En esta colección proponemos 20 ejercicios resueltos sobre funciones continuas, organizados según un nivel de dificultad progresivo y resueltos paso a paso, con explicaciones detalladas de cada etapa del razonamiento.
Los ejercicios permiten aplicar de manera concreta los principales conceptos de la teoría: la verificación de la continuidad en un punto y en un intervalo, la continuidad por la derecha y por la izquierda, el estudio de funciones definidas a trozos, la determinación de parámetros que garanticen la continuidad, las operaciones y la composición de funciones continuas, y la clasificación de las discontinuidades.
En la parte final se abordan también aplicaciones de los principales teoremas sobre funciones continuas, entre ellos el teorema de la conservación del signo, el teorema de Bolzano, el teorema de los valores intermedios, el teorema de Weierstrass y el teorema sobre la continuidad de la función inversa.
El objetivo es aprender no solo a determinar si una función es continua, sino sobre todo a reconocer qué propiedades y qué teoremas conviene emplear en cada tipo de problema, justificando rigurosamente cada conclusión.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Comprobar que la función
\[ f(x)=x^2-3x+4 \]
es continua en el punto \(x_0=2\).
Resultado
La función es continua en \(x_0=2\).
Resolución
La función
\[ f(x)=x^2-3x+4 \]
es una función polinómica. Toda función polinómica es continua en todo \(\mathbb{R}\), luego, en particular, lo es en el punto \(x_0=2\).
Podemos verificar explícitamente la condición que relaciona continuidad y límite. Calculemos, en primer lugar, el valor que toma la función en el punto:
\[ f(2)=2^2-3\cdot2+4=4-6+4=2. \]
Puesto que los polinomios son funciones continuas, el límite cuando \(x\to2\) coincide con el valor de la función en ese punto:
\[ \lim_{x\to2}(x^2-3x+4)=2. \]
Tenemos, por tanto,
\[ \lim_{x\to2}f(x)=2=f(2). \]
La condición
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2) \]
queda así satisfecha. Por consiguiente, \(f\) es continua en \(x_0=2\).
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar en qué puntos es continua la función
\[ f(x)=\frac{x+1}{x-3}. \]
Resultado
La función es continua en su dominio
\[ \mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
Resolución
La función es el cociente de los dos polinomios
\[ P(x)=x+1 \]
y
\[ Q(x)=x-3. \]
Los polinomios son funciones continuas en todo \(\mathbb{R}\). El cociente de dos funciones continuas es una función continua en cada punto en el que el denominador no se anula.
Determinemos, pues, cuándo se anula el denominador:
\[ x-3=0, \]
de donde
\[ x=3. \]
La función no está definida en \(x=3\), por lo que su dominio es
\[ \mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
En cada punto \(x_0\neq3\), el denominador toma un valor distinto de cero, de modo que el cociente es continuo en dicho punto.
Concluimos que
\[ f(x)=\frac{x+1}{x-3} \]
es continua en todo punto de su dominio, es decir, en
\[ (-\infty,3)\cup(3,+\infty). \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Comprobar que la función
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
es continua en el extremo \(x_0=0\) de su dominio.
Resultado
La función es continua por la derecha en \(x_0=0\), y por tanto es continua en \(0\) con respecto a su dominio.
Resolución
La función
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
tiene dominio
\[ [0,+\infty). \]
El punto \(0\) es el extremo izquierdo del dominio, por lo que no podemos aproximarnos a él mediante puntos del dominio situados a su izquierda.
Para comprobar la continuidad en este extremo debemos considerar el límite por la derecha.
El valor de la función en el punto es
\[ f(0)=\sqrt{0}=0. \]
Además,
\[ \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0, \]
de modo que
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0). \]
La función es, por tanto, continua por la derecha en \(0\). Puesto que la continuidad ha de entenderse respecto de los puntos que pertenecen al dominio, podemos afirmar que \(f(x)=\sqrt{x}\) es también continua en el extremo \(x=0\) de su dominio.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el valor del parámetro \(k\in\mathbb{R}\) para que la función
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+1, & x<1,\\ k, & x=1,\\ 2x, & x>1 \end{cases} \]
sea continua en \(x_0=1\).
Resultado
La función es continua en \(x_0=1\) si y solo si
\[ k=2. \]
Resolución
Para que la función sea continua en \(x_0=1\), deben coincidir el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor \(f(1)\).
Estudiemos, en primer lugar, el límite por la izquierda. Para \(x<1\), la función viene dada por
\[ f(x)=x^2+1. \]
Al tratarse de un polinomio, esta expresión es continua, de modo que
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x^2+1) = 1^2+1 = 2. \]
Para \(x>1\), en cambio,
\[ f(x)=2x. \]
También esta es una función polinómica, por lo que
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}2x = 2. \]
Los dos límites coinciden:
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = 2. \]
Existe, por tanto, el límite
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
En el punto \(x=1\), sin embargo, la función toma el valor
\[ f(1)=k. \]
La continuidad exige que
\[ \lim_{x\to1}f(x)=f(1), \]
y por tanto que
\[ 2=k. \]
Concluimos que el único valor que hace continua la función en \(x=1\) es
\[ k=2. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el valor del parámetro \(a\in\mathbb{R}\) para que la función
\[ f(x)= \begin{cases} ax+1, & x\leq2,\\ x^2-a, & x>2 \end{cases} \]
sea continua en \(x_0=2\).
Resultado
La función es continua en \(x_0=2\) para
\[ a=1. \]
Resolución
La función cambia de expresión en el punto \(x=2\), por lo que debemos comparar su comportamiento a la izquierda y a la derecha.
Para \(x\leq2\),
\[ f(x)=ax+1. \]
El valor de la función en el punto \(2\) es, por tanto,
\[ f(2)=2a+1, \]
y de la misma expresión obtenemos el límite por la izquierda:
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=2a+1. \]
Para \(x>2\), en cambio,
\[ f(x)=x^2-a, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=4-a. \]
Para que exista el límite cuando \(x\to2\), los límites por la izquierda y por la derecha deben coincidir:
\[ 2a+1=4-a. \]
Resolviendo la ecuación,
\[ 2a+a=4-1, \]
es decir,
\[ 3a=3, \]
de donde
\[ a=1. \]
Comprobémoslo. Para \(a=1\),
\[ f(2)=2\cdot1+1=3, \]
mientras que
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=4-1=3. \]
Así pues,
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = f(2) = 3, \]
y la función es, en consecuencia, continua en \(x=2\) para \(a=1\).
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar la continuidad en \(x_0=2\) de la función
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2-4}{x-2}, & x\neq2,\\ 5, & x=2. \end{cases} \]
Clasificar la discontinuidad, si la hubiera, e indicar cómo eliminarla.
Resultado
En \(x=2\) la función presenta una discontinuidad evitable. Dicha discontinuidad se elimina redefiniendo
\[ f(2)=4. \]
Resolución
Para estudiar la continuidad en \(x=2\) debemos comparar el límite de la función con el valor que esta toma en el punto.
Para \(x\neq2\) podemos factorizar el numerador:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Por tanto, para \(x\neq2\),
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2. \]
Esta simplificación es válida en el cálculo del límite, puesto que en él se consideran valores de \(x\) próximos a \(2\), pero distintos de \(2\).
En consecuencia,
\[ \lim_{x\to2}f(x) = \lim_{x\to2}(x+2) = 4. \]
El límite existe y es finito. Sin embargo, la función ha sido definida en el punto \(x=2\) mediante
\[ f(2)=5. \]
Tenemos, pues,
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4\neq5=f(2), \]
de modo que la función no es continua en \(x=2\).
Puesto que el límite existe y es finito, pero no coincide con el valor que la función toma en el punto, se trata de una discontinuidad evitable.
Para eliminarla basta redefinir el valor de la función poniendo
\[ f(2)=4. \]
Con esta nueva definición tendríamos, en efecto,
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2)=4, \]
y la función resultaría continua también en \(x=2\).
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar y clasificar la discontinuidad de la función
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ x^2+2, & x\geq0 \end{cases} \]
en el punto \(x_0=0\).
Resultado
En \(x=0\) la función presenta una discontinuidad de primera especie, o de salto, de amplitud \(1\).
Resolución
Puesto que la función cambia de expresión en \(x=0\), calculamos por separado los límites por la izquierda y por la derecha.
Para \(x<0\),
\[ f(x)=x+1, \]
de modo que
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}(x+1) = 1. \]
Para \(x\geq0\),
\[ f(x)=x^2+2, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}(x^2+2) = 2. \]
Los límites por la izquierda y por la derecha existen ambos y son finitos, pero son distintos:
\[ 1\neq2. \]
En consecuencia, no existe el límite
\[ \lim_{x\to0}f(x). \]
Cuando los límites por la izquierda y por la derecha son ambos finitos pero distintos, se habla de discontinuidad de primera especie, también llamada discontinuidad de salto.
La amplitud del salto es el valor absoluto de la diferencia entre los dos límites:
\[ |2-1|=1. \]
Por consiguiente, \(x=0\) es un punto de discontinuidad de primera especie, con un salto de amplitud \(1\).
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar y clasificar la discontinuidad de la función
\[ f(x)=\frac{x+1}{x-2} \]
en el punto \(x_0=2\).
Resultado
En \(x=2\) la función presenta una discontinuidad de segunda especie. Además, \(x=2\) es una asíntota vertical.
Resolución
La función no está definida en \(x=2\), pues el denominador se anula allí:
\[ 2-2=0. \]
Estudiemos los límites por la izquierda y por la derecha.
Cuando \(x\to2\), el numerador
\[ x+1 \]
tiende al valor positivo \(3\).
Consideremos ahora el denominador. Si \(x\to2^-\), entonces
\[ x-2<0, \]
y su valor se acerca a \(0\) manteniéndose negativo. El cociente entre una cantidad positiva próxima a \(3\) y una cantidad negativa que tiende a \(0\) decrece sin límite, de modo que
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty. \]
Si, en cambio, \(x\to2^+\), entonces
\[ x-2>0, \]
y el denominador tiende a \(0\) tomando valores positivos. De ello se sigue que
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty. \]
Al menos uno de los límites laterales no existe de forma finita; en este caso, de hecho, ambos son infinitos.
Por definición, \(x=2\) es, por tanto, un punto de discontinuidad de segunda especie.
Además, dado que la función diverge en valor absoluto cuando \(x\) se aproxima a \(2\), la recta
\[ x=2 \]
es una asíntota vertical de la gráfica.
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Determinar dónde es continua la función
\[ f(x)=\sqrt{x^2+3}. \]
Justificar la respuesta mediante la composición de funciones continuas.
Resultado
La función es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Resolución
Consideremos la función interna
\[ g(x)=x^2+3 \]
y la función externa
\[ h(t)=\sqrt{t}. \]
La función \(g\) es un polinomio, por lo que es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Además, para todo \(x\in\mathbb{R}\),
\[ x^2\geq0, \]
y en consecuencia
\[ x^2+3\geq3>0. \]
Por tanto, los valores que toma \(g\) pertenecen siempre al dominio de la función raíz cuadrada.
La función
\[ h(t)=\sqrt{t} \]
es continua en su dominio \([0,+\infty)\), y en particular en cada valor \(g(x)=x^2+3\).
Por el teorema sobre la composición de funciones continuas, la función compuesta
\[ (h\circ g)(x)=h(g(x))=\sqrt{x^2+3} \]
es continua para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Concluimos, por tanto, que
\[ f(x)=\sqrt{x^2+3} \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Determinar el dominio y los intervalos de continuidad de la función
\[ f(x)=\ln(x^2-1). \]
Resultado
El dominio es
\[ (-\infty,-1)\cup(1,+\infty), \]
y la función es continua en todo su dominio.
Resolución
El logaritmo neperiano
\[ \ln(t) \]
está definido únicamente cuando su argumento es estrictamente positivo.
Debemos, por tanto, imponer
\[ x^2-1>0. \]
Factorizando,
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
El producto es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo, lo que da
\[ x<-1 \]
o bien
\[ x>1. \]
El dominio es, pues,
\[ D=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \]
Consideremos ahora la continuidad. La función interna
\[ g(x)=x^2-1 \]
es un polinomio, por lo que es continua en todo \(\mathbb{R}\).
La función externa
\[ h(t)=\ln(t) \]
es continua para \(t>0\).
En todos los puntos del dominio de \(f\), el argumento \(x^2-1\) es positivo, por lo que podemos aplicar el teorema sobre la composición de funciones continuas.
De ello se sigue que
\[ f(x)=\ln(x^2-1) \]
es continua en cada uno de los dos intervalos
\[ (-\infty,-1) \]
y
\[ (1,+\infty). \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Comprobar que la función
\[ f(x)=\sqrt{4-x^2} \]
es continua en el intervalo cerrado \([-2,2]\), prestando especial atención a los extremos.
Resultado
La función es continua en todo el intervalo cerrado \([-2,2]\).
Resolución
Determinemos, en primer lugar, el dominio. Para que la raíz cuadrada esté definida es necesario que
\[ 4-x^2\geq0, \]
condición equivalente a
\[ x^2\leq4, \]
es decir,
\[ -2\leq x\leq2. \]
El dominio es, así, precisamente
\[ [-2,2]. \]
La función
\[ g(x)=4-x^2 \]
es polinómica y, por tanto, continua. En el intervalo considerado satisface
\[ g(x)\geq0. \]
Dado que la función raíz cuadrada es continua en su dominio, la composición
\[ f(x)=\sqrt{4-x^2} \]
es continua en todo punto interior
\[ x_0\in(-2,2). \]
Queda por examinar los extremos del intervalo.
En el extremo izquierdo \(x=-2\) debemos considerar el límite por la derecha. Se tiene
\[ f(-2)=\sqrt{4-(-2)^2}=0 \]
y
\[ \lim_{x\to-2^+}\sqrt{4-x^2}=0=f(-2), \]
de modo que \(f\) es continua por la derecha en \(-2\).
En el extremo derecho \(x=2\), en cambio, se considera el límite por la izquierda:
\[ f(2)=\sqrt{4-2^2}=0 \]
y
\[ \lim_{x\to2^-}\sqrt{4-x^2}=0=f(2), \]
de modo que la función es continua por la izquierda en \(2\).
Al ser continua en todo punto interior y poseer la continuidad lateral adecuada en los dos extremos, \(f\) es continua en todo el intervalo cerrado \([-2,2]\).
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Utilizando el teorema de la conservación del signo, demostrar que la función
\[ f(x)=x^2-3x+3 \]
es positiva en un entorno adecuado de \(x_0=1\).
Resultado
Existe \(\delta>0\) tal que
\[ |x-1|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>0. \]
Resolución
El teorema de la conservación del signo establece que, si una función es continua en un punto y toma en dicho punto un valor estrictamente positivo, entonces conserva el signo positivo en un entorno adecuado del punto.
Verifiquemos, pues, las dos hipótesis requeridas.
La función
\[ f(x)=x^2-3x+3 \]
es un polinomio y, en consecuencia, es continua en todo \(\mathbb{R}\), y en particular en \(x_0=1\).
Calculemos ahora el valor que toma en el punto:
\[ f(1)=1^2-3\cdot1+3=1, \]
de donde
\[ f(1)=1>0. \]
Quedan así satisfechas ambas hipótesis del teorema de la conservación del signo: \(f\) es continua en \(1\), y \(f(1)\) es estrictamente positivo.
Podemos concluir, por tanto, que existe al menos un número \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in\mathbb{R}\),
\[ |x-1|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>0. \]
No es necesario determinar explícitamente el valor de \(\delta\): el teorema garantiza la existencia de un entorno de \(1\) en el que la función conserva el signo positivo que toma en el punto.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Demostrar, mediante el teorema de Bolzano, que la ecuación
\[ x^3-2x-2=0 \]
posee al menos una solución en el intervalo \((1,2)\).
Resultado
Existe al menos un punto
\[ c\in(1,2) \]
tal que
\[ c^3-2c-2=0. \]
Resolución
Consideremos la función
\[ f(x)=x^3-2x-2. \]
Para aplicar el teorema de Bolzano debemos verificar dos condiciones: que la función sea continua en el intervalo cerrado \([1,2]\), y que los valores que toma en los extremos tengan signos opuestos.
La función \(f\) es un polinomio, por lo que es continua en todo \(\mathbb{R}\); en particular, lo es en \([1,2]\).
Calculemos el valor en el extremo izquierdo:
\[ f(1)=1^3-2\cdot1-2=1-2-2=-3, \]
de donde
\[ f(1)<0. \]
En el extremo derecho obtenemos
\[ f(2)=2^3-2\cdot2-2=8-4-2=2, \]
de modo que
\[ f(2)>0. \]
Los valores \(f(1)\) y \(f(2)\) tienen signos opuestos; equivalentemente,
\[ f(1)f(2)=(-3)\cdot2=-6<0. \]
Se satisfacen así todas las hipótesis del teorema de Bolzano.
Existe, por tanto, al menos un punto
\[ c\in(1,2) \]
tal que
\[ f(c)=0. \]
Esto significa precisamente que la ecuación
\[ x^3-2x-2=0 \]
posee al menos una solución comprendida entre \(1\) y \(2\).
El teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos una solución, pero por sí solo no permite concluir que sea única.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Utilizar el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuación
\[ 2^x=3 \]
posee al menos una solución en el intervalo \((1,2)\).
Resultado
Existe al menos un punto
\[ c\in(1,2) \]
tal que
\[ 2^c=3. \]
Resolución
Para reducir el problema al teorema de Bolzano, pasamos todos los términos a un mismo miembro y consideramos la función
\[ f(x)=2^x-3. \]
La ecuación
\[ 2^x=3 \]
es equivalente a
\[ f(x)=0. \]
La función exponencial \(2^x\) es continua en todo \(\mathbb{R}\). La función constante \(3\) también es continua, y la diferencia de funciones continuas es continua.
Por tanto,
\[ f(x)=2^x-3 \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\), y en particular en el intervalo cerrado \([1,2]\).
Calculemos los valores en los extremos:
\[ f(1)=2^1-3=-1, \]
mientras que
\[ f(2)=2^2-3=1. \]
Tenemos, por tanto,
\[ f(1)<0 \qquad\text{y}\qquad f(2)>0, \]
o, equivalentemente,
\[ f(1)f(2)=-1<0. \]
Por el teorema de Bolzano existe al menos un punto
\[ c\in(1,2) \]
tal que
\[ f(c)=0. \]
Puesto que \(f(c)=2^c-3\), obtenemos
\[ 2^c-3=0, \]
es decir,
\[ 2^c=3. \]
La ecuación posee, por tanto, al menos una solución en el intervalo \((1,2)\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Utilizando el teorema de los valores intermedios, demostrar que existe al menos un punto
\[ c\in(1,2) \]
tal que
\[ c^3=5. \]
Resultado
Existe al menos un punto \(c\in(1,2)\) tal que \(c^3=5\).
Resolución
Consideremos la función
\[ f(x)=x^3 \]
en el intervalo cerrado \([1,2]\).
La función es polinómica y, por tanto, continua en todo \(\mathbb{R}\); en particular, lo es en \([1,2]\).
Calculemos los valores que toma en los extremos:
\[ f(1)=1^3=1 \]
y
\[ f(2)=2^3=8. \]
El valor que deseamos obtener es
\[ k=5. \]
Observamos que
\[ 1<5<8, \]
es decir,
\[ f(1)<5<f(2). \]
El número \(5\) está, pues, comprendido entre los valores que la función toma en los extremos del intervalo.
Por el teorema de los valores intermedios, existe al menos un punto
\[ c\in(1,2) \]
tal que
\[ f(c)=5. \]
Puesto que \(f(c)=c^3\), obtenemos
\[ c^3=5. \]
El teorema garantiza, así, la existencia del punto buscado sin necesidad de determinar explícitamente su valor.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función
\[ f(x)=(x-2)^2+1 \]
en el intervalo \([0,5]\). Comprobar las hipótesis del teorema de Weierstrass y determinar el mínimo y el máximo absolutos de la función en el intervalo.
Resultado
El mínimo absoluto es
\[ 1, \]
alcanzado en \(x=2\), mientras que el máximo absoluto es
\[ 10, \]
alcanzado en \(x=5\).
Resolución
La función
\[ f(x)=(x-2)^2+1 \]
es un polinomio y, por tanto, es continua en todo \(\mathbb{R}\); en particular, lo es en el intervalo cerrado y acotado
\[ [0,5]. \]
Se satisfacen, pues, las hipótesis del teorema de Weierstrass, y podemos ya concluir que \(f\) alcanza en el intervalo tanto un mínimo absoluto como un máximo absoluto.
Determinemos ahora dichos valores.
Para todo \(x\in[0,5]\),
\[ (x-2)^2\geq0, \]
y en consecuencia
\[ f(x)=(x-2)^2+1\geq1. \]
La igualdad se alcanza cuando
\[ (x-2)^2=0, \]
es decir, cuando
\[ x=2. \]
Puesto que \(2\in[0,5]\), el mínimo absoluto es
\[ f(2)=1. \]
Para determinar el máximo, observemos que, para \(x\in[0,5]\), la distancia de \(x\) al punto \(2\) no puede superar \(3\); en efecto,
\[ |x-2|\leq3, \]
alcanzándose el valor \(3\) en el extremo \(x=5\).
Elevando al cuadrado,
\[ (x-2)^2\leq9, \]
de modo que
\[ f(x)=(x-2)^2+1\leq10. \]
Para \(x=5\),
\[ f(5)=(5-2)^2+1=9+1=10. \]
El máximo absoluto es, por tanto, \(10\), alcanzado en \(x=5\).
En conclusión,
\[ \min_{x\in[0,5]}f(x)=1 \]
y
\[ \max_{x\in[0,5]}f(x)=10. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función
\[ f(x)=|x-1| \]
en el intervalo \([-2,3]\). Utilizar el teorema de Weierstrass y determinar el mínimo y el máximo absolutos.
Resultado
El mínimo absoluto es \(0\), alcanzado en \(x=1\). El máximo absoluto es \(3\), alcanzado en \(x=-2\).
Resolución
La función valor absoluto es continua en todo \(\mathbb{R}\). También lo es la función
\[ x-1. \]
Por tanto,
\[ f(x)=|x-1| \]
es continua en el intervalo cerrado y acotado
\[ [-2,3]. \]
Por el teorema de Weierstrass, \(f\) alcanza ciertamente un mínimo y un máximo absolutos en el intervalo.
El valor absoluto es siempre no negativo:
\[ |x-1|\geq0, \]
y se anula precisamente cuando
\[ x-1=0, \]
es decir, cuando
\[ x=1. \]
Como \(1\in[-2,3]\), el mínimo absoluto es
\[ f(1)=|1-1|=0. \]
Para el máximo debemos, en cambio, identificar en el intervalo el punto más alejado de \(1\), puesto que \(f(x)=|x-1|\) representa precisamente la distancia de \(x\) a \(1\).
En el extremo izquierdo,
\[ f(-2)=|-2-1|=|-3|=3. \]
En el extremo derecho,
\[ f(3)=|3-1|=2. \]
En el intervalo \([-2,3]\), ningún punto dista de \(1\) más de lo que dista el punto \(-2\). Por tanto,
\[ |x-1|\leq3 \]
para todo \(x\in[-2,3]\).
El máximo absoluto es, así,
\[ f(-2)=3. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función
\[ f(x)=x^3+1. \]
Determinar su función inversa y establecer si esta es continua.
Resultado
La función inversa es
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}, \]
y es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Resolución
La función
\[ f(x)=x^3+1 \]
es un polinomio, por lo que es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Además, la función cúbica \(x^3\) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\); añadir la constante \(1\) no altera la monotonía, de modo que \(f\) también es estrictamente creciente.
Al ser estrictamente creciente, \(f\) es inyectiva y admite función inversa en su imagen.
La función \(x^3\) toma todos los valores reales, y la adición de \(1\) no altera el hecho de que la imagen sea el conjunto de todos los números reales. Por tanto,
\[ f(\mathbb{R})=\mathbb{R}. \]
Para hallar la inversa, hagamos
\[ y=x^3+1. \]
Despejemos \(x\). Restando \(1\) a ambos miembros obtenemos
\[ y-1=x^3, \]
y, tomando raíces cúbicas,
\[ x=\sqrt[3]{y-1}. \]
Intercambiando el nombre de las variables, la función inversa es
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}. \]
Podemos ahora aplicar el teorema sobre la continuidad de la función inversa. La función \(f\) es continua y estrictamente monótona en el intervalo
\[ I=\mathbb{R}, \]
y, en consecuencia, su inversa es continua en la imagen
\[ J=f(\mathbb{R})=\mathbb{R}. \]
Por tanto,
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1} \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Determinar los valores de los parámetros \(a,b\in\mathbb{R}\) para que la función
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ ax+b, & 0\leq x\leq1,\\ 3x-1, & x>1 \end{cases} \]
sea continua en todo \(\mathbb{R}\).
Resultado
La función es continua en todo \(\mathbb{R}\) para
\[ a=1, \qquad b=1. \]
Resolución
Cada una de las tres expresiones que definen la función es polinómica y, por tanto, continua en su respectivo intervalo.
Los únicos puntos en los que puede plantearse un problema de continuidad son, en consecuencia, aquellos en los que cambia la definición de la función:
\[ x=0 \qquad\text{y}\qquad x=1. \]
Comencemos por el punto \(x=0\).
Por la izquierda, la función es
\[ f(x)=x+1, \]
de modo que
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1. \]
En el propio punto \(x=0\) se emplea, en cambio, la expresión central:
\[ f(0)=a\cdot0+b=b. \]
El límite por la derecha es también
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=b. \]
Para la continuidad en \(0\) debe ser, por tanto,
\[ b=1. \]
Pasemos ahora al punto \(x=1\).
Por la izquierda, y en el propio punto, es válida la expresión
\[ ax+b. \]
Así,
\[ f(1)=a+b \]
y
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=a+b. \]
Por la derecha, en cambio, es válida
\[ f(x)=3x-1, \]
de modo que
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=3\cdot1-1=2. \]
Para la continuidad en \(1\) debemos tener
\[ a+b=2. \]
Ya hemos hallado
\[ b=1. \]
Sustituyendo este valor en la ecuación anterior,
\[ a+1=2, \]
de donde
\[ a=1. \]
Por tanto,
\[ a=1, \qquad b=1. \]
Con estos valores, la función es continua en los dos puntos de empalme \(0\) y \(1\), mientras que en el resto de los puntos la continuidad se sigue directamente del hecho de que cada tramo es polinómico.
La función es, por tanto, continua en todo \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Consideremos, en el intervalo \([-1,2]\), la función dependiente del parámetro \(a\):
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+1, & -1\leq x\leq0,\\ ax+1, & 0<x\leq1,\\ 2x, & 1<x\leq2. \end{cases} \]
Determinar el valor de \(a\) para que \(f\) sea continua en \([-1,2]\). Para dicho valor del parámetro, determinar el mínimo y el máximo absolutos de la función y demostrar, mediante el teorema de los valores intermedios, que existe al menos un punto \(c\in(1,2)\) tal que \(f(c)=3\).
Resultado
La función es continua en \([-1,2]\) para
\[ a=1. \]
Para dicho valor,
\[ \min_{x\in[-1,2]}f(x)=1, \]
alcanzado en \(x=0\), mientras que
\[ \max_{x\in[-1,2]}f(x)=4, \]
alcanzado en \(x=2\).
Además, existe al menos un punto \(c\in(1,2)\) tal que \(f(c)=3\).
Resolución
Cada uno de los tres tramos de la función es polinómico y, por tanto, continuo en el intervalo en el que se aplica.
Para establecer la continuidad de toda la función debemos, en consecuencia, examinar los dos puntos de empalme:
\[ x=0 \qquad\text{y}\qquad x=1. \]
Consideremos primero \(x=0\).
Para \(x\leq0\),
\[ f(x)=x^2+1, \]
de modo que
\[ f(0)=0^2+1=1. \]
Además,
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1. \]
Por la derecha se emplea la expresión
\[ ax+1, \]
de modo que
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = a\cdot0+1 = 1. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^+}f(x) = f(0) = 1. \]
La función es, así, continua en \(x=0\) para cualquier valor del parámetro \(a\).
Pasemos al punto \(x=1\).
Para \(0<x\leq1\),
\[ f(x)=ax+1, \]
de modo que
\[ f(1)=a+1 \]
y
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=a+1. \]
Para \(x>1\),
\[ f(x)=2x, \]
de modo que
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=2. \]
Para la continuidad en \(x=1\) debemos imponer
\[ a+1=2, \]
de donde
\[ a=1. \]
Con este valor del parámetro, la función se convierte en
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+1, & -1\leq x\leq0,\\ x+1, & 0<x\leq1,\\ 2x, & 1<x\leq2. \end{cases} \]
Hemos comprobado que los tres tramos son continuos y que los valores empalman correctamente en \(0\) y en \(1\). Además, en los extremos \(-1\) y \(2\) la función posee la continuidad lateral requerida.
Por consiguiente, \(f\) es continua en el intervalo cerrado y acotado
\[ [-1,2]. \]
Podemos, entonces, aplicar el teorema de Weierstrass: la función alcanza ciertamente un mínimo y un máximo absolutos.
Examinemos por separado los valores tomados en cada uno de los tres tramos.
En el primer tramo,
\[ -1\leq x\leq0, \]
se tiene
\[ f(x)=x^2+1. \]
En este intervalo
\[ 0\leq x^2\leq1, \]
de modo que
\[ 1\leq f(x)\leq2. \]
El valor mínimo del primer tramo es
\[ f(0)=1, \]
mientras que
\[ f(-1)=2. \]
En el segundo tramo,
\[ 0<x\leq1, \]
tenemos
\[ f(x)=x+1. \]
Puesto que
\[ 0<x\leq1, \]
se sigue que
\[ 1<x+1\leq2. \]
En este tramo, por tanto, los valores de la función son mayores que \(1\) y no superan \(2\).
En el tercer tramo,
\[ 1<x\leq2, \]
se tiene
\[ f(x)=2x, \]
de modo que
\[ 2<2x\leq4, \]
alcanzándose efectivamente el valor \(4\) para
\[ x=2. \]
Comparando los tres tramos, el valor más pequeño tomado por la función en su conjunto es
\[ 1, \]
alcanzado en \(x=0\). Por tanto,
\[ \min_{x\in[-1,2]}f(x)=f(0)=1. \]
El valor más grande alcanzado es, en cambio,
\[ 4, \]
alcanzado en \(x=2\), de modo que
\[ \max_{x\in[-1,2]}f(x)=f(2)=4. \]
Queda por demostrar que existe al menos un punto \(c\in(1,2)\) tal que
\[ f(c)=3. \]
Consideremos la función en el intervalo cerrado \([1,2]\). Puesto que toda la función es continua en \([-1,2]\), lo es en particular en \([1,2]\).
En los extremos se tiene
\[ f(1)=2 \]
y
\[ f(2)=4. \]
El valor \(3\) está estrictamente comprendido entre \(2\) y \(4\):
\[ f(1)=2<3<4=f(2). \]
Por el teorema de los valores intermedios existe, por tanto, al menos un punto
\[ c\in(1,2) \]
tal que
\[ f(c)=3. \]
En este caso es posible, además, identificar directamente dicho punto, pues para \(1<x\leq2\) se verifica
\[ f(x)=2x. \]
Resolviendo
\[ 2x=3 \]
se obtiene
\[ x=\frac{3}{2}. \]
En efecto,
\[ 1<\frac{3}{2}<2 \]
y
\[ f\left(\frac{3}{2}\right) = 2\cdot\frac{3}{2} = 3. \]
El punto garantizado por el teorema de los valores intermedios puede, así, elegirse como
\[ c=\frac{3}{2}. \]