El concepto de función inversa surge de una pregunta natural: dada una función que asigna a cada elemento del dominio un elemento del codominio, ¿es posible recorrer esa correspondencia en sentido contrario?
Dicho de otro modo, si una función \(f:A\to B\) asigna a un elemento \(x\in A\) el valor \(y=f(x)\in B\), cabe preguntarse si, conocido \(y\), es posible remontarse de manera unívoca al elemento \(x\) del que procede.
Esta posibilidad no está siempre garantizada. En efecto, una función puede tomar el mismo valor en puntos distintos del dominio, o bien puede no alcanzar todos los elementos del codominio. Por este motivo la función inversa no depende únicamente de la fórmula que define la función, sino también del dominio, del codominio y de las propiedades de inyectividad y sobreyectividad.
El objetivo es aclarar cuándo una función admite inversa, cómo se define con rigor la función inversa y qué papel desempeñan las nociones de inversa por la derecha e inversa por la izquierda. Estas últimas permiten comprender con mayor precisión qué ocurre cuando una función no es biyectiva, pero conserva solo una de las dos propiedades fundamentales: la inyectividad o la sobreyectividad.
Índice
- Qué significa invertir una función
- Definición de función inversa
- Cuándo existe la función inversa
- Unicidad de la inversa y papel del dominio y del codominio
- Cómo hallar la función inversa
- Ejemplos de funciones invertibles y no invertibles
- Inversa por la izquierda de una función
- Inversa por la derecha de una función
- Relación entre inversa, inversa por la izquierda e inversa por la derecha
- Resumen final
Qué significa invertir una función
Sea
\[ f:A\to B \]
una función. Por definición, a cada elemento \(x\in A\) la función le asigna uno y solo un elemento \(f(x)\in B\).
Invertir una función consiste en preguntarse si es posible recorrer esa asociación en sentido contrario: ya no partir de \(x\) para obtener \(f(x)\), sino partir de un valor \(y\in B\) y remontarse al elemento \(x\in A\) que lo ha generado.
En símbolos, si
\[ y=f(x), \]
nos preguntamos si es posible determinar \(x\) a partir de \(y\).
Sin embargo, esta operación no siempre es posible. El primer obstáculo aparece cuando dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen. Si existen \(x_1,x_2\in A\), con \(x_1\ne x_2\), tales que
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
entonces, partiendo del valor \(f(x_1)=f(x_2)\), no es posible establecer de manera unívoca si el elemento de partida era \(x_1\) o \(x_2\). En este caso la inversión no puede dar lugar a una función, pues una función debe asignar a cada elemento de su dominio uno y solo un valor.
Un segundo obstáculo aparece cuando algunos elementos del codominio no son valores que la función llega a tomar. Si existe un elemento \(y\in B\) que no pertenece a la imagen de \(f\), entonces no existe ningún \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
En este caso, partiendo de \(y\), no se puede remontar a ningún elemento del dominio.
Por consiguiente, invertir una función exige dos condiciones fundamentales: cada elemento del codominio debe ser efectivamente alcanzado por la función, y debe ser alcanzado por un único elemento del dominio. La primera exigencia corresponde a la sobreyectividad; la segunda, a la inyectividad.
Cuando ambas condiciones se cumplen, la función establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de \(A\) y los de \(B\). Solo en esta situación es posible definir una verdadera función inversa, que a cada elemento de \(B\) le asigna el único elemento de \(A\) del que procede.
Definición de función inversa
Sea
\[ f:A\to B \]
una función. Una función
\[ f^{-1}:B\to A \]
se dice inversa de \(f\) si, para todo \(x\in A\) y para todo \(y\in B\), se cumple la siguiente equivalencia:
\[ y=f(x) \quad \Longleftrightarrow \quad x=f^{-1}(y). \]
Dicho de otro modo, la función inversa le asigna a cada elemento \(y\in B\) el único elemento \(x\in A\) cuya imagen mediante \(f\) es precisamente \(y\).
La función inversa, cuando existe, invierte el sentido de la correspondencia definida por \(f\). Si la función original envía \(x\) a \(y\), entonces la función inversa envía \(y\) a \(x\):
\[ f(x)=y \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(y)=x. \]
Esta notación debe interpretarse con cuidado. El símbolo \(f^{-1}\) no denota la función recíproca de \(f\), es decir, no representa en general la función \(x\mapsto \frac{1}{f(x)}\). En general,
\[ f^{-1}(x)\ne \frac{1}{f(x)}. \]
El símbolo \(f^{-1}\) denota, en cambio, la función que realiza la operación inversa respecto de \(f\), es decir, la función que devuelve cada valor del codominio al elemento del dominio del que procede.
La propiedad característica de la función inversa puede expresarse también mediante la composición de funciones. Si \(f:A\to B\) admite inversa \(f^{-1}:B\to A\), entonces se cumplen las identidades
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
La primera identidad significa que, partiendo de un elemento de \(A\) y aplicando primero \(f\) y luego \(f^{-1}\), se regresa al elemento inicial:
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \text{para todo } x\in A. \]
La segunda identidad significa que, partiendo de un elemento de \(B\) y aplicando primero \(f^{-1}\) y luego \(f\), se regresa al elemento inicial:
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \text{para todo } y\in B. \]
Estas dos igualdades resumen con rigor el significado de la función inversa: aplicar una función y después su inversa, o bien aplicar primero la inversa y después la función, no modifica el elemento de partida.
Cuándo existe la función inversa
No toda función admite función inversa. Para que una función
\[ f:A\to B \]
admita inversa
\[ f^{-1}:B\to A, \]
es necesario que cada elemento de \(B\) provenga de uno y solo un elemento de \(A\).
Con más precisión, para todo \(y\in B\) debe existir un único \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Esta condición encierra dos exigencias distintas.
La primera es una exigencia de existencia: para todo \(y\in B\) debe existir al menos un elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). De este modo, cada elemento del codominio es efectivamente alcanzado por la función. Esto es exactamente la sobreyectividad.
La segunda es una exigencia de unicidad: para todo \(y\in B\) debe existir a lo sumo un elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). De este modo, no puede haber dos elementos distintos del dominio con la misma imagen. Esto es exactamente la inyectividad.
En consecuencia, una función admite función inversa si y solo si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, es decir, si y solo si es biyectiva.
En símbolos:
\[ f:A\to B \text{ admite inversa } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ es biyectiva}. \]
La necesidad de esta condición puede entenderse de manera directa. Si \(f\) no es inyectiva, existen dos elementos distintos \(x_1,x_2\in A\) tales que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
En tal caso, partiendo del valor común \(f(x_1)=f(x_2)\), la eventual inversa tendría que asignar a un mismo elemento de \(B\) tanto \(x_1\) como \(x_2\). Esto es imposible, pues una función debe asignar un solo valor a cada elemento de su dominio.
Si, en cambio, \(f\) no es sobreyectiva, existe al menos un elemento \(y\in B\) que no es imagen de ningún elemento de \(A\). Para tal \(y\) no existe ningún \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
En este caso la inversa no podría definirse en todo \(B\), porque a ese elemento \(y\) no le correspondería ningún elemento de \(A\).
Recíprocamente, si \(f\) es biyectiva, entonces para todo \(y\in B\) existe uno y solo un \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). Por tanto, es posible definir
\[ f^{-1}(y)=x. \]
Esta definición está bien planteada: la existencia de \(x\) la garantiza la sobreyectividad, mientras que su unicidad la garantiza la inyectividad.
Así pues, la biyectividad no es solo una condición suficiente para la existencia de la función inversa: es también una condición necesaria.
Unicidad de la inversa y papel del dominio y del codominio
Una función invertible establece una correspondencia uno a uno entre los elementos del dominio y los del codominio.
Si
\[ f:A\to B \]
es biyectiva, entonces cada elemento \(y\in B\) es imagen de uno y solo un elemento \(x\in A\). En consecuencia, la inversa
\[ f^{-1}:B\to A \]
es la función que le asigna a cada \(y\in B\) aquel único elemento \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
En símbolos:
\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]
La función inversa no es, por tanto, un objeto añadido de forma artificial a la función inicial: queda determinada de manera única por la función \(f\), siempre que \(f\) sea biyectiva.
En efecto, si existieran dos inversas \(g:B\to A\) y \(h:B\to A\) de la misma función \(f\), entonces para todo \(y\in B\) se tendría
\[ f(g(y))=y \qquad \text{y} \qquad f(h(y))=y. \]
Como \(f\) es inyectiva, de la igualdad
\[ f(g(y))=f(h(y)) \]
se sigue necesariamente
\[ g(y)=h(y). \]
Esto vale para todo \(y\in B\), de modo que \(g=h\). La inversa de una función, cuando existe, es por tanto única.
Además, si \(f:A\to B\) es biyectiva y admite inversa \(f^{-1}:B\to A\), entonces también \(f^{-1}\) es biyectiva, y su inversa es precisamente la función de partida:
\[ (f^{-1})^{-1}=f. \]
Esta igualdad expresa el hecho de que invertir la correspondencia por segunda vez devuelve la función original.
La invertibilidad depende siempre de la función considerada junto con su dominio y su codominio. Una misma fórmula puede definir una función invertible o no invertible, según los conjuntos entre los que se considere: por ello es necesario especificar siempre el dominio, el codominio y la regla de asignación.
Por ejemplo, la función
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
no es invertible, porque no es inyectiva: en efecto, \(f(-1)=f(1)=1\).
Si, en cambio, se considera la función
\[ f:[0,+\infty)\to [0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
entonces \(f\) es biyectiva y, por tanto, admite inversa. En este caso
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Este ejemplo muestra que no basta con mirar la fórmula: para establecer si una función es invertible hay que considerar el dominio, el codominio y las propiedades de la función.
Cómo hallar la función inversa
Cuando una función es invertible, su inversa puede a menudo hallarse a partir de la ecuación que define la función.
Supongamos que tenemos una función
\[ f:A\to B \]
definida por cierta expresión \(y=f(x)\). Para determinar la inversa, hay que resolver la ecuación
\[ y=f(x) \]
respecto de la variable \(x\).
Si la función es invertible, para todo \(y\in B\) existe uno y solo un \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). Por ello, al resolver la ecuación respecto de \(x\) se obtiene una expresión de la forma
\[ x=f^{-1}(y). \]
Llegados a este punto, si se desea escribir la inversa usando la variable \(x\) como variable independiente, se puede renombrar la variable \(y\) como \(x\). Este paso es solo un cambio de nombre de la variable, no una modificación del significado matemático.
En la práctica, el procedimiento es el siguiente:
- se escribe \(y=f(x)\);
- se resuelve la ecuación respecto de \(x\);
- se obtiene \(x=f^{-1}(y)\);
- se renombra la variable independiente, escribiendo \(f^{-1}(x)\) en lugar de \(f^{-1}(y)\).
Consideremos, por ejemplo, la función
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=2x+3. \]
La función es biyectiva, de modo que admite inversa. Escribimos
\[ y=2x+3. \]
Resolvemos respecto de \(x\):
\[ y-3=2x, \]
de donde
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Por tanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}. \]
Renombrando la variable independiente, obtenemos
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}. \]
Siempre conviene comprobar el resultado mediante la composición. En efecto:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x \]
para todo \(x\in\mathbb R\), y
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-3}{2}\right)=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x \]
para todo \(x\in\mathbb R\).
Las dos identidades confirman que la función hallada es, en efecto, la inversa de \(f\).
El procedimiento algebraico tiene sentido como método para hallar la inversa solo después de haber comprobado que la función es invertible, o tras haber precisado adecuadamente el dominio y el codominio. Resolver formalmente una ecuación no garantiza, por sí solo, la existencia de una función inversa.
Por ejemplo, de la relación
\[ y=x^2 \]
se obtiene formalmente
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Esta expresión no define una función inversa de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\), porque a un mismo valor positivo de \(y\) le corresponden dos posibles valores de \(x\). El problema no es solo algebraico: la función \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\), no es inyectiva y, por tanto, no es invertible.
Si, en cambio, se restringe el dominio a \([0,+\infty)\) y se considera
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
entonces para todo \(y\in[0,+\infty)\) existe un único \(x\in[0,+\infty)\) tal que \(x^2=y\), es decir,
\[ x=\sqrt{y}. \]
En este caso la inversa es
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Por consiguiente, el cálculo de la inversa debe ir siempre acompañado de la comprobación del dominio, del codominio y de la biyectividad de la función.
Ejemplos de funciones invertibles y no invertibles
Para comprender mejor el significado de la función inversa, resulta útil comparar algunos ejemplos en los que la invertibilidad depende de manera esencial del dominio y del codominio elegidos.
Una función invertible
Consideremos la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+4. \]
La función es inyectiva, porque si \(f(x_1)=f(x_2)\), entonces
\[ x_1+4=x_2+4, \]
y, por tanto,
\[ x_1=x_2. \]
Además es sobreyectiva, porque para todo \(y\in\mathbb R\) existe \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ x+4=y. \]
En efecto, basta con tomar
\[ x=y-4. \]
La función es, por tanto, biyectiva y admite inversa. De la relación
\[ y=x+4 \]
obtenemos
\[ x=y-4. \]
Por consiguiente
\[ f^{-1}(x)=x-4. \]
Una función no invertible por no ser inyectiva
Consideremos ahora la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Esta función no es inyectiva. En efecto, dos elementos distintos del dominio pueden tener la misma imagen:
\[ f(-2)=4 \qquad \text{y} \qquad f(2)=4. \]
Si se intentara construir una inversa, el valor \(4\) tendría que enviarse a la vez a \(-2\) y a \(2\). Esto es imposible, pues una función debe asignar un solo valor a cada elemento de su dominio.
En consecuencia, la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
no admite función inversa.
Una función no invertible por no ser sobreyectiva
Consideremos la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Esta función es inyectiva, pero no es sobreyectiva sobre \(\mathbb R\). En efecto, sus valores son siempre positivos:
\[ e^x>0 \qquad \text{para todo } x\in\mathbb R. \]
Por ello, ningún número real menor o igual que cero pertenece a la imagen de la función. Por ejemplo, no existe ningún \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ e^x=-1. \]
En consecuencia, la función no puede tener inversa de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\), porque la eventual inversa tendría que estar definida en todo el codominio \(\mathbb R\), incluidos los valores no alcanzados por \(f\).
Si, en cambio, se cambia el codominio y se considera
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad f(x)=e^x, \]
entonces la función pasa a ser biyectiva. En este caso admite inversa
\[ f^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R, \]
dada por
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
Una misma fórmula puede dar funciones distintas
Los ejemplos anteriores muestran un punto esencial: la invertibilidad no es una propiedad de la sola fórmula, sino de la función en su conjunto.
La fórmula \(x^2\), considerada como función de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\), no define una función invertible. La misma fórmula, considerada como función de \([0,+\infty)\) en \([0,+\infty)\), sí define una función invertible.
Del mismo modo, la fórmula \(e^x\), considerada como función de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\), no es sobreyectiva; considerada, en cambio, como función de \(\mathbb R\) en \((0,+\infty)\), pasa a ser biyectiva.
Para establecer si una función admite inversa, por tanto, hay que especificar siempre tres elementos: la regla de asignación, el dominio y el codominio.
Inversa por la izquierda de una función
La función inversa existe, en el sentido ordinario, solo cuando la función es biyectiva. No obstante, si una función no es biyectiva, puede ocurrir de todos modos que parte del comportamiento de la inversa siga estando presente.
Esto conduce a las nociones de inversa por la izquierda e inversa por la derecha.
Sea
\[ f:A\to B \]
una función. Una función
\[ g:B\to A \]
se dice inversa por la izquierda de \(f\) si
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
De forma explícita, esto significa que
\[ g(f(x))=x \qquad \text{para todo } x\in A. \]
Así pues, aplicando primero \(f\) y luego \(g\), se regresa siempre al elemento inicial del dominio \(A\).
El nombre «inversa por la izquierda» proviene de la posición de \(g\) en la composición
\[ g\circ f. \]
En efecto, en la escritura \(g\circ f\), la función \(g\) aparece a la izquierda de \(f\). Por este motivo \(g\) recibe el nombre de inversa por la izquierda de \(f\).
La existencia de una inversa por la izquierda está estrechamente ligada a la inyectividad. Si \(f\) admite una inversa por la izquierda, entonces \(f\) es inyectiva.
En efecto, supongamos que existen \(x_1,x_2\in A\) tales que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Aplicando \(g\) a ambos miembros, obtenemos
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Como \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), se sigue que
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto, \(f\) es inyectiva.
Recíprocamente, si \(f\) es inyectiva, entonces cada elemento de la imagen de \(f\) procede de un único elemento de \(A\). Por ello, sobre los elementos de \(B\) que pertenecen a la imagen de \(f\) puede definirse una función que devuelve cada valor a su único punto de partida.
Queda, sin embargo, un detalle importante: si \(f\) no es sobreyectiva, algunos elementos de \(B\) no pertenecen a la imagen de \(f\). Sobre estos elementos, la inversa por la izquierda no queda determinada por la función \(f\), ya que no proceden de ningún elemento de \(A\).
Por este motivo, cuando \(f\) es inyectiva pero no sobreyectiva, una inversa por la izquierda puede definirse de manera natural sobre la imagen de \(f\), mientras que sobre los puntos de \(B\setminus f(A)\) su definición puede elegirse arbitrariamente, con tal de que tome valores en \(A\). En el contexto habitual de dominios no vacíos, esto no plantea ninguna dificultad.
Consideremos, por ejemplo, la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Esta función es inyectiva, pero no es sobreyectiva sobre \(\mathbb R\), porque su imagen es \((0,+\infty)\).
Sobre los elementos positivos, es decir, sobre los elementos efectivamente alcanzados por \(f\), la función que invierte \(f\) es el logaritmo natural:
\[ \ln(e^x)=x \qquad \text{para todo } x\in\mathbb R. \]
Así pues, la función
\[ \ln:(0,+\infty)\to\mathbb R \]
invierte la exponencial sobre su imagen, en el sentido de que
\[ \ln\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Sin embargo, \(\ln\) no es, por sí solo, una inversa por la izquierda de la función \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=e^x\), porque no está definido en todo el codominio \(\mathbb R\). Para obtener una verdadera inversa por la izquierda \(g:\mathbb R\to\mathbb R\), hay que extender el logaritmo también a los valores reales menores o iguales que cero.
Por ejemplo, podemos definir
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Entonces \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) está bien definida y, para todo \(x\in\mathbb R\), se tiene
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Por tanto
\[ g\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
La elección del valor de \(g\) sobre los números reales menores o iguales que cero es arbitraria: en esos puntos la función \(f(x)=e^x\) no impone valor alguno.
La inversa por la izquierda, por tanto, garantiza que la función pueda invertirse una vez aplicada, pero no exige necesariamente que todos los elementos del codominio sean alcanzados.
En síntesis, la existencia de una inversa por la izquierda expresa el hecho de que \(f\) no identifica elementos distintos del dominio. Por este motivo, la inversa por la izquierda está vinculada a la inyectividad.
Inversa por la derecha de una función
Sea
\[ f:A\to B \]
una función. Una función
\[ h:B\to A \]
se dice inversa por la derecha de \(f\) si
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
De forma explícita, esto significa que
\[ f(h(y))=y \qquad \text{para todo } y\in B. \]
Así pues, partiendo de un elemento \(y\in B\), la función \(h\) escoge un elemento de \(A\) que \(f\) envía precisamente a \(y\).
El nombre «inversa por la derecha» proviene de la posición de \(h\) en la composición
\[ f\circ h. \]
En efecto, en la escritura \(f\circ h\), la función \(h\) aparece a la derecha de \(f\). Por este motivo \(h\) recibe el nombre de inversa por la derecha de \(f\).
La existencia de una inversa por la derecha está estrechamente ligada a la sobreyectividad. Si \(f\) admite una inversa por la derecha, entonces \(f\) es sobreyectiva.
En efecto, para todo \(y\in B\), de la identidad
\[ f(h(y))=y \]
se sigue que \(y\) es imagen del elemento \(h(y)\in A\). Por tanto, cada elemento de \(B\) es alcanzado por \(f\) y, en consecuencia, \(f\) es sobreyectiva.
Recíprocamente, si \(f\) es sobreyectiva, entonces para todo \(y\in B\) existe al menos un elemento \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Para construir una inversa por la derecha, se puede escoger, para cada \(y\in B\), uno de los elementos de \(A\) cuya imagen es \(y\). Definiendo \(h(y)\) como uno de esos elementos, se obtiene
\[ f(h(y))=y \qquad \text{para todo } y\in B. \]
Por tanto, \(h\) es una inversa por la derecha de \(f\).
En un contexto conjuntista general, esta construcción requiere una precisión. Para definir \(h\), en efecto, hay que escoger, para cada \(y\in B\), un elemento de la fibra
\[ f^{-1}(\{y\})=\{x\in A : f(x)=y\}. \]
Como \(f\) es sobreyectiva, cada una de estas fibras es no vacía. No obstante, la elección simultánea de un elemento de cada fibra está garantizada, en el caso general, por el axioma de elección. En los contextos habituales del análisis y del álgebra elemental, esta dificultad casi nunca aparece, porque las elecciones suelen ser explícitas o estar determinadas por una regla natural.
Cuando \(f\) es sobreyectiva pero no inyectiva, la inversa por la derecha no es necesariamente única. En efecto, un mismo elemento \(y\in B\) puede tener varias preimágenes en \(A\), y la función \(h\) debe escoger una de ellas.
Consideremos, por ejemplo, la función
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2. \]
Esta función es sobreyectiva, pero no inyectiva. En efecto, todo número real no negativo es el cuadrado de al menos un número real, pero, si \(y>0\), entonces
\[ f(\sqrt y)=y \qquad \text{y} \qquad f(-\sqrt y)=y. \]
Para cada \(y\in[0,+\infty)\), podemos escoger como preimagen el número no negativo \(\sqrt y\). Obtenemos así la función
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(y)=\sqrt y. \]
Entonces
\[ f(h(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y \qquad \text{para todo } y\in[0,+\infty). \]
Por tanto, \(h\) es una inversa por la derecha de \(f\).
Sin embargo, podría haberse hecho también otra elección, por ejemplo
\[ k:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad k(y)=-\sqrt y. \]
También en este caso se tiene
\[ f(k(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y \qquad \text{para todo } y\in[0,+\infty). \]
Así pues, también \(k\) es una inversa por la derecha de \(f\). Esto muestra que, en ausencia de inyectividad, la inversa por la derecha puede no ser única.
La inversa por la derecha, por tanto, garantiza que cada elemento del codominio pueda alcanzarse escogiendo adecuadamente un elemento del dominio. Pero no garantiza que tal elemento sea único.
En síntesis, la existencia de una inversa por la derecha expresa el hecho de que \(f\) alcanza todo el codominio. Por este motivo, la inversa por la derecha está vinculada a la sobreyectividad.
Relación entre inversa, inversa por la izquierda e inversa por la derecha
Las nociones de inversa por la izquierda e inversa por la derecha permiten separar las dos propiedades que, juntas, hacen invertible una función.
Sea
\[ f:A\to B \]
una función. Una función
\[ g:B\to A \]
es inversa por la izquierda de \(f\) si
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Esta condición significa que, tras aplicar \(f\), la función \(g\) permite regresar al elemento inicial de \(A\). Por este motivo, la existencia de una inversa por la izquierda está ligada a la inyectividad de \(f\).
Una función
\[ h:B\to A \]
es, en cambio, inversa por la derecha de \(f\) si
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Esta condición significa que cada elemento de \(B\) puede obtenerse aplicando \(f\) a un elemento adecuado de \(A\). Por este motivo, la existencia de una inversa por la derecha está ligada a la sobreyectividad de \(f\).
Cuando una misma función
\[ u:B\to A \]
es a la vez inversa por la izquierda e inversa por la derecha de \(f\), es decir, cuando se cumplen ambas identidades
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B, \]
entonces \(u\) es la verdadera función inversa de \(f\). En este caso se escribe
\[ u=f^{-1}. \]
Así pues, la función inversa ordinaria puede verse como una función que es, al mismo tiempo, inversa por la izquierda e inversa por la derecha.
En particular, si \(f\) admite una función inversa \(f^{-1}:B\to A\), entonces
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
La primera identidad expresa la inyectividad: elementos distintos de \(A\) no son identificados por \(f\). La segunda identidad expresa la sobreyectividad: cada elemento de \(B\) es alcanzado por \(f\).
Por tanto, la situación puede resumirse del modo siguiente:
- la inversa por la izquierda corresponde a la recuperación de los elementos del dominio tras la aplicación de \(f\);
- la inversa por la derecha corresponde a la posibilidad de representar cada elemento del codominio como imagen mediante \(f\);
- la función inversa ordinaria existe cuando se cumplen ambas condiciones.
En términos de propiedades de la función:
\[ f \text{ admite inversa por la izquierda } \Longrightarrow f \text{ es inyectiva}, \]
mientras que
\[ f \text{ admite inversa por la derecha } \Longrightarrow f \text{ es sobreyectiva}. \]
Recíprocamente, si \(f\) es inyectiva, entonces es posible invertir \(f\) sobre su imagen; si \(f\) es sobreyectiva, entonces, suponiendo el axioma de elección en el caso general, es posible construir una inversa por la derecha.
Cuando \(f\) es a la vez inyectiva y sobreyectiva, las dos condiciones se unen: la función admite una sola inversa, que es al mismo tiempo inversa por la izquierda e inversa por la derecha.
En símbolos:
\[ f \text{ es biyectiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \exists\, f^{-1}:B\to A \]
tal que
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \qquad \text{y} \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Esta formulación pone de manifiesto el significado profundo de la invertibilidad: una función es invertible cuando no pierde información sobre los elementos del dominio y, al mismo tiempo, alcanza todos los elementos del codominio.
Resumen final
La función inversa permite recorrer una función en sentido contrario. Si una función
\[ f:A\to B \]
asigna a un elemento \(x\in A\) el valor \(y=f(x)\in B\), la función inversa, cuando existe, le asigna a \(y\) el elemento \(x\) del que procede.
Para que esto sea posible en todo el codominio \(B\), cada elemento de \(B\) debe ser imagen de uno y solo un elemento de \(A\). La exigencia de existencia corresponde a la sobreyectividad; la exigencia de unicidad corresponde a la inyectividad.
Por consiguiente, una función admite inversa si y solo si es biyectiva:
\[ f:A\to B \text{ admite inversa } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ es biyectiva}. \]
Cuando la inversa existe, queda caracterizada por las dos identidades
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
La primera identidad dice que, partiendo de un elemento de \(A\) y aplicando primero \(f\) y luego \(f^{-1}\), se regresa al elemento inicial. La segunda dice que, partiendo de un elemento de \(B\) y aplicando primero \(f^{-1}\) y luego \(f\), se regresa al elemento inicial.
Las inversas por la izquierda y por la derecha separan estas dos condiciones.
Una inversa por la izquierda de \(f\) es una función \(g:B\to A\) tal que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Permite recuperar cada elemento del dominio tras la aplicación de \(f\). Por este motivo está vinculada a la inyectividad.
Una inversa por la derecha de \(f\) es una función \(h:B\to A\) tal que
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Permite obtener cada elemento del codominio como imagen mediante \(f\). Por este motivo está vinculada a la sobreyectividad.
Si una misma función es a la vez inversa por la izquierda e inversa por la derecha de \(f\), entonces es la función inversa ordinaria de \(f\).
En conclusión:
- la inyectividad impide que dos elementos distintos del dominio tengan la misma imagen;
- la sobreyectividad garantiza que cada elemento del codominio sea alcanzado;
- la biyectividad garantiza ambas propiedades y hace posible la función inversa;
- la inversa por la izquierda refleja la inyectividad;
- la inversa por la derecha refleja la sobreyectividad;
- la función inversa ordinaria existe cuando ambas condiciones se cumplen a la vez.
La noción de función inversa, por tanto, no depende únicamente de una fórmula, sino de la función considerada en su totalidad: dominio, codominio y regla de asignación. Solo especificando todos estos elementos puede establecerse con precisión si una función es invertible y cuál es su inversa.