Los siguientes ejercicios permiten reconocer y resolver las principales formas indeterminadas que aparecen en el cálculo de límites. Para cada límite identificaremos en primer lugar la forma indeterminada, a continuación elegiremos una transformación adecuada y justificaremos con detalle todos los pasos.
Los ejercicios están dispuestos según una dificultad progresiva y emplean exclusivamente las herramientas introducidas en la teoría: factorización y simplificación, racionalización, división por el término dominante, límites notables, equivalencias asintóticas, teorema de comparación (o del sándwich) y transformación mediante el logaritmo.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4. \]
Resolución
Calculando por separado los límites del numerador y del denominador, se obtiene
\[ \lim_{x\to2}(x^2-4)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to2}(x-2)=0. \]
El límite se presenta, por tanto, en la forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
El numerador es una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Para \(x\neq 2\), condición suficiente en el cálculo del límite cuando \(x\to2\), podemos simplificar el factor común:
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2. \]
Las dos expresiones coinciden en todos los puntos del dominio próximos a \(2\), salvo posiblemente en el propio \(2\), y tienen por tanto el mismo límite. En consecuencia,
\[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}=\frac14. \]
Resolución
Cuando \(x\to0\), el numerador tiende a \(\sqrt4-2=0\) y el denominador tiende a cero. Aparece así la forma \(\displaystyle\frac00\). La presencia de una diferencia que contiene una raíz sugiere recurrir a la expresión conjugada.
Para \(x\neq0\), multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{4+x}+2\):
\[ \frac{\sqrt{4+x}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{4+x}+2}{\sqrt{4+x}+2}=\frac{(4+x)-4}{x(\sqrt{4+x}+2)}. \]
En el numerador queda \(x\), que puede simplificarse con el denominador:
\[ \frac{x}{x(\sqrt{4+x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{4+x}+2}. \]
La nueva expresión no presenta ninguna forma indeterminada. Por continuidad de la raíz y de las operaciones algebraicas,
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{4+x}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14. \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}=5. \]
Resolución
Puesto que \(\sin(5x)\to0\) y \(x\to0\), el límite tiene la forma \(\displaystyle\frac00\). El límite notable \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1\) no es todavía aplicable directamente, pues en el denominador figura \(x\), y no \(5x\).
Multiplicamos y dividimos por \(5\):
\[ \frac{\sin(5x)}{x}=5\frac{\sin(5x)}{5x}. \]
Poniendo formalmente \(t=5x\), de \(x\to0\) se sigue que \(t\to0\). Por tanto,
\[ \lim_{x\to0}5\frac{\sin(5x)}{5x}=5\cdot1=5. \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}=3. \]
Resolución
El numerador tiende a \(e^0-1=0\), mientras que el denominador tiende a cero: nos encontramos en la forma \(\displaystyle\frac00\). Empleamos el límite notable \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1\).
Escribimos
\[ \frac{e^{3x}-1}{x}=3\frac{e^{3x}-1}{3x}. \]
Como \(3x\to0\), el cociente de la derecha tiende a \(1\). De ahí que
\[ \lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}=3\cdot1=3. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{2x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{2x}=2. \]
Resolución
Cuando \(x\to0\), se tiene \(\ln(1+4x)\to\ln1=0\) y \(2x\to0\). El límite presenta la forma \(\displaystyle\frac00\).
Para reconducirlo al límite notable \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}t=1\), introducimos en el denominador el término \(4x\):
\[ \frac{\ln(1+4x)}{2x}=2\frac{\ln(1+4x)}{4x}. \]
Dado que \(4x\to0\), el segundo factor tiende a \(1\). Por consiguiente,
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{2x}=2. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to0}\frac{x}{|x|}. \]
Resultado
El límite cuando \(x\to0\) no existe.
Resolución
Numerador y denominador tienden ambos a cero, por lo que aparece la forma \(\displaystyle\frac00\). Esta información, sin embargo, no implica que el límite exista.
Para \(x>0\), se tiene \(|x|=x\), luego
\[ \frac{x}{|x|}=1 \qquad\Longrightarrow\qquad \lim_{x\to0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
Para \(x<0\), en cambio, \(|x|=-x\), y por tanto
\[ \frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1 \qquad\Longrightarrow\qquad \lim_{x\to0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]
Puesto que el límite por la derecha y el límite por la izquierda son finitos pero distintos, el límite cuando \(x\to0\) no existe.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5}=2. \]
Resolución
Numerador y denominador tienden ambos a \(+\infty\); el límite presenta, por tanto, la forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Para comparar los términos dominantes, dividimos numerador y denominador entre \(x^2\), la potencia de mayor grado:
\[ \frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5}=\frac{4-\displaystyle\frac3x+\displaystyle\frac1{x^2}}{2+\displaystyle\frac1x-\displaystyle\frac5{x^2}}. \]
Cuando \(x\to+\infty\), tanto \(\displaystyle\frac1x\) como \(\displaystyle\frac1{x^2}\) tienden a cero. El denominador de la nueva expresión tiende a \(2\neq0\), por lo que podemos aplicar el álgebra de límites:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4-\displaystyle\frac3x+\displaystyle\frac1{x^2}}{2+\displaystyle\frac1x-\displaystyle\frac5{x^2}}=\frac42=2. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x^2+4}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x^2+4}=0. \]
Resolución
El numerador y el denominador tienden a \(+\infty\), de modo que la forma es \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). El denominador tiene mayor grado que el numerador: cabe esperar que crezca con mayor rapidez, aunque esto debe demostrarse.
Dividimos todo entre \(x^2\):
\[ \frac{3x+1}{x^2+4}=\frac{\displaystyle\frac3x+\displaystyle\frac1{x^2}}{1+\displaystyle\frac4{x^2}}. \]
El numerador tiende a cero y el denominador tiende a \(1\). En consecuencia,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x^2+4}=\frac01=0. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1. \]
Resolución
Tanto el numerador como el denominador divergen en valor absoluto, por lo que aparece una forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Extraemos \(x^2\) de la raíz:
\[ \sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}=|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}. \]
Es esencial no sustituir \(\sqrt{x^2}\) por \(x\): la identidad válida para todo número real es \(\sqrt{x^2}=|x|\). Cuando \(x\to-\infty\), se tiene finalmente \(x<0\), por lo que \(|x|=-x\). Por tanto,
\[ \frac{\sqrt{x^2+1}}x=\frac{-x\sqrt{1+\displaystyle\frac1{x^2}}}{x}=-\sqrt{1+\frac1{x^2}}. \]
Puesto que \(\displaystyle\frac1{x^2}\to0\), obtenemos
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}x=-\sqrt1=-1. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0. \]
Resolución
Cuando \(x\to0^+\), se tiene \(x\to0\) y \(\ln x\to-\infty\). El producto presenta, por tanto, la forma \(0\cdot(-\infty)\), que constituye un caso de la forma indeterminada \(0\cdot\infty\).
Transformamos el producto en un cociente:
\[ x\ln x=\frac{\ln x}{\displaystyle\frac1x}. \]
Para que el comportamiento resulte más transparente, ponemos \(t=\displaystyle\frac1x\). Si \(x\to0^+\), entonces \(t\to+\infty\), mientras que \(x=\displaystyle\frac1t\) y \(\ln x=-\ln t\). Por tanto,
\[ x\ln x=-\frac{\ln t}{t}. \]
Según la jerarquía fundamental de los infinitos, el logaritmo crece más lentamente que cualquier potencia positiva; en particular, \(\ln t=o(t)\). De ello se sigue que
\[ \lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{t}=0, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0. \]
El producto toma valores negativos cerca de cero, por lo que tiende a cero por valores inferiores; el valor del límite es, en cualquier caso, \(0\).
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot\sqrt{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot\sqrt{x}=0. \]
Resolución
El factor \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) tiende a cero, ya que \(|\sin x|\leq1\), mientras que \(\sqrt{x}\to+\infty\). Aparece así la forma \(0\cdot\infty\).
Simplificamos las potencias de \(x\):
\[ \frac{\sin x}{x}\sqrt{x}=\frac{\sin x}{\sqrt{x}}. \]
Como \(|\sin x|\leq1\), para \(x>0\) se cumple
\[ \left|\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\right|\leq\frac1{\sqrt{x}}. \]
El término de la derecha tiende a cero cuando \(x\to+\infty\). De manera equivalente,
\[ -\frac1{\sqrt{x}}\leq\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\leq\frac1{\sqrt{x}}. \]
Ambas cotas tienden a cero; por el teorema del sándwich se sigue que la expresión central también tiende a cero.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=\frac32. \]
Resolución
Los dos términos de la diferencia tienden ambos a \(+\infty\), por lo que nos hallamos ante la forma \(\infty-\infty\). No podemos restar formalmente los dos infinitos. Racionalizamos multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:
\[ \sqrt{x^2+3x}-x=\frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{\sqrt{x^2+3x}+x}. \]
El numerador es una diferencia de cuadrados:
\[ \sqrt{x^2+3x}-x=\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}. \]
Cuando \(x\to+\infty\), se tiene finalmente \(x>0\). Podemos entonces escribir
\[ \sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+\frac3x}. \]
Dividiendo numerador y denominador entre \(x\), obtenemos
\[ \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac3{\sqrt{1+\displaystyle\frac3x}+1}. \]
Ahora bien, \(\displaystyle\frac3x\to0\), de modo que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac3{\sqrt{1+\displaystyle\frac3x}+1}=\frac3{1+1}=\frac32. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)=1. \]
Resolución
Cuando \(x\to+\infty\), ambas raíces tienden a \(+\infty\). La diferencia presenta, por tanto, la forma indeterminada \(\infty-\infty\).
Multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada:
\[ \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}=\frac{(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x})(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x})}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}. \]
En el numerador aparece una diferencia de cuadrados:
\[ (x^2+x)-(x^2-x)=2x. \]
Por tanto,
\[ \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}=\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}. \]
Puesto que \(x>0\) finalmente, podemos extraer \(x^2\) de ambas raíces usando \(\sqrt{x^2}=|x|=x\):
\[ \frac{2x}{x\sqrt{1+\displaystyle\frac1x}+x\sqrt{1-\displaystyle\frac1x}}=\frac2{\sqrt{1+\displaystyle\frac1x}+\sqrt{1-\displaystyle\frac1x}}. \]
Por último, \(\displaystyle\frac1x\to0\), de modo que el denominador tiende a \(1+1=2\) y
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)=\frac22=1. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac2x\right)^{3x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac2x\right)^{3x}=e^6. \]
Resolución
La base tiende a \(1\), mientras que el exponente tiende a \(+\infty\). El límite presenta la forma \(1^\infty\).
Ponemos
\[ y(x)=\left(1+\frac2x\right)^{3x}. \]
La base es positiva para \(x\) suficientemente grande, por lo que podemos aplicar el logaritmo:
\[ \ln y(x)=3x\ln\left(1+\frac2x\right). \]
Para recurrir al límite notable del logaritmo, escribimos
\[ 3x\ln\left(1+\frac2x\right)=6\frac{\ln\left(1+\displaystyle\frac2x\right)}{\displaystyle\frac2x}. \]
Puesto que \(\displaystyle\frac2x\to0\), el cociente tiende a \(1\); por tanto, \(\ln y(x)\to6\). Por continuidad de la función exponencial,
\[ y(x)=e^{\ln y(x)}\to e^6. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac1x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac1x}=e. \]
Resolución
Cuando \(x\to0\), la base tiende a \(1\). El exponente tiende a \(+\infty\) cuando \(x\to0^+\) y a \(-\infty\) cuando \(x\to0^-\). Por tanto, los límites por la derecha y por la izquierda presentan, respectivamente, las formas indeterminadas \(1^{+\infty}\) y \(1^{-\infty}\). Ambas pueden estudiarse mediante el logaritmo.
La base es positiva en un entorno de cero. Poniendo \(y(x)=(1+\sin x)^{1/x}\), obtenemos
\[ \ln y(x)=\frac{\ln(1+\sin x)}x. \]
Descomponemos el cociente en dos factores:
\[ \frac{\ln(1+\sin x)}x=\frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}. \]
Puesto que \(\sin x\to0\), el primer factor tiende a \(1\) por el límite notable del logaritmo; el segundo tiende también a \(1\) por el límite notable del seno. En consecuencia,
\[ \lim_{x\to0}\ln y(x)=1. \]
Aplicando la función exponencial, obtenemos
\[ \lim_{x\to0^+}y(x)=e \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to0^-}y(x)=e. \]
Puesto que el límite por la derecha y el límite por la izquierda coinciden, concluimos que
\[ \lim_{x\to0}y(x)=e. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to0^+}x^x. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to0^+}x^x=1. \]
Resolución
La base tiende a \(0^+\) y el exponente tiende a cero. Aparece así la forma indeterminada \(0^0\). Puesto que \(x>0\), podemos poner \(y(x)=x^x\) y aplicar el logaritmo:
\[ \ln y(x)=x\ln x. \]
El producto de la derecha tiene la forma \(0\cdot(-\infty)\). Como se mostró en el Ejercicio 10,
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0. \]
En consecuencia, \(\ln y(x)\to0\). Por continuidad de la función exponencial,
\[ \lim_{x\to0^+}x^x=e^0=1. \]
La forma \(0^0\) no se ha tratado como una potencia ordinaria: el resultado se ha obtenido estudiando el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to0^+}x^{\frac1{\ln x}}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to0^+}x^{\frac1{\ln x}}=e. \]
Resolución
Cuando \(x\to0^+\), la base tiende a cero y \(\ln x\to-\infty\), por lo que el exponente \(\displaystyle\frac1{\ln x}\) tiende a cero. La forma es \(0^0\).
Para \(0<x<1\), tanto la base como el logaritmo están bien definidos. Ponemos \(y(x)=x^{1/\ln x}\). Entonces
\[ \ln y(x)=\frac1{\ln x}\ln x=1. \]
En realidad, esta igualdad es exacta para todo \(x>0\) con \(x\neq1\). Por tanto,
\[ y(x)=e^{\ln y(x)}=e, \]
y la función es constantemente igual a \(e\) en el tramo del dominio considerado. Se sigue de inmediato que el límite vale \(e\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac1x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac1x}=1. \]
Resolución
La base tiende a \(+\infty\), mientras que el exponente tiende a cero: nos encontramos en la forma \(\infty^0\). Ponemos \(y(x)=x^{1/x}\). Para \(x>0\),
\[ \ln y(x)=\frac{\ln x}{x}. \]
El logaritmo crece más lentamente que la función potencial \(x\); simbólicamente, \(\ln x=o(x)\) cuando \(x\to+\infty\). Por tanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0. \]
De ahí que \(\ln y(x)\to0\) y, aplicando la exponencial,
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac1x}=e^0=1. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac1{\sqrt{\ln x}}}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac1{\sqrt{\ln x}}}=0. \]
Resolución
Cuando \(x\to+\infty\), la base tiende a \(+\infty\), mientras que \(\ln x\to+\infty\) y, por tanto, el exponente \(\displaystyle-\frac1{\sqrt{\ln x}}\) tiende a cero. El límite presenta la forma \(\infty^0\).
Ponemos \(y(x)=x^{-1/\sqrt{\ln x}}\). Para \(x>1\), la función es positiva y podemos escribir
\[ \ln y(x)=-\frac1{\sqrt{\ln x}}\ln x=-\sqrt{\ln x}. \]
Puesto que \(\ln x\to+\infty\), también \(\sqrt{\ln x}\to+\infty\). En consecuencia,
\[ \ln y(x)\to-\infty. \]
Aplicando la exponencial, obtenemos
\[ y(x)=e^{\ln y(x)}=e^{-\sqrt{\ln x}}\to0. \]
Este ejercicio muestra que una forma \(\infty^0\) no conduce necesariamente a \(1\): el resultado depende del producto entre el exponente y el logaritmo de la base.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Sean \(a,b\in\mathbb{R}\). Calcular el límite
\[ \lim_{x\to0}\left(\frac{1+ax}{1+bx}\right)^{\frac1x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to0}\left(\frac{1+ax}{1+bx}\right)^{\frac1x}=e^{a-b}. \]
Resolución
Cuando \(x\to0\), tanto \(1+ax\) como \(1+bx\) tienden a \(1\), por lo que la base tiende a \(1\). El exponente \(\displaystyle\frac1x\) tiende a \(+\infty\) cuando \(x\to0^+\) y a \(-\infty\) cuando \(x\to0^-\). Por tanto, los límites por la derecha y por la izquierda presentan, respectivamente, las formas indeterminadas \(1^{+\infty}\) y \(1^{-\infty}\).
Para \(x\) suficientemente próximo a cero, ambos factores \(1+ax\) y \(1+bx\) son positivos; su cociente es, en consecuencia, también positivo. Ponemos
\[ y(x)=\left(\frac{1+ax}{1+bx}\right)^{\frac1x}. \]
Aplicando el logaritmo y utilizando la propiedad del logaritmo de un cociente, obtenemos
\[ \ln y(x)=\frac1x\left[\ln(1+ax)-\ln(1+bx)\right]. \]
Separamos los dos términos:
\[ \ln y(x)=\frac{\ln(1+ax)}x-\frac{\ln(1+bx)}x. \]
Si \(a\neq0\), podemos escribir
\[ \frac{\ln(1+ax)}x=a\frac{\ln(1+ax)}{ax}\to a, \]
pues \(ax\to0\) y \(\displaystyle\frac{\ln(1+t)}t\to1\). Si \(a=0\), el término es idénticamente nulo y tiende igualmente a \(a=0\). Con el mismo razonamiento,
\[ \frac{\ln(1+bx)}x\to b. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to0}\ln y(x)=a-b. \]
La función exponencial es continua, de modo que
\[ \lim_{x\to0}y(x)=e^{a-b}. \]
La fórmula comprende también algunos casos particulares dignos de mención: si \(a=b\), la base es idénticamente igual a \(1\) y el límite vale \(1=e^0\); si \(a>b\), el límite es mayor que \(1\); si \(a<b\), está comprendido entre \(0\) y \(1\).