Presentamos una colección de 20 ejercicios resueltos sobre funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, pensados para comprender de forma rigurosa y progresiva tres propiedades fundamentales de las funciones.
Recordemos brevemente que una función \(f:A\to B\) se dice:
- inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas;
- sobreyectiva si todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio;
- biyectiva si es, a la vez, inyectiva y sobreyectiva.
En símbolos:
\[ f \text{ es inyectiva} \iff f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2. \]
\[ f \text{ es sobreyectiva} \iff f(A)=B. \]
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Determinar si \(f\) es inyectiva.
Resultado
La función es inyectiva.
Desarrollo
Para decidir si una función es inyectiva, debemos comprobar si dos elementos del dominio con la misma imagen coinciden necesariamente.
Supongamos, pues, que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Como \(f(x)=2x+1\), obtenemos:
\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]
Restamos \(1\) a ambos miembros:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
Hemos demostrado que:
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
Por tanto, la función es inyectiva.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Determinar si \(f\) es inyectiva.
Resultado
La función no es inyectiva.
Desarrollo
Para demostrar que una función no es inyectiva, basta con exhibir dos elementos distintos del dominio con la misma imagen.
Consideremos:
\[ x_1=2, \qquad x_2=-2. \]
Claramente:
\[ 2\ne -2. \]
Calculemos ahora las imágenes:
\[ f(2)=2^2=4. \]
Además:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Luego:
\[ f(2)=f(-2), \]
aun siendo \(2\ne -2\).
Existen, pues, dos elementos distintos del dominio con la misma imagen.
Por tanto, la función no es inyectiva.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Determinar si \(f\) es inyectiva.
Resultado
La función es inyectiva.
Desarrollo
La expresión de la función vuelve a ser \(f(x)=x^2\), pero el dominio ya no es todo \(\mathbb{R}\). Ahora el dominio es:
\[ [0,+\infty). \]
Este detalle es fundamental. En todo \(\mathbb{R}\), la función cuadrática no es inyectiva; restringida a los números no negativos, en cambio, sí lo es.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Entonces:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Como \(x_1\) y \(x_2\) pertenecen ambos a \([0,+\infty)\), ambos son no negativos.
Dos números no negativos con el mismo cuadrado han de ser iguales.
Luego:
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto:
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
Así pues, la función es inyectiva.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3. \]
Determinar si \(f\) es inyectiva.
Resultado
La función es inyectiva.
Desarrollo
Verifiquemos la inyectividad directamente a partir de la definición.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Como \(f(x)=x^3\), obtenemos:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
La función raíz cúbica está definida en todo \(\mathbb{R}\). Podemos, por tanto, extraer la raíz cúbica de ambos miembros:
\[ \sqrt[3]{x_1^3}=\sqrt[3]{x_2^3}. \]
En consecuencia:
\[ x_1=x_2. \]
Hemos demostrado que dos elementos con la misma imagen coinciden necesariamente.
Por tanto, la función es inyectiva.
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2+1. \]
Determinar si \(f\) es sobreyectiva.
Resultado
La función no es sobreyectiva.
Desarrollo
Una función \(f:A\to B\) es sobreyectiva si todo elemento del codominio \(B\) es efectivamente alcanzado por la función.
En este caso, el codominio es:
\[ \mathbb{R}. \]
Estudiemos los valores que toma:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Para todo \(x\in\mathbb{R}\) se cumple:
\[ x^2\ge 0. \]
Luego:
\[ x^2+1\ge 1. \]
La función solo toma valores mayores o iguales que \(1\).
Por ejemplo, el número \(0\) pertenece al codominio \(\mathbb{R}\), pero nunca es alcanzado por la función.
En efecto, la ecuación:
\[ x^2+1=0 \]
equivale a:
\[ x^2=-1, \]
que no tiene soluciones reales.
Existe, pues, al menos un elemento del codominio que no es imagen de ningún elemento del dominio.
Por tanto, la función no es sobreyectiva.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Determinar si \(f\) es sobreyectiva.
Resultado
La función es sobreyectiva.
Desarrollo
La expresión de la función es la misma que en el ejercicio anterior:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Sin embargo, el codominio ha cambiado. Ahora tenemos:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Para demostrar la sobreyectividad, debemos probar que todo elemento de \([1,+\infty)\) es alcanzado por la función.
Sea, pues:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Buscamos \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ f(x)=y. \]
Es decir:
\[ x^2+1=y. \]
Restando \(1\) a ambos miembros:
\[ x^2=y-1. \]
Como \(y\ge 1\), tenemos:
\[ y-1\ge 0. \]
Podemos, por tanto, elegir:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Este valor pertenece a \(\mathbb{R}\). Además:
\[ f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Hemos probado que todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.
Por tanto, la función es sobreyectiva.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x-5. \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Una función es biyectiva si es, a la vez, inyectiva y sobreyectiva.
Verifiquemos primero la inyectividad.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Entonces:
\[ 2x_1-5=2x_2-5. \]
Sumando \(5\) a ambos miembros:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Dividiendo entre \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
Luego \(f\) es inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Buscamos \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ 2x-5=y. \]
Despejando:
\[ 2x=y+5, \]
luego:
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
Este valor es real para todo \(y\in\mathbb{R}\). Así, todo elemento del codominio es alcanzado.
La función es sobreyectiva.
Al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez, la función es biyectiva.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función no es biyectiva.
Desarrollo
Una función es biyectiva si es, simultáneamente, inyectiva y sobreyectiva.
Estudiemos las dos propiedades por separado.
La función no es inyectiva. En efecto:
\[ f(2)=2^2=4 \]
y:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Luego:
\[ f(2)=f(-2), \]
aun siendo \(2\ne -2\).
Así pues, \(f\) no es inyectiva.
Tampoco es sobreyectiva con codominio \(\mathbb{R}\), pues:
\[ x^2\ge 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
La función nunca toma valores negativos.
Por ejemplo:
\[ -1\in\mathbb{R} \]
pertenece al codominio, pero no es imagen de ningún elemento del dominio.
La función no es, por tanto, sobreyectiva.
Como no es ni inyectiva ni sobreyectiva, no es biyectiva.
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función:
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\ln(x). \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Estudiemos por separado la inyectividad y la sobreyectividad.
Verifiquemos primero la inyectividad.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Entonces:
\[ \ln(x_1)=\ln(x_2). \]
La función logaritmo natural es estrictamente creciente en el intervalo:
\[ (0,+\infty). \]
En consecuencia, dos logaritmos iguales obligan necesariamente a que:
\[ x_1=x_2. \]
La función es, por tanto, inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Buscamos \(x\gt0\) tal que:
\[ \ln(x)=y. \]
Aplicando la exponencial a ambos miembros:
\[ x=e^y. \]
Como:
\[ e^y\gt0 \]
para todo \(y\in\mathbb{R}\), el valor hallado pertenece al dominio.
Además:
\[ \ln(e^y)=y. \]
Así, todo elemento del codominio es efectivamente alcanzado.
La función es sobreyectiva.
Al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez, la función es biyectiva.
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Determinar si \(f\) es sobreyectiva.
Resultado
La función es sobreyectiva.
Desarrollo
El codominio de la función es:
\[ [0,+\infty). \]
Para verificar la sobreyectividad, debemos probar que todo elemento de este conjunto es alcanzado por la función.
Sea, pues:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Buscamos \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ x^2=y. \]
Como:
\[ y\ge0, \]
podemos elegir:
\[ x=\sqrt{y}. \]
Este valor pertenece a \(\mathbb{R}\). Además:
\[ f(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^2=y. \]
Todo elemento del codominio es, por tanto, alcanzado por la función.
Por tanto, la función es sobreyectiva.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Verifiquemos ante todo la inyectividad.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obtenemos:
\[ \frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}. \]
Multiplicando por \(x_1x_2\), que es distinto de cero, obtenemos:
\[ x_2=x_1. \]
La función es, por tanto, inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Buscamos \(x\ne0\) tal que:
\[ \frac{1}{x}=y. \]
Despejando:
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Como \(y\ne0\), este valor está bien definido y pertenece al dominio.
Además:
\[ f\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
La función es, por tanto, sobreyectiva.
Al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez, la función es biyectiva.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=|x|. \]
Determinar si \(f\) es inyectiva.
Resultado
La función no es inyectiva.
Desarrollo
Para demostrar que una función no es inyectiva, basta con exhibir dos elementos distintos del dominio con la misma imagen.
Consideremos:
\[ x_1=3, \qquad x_2=-3. \]
Claramente:
\[ 3\ne -3. \]
Sin embargo:
\[ f(3)=|3|=3 \]
y:
\[ f(-3)=|-3|=3. \]
Luego:
\[ f(3)=f(-3), \]
aun siendo:
\[ 3\ne -3. \]
La función no es, por tanto, inyectiva.
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
En el intervalo:
\[ [0,+\infty), \]
el valor absoluto coincide con la función identidad:
\[ |x|=x. \]
La función se convierte, por tanto, en:
\[ f(x)=x. \]
Verifiquemos la inyectividad.
Si:
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
entonces:
\[ x_1=x_2. \]
La función es, por tanto, inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Basta con elegir:
\[ x=y. \]
En efecto, para \(x=y\), tenemos:
\[ f(x)=f(y)=y. \]
Todo elemento del codominio queda, así, alcanzado.
La función es sobreyectiva.
Por tanto, la función es biyectiva.
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Determinar si \(f\) es sobreyectiva.
Resultado
La función es sobreyectiva.
Desarrollo
Para verificar la sobreyectividad, debemos comprobar si todo elemento del codominio es alcanzado por la función.
El codominio es:
\[ [0,+\infty). \]
Sea, pues:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Debemos encontrar al menos un \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ |x|=y. \]
Como \(y\ge 0\), podemos elegir:
\[ x=y. \]
En efecto:
\[ f(y)=|y|=y. \]
Así, todo elemento del codominio \([0,+\infty)\) es efectivamente alcanzado por la función.
Por tanto, \(f\) es sobreyectiva.
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3-1. \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Para determinar si \(f\) es biyectiva, debemos verificar que sea, a la vez, inyectiva y sobreyectiva.
Estudiemos primero la inyectividad.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Como \(f(x)=x^3-1\), obtenemos:
\[ x_1^3-1=x_2^3-1. \]
Sumando \(1\) a ambos miembros:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Extrayendo la raíz cúbica:
\[ x_1=x_2. \]
Luego \(f\) es inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Buscamos \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ x^3-1=y. \]
Sumando \(1\) a ambos miembros:
\[ x^3=y+1. \]
Extrayendo la raíz cúbica:
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Este valor es real para todo \(y\in\mathbb{R}\).
Además:
\[ f\left(\sqrt[3]{y+1}\right) = \left(\sqrt[3]{y+1}\right)^3-1 = y+1-1 = y. \]
Así, todo elemento del codominio es alcanzado por la función.
La función es sobreyectiva.
Al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez, \(f\) es biyectiva.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función:
\[ f:[0,+\infty)\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Verifiquemos primero la inyectividad.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Entonces:
\[ x_1^2+1=x_2^2+1. \]
Restando \(1\) a ambos miembros:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Como \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\), ambos son no negativos.
Dos números no negativos con el mismo cuadrado coinciden.
Luego:
\[ x_1=x_2. \]
La función es inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Buscamos \(x\in[0,+\infty)\) tal que:
\[ x^2+1=y. \]
Obtenemos:
\[ x^2=y-1. \]
Como \(y\ge 1\), tenemos \(y-1\ge 0\). Podemos, por tanto, elegir:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Dicho valor pertenece a \([0,+\infty)\). Además:
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y. \]
La función es, pues, sobreyectiva.
Al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez, \(f\) es biyectiva.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Determinar si \(f\) es inyectiva.
Resultado
La función no es inyectiva.
Desarrollo
Para comprobar si la función es inyectiva, buscamos dos elementos distintos del dominio con la misma imagen.
Calculamos:
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
Calculamos también:
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Luego:
\[ f(1)=f(3), \]
pero:
\[ 1\ne 3. \]
Hemos hallado dos elementos distintos del dominio con la misma imagen.
Por tanto, la función no es inyectiva.
Observemos también la razón geométrica: completando el cuadrado obtenemos:
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
La gráfica es una parábola con eje de simetría \(x=2\). Por este motivo, en todo \(\mathbb{R}\), la función toma a menudo el mismo valor en dos puntos distintos.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Consideremos la función:
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty), \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Reescribimos la función completando el cuadrado:
\[ f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
El dominio es:
\[ [2,+\infty). \]
En este intervalo, \(x-2\ge 0\). La función:
\[ (x-2)^2-1 \]
es creciente para \(x\ge 2\).
Verifiquemos la inyectividad de forma directa.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Entonces:
\[ (x_1-2)^2-1=(x_2-2)^2-1. \]
Sumando \(1\) a ambos miembros:
\[ (x_1-2)^2=(x_2-2)^2. \]
Como \(x_1,x_2\in[2,+\infty)\), tenemos:
\[ x_1-2\ge 0 \qquad\text{y}\qquad x_2-2\ge 0. \]
Dos números no negativos con el mismo cuadrado coinciden. Luego:
\[ x_1-2=x_2-2. \]
Por tanto:
\[ x_1=x_2. \]
La función es inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in[-1,+\infty). \]
Buscamos \(x\in[2,+\infty)\) tal que:
\[ (x-2)^2-1=y. \]
Obtenemos:
\[ (x-2)^2=y+1. \]
Como \(y\ge -1\), tenemos:
\[ y+1\ge 0. \]
Además, puesto que \(x\ge 2\), debemos tomar la raíz no negativa:
\[ x-2=\sqrt{y+1}. \]
De donde:
\[ x=2+\sqrt{y+1}. \]
Este valor pertenece a \([2,+\infty)\). En efecto:
\[ 2+\sqrt{y+1}\ge 2. \]
Además:
\[ f(2+\sqrt{y+1}) = (2+\sqrt{y+1}-2)^2-1 = (\sqrt{y+1})^2-1 = y. \]
Todo elemento del codominio queda, por tanto, alcanzado.
La función es sobreyectiva.
Al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez, \(f\) es biyectiva.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x+1}{x-1}. \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Para determinar si \(f\) es biyectiva, debemos verificar que sea, a la vez, inyectiva y sobreyectiva.
Verifiquemos primero la inyectividad.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Entonces:
\[ \frac{2x_1+1}{x_1-1} = \frac{2x_2+1}{x_2-1}. \]
Como \(x_1\ne1\) y \(x_2\ne1\), podemos multiplicar en cruz:
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=(2x_2+1)(x_1-1). \]
Desarrollamos el primer miembro:
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=2x_1x_2-2x_1+x_2-1. \]
Desarrollamos el segundo miembro:
\[ (2x_2+1)(x_1-1)=2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
Luego:
\[ 2x_1x_2-2x_1+x_2-1 = 2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
Restando \(2x_1x_2\) y sumando \(1\) a ambos miembros:
\[ -2x_1+x_2=-2x_2+x_1. \]
Pasamos los términos en \(x_1\) a un lado y los de \(x_2\) al otro:
\[ -3x_1=-3x_2. \]
Dividiendo entre \(-3\), obtenemos:
\[ x_1=x_2. \]
Luego \(f\) es inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Buscamos \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) tal que:
\[ \frac{2x+1}{x-1}=y. \]
Multiplicamos por \(x-1\):
\[ 2x+1=y(x-1). \]
Desarrollamos:
\[ 2x+1=yx-y. \]
Pasamos los términos que contienen \(x\) a un lado:
\[ 2x-yx=-y-1. \]
Sacamos factor común \(x\):
\[ x(2-y)=-(y+1). \]
Como \(y\ne2\), podemos dividir entre \(2-y\):
\[ x=\frac{-(y+1)}{2-y}. \]
De forma equivalente:
\[ x=\frac{y+1}{y-2}. \]
Este valor es real para todo \(y\ne2\). Debemos comprobar, además, que pertenece al dominio, es decir, que es distinto de \(1\).
Si fuera:
\[ \frac{y+1}{y-2}=1, \]
entonces tendríamos:
\[ y+1=y-2, \]
es decir:
\[ 1=-2, \]
lo cual es imposible.
Por tanto, el valor hallado pertenece siempre al dominio.
Además:
\[ f\left(\frac{y+1}{y-2}\right) = \frac{2\cdot\frac{y+1}{y-2}+1}{\frac{y+1}{y-2}-1}. \]
Simplificando el numerador, obtenemos:
\[ 2\cdot\frac{y+1}{y-2}+1 = \frac{2y+2+y-2}{y-2} = \frac{3y}{y-2}. \]
Simplificando el denominador, obtenemos:
\[ \frac{y+1}{y-2}-1 = \frac{y+1-y+2}{y-2} = \frac{3}{y-2}. \]
Por tanto:
\[ f\left(\frac{y+1}{y-2}\right) = \frac{\frac{3y}{y-2}}{\frac{3}{y-2}} = y. \]
Todo elemento del codominio tiene, pues, al menos una preimagen.
La función es sobreyectiva.
Al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez, \(f\) es biyectiva.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Consideremos la función:
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\tan(x). \]
Determinar si \(f\) es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Para determinar si \(f\) es biyectiva, debemos verificar que sea, a la vez, inyectiva y sobreyectiva.
Estudiemos primero la inyectividad.
En el intervalo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
la función tangente es estrictamente creciente.
Una función estrictamente creciente asigna imágenes distintas a elementos distintos del dominio.
Luego \(f\) es inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
El codominio es:
\[ \mathbb{R}. \]
Debemos probar que todo número real es alcanzado por la función.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Buscamos \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) tal que:
\[ \tan(x)=y. \]
La elección natural es:
\[ x=\arctan(y). \]
Por definición, la función arcotangente toma valores en el intervalo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Luego:
\[ \arctan(y)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Además:
\[ \tan(\arctan(y))=y. \]
Hemos hallado así, para todo \(y\in\mathbb{R}\), al menos un elemento del dominio cuya imagen es \(y\).
La función es sobreyectiva.
Al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez, \(f\) es biyectiva.