Las fracciones algebraicas son expresiones en las que aparecen polinomios tanto en el numerador como en el denominador. Constituyen una extensión natural de las fracciones numéricas: así como una fracción numérica expresa el cociente de dos números, una fracción algebraica expresa el cociente de dos expresiones algebraicas.
Sin embargo, a diferencia de las fracciones numéricas, las fracciones algebraicas exigen una precaución adicional: el denominador puede depender de una o más variables y, por tanto, puede anularse para determinados valores. Por este motivo no basta con saber operar; es necesario establecer previamente para qué valores la expresión tiene sentido.
Índice
- Qué es una fracción algebraica
- Condiciones de existencia y dominio
- Fracciones algebraicas equivalentes
- Simplificación de fracciones algebraicas
- Reducción al mismo denominador
- Operaciones con fracciones algebraicas
- Expresiones con fracciones algebraicas
- Ecuaciones con fracciones algebraicas
- Errores frecuentes
Qué es una fracción algebraica
Se llama fracción algebraica a una expresión de la forma
\[ \frac{A}{B} \]
donde \(A\) y \(B\) son expresiones algebraicas con \(B\neq 0\). En los casos más habituales, \(A\) y \(B\) son polinomios. La expresión \(A\) recibe el nombre de numerador y \(B\) el de denominador.
Por ejemplo,
\[ \frac{x+1}{x-2}, \qquad \frac{x^2-1}{x^2+3x+2}, \qquad \frac{2a-b}{a^2-b^2} \]
son fracciones algebraicas.
El denominador es el elemento central de la teoría. En efecto, una fracción —numérica o algebraica— carece de significado cuando el denominador es nulo. Por ello, antes de transformar o simplificar una fracción algebraica, es imprescindible identificar los valores para los cuales el denominador se anula.
Condiciones de existencia y dominio
Una fracción algebraica
\[ \frac{A(x)}{B(x)} \]
está definida para todos los valores de la variable en que el denominador es distinto de cero:
\[ B(x)\neq 0. \]
Esta exigencia recibe el nombre de condición de existencia. El conjunto de todos los valores que la satisfacen es el dominio de la fracción algebraica.
Ejemplo
Consideremos la fracción
\[ \frac{x+3}{x-5}. \]
El denominador es \(x-5\). Imponemos que sea distinto de cero:
\[ x-5\neq 0, \]
de donde se obtiene
\[ x\neq 5. \]
Por tanto, la fracción está definida para todos los valores reales de \(x\) salvo \(5\). El dominio es
\[ \mathbb{R}\setminus\{5\}. \]
Ejemplo con denominador factorizable
Consideremos
\[ \frac{x+1}{x^2-4}. \]
El denominador se anula cuando
\[ x^2-4=0. \]
Como
\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]
debemos exigir
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Un producto es distinto de cero si y solo si cada uno de sus factores es distinto de cero. Por consiguiente,
\[ x\neq 2 \quad \text{y} \quad x\neq -2. \]
El dominio es
\[ \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. \]
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas son equivalentes si toman el mismo valor para todo elemento de su dominio común.
La propiedad fundamental es análoga a la de las fracciones numéricas: al multiplicar numerador y denominador por una misma expresión no nula se obtiene una fracción equivalente.
Si \(C\neq 0\), entonces
\[ \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}, \qquad B\neq 0,\ C\neq 0. \]
Esta propiedad es la base tanto de la simplificación como de la reducción al mismo denominador. La condición \(C\neq 0\) no es un mero detalle formal: multiplicar o dividir por una expresión que puede anularse puede modificar el dominio de la fracción.
Simplificación de fracciones algebraicas
Simplificar una fracción algebraica consiste en dividir numerador y denominador por un mismo factor común no nulo. Para hacerlo correctamente, es preciso factorizar previamente numerador y denominador.
No se pueden cancelar términos unidos por sumas o restas. Solo es lícito cancelar factores comunes.
Ejemplo
Simplifiquemos
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1}. \]
Factorizamos numerador y denominador:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Entonces
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}. \]
El factor \(x+1\) es común al numerador y al denominador. Podemos cancelarlo, teniendo en cuenta que \(x+1\neq 0\), es decir, \(x\neq -1\):
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1}. \]
Por tanto,
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{x-1}{x+1}, \qquad x\neq -1. \]
Es importante observar que la fracción simplificada coincide con la fracción original únicamente en el dominio de esta última. La simplificación no autoriza a olvidar las condiciones de existencia.
Reducción al mismo denominador
Para sumar o restar fracciones algebraicas es necesario reducirlas al mismo denominador. El denominador común más conveniente es, por lo general, el mínimo común múltiplo de los denominadores, calculado tras factorizarlos completamente.
El procedimiento es el siguiente:
- se factorizan completamente los denominadores;
- se determina el mínimo común denominador;
- se transforma cada fracción en una fracción equivalente con ese denominador;
- se suman o restan los numeradores.
Ejemplo
Reduzcamos al mismo denominador
\[ \frac{1}{x-1} \quad \text{y} \quad \frac{2}{x+1}. \]
Los denominadores ya están factorizados. El mínimo común denominador es
\[ (x-1)(x+1). \]
Por tanto,
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \]
y
\[ \frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Las condiciones de existencia son
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
Operaciones con fracciones algebraicas
Suma y diferencia
Para sumar o restar dos fracciones algebraicas con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador:
\[ \frac{A}{B}+\frac{C}{B} = \frac{A+C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
Del mismo modo,
\[ \frac{A}{B}-\frac{C}{B} = \frac{A-C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
Ejemplo
Calculemos
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}. \]
El denominador común es \((x-1)(x+1)\). Entonces
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Sumamos los numeradores:
\[ \frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Desarrollamos el numerador:
\[ x+1+2x-2=3x-1. \]
Por tanto,
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
Las condiciones de existencia son
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1. \]
Producto
El producto de dos fracciones algebraicas se obtiene multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
\[ \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}, \qquad B\neq 0,\ D\neq 0. \]
Antes de efectuar las multiplicaciones conviene factorizar y cancelar los factores comunes que puedan aparecer.
Ejemplo
Calculemos
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
Factorizamos:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Entonces
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
Cancelamos el factor \(x+1\) y un factor \(x\), teniendo en cuenta las condiciones \(x\neq 0\) y \(x\neq -1\):
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}. \]
Por tanto,
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}, \qquad x\neq 0,\ x\neq -1. \]
Cociente
Dividir por una fracción algebraica equivale a multiplicar por su inversa, siempre que el divisor sea distinto de cero:
\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}. \]
Las condiciones son
\[ B\neq 0,\qquad D\neq 0,\qquad C\neq 0. \]
La condición \(C\neq 0\) es indispensable porque la fracción \(\frac{C}{D}\), al ser el divisor, no puede ser igual a cero.
Expresiones con fracciones algebraicas
Al trabajar con expresiones que contienen fracciones algebraicas conviene proceder de forma ordenada. Primero se establecen las condiciones de existencia; a continuación se realizan las operaciones respetando la jerarquía de paréntesis y operadores.
Ejemplo
Simplifiquemos
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
Determinamos primero las condiciones de existencia:
\[ x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0,\qquad x\neq 0, \]
es decir,
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1,\qquad x\neq 0. \]
Trabajamos ahora con la expresión entre paréntesis:
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}. \]
El denominador común es \((x-1)(x+1)\), luego
\[ \frac{x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} \]
y
\[ \frac{1}{x+1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
Por tanto,
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1} = \frac{x(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Desarrollamos el numerador:
\[ x(x+1)-(x-1)=x^2+x-x+1=x^2+1. \]
La expresión completa queda entonces
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
Como
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
tenemos
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}. \]
Cancelando los factores comunes,
\[ \frac{x^2+1}{x}. \]
Por consiguiente,
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2+1}{x}, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
Ecuaciones con fracciones algebraicas
Las ecuaciones que contienen fracciones algebraicas reciben el nombre de ecuaciones fraccionarias. Su resolución exige especial cuidado, pues no todas las soluciones obtenidas algebraicamente son necesariamente válidas.
El procedimiento correcto es el siguiente:
- determinar las condiciones de existencia;
- resolver la ecuación dentro de dichas condiciones;
- descartar los valores que anulen alguno de los denominadores originales.
Ejemplo
Resolvamos
\[ \frac{x+1}{x-2}=3. \]
La condición de existencia es
\[ x-2\neq 0, \]
es decir,
\[ x\neq 2. \]
Multiplicamos ambos miembros por \(x-2\), que es distinto de cero en el dominio de la ecuación:
\[ x+1=3(x-2). \]
Desarrollamos:
\[ x+1=3x-6. \]
Agrupamos los términos en \(x\) en un miembro y los términos independientes en el otro:
\[ 1+6=3x-x. \]
Entonces
\[ 7=2x, \]
de donde
\[ x=\frac{7}{2}. \]
Como \(\frac{7}{2}\neq 2\), la solución es válida:
\[ S=\left\{\frac{7}{2}\right\}. \]
Ejemplo con solución no válida
Resolvamos
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}. \]
La condición de existencia es
\[ x-1\neq 0, \]
es decir,
\[ x\neq 1. \]
Como ambas fracciones tienen el mismo denominador, que es distinto de cero en el dominio, podemos igualar los numeradores:
\[ x=1. \]
Sin embargo, \(x=1\) no satisface la condición de existencia, pues anula el denominador. Este valor debe por tanto descartarse.
La ecuación no tiene solución:
\[ S=\varnothing. \]
Errores frecuentes
El primer error consiste en cancelar términos en lugar de factores. Por ejemplo,
\[ \frac{x+2}{x} \]
no puede simplificarse cancelando la \(x\), porque \(x\) no es un factor de todo el numerador: aparece únicamente como sumando dentro de la suma \(x+2\).
El segundo error consiste en olvidar las condiciones de existencia tras una simplificación. Por ejemplo,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1, \]
pero esta igualdad solo es válida para
\[ x\neq 1. \]
En efecto, la fracción original no está definida en \(x=1\), mientras que la expresión \(x+1\) sí lo estaría. Por tanto, como expresiones con dominio, las dos escrituras no son idénticas si no se conserva la condición \(x\neq 1\).
El tercer error consiste en multiplicar ambos miembros de una ecuación por una expresión que puede ser nula sin haber determinado previamente el dominio. En una ecuación fraccionaria, cada transformación debe estar justificada dentro de las condiciones de existencia.
Las fracciones algebraicas no son simplemente fracciones con letras. Son expresiones racionales cuyo significado depende de manera esencial del denominador. Por ello, todo cálculo debe ir acompañado de la verificación de las condiciones de existencia.
Simplificar, sumar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas supone aplicar las mismas propiedades que rigen las fracciones numéricas, pero prestando mayor atención al dominio. La regla fundamental es siempre la misma: las expresiones solo pueden transformarse de manera compatible con los valores para los que están definidas.
Un conocimiento riguroso de las fracciones algebraicas es indispensable para abordar ecuaciones fraccionarias, inecuaciones racionales, funciones racionales y numerosos temas posteriores del álgebra y del análisis matemático.