).

Restando esta de cada ecuación original se obtienen \( x=1 \), \( y=2 \), \( z=3 \).

Resultado final: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)

\( x = 2 \quad y = 1 \quad z = 4 \)

Reducción a dos ecuaciones

Sumando la primera y la segunda: \( x + y = 3 \). Se sustituye \( z = x + 2y \) en la tercera y se resuelve.

Resultado final: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1 \quad z = 4}\)

\( x = 4 \quad y = \frac{11}{5} \quad z = -\frac{2}{5} \)

Método de eliminación

Se elimina \( x \) entre las ecuaciones y se resuelve el sistema 2×2 resultante.

Resultado final: \(\boxed{x = 4 \quad y = \frac{11}{5} \quad z = -\frac{2}{5}}\)

\( x = \frac{67}{25} \quad y = \frac{23}{25} \quad z = \frac{32}{25} \)

Reducción del sistema

Combinación de eliminación y sustitución para obtener un sistema 2×2.

Resultado final: \(\boxed{x = \frac{67}{25} \quad y = \frac{23}{25} \quad z = \frac{32}{25}}\)

Depende del valor de \( k \)

Análisis con parámetro

Sustituyendo \( x = 6 - y \): \( (k - 2)y = 0 \).

• Si \( k \neq 2 \): solución única \( x = 6 \), \( y = 0 \)
• Si \( k = 2 \): infinitas soluciones (\( x = 6 - t \), \( y = t \))

Resultado final: \(\boxed{\text{Determinado si } k \neq 2;\ \text{Indeterminado si } k=2}\)

\( (x,y) = (2,3) \) o \( (3,2) \)

Método combinado

\( y = 5 - x \). Sustituyendo: \( x^2 + (5 - x)^2 = 13 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \).

Soluciones: \( x=2 \) (\( y=3 \)) y \( x=3 \) (\( y=2 \)).

Resultado final: \(\boxed{(x,y)=(2,3)\ \text{o}\ (3,2)}\)

\( x = \frac{49}{12} \quad y = \frac{7}{4} \quad z = \frac{19}{12} \)

Eliminación combinada

Se elimina progresivamente \( y \) y se resuelve el sistema resultante.

Resultado final: \(\boxed{x = \frac{49}{12} \quad y = \frac{7}{4} \quad z = \frac{19}{12}}\)