En esta colección presentamos 20 ejercicios resueltos sobre la función inversa, ordenados por dificultad creciente y con explicaciones paso a paso. Los ejercicios abordan el cálculo de la inversa, el estudio de la invertibilidad, el papel del dominio y el codominio, y las nociones de inversa por la izquierda e inversa por la derecha.
La idea fundamental que conviene recordar es que una función \(f:A\to B\) admite inversa \(f^{-1}:B\to A\) si y solo si es biyectiva, es decir, si es a la vez inyectiva y suprayectiva.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Hallar la inversa de la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-5. \]
Resultado
La función es invertible y su inversa es
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Resolución
La función es afín con pendiente no nula. Por ello es inyectiva y suprayectiva de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\), de modo que admite inversa.
Ponemos
\[ y=3x-5. \]
Para hallar la inversa, despejamos \(x\) en esta ecuación. Sumamos \(5\) a ambos miembros:
\[ y+5=3x. \]
Dividiendo entre \(3\), obtenemos
\[ x=\frac{y+5}{3}. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}. \]
Renombrando la variable independiente, se obtiene
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Comprobamos mediante composición:
\[ f^{-1}(f(x))=\frac{(3x-5)+5}{3}=x \]
y
\[ f(f^{-1}(x))=3\cdot\frac{x+5}{3}-5=x. \]
Las dos identidades confirman que la función obtenida es, en efecto, la inversa de \(f\).
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Sea
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x-4}{2}. \]
Hallar \(f^{-1}\) y comprobar el resultado mediante composición.
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Resolución
Ponemos
\[ y=\frac{x-4}{2}. \]
Despejamos \(x\). Multiplicando ambos miembros por \(2\), obtenemos
\[ 2y=x-4. \]
Sumando \(4\) a ambos miembros:
\[ x=2y+4. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(y)=2y+4. \]
Renombrando la variable independiente:
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Comprobamos ahora las dos composiciones. Para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f^{-1}(f(x))=2\cdot\frac{x-4}{2}+4=x-4+4=x. \]
Además, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f(f^{-1}(x))=\frac{(2x+4)-4}{2}=x. \]
Como
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{y}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{\mathbb R}, \]
la función obtenida es la inversa de \(f\).
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
Hallar la inversa de la función
\[ f:\mathbb R\setminus\{-3\}\to\mathbb R\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Resolución
Partimos de la ecuación
\[ y=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Como \(x\ne -3\), el denominador no es nulo. Multiplicamos ambos miembros por \(x+3\):
\[ y(x+3)=2x-1. \]
Desarrollamos el primer miembro:
\[ xy+3y=2x-1. \]
Pasamos los términos que contienen \(x\) a un lado y los demás al otro:
\[ xy-2x=-1-3y. \]
Sacamos factor común \(x\):
\[ x(y-2)=-(1+3y). \]
Como el codominio es \(\mathbb R\setminus\{2\}\), se tiene \(y\ne 2\), de modo que podemos dividir entre \(y-2\):
\[ x=\frac{-(1+3y)}{y-2}. \]
Cambiando el signo del numerador y del denominador, obtenemos
\[ x=\frac{3y+1}{2-y}. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{3y+1}{2-y}. \]
Renombrando la variable independiente:
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Observamos que \(x\ne 2\) en el dominio de \(f^{-1}\), por lo que el denominador \(2-x\) no se anula. Esto concuerda con que el dominio de la inversa es el codominio de la función de partida.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Estudiar si es invertible y, en caso afirmativo, hallar su inversa.
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Resolución
La función
\[ f(x)=x^2 \]
no es invertible de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\), pero en este ejercicio el dominio se restringe a \([0,+\infty)\) y el codominio es \([0,+\infty)\).
Comprobamos la inyectividad. Si \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) y
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
entonces
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Como \(x_1\ge 0\) y \(x_2\ge 0\), de \(x_1^2=x_2^2\) se sigue que
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto \(f\) es inyectiva.
Comprobamos la suprayectividad. Dado un \(y\in[0,+\infty)\) cualquiera, elegimos
\[ x=\sqrt y. \]
Entonces \(x\in[0,+\infty)\) y
\[ f(x)=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Por tanto \(f\) es suprayectiva.
Al ser inyectiva y suprayectiva, \(f\) es biyectiva y admite inversa. De la relación
\[ y=x^2 \]
con \(x\ge 0\), obtenemos
\[ x=\sqrt y. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(x)=\sqrt x. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2 \]
admite función inversa.
Resultado
La función no es invertible, porque no es ni inyectiva ni suprayectiva en \(\mathbb R\).
Resolución
Una función \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) admite inversa si y solo si es biyectiva, es decir, si es inyectiva y suprayectiva.
La función
\[ f(x)=x^2 \]
no es inyectiva. En efecto
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
y
\[ f(1)=1^2=1. \]
Por tanto
\[ f(-1)=f(1), \]
pero \(-1\ne 1\). Así pues, dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen.
Además, la función no es suprayectiva en \(\mathbb R\), ya que ningún número negativo es imagen de un número real mediante \(x^2\). Por ejemplo, no existe ningún \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ x^2=-1. \]
En consecuencia, \(f\) no es biyectiva.
Por tanto, la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
no admite función inversa.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Hallar la inversa de la función
\[ f:[-2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=\sqrt{x+2}. \]
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Resolución
La función está definida en \([-2,+\infty)\), pues debe cumplirse
\[ x+2\ge 0. \]
Además, toma valores en \([0,+\infty)\), ya que una raíz cuadrada es siempre no negativa.
Ponemos
\[ y=\sqrt{x+2}. \]
Como \(y\ge 0\), podemos elevar al cuadrado ambos miembros:
\[ y^2=x+2. \]
Despejamos \(x\):
\[ x=y^2-2. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(y)=y^2-2. \]
Renombrando la variable independiente:
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Observamos que el dominio de \(f^{-1}\) es \([0,+\infty)\), esto es, el codominio de \(f\), mientras que el codominio de \(f^{-1}\) es \([-2,+\infty)\), es decir, el dominio de \(f\).
Comprobamos:
\[ f^{-1}(f(x))=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2=x \]
para todo \(x\in[-2,+\infty)\), y
\[ f(f^{-1}(x))=\sqrt{(x^2-2)+2}=\sqrt{x^2}=x \]
para todo \(x\in[0,+\infty)\). En el último paso hemos usado que \(x\ge 0\), de modo que \(\sqrt{x^2}=x\).
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Hallar la inversa de la función
\[ f:\mathbb R\to(1,+\infty), \qquad f(x)=e^x+1. \]
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Resolución
La función \(e^x\) es estrictamente creciente en \(\mathbb R\), por lo que \(e^x+1\) también lo es. En consecuencia, \(f\) es inyectiva.
Además, como
\[ e^x>0 \]
para todo \(x\in\mathbb R\), se tiene
\[ e^x+1>1. \]
La imagen de la función es, por tanto, \((1,+\infty)\), que coincide con el codominio dado. Así pues, la función es suprayectiva.
Al ser biyectiva, admite inversa. Ponemos
\[ y=e^x+1. \]
Restando \(1\) a ambos miembros:
\[ y-1=e^x. \]
Como \(y\in(1,+\infty)\), se tiene \(y-1>0\), de modo que podemos aplicar el logaritmo neperiano:
\[ \ln(y-1)=x. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(y)=\ln(y-1). \]
Renombrando la variable:
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Hallar la inversa de la función
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R, \qquad f(x)=\ln x-3. \]
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Resolución
El logaritmo neperiano está definido para \(x>0\), es estrictamente creciente y toma todos los valores reales. Por tanto, la función \(\ln x-3\) también es biyectiva de \((0,+\infty)\) en \(\mathbb R\).
Ponemos
\[ y=\ln x-3. \]
Sumamos \(3\) a ambos miembros:
\[ y+3=\ln x. \]
Aplicamos la exponencial a ambos miembros:
\[ e^{y+3}=x. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(y)=e^{y+3}. \]
Renombrando la variable independiente, obtenemos
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Comprobamos una composición:
\[ f(f^{-1}(x))=\ln(e^{x+3})-3=x+3-3=x. \]
Además
\[ f^{-1}(f(x))=e^{(\ln x-3)+3}=e^{\ln x}=x. \]
Las dos identidades confirman que la función obtenida es la inversa.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x \]
es invertible. En caso negativo, explicar qué propiedad falla.
Resultado
La función no es invertible de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\), porque no es suprayectiva.
Resolución
La función
\[ f(x)=e^x \]
es inyectiva en \(\mathbb R\), porque la exponencial es estrictamente creciente.
Sin embargo, no es suprayectiva de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\). En efecto, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ e^x>0. \]
Así pues, ningún número real menor o igual que cero es imagen de un número real mediante \(f\). Por ejemplo, no existe ningún \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ e^x=-1. \]
En consecuencia, la imagen de \(f\) es
\[ f(\mathbb R)=(0,+\infty), \]
que es un subconjunto propio del codominio \(\mathbb R\).
Como \(f\) no es suprayectiva, no es biyectiva. Por tanto, no admite función inversa
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. \]
Si, en cambio, se considera la función
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty), \qquad f(x)=e^x, \]
entonces resulta biyectiva y su inversa es
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar si la función
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x| \]
es invertible. En caso negativo, explicar qué propiedad falla.
Resultado
La función no es invertible, porque es suprayectiva pero no inyectiva.
Resolución
La función
\[ f(x)=|x| \]
toma siempre valores no negativos, por lo que el codominio \([0,+\infty)\) concuerda con su imagen.
La función es suprayectiva sobre \([0,+\infty)\). En efecto, dado un \(y\in[0,+\infty)\) cualquiera, basta elegir
\[ x=y. \]
Entonces \(x\in\mathbb R\) y
\[ f(x)=|y|=y, \]
porque \(y\ge 0\).
Sin embargo, \(f\) no es inyectiva. En efecto
\[ f(-2)=|-2|=2 \]
y
\[ f(2)=|2|=2. \]
Por tanto
\[ f(-2)=f(2), \]
pero \(-2\ne 2\).
Como la función no es inyectiva, no es biyectiva. En consecuencia, no admite función inversa.
El problema es que, partiendo del valor \(2\), no se podría decidir de forma unívoca si el elemento de partida era \(2\) o \(-2\).
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función
\[ f:[1,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=(x-1)^2. \]
Estudiar si es invertible y, en caso afirmativo, hallar su inversa.
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}. \]
Resolución
La función está definida en \([1,+\infty)\). En este intervalo se tiene
\[ x-1\ge 0. \]
Comprobamos la inyectividad. Si \(x_1,x_2\in[1,+\infty)\) y
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
entonces
\[ (x_1-1)^2=(x_2-1)^2. \]
Como \(x_1-1\ge 0\) y \(x_2-1\ge 0\), se sigue que
\[ x_1-1=x_2-1. \]
Por tanto
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto, la función es inyectiva.
Comprobamos la suprayectividad. Sea \(y\in[0,+\infty)\). Buscamos \(x\in[1,+\infty)\) tal que
\[ (x-1)^2=y. \]
Como \(x-1\ge 0\), obtenemos
\[ x-1=\sqrt y. \]
Por tanto
\[ x=1+\sqrt y. \]
Este número pertenece a \([1,+\infty)\), de modo que la función es suprayectiva.
Al ser biyectiva, la función es invertible. De la relación
\[ y=(x-1)^2 \]
despejamos
\[ x=1+\sqrt y. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt x. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Hallar la inversa de la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^3+2. \]
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Resolución
La función
\[ f(x)=x^3+2 \]
es estrictamente creciente en \(\mathbb R\), porque \(x^3\) es estrictamente creciente y sumar \(2\) no altera la monotonía.
Por tanto, \(f\) es inyectiva.
Además, para todo \(y\in\mathbb R\), podemos resolver la ecuación
\[ x^3+2=y. \]
Restando \(2\):
\[ x^3=y-2. \]
Como todo número real tiene una raíz cúbica real, obtenemos
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Así pues, para todo \(y\in\mathbb R\) existe un \(x\in\mathbb R\) tal que \(f(x)=y\). La función es suprayectiva.
Al ser inyectiva y suprayectiva, \(f\) es biyectiva y admite inversa.
De la relación
\[ y=x^3+2 \]
despejamos
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función
\[ f:[2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x-2|. \]
Estudiar si es invertible y hallar su inversa.
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Resolución
Como el dominio es \([2,+\infty)\), para todo \(x\in[2,+\infty)\) se tiene
\[ x-2\ge 0. \]
En consecuencia
\[ |x-2|=x-2. \]
La función se reduce entonces a
\[ f(x)=x-2 \]
en el dominio \([2,+\infty)\).
Esta función es inyectiva, porque si
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
entonces
\[ x_1-2=x_2-2, \]
y por tanto
\[ x_1=x_2. \]
También es suprayectiva sobre \([0,+\infty)\). En efecto, dado \(y\in[0,+\infty)\), elegimos
\[ x=y+2. \]
Entonces \(x\in[2,+\infty)\) y
\[ f(x)=|y+2-2|=|y|=y, \]
porque \(y\ge 0\).
Por tanto, la función es biyectiva.
De la relación
\[ y=x-2 \]
despejamos
\[ x=y+2. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Hallar la inversa de la función
\[ f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Resultado
La función es invertible y coincide con su inversa:
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
Resolución
La función está definida en \((0,+\infty)\) y toma valores en \((0,+\infty)\), pues si \(x>0\), entonces
\[ \frac{1}{x}>0. \]
Ponemos
\[ y=\frac{1}{x}. \]
Como \(x>0\), podemos multiplicar por \(x\):
\[ xy=1. \]
Como \(y>0\), podemos dividir entre \(y\):
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{1}{y}. \]
Renombrando la variable independiente:
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
En este caso, la función coincide con su propia inversa.
Comprobamos:
\[ f(f(x))=f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x. \]
Por tanto, aplicar dos veces \(f\) devuelve el elemento inicial.
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función
\[ f:(-1,+\infty)\to(-\infty,1), \qquad f(x)=\frac{x}{x+1}. \]
Estudiar si es invertible y, en caso afirmativo, hallar su inversa.
Resultado
La función es invertible y
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Resolución
Para \(x\in(-1,+\infty)\), se tiene \(x+1>0\), de modo que la función está bien definida.
Además, podemos reescribir la función como
\[ f(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}. \]
Como \(x+1>0\), se tiene
\[ \frac{1}{x+1}>0. \]
Por tanto
\[ f(x)=1-\frac{1}{x+1}<1. \]
Esto concuerda con el codominio \((-\infty,1)\).
Hallemos la inversa. Ponemos
\[ y=\frac{x}{x+1}. \]
Multiplicamos por \(x+1\):
\[ y(x+1)=x. \]
Desarrollamos:
\[ xy+y=x. \]
Pasamos los términos que contienen \(x\) al mismo lado:
\[ xy-x=-y. \]
Sacamos factor común \(x\):
\[ x(y-1)=-y. \]
Como \(y\in(-\infty,1)\), se tiene \(y\ne 1\), de modo que podemos dividir entre \(y-1\):
\[ x=\frac{-y}{y-1}. \]
Cambiando el signo del numerador y del denominador:
\[ x=\frac{y}{1-y}. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}. \]
Renombrando la variable:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Observamos que el dominio de la inversa es \((-\infty,1)\), por lo que \(1-x>0\) y el denominador no se anula.
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x. \]
Construir una inversa por la izquierda de \(f\).
Resultado
Una posible inversa por la izquierda es la función \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) definida por
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
En efecto
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Resolución
La función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
es inyectiva, pero no suprayectiva en \(\mathbb R\), porque su imagen es \((0,+\infty)\).
Para tener una inversa por la izquierda de \(f\), debemos construir una función
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R \]
tal que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Explícitamente, debe cumplirse
\[ g(f(x))=x \]
para todo \(x\in\mathbb R\).
Como \(f(x)=e^x>0\), sobre los valores positivos \(g\) debe comportarse como el logaritmo neperiano:
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Sin embargo, \(g\) debe estar definida en todo \(\mathbb R\), ya que su dominio ha de coincidir con el codominio de \(f\).
En los valores \(y\le 0\), \(f\) no impone ningún valor a \(g\), pues ningún número menor o igual que cero pertenece a la imagen de \(f\). Podemos, por tanto, elegir un valor real cualquiera.
Por ejemplo, definimos
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Entonces, para todo \(x\in\mathbb R\), se tiene \(e^x>0\), de modo que
\[ g(f(x))=g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Por tanto
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Así pues, \(g\) es una inversa por la izquierda de \(f\). No es, sin embargo, una verdadera función inversa, porque \(f\) no es suprayectiva de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\).
Ejercicio 17 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Construir dos inversas por la derecha distintas de \(f\).
Resultado
Dos inversas por la derecha de \(f\) son
\[ h_1(y)=\sqrt y \]
y
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Ambas son funciones de \([0,+\infty)\) en \(\mathbb R\) y satisfacen
\[ f\circ h_i=\operatorname{id}_{[0,+\infty)} \]
para \(i=1,2\).
Resolución
Una inversa por la derecha de \(f\) es una función
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R \]
tal que
\[ f\circ h=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Explícitamente, debe cumplirse
\[ f(h(y))=y \]
para todo \(y\in[0,+\infty)\).
Como \(f(x)=x^2\), para cada \(y\ge 0\) debemos elegir un número real \(h(y)\) tal que
\[ (h(y))^2=y. \]
Una primera elección natural es
\[ h_1(y)=\sqrt y. \]
En efecto, para todo \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_1(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Por tanto
\[ f\circ h_1=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Una segunda elección posible es
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
También en este caso, para todo \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_2(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y. \]
Por tanto
\[ f\circ h_2=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Las funciones \(h_1\) y \(h_2\) son distintas, pues, por ejemplo,
\[ h_1(1)=1, \qquad h_2(1)=-1. \]
Esto muestra que una función suprayectiva pero no inyectiva puede tener varias inversas por la derecha.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Demostrar que si una función \(f:A\to B\) admite una inversa por la izquierda \(g:B\to A\), entonces \(f\) es inyectiva.
Resultado
Si existe \(g:B\to A\) tal que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A, \]
entonces \(f\) es inyectiva.
Resolución
Por hipótesis, \(g\) es una inversa por la izquierda de \(f\). Esto significa que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Explícitamente:
\[ g(f(x))=x \]
para todo \(x\in A\).
Debemos demostrar que \(f\) es inyectiva. Tomemos, pues, \(x_1,x_2\in A\) y supongamos que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Para probar la inyectividad, hemos de deducir que
\[ x_1=x_2. \]
Aplicamos \(g\) a ambos miembros de la igualdad \(f(x_1)=f(x_2)\). Obtenemos
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Como \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), se tiene
\[ g(f(x_1))=x_1 \]
y
\[ g(f(x_2))=x_2. \]
Por tanto
\[ x_1=x_2. \]
Hemos demostrado que, si dos elementos del dominio tienen la misma imagen, entonces coinciden. Por tanto, \(f\) es inyectiva.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Demostrar que si una función \(f:A\to B\) admite una inversa por la derecha \(h:B\to A\), entonces \(f\) es suprayectiva.
Resultado
Si existe \(h:B\to A\) tal que
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B, \]
entonces \(f\) es suprayectiva.
Resolución
Por hipótesis, \(h\) es una inversa por la derecha de \(f\). Por tanto,
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Explícitamente, para todo \(y\in B\) se cumple
\[ f(h(y))=y. \]
Debemos demostrar que \(f\) es suprayectiva. Para ello, tomamos un elemento arbitrario \(y\in B\) y hemos de mostrar que existe al menos un elemento \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Como \(h\) es una función de \(B\) en \(A\), el elemento \(h(y)\) pertenece a \(A\). Ponemos, pues,
\[ x=h(y). \]
Entonces, usando la identidad \(f\circ h=\operatorname{id}_B\), obtenemos
\[ f(x)=f(h(y))=y. \]
Hemos encontrado, por tanto, un elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\).
Como \(y\in B\) era arbitrario, todo elemento de \(B\) es imagen de al menos un elemento de \(A\). Por tanto, \(f\) es suprayectiva.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Sea \(f:A\to B\) una función. Supongamos que existe una función \(u:B\to A\) tal que
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Demostrar que \(f\) es biyectiva y que \(u=f^{-1}\).
Resultado
La función \(f\) es biyectiva y \(u\) es su función inversa:
\[ u=f^{-1}. \]
Resolución
Por hipótesis, la función \(u:B\to A\) satisface dos identidades:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
La primera identidad dice que \(u\) es una inversa por la izquierda de \(f\). En efecto, para todo \(x\in A\),
\[ u(f(x))=x. \]
Demostremos primero que \(f\) es inyectiva. Sean \(x_1,x_2\in A\) y supongamos que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Aplicando \(u\) a ambos miembros:
\[ u(f(x_1))=u(f(x_2)). \]
Como \(u\circ f=\operatorname{id}_A\), obtenemos
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto, \(f\) es inyectiva.
La segunda identidad dice que \(u\) es una inversa por la derecha de \(f\). En efecto, para todo \(y\in B\),
\[ f(u(y))=y. \]
Demostremos ahora que \(f\) es suprayectiva. Sea \(y\in B\). Como \(u(y)\in A\), poniendo
\[ x=u(y), \]
se tiene
\[ f(x)=f(u(y))=y. \]
Así pues, todo elemento \(y\in B\) es imagen de al menos un elemento de \(A\). Por tanto, \(f\) es suprayectiva.
Hemos demostrado que \(f\) es a la vez inyectiva y suprayectiva. Por tanto, \(f\) es biyectiva.
Como toda función biyectiva admite una función inversa \(f^{-1}:B\to A\), esta inversa está caracterizada por las identidades
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Pero \(u\) satisface exactamente estas dos identidades:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \qquad\text{y}\qquad f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Por tanto, \(u\) es la función que invierte \(f\) tanto por la izquierda como por la derecha.
Por la unicidad de la inversa, concluimos que
\[ u=f^{-1}. \]