Intuitivamente, una función continua es una función cuyo comportamiento no sufre variaciones bruscas: valores de la variable independiente suficientemente próximos producen valores de la función igualmente próximos.
Esta idea intuitiva se hace rigurosa mediante la definición de continuidad. Fijada una precisión arbitraria sobre los valores de la función, debe ser posible determinar cuánto ha de aproximarse \(x\) a un punto \(x_0\) para que dicha precisión quede garantizada.
Cuando \(x_0\) es un punto de acumulación del dominio, esta propiedad equivale a la relación fundamental
\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0). \]
La continuidad constituye uno de los conceptos centrales del Análisis Matemático. En este artículo estudiaremos su definición rigurosa, la continuidad lateral y sobre intervalos, las operaciones que la preservan, las principales funciones continuas y los distintos tipos de discontinuidad. Veremos además algunos resultados fundamentales, entre ellos el teorema de conservación del signo, el teorema de Bolzano, el teorema del valor intermedio, el teorema de Weierstrass y el teorema de la continuidad de la función inversa.
Índice
- Continuidad de una función en un punto
- Continuidad por la derecha y por la izquierda
- Continuidad en un intervalo
- Operaciones con funciones continuas
- Continuidad de las funciones elementales
- Puntos de discontinuidad
- Teorema de conservación del signo para funciones continuas
- Teorema de Bolzano y teorema del valor intermedio
- Teorema de Weierstrass
- Continuidad de la función inversa
Continuidad de una función en un punto
Sea \[ f:A\to\mathbb{R} \] una función y sea \(x_0\in A\).
Definición. La función \(f\) se dice continua en \(x_0\) si, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]
El significado de la definición es preciso. El número \(\varepsilon\) establece cuán próximo queremos que esté \(f(x)\) a \(f(x_0)\); una vez elegido un \(\varepsilon>0\) cualquiera, debemos poder determinar un número \(\delta>0\) tal que todo \(x\) del dominio suficientemente próximo a \(x_0\) produzca un valor \(f(x)\) cuya distancia a \(f(x_0)\) sea menor que \(\varepsilon\).
En otras palabras, podemos hacer que la distancia
\[ |f(x)-f(x_0)| \]
sea tan pequeña como se desee eligiendo \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Continuidad y límite
Si \(x_0\) es un punto de acumulación del dominio \(A\), la continuidad de \(f\) en \(x_0\) equivale a la condición
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Esta igualdad expresa el vínculo fundamental entre el límite y la continuidad. El límite describe el comportamiento de los valores \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\); la continuidad exige que dicho comportamiento sea coherente con el valor que la función toma efectivamente en el punto.
Por tanto, cuando \(x_0\) es un punto de acumulación del dominio, para verificar la continuidad mediante límites deben cumplirse tres condiciones:
- \(f(x_0)\) debe estar definido;
- debe existir el límite \[ \lim_{x\to x_0}f(x); \]
- el límite debe coincidir con el valor que toma la función: \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Si tan solo una de estas condiciones no se cumple, \(f\) no es continua en \(x_0\).
Ejemplo. Consideremos la función
\[ f(x)=x^2. \]
En el punto \(x_0=2\) se tiene
\[ f(2)=4. \]
Además,
\[ \lim_{x\to2}x^2=4. \]
Luego
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2), \]
y por tanto \(f(x)=x^2\) es continua en \(x_0=2\).
Interpretación geométrica. La continuidad en \(x_0\) expresa el hecho de que el punto \((x_0,f(x_0))\) es coherente con el comportamiento de los valores \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\). En particular, el valor que toma la función en el punto coincide con el valor hacia el que tienden los valores de la función en su entorno.
Las distintas formas en que esta propiedad puede fallar se clasificarán en la sección dedicada a los puntos de discontinuidad.
Continuidad por la derecha y por la izquierda
En algunos casos es necesario estudiar por separado el comportamiento de la función cuando \(x\) se aproxima a un punto solo por la derecha o solo por la izquierda. Se introducen así los conceptos de continuidad por la derecha y continuidad por la izquierda.
Sea
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
y sea \(x_0\in A\).
Si \(x_0\) es un punto de acumulación de \(A\) por la derecha, \(f\) se dice continua por la derecha en \(x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
Análogamente, si \(x_0\) es un punto de acumulación de \(A\) por la izquierda, \(f\) se dice continua por la izquierda en \(x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]
Cuando \(x_0\) es punto de acumulación del dominio tanto por la izquierda como por la derecha, \(f\) es continua en \(x_0\) si y solo si es continua tanto por la izquierda como por la derecha en ese mismo punto.
De forma equivalente,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0). \]
Ejemplo con una función definida a trozos
Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 2, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]
En el punto \(x_0=1\),
\[ f(1)=2. \]
Por la izquierda se tiene
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+1) = 2, \]
mientras que por la derecha
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(3-x) = 2. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = f(1) = 2, \]
y por tanto \(f\) es continua en \(x_0=1\).
Continuidad en los extremos de un intervalo
La continuidad lateral es fundamental también en los extremos de los intervalos.
Si una función está definida en \([a,b]\), en el punto \(a\) se considera la continuidad por la derecha:
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]
mientras que en el punto \(b\) se considera la continuidad por la izquierda:
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Continuidad en un intervalo
Tras haber definido la continuidad en un único punto, podemos extender de forma natural el concepto a todo un intervalo.
Intervalo abierto
Una función \(f\) se dice continua en un intervalo abierto \(I\) si es continua en todo punto \(x_0\in I\).
Por ejemplo, \(f\) es continua en \((a,b)\) si, para todo \(x_0\in(a,b)\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Intervalo cerrado
En el caso de un intervalo cerrado \([a,b]\), en los extremos la aproximación debe considerarse permaneciendo dentro del intervalo. Por esta razón intervienen los límites laterales.
Una función
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
se dice continua en \([a,b]\) si:
- es continua en todo punto \(x_0\in(a,b)\);
- es continua por la derecha en \(a\), es decir, \[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a); \]
- es continua por la izquierda en \(b\), es decir, \[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Intervalos semiabiertos
De modo análogo, si el dominio es un intervalo semiabierto, en el extremo que pertenece al dominio se exige la correspondiente continuidad lateral.
Una función
\[ f:[a,b)\to\mathbb{R} \]
es continua en \([a,b)\) si es continua en todo punto de \((a,b)\) y es continua por la derecha en \(a\).
Análogamente,
\[ f:(a,b]\to\mathbb{R} \]
es continua en \((a,b]\) si es continua en todo punto de \((a,b)\) y es continua por la izquierda en \(b\).
Continuidad en el dominio
Más en general, una función
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
se dice continua en \(A\) si es continua en todo punto de su propio dominio, entendiendo la continuidad respecto de los puntos que pertenecen a \(A\).
Por ejemplo,
\[ f(x)=x^2 \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\), ya que para todo \(x_0\in\mathbb{R}\)
\[ \lim_{x\to x_0}x^2=x_0^2=f(x_0). \]
La función
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
es, en cambio, continua en su propio dominio
\[ \mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
El hecho de que no esté definida en \(x=0\) no impide, por tanto, afirmar que es continua en su propio dominio. La continuidad es una propiedad que se verifica en los puntos en los que la función está definida.
La continuidad en un intervalo desempeñará un papel fundamental en los resultados siguientes: la existencia de ceros, la obtención de los valores intermedios y la existencia de máximos y mínimos absolutos dependen, en efecto, de la continuidad sobre intervalos adecuados.
Operaciones con funciones continuas
La continuidad se conserva mediante las principales operaciones algebraicas. Esto permite construir nuevas funciones continuas a partir de funciones cuya continuidad ya es conocida.
Sean \(f\) y \(g\) continuas en un punto \(x_0\). Entonces también son continuas en \(x_0\)
\[ f+g, \qquad f-g, \qquad f\cdot g. \]
Para toda constante \(c\in\mathbb{R}\), es además continua en \(x_0\) la función
\[ cf. \]
Si
\[ g(x_0)\neq0, \]
es también continua en \(x_0\) la función cociente
\[ \frac{f}{g}. \]
Por qué estas propiedades son ciertas
Puesto que \(f\) y \(g\) son continuas en \(x_0\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0), \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Para la suma, de las propiedades de los límites se sigue
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)] &= \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x)\\ &= f(x_0)+g(x_0)\\ &= (f+g)(x_0). \end{aligned} \]
Por tanto \(f+g\) es continua en \(x_0\). De modo análogo se demuestran los resultados relativos a la diferencia, al producto y al producto por una constante.
Para el cociente, si \(g(x_0)\neq0\),
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)} = \left(\frac{f}{g}\right)(x_0), \]
y por tanto \(\displaystyle\frac{f}{g}\) es continua en \(x_0\).
Las mismas propiedades son válidas en un intervalo. Si \(f\) y \(g\) son continuas en un intervalo \(I\), entonces \(f+g\), \(f-g\), \(f\cdot g\) y \(cf\) son continuas en \(I\). El cociente \(\displaystyle\frac{f}{g}\) es continuo en todo punto de \(I\) en el que \(g\) no se anula.
Composición de funciones continuas
Otra propiedad fundamental concierne a la composición.
Sea \(g\) continua en \(x_0\) y sea \(f\) continua en \(g(x_0)\). Entonces la función compuesta
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
es continua en \(x_0\).
En efecto,
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Puesto que \(f\) es continua en \(g(x_0)\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right) = f(g(x_0)). \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to x_0}(f\circ g)(x) = (f\circ g)(x_0), \]
y por tanto \(f\circ g\) es continua en \(x_0\).
Ejemplo
Consideremos
\[ g(x)=x^2+1 \]
y
\[ f(t)=\sqrt{t}. \]
Ambas funciones son continuas en sus respectivos dominios. Además, \(x^2+1>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), luego la composición
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2+1} \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Estos resultados permiten reconocer la continuidad de un gran número de funciones sin tener que aplicar cada vez directamente la definición con \(\varepsilon\) y \(\delta\).
Continuidad de las funciones elementales
Las principales funciones elementales son continuas en todo punto de su dominio. Junto con las propiedades de las operaciones y de la composición, este resultado permite establecer rápidamente la continuidad de una amplia clase de funciones.
Funciones polinómicas y racionales
Toda función polinómica
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Una función racional
\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]
es continua en todos los puntos en los que el denominador no se anula, es decir, en su dominio
\[ \{x\in\mathbb{R}:Q(x)\neq0\}. \]
Potencias y radicales
Las funciones potencia y las funciones radicales usuales, consideradas en sus respectivos dominios reales, son continuas.
Por ejemplo,
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
es continua en
\[ [0,+\infty), \]
mientras que
\[ f(x)=\sqrt[3]{x} \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Funciones exponenciales y logarítmicas
La función exponencial
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0, \quad a\neq1, \]
es continua para todo \(x\in\mathbb{R}\).
La función logarítmica
\[ f(x)=\log_a(x), \qquad a>0, \quad a\neq1, \]
es continua en su propio dominio
\[ (0,+\infty). \]
En particular, el logaritmo natural (o logaritmo neperiano)
\[ f(x)=\ln(x) \]
es continuo para todo \(x>0\).
Funciones trigonométricas
Las funciones
\[ \sin(x), \qquad \cos(x) \]
son continuas en todo \(\mathbb{R}\).
La función tangente
\[ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
es continua en los puntos en los que \(\cos(x)\neq0\), es decir, para
\[ x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Análogamente, las demás funciones trigonométricas definidas mediante cocientes son continuas en todo punto de su dominio.
Valor absoluto
También la función
\[ f(x)=|x| \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Un ejemplo más elaborado
Consideremos
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+4}. \]
El polinomio \(x^2+1\) es continuo y satisface
\[ x^2+1>0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\). En consecuencia,
\[ \sqrt{x^2+1} \]
es continua en \(\mathbb{R}\).
Además,
\[ x^2+4>0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\), por lo que el denominador nunca se anula.
Por tanto
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+4} \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\).
En general, al estudiar la continuidad de una función elemental suele bastar con determinar correctamente su dominio y reconocer las operaciones y composiciones mediante las cuales está construida la función.
Puntos de discontinuidad
Cuando una función no es continua en un punto de su dominio, se habla de discontinuidad. En el estudio de los límites, la misma terminología se emplea comúnmente también para puntos de acumulación del dominio en los que la función no está definida, como ocurre, por ejemplo, en las discontinuidades evitables.
Supongamos que \(x_0\) es un punto de acumulación del dominio tanto por la izquierda como por la derecha. Para describir el comportamiento de la función en \(x_0\) se consideran los dos límites laterales
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Su comportamiento permite distinguir distintos tipos de discontinuidad.
Discontinuidad evitable
Se tiene una discontinuidad evitable en \(x_0\) cuando existe y es finito el límite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
pero la función no está definida en \(x_0\), o bien está definida y
\[ f(x_0)\neq L. \]
La discontinuidad puede eliminarse definiendo, o redefiniendo,
\[ f(x_0)=L. \]
Ejemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Para \(x\neq1\),
\[ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
La función no está definida en \(x=1\), pero al poner
\[ f(1)=2 \]
se obtiene una función continua también en ese punto.
Discontinuidad de primera especie o de salto
Se tiene una discontinuidad de primera especie, también llamada discontinuidad de salto, cuando ambos límites laterales existen y son finitos pero toman valores distintos:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \qquad L_1\neq L_2. \]
En este caso el límite cuando \(x\to x_0\) no existe. La cantidad
\[ |L_2-L_1| \]
se denomina amplitud del salto.
Ejemplo. Consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x\geq0. \end{cases} \]
Se tiene
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]
Los dos límites laterales son finitos pero distintos. Por tanto \(x=0\) es un punto de discontinuidad de primera especie.
Discontinuidad de segunda especie
Se tiene una discontinuidad de segunda especie cuando al menos uno de los dos límites laterales no existe como límite finito.
Esto puede deberse a que al menos uno de los límites sea infinito, o bien a que al menos uno de ellos no exista siquiera como límite infinito.
Primer ejemplo. Consideremos
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Cuando \(x\to0\),
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Puesto que los dos límites laterales son infinitos, \(x=0\) es un punto de discontinuidad de segunda especie. Además,
\[ x=0 \]
es una asíntota vertical de la gráfica.
Segundo ejemplo. Consideremos
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Cuando \(x\to0\), el argumento \(\displaystyle\frac{1}{x}\) crece en valor absoluto sin límite y la función continúa oscilando entre \(-1\) y \(1\).
En consecuencia, ni el límite por la izquierda ni el límite por la derecha existen, ni siquiera como límites infinitos. También \(x=0\) es, por tanto, un punto de discontinuidad de segunda especie.
Los distintos tipos de discontinuidad muestran que la continuidad puede fallar de maneras profundamente diferentes. El estudio de los límites laterales permite describir con precisión el comportamiento local de la función en los puntos problemáticos.
Teorema de conservación del signo para funciones continuas
Una consecuencia fundamental de la continuidad es el teorema de conservación del signo: si una función continua toma en un punto un valor estrictamente positivo o estrictamente negativo, entonces conserva el mismo signo en un entorno adecuado de dicho punto.
Sea
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
continua en \(x_0\in A\).
Si
\[ f(x_0)>0, \]
entonces existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>0. \]
Análogamente, si
\[ f(x_0)<0, \]
existe \(\delta>0\) tal que
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<0. \]
Demostración. Supongamos
\[ f(x_0)>0. \]
Elijamos
\[ \varepsilon=\frac{f(x_0)}{2}>0. \]
Puesto que \(f\) es continua en \(x_0\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)| < \frac{f(x_0)}{2}. \]
De la propiedad del valor absoluto se sigue
\[ -\frac{f(x_0)}{2} < f(x)-f(x_0) < \frac{f(x_0)}{2}. \]
Considerando la desigualdad de la izquierda,
\[ f(x) > f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2} = \frac{f(x_0)}{2} > 0. \]
Por tanto \(f\) mantiene signo positivo en un entorno adecuado de \(x_0\). El caso \(f(x_0)<0\) se demuestra de manera análoga.
Por qué la hipótesis \(f(x_0)\neq0\) es esencial
Si
\[ f(x_0)=0, \]
la continuidad, por sí sola, no permite determinar el signo de la función en las proximidades de \(x_0\).
Por ejemplo,
\[ f(x)=x \]
es continua en \(x_0=0\), pero toma valores negativos a la izquierda de \(0\) y positivos a la derecha.
El teorema de conservación del signo será fundamental en el teorema de Bolzano, en el que la continuidad permitirá deducir la existencia de al menos un cero cuando una función toma valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo.
Teorema de Bolzano y teorema del valor intermedio
La continuidad en un intervalo produce una consecuencia global fundamental: una función continua no puede pasar de un valor a otro sin tomar también todos los valores intermedios.
Teorema de Bolzano
Sea
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
continua en \([a,b]\).
Si
\[ f(a)f(b)<0, \]
es decir, si \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signo opuesto, entonces existe al menos un punto
\[ c\in(a,b) \]
tal que
\[ f(c)=0. \]
El teorema garantiza, por tanto, la existencia de al menos un cero de la función dentro del intervalo, pero no afirma que dicho cero sea único.
Geométricamente, si la gráfica de una función continua se encuentra a un lado del eje \(x\) en un extremo del intervalo y al otro lado en el otro extremo, necesariamente debe cortar el eje \(x\) al menos una vez.
Ejemplo. Consideremos
\[ f(x)=x^3+x-1 \]
en el intervalo \([0,1]\).
Al ser un polinomio, \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\), y por tanto también en \([0,1]\). Además,
\[ f(0)=-1, \qquad f(1)=1. \]
Por tanto
\[ f(0)f(1)=-1<0. \]
Por el teorema de Bolzano existe al menos un punto
\[ c\in(0,1) \]
tal que
\[ f(c)=0. \]
El teorema permite, así, demostrar la existencia de una solución sin necesidad de determinar su valor exacto.
Teorema del valor intermedio
El teorema de Bolzano es un caso particular de un resultado más general: el teorema del valor intermedio.
Sea
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
continua en \([a,b]\).
Para todo número real \(k\) comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), existe al menos un punto \(c\in[a,b]\) tal que
\[ f(c)=k. \]
En particular, si
\[ f(a)<k<f(b) \]
o bien
\[ f(b)<k<f(a), \]
entonces existe al menos un punto
\[ c\in(a,b) \]
tal que
\[ f(c)=k. \]
Esto significa que la imagen de un intervalo mediante una función continua no presenta lagunas: entre dos valores tomados por la función se toman también todos los valores intermedios.
Por ejemplo, si
\[ f(a)=2, \qquad f(b)=7, \]
entonces, para todo \(k\) tal que
\[ 2<k<7, \]
existe al menos un \(c\in(a,b)\) con
\[ f(c)=k. \]
El teorema no garantiza la unicidad: un mismo valor intermedio puede tomarse en más de un punto del intervalo.
Bolzano como caso particular
Si \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signo opuesto, entonces \(0\) está comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\).
Aplicando el teorema del valor intermedio con
\[ k=0, \]
se obtiene inmediatamente un punto \(c\in(a,b)\) tal que
\[ f(c)=0. \]
El teorema de Bolzano puede así interpretarse como la aplicación del teorema del valor intermedio al valor particular \(k=0\).
La hipótesis de continuidad es esencial. Una función discontinua puede tomar valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo sin tomar el valor \(0\) en su interior. Es precisamente la continuidad la que impide que la imagen de la función presente una laguna entre los valores considerados.
Teorema de Weierstrass
Otra consecuencia fundamental de la continuidad concierne a la existencia de máximos y mínimos absolutos.
Sea
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
una función continua en el intervalo cerrado y acotado \([a,b]\).
El teorema de Weierstrass afirma que \(f\) alcanza en \([a,b]\) tanto un valor mínimo como un valor máximo.
En otras palabras, existen puntos
\[ x_m,x_M\in[a,b] \]
tales que
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \]
para todo \(x\in[a,b]\).
El valor
\[ f(x_m) \]
es el mínimo absoluto de \(f\) en \([a,b]\), mientras que
\[ f(x_M) \]
es el máximo absoluto.
Es importante distinguir los puntos en los que se alcanzan los extremos de los propios valores extremos: \(x_m\) y \(x_M\) pertenecen al dominio, mientras que \(f(x_m)\) y \(f(x_M)\) son, respectivamente, el mínimo y el máximo de la función.
Acotación y existencia de extremos absolutos
El teorema garantiza, en particular, que una función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada.
Poniendo
\[ m=\inf f([a,b]), \qquad M=\sup f([a,b]), \]
se tiene
\[ m\leq f(x)\leq M \]
para todo \(x\in[a,b]\).
Weierstrass afirma además algo más fuerte: estos dos extremos se alcanzan efectivamente. En efecto, existen \(x_m,x_M\in[a,b]\) tales que
\[ m=f(x_m), \qquad M=f(x_M). \]
Ejemplo. Consideremos
\[ f(x)=x^2-2x+3 \]
en el intervalo \([0,3]\).
Al ser un polinomio, \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\), y por tanto también en \([0,3]\). El teorema de Weierstrass asegura, así, la existencia tanto de un mínimo absoluto como de un máximo absoluto.
Escribamos
\[ f(x)=(x-1)^2+2. \]
Puesto que
\[ (x-1)^2\geq0, \]
el valor mínimo se alcanza en \(x=1\):
\[ f(1)=2. \]
Además, para \(x\in[0,3]\),
\[ |x-1|\leq2, \]
luego
\[ (x-1)^2\leq4. \]
Por tanto
\[ f(x)=(x-1)^2+2\leq6, \]
con igualdad en \(x=3\). El máximo absoluto es, por tanto,
\[ f(3)=6. \]
Por qué son importantes las hipótesis
Las hipótesis del teorema son esenciales. La sola continuidad no basta para garantizar la existencia de un máximo y un mínimo absolutos si el intervalo no es cerrado y acotado.
Por ejemplo,
\[ f(x)=x \]
es continua en el intervalo abierto \((0,1)\), pero no alcanza ni su ínfimo \(0\) ni su supremo \(1\). En consecuencia, no posee en \((0,1)\) ni mínimo absoluto ni máximo absoluto.
Análogamente,
\[ f(x)=x \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\), pero no está acotada y, por tanto, no posee ni máximo ni mínimo absolutos.
Interpretación mediante la compacidad
En \(\mathbb{R}\), todo conjunto cerrado y acotado es compacto. El intervalo \([a,b]\) es, por tanto, compacto.
Puesto que la imagen continua de un conjunto compacto es de nuevo compacta,
\[ f([a,b]) \]
es un subconjunto compacto de \(\mathbb{R}\).
En consecuencia, \(f([a,b])\) es cerrado y acotado. Al estar acotado, posee ínfimo y supremo; al ser cerrado, contiene ambos valores. Estos son, por tanto, efectivamente alcanzados por la función y constituyen, respectivamente, el mínimo y el máximo absolutos.
El teorema de Weierstrass es uno de los resultados centrales del Análisis Matemático y desempeñará un papel fundamental en el estudio de los problemas de máximos y mínimos.
Continuidad de la función inversa
La continuidad se conserva, bajo hipótesis adecuadas, también al pasar a la función inversa.
Sea \(I\subseteq\mathbb{R}\) un intervalo y sea
\[ f:I\to\mathbb{R} \]
una función continua y estrictamente monótona en \(I\).
Puesto que \(f\) es estrictamente monótona, es inyectiva y admite, por tanto, una función inversa definida sobre la imagen
\[ J=f(I). \]
El teorema de la continuidad de la función inversa afirma que
\[ f^{-1}:J\to I \]
es continua en \(J\).
Además, \(J=f(I)\) es, a su vez, un intervalo. Esto se sigue del teorema del valor intermedio: al ser \(f\) continua en un intervalo, entre dos valores cualesquiera tomados por \(f\) se toman también todos los valores intermedios.
La función inversa conserva además el tipo de monotonía:
- si \(f\) es estrictamente creciente, \(f^{-1}\) es también estrictamente creciente;
- si \(f\) es estrictamente decreciente, \(f^{-1}\) es también estrictamente decreciente.
Geométricamente, la gráfica de la función inversa se obtiene reflejando la gráfica de \(f\) respecto de la recta
\[ y=x. \]
Ejemplo: función cúbica
Consideremos
\[ f(x)=x^3, \qquad x\in\mathbb{R}. \]
La función es continua y estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\). Además,
\[ f(\mathbb{R})=\mathbb{R}. \]
Su función inversa es
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \]
Por el teorema anterior, \(f^{-1}\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Ejemplo: función exponencial
Consideremos
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0, \quad a\neq1. \]
La función exponencial es continua y estrictamente monótona en \(\mathbb{R}\), con imagen
\[ (0,+\infty). \]
Su función inversa es el logaritmo
\[ f^{-1}(x)=\log_a(x), \]
que es, por tanto, continuo en
\[ (0,+\infty). \]
La continuidad de la función inversa completa el panorama de las principales propiedades de las funciones continuas: continuidad local y en intervalos, conservación mediante las operaciones y la composición, clasificación de las discontinuidades y principales consecuencias globales.
Conclusión
La continuidad describe una de las propiedades fundamentales de las funciones reales y establece un vínculo preciso entre el valor que toma una función en un punto y el comportamiento de sus valores en las proximidades de ese punto.
Hemos visto que la continuidad puede estudiarse mediante límites, que se conserva a través de las principales operaciones algebraicas y de la composición, y que las funciones elementales son continuas en sus respectivos dominios. Hemos clasificado además las distintas formas en que una función puede dejar de ser continua, a través del estudio de los límites por la derecha y por la izquierda.
En un intervalo, la continuidad produce consecuencias aún más profundas. El teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos un cero cuando la función toma valores de signo opuesto en los extremos; el teorema del valor intermedio asegura que una función continua toma todos los valores comprendidos entre dos valores de su imagen; el teorema de Weierstrass, por su parte, garantiza la existencia de un máximo y un mínimo absolutos en un intervalo cerrado y acotado.
Estos resultados constituyen una base esencial para el desarrollo posterior del Análisis Matemático y preparan de forma natural el estudio de la derivabilidad, el estudio cualitativo de las funciones y los problemas de máximos y mínimos.