Funciones Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas: Definición, Significado y Ejemplos

Las funciones inyectivas, funciones suprayectivas y funciones biyectivas desempeñan un papel central en el estudio de las funciones.

Estas tres nociones describen el modo en que una función conecta el dominio con el codominio: algunas funciones distinguen perfectamente los elementos del dominio, otras alcanzan todo el codominio, y otras más establecen una correspondencia biunívoca entre los dos conjuntos.

La distinción entre inyectividad, suprayectividad y biyectividad es fundamental para comprender la imagen de una función, la función inversa y el papel del dominio y del codominio en la propia definición de función.

En efecto, una misma ley puede tener propiedades distintas según los conjuntos sobre los que se considere. Por este motivo, al estudiar funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, siempre es necesario considerar la función en su forma completa:

\[ f:A\to B. \]

Índice

• Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas: significado intuitivo
• Definición de función inyectiva
• Definición de función suprayectiva
• Definición de función biyectiva
• Diferencia entre función inyectiva, suprayectiva y biyectiva
• Cómo comprobar si una función es inyectiva
• Cómo comprobar si una función es suprayectiva
• Funciones biyectivas y función inversa
• Ejemplos sobre funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
• Errores comunes que conviene evitar

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas: significado intuitivo

Para comprender el significado de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva, consideremos una función

\[ f:A\to B. \]

El dominio \(A\) es el conjunto de los elementos a los que se puede aplicar la función; el codominio \(B\) es el conjunto de llegada de la función, es decir, el conjunto al que deben pertenecer sus valores. A cada elemento \(x\in A\) la función le asocia un único elemento \(f(x)\in B\).

Las propiedades de inyectividad, suprayectividad y biyectividad describen el modo en que la función conecta el dominio con el codominio.

Una función es inyectiva cuando nunca envía dos elementos distintos del dominio al mismo elemento del codominio. Dicho de otro modo, elementos diferentes de \(A\) deben tener imágenes diferentes en \(B\).

Una función es suprayectiva cuando todo elemento del codominio se alcanza efectivamente. Dicho de otro modo, no existen elementos de \(B\) que queden fuera de la imagen de la función.

Una función es biyectiva cuando es a la vez inyectiva y suprayectiva. En este caso, cada elemento del codominio se alcanza mediante uno y solo un elemento del dominio: se establece así una correspondencia perfecta entre \(A\) y \(B\).

De forma intuitiva, una función inyectiva no identifica elementos distintos del dominio; una función suprayectiva cubre todo el codominio; una función biyectiva hace ambas cosas a la vez.

Por ejemplo, consideremos la función

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]

Esta función no es inyectiva, porque dos números reales distintos pueden tener la misma imagen. En efecto

\[ -1\ne 1, \]

pero

\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]

y

\[ f(1)=1^2=1. \]

Por tanto, \(f(-1)=f(1)\), aunque \(-1\ne 1\). La función no es inyectiva.

La misma función tampoco es suprayectiva de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\). En efecto, la imagen de \(f\) es

\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty), \]

mientras que el codominio declarado es \(\mathbb R\). Los números reales negativos pertenecen, pues, al codominio, pero la función nunca los alcanza.

Consideremos ahora la función

\[ g:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]

La fórmula \( g(x)=x^2 \) es la misma, pero la función es distinta, porque han cambiado el dominio y el codominio.

En el dominio \([0,+\infty)\), la función \(g\) es inyectiva: dos números reales no negativos distintos tienen cuadrados distintos. Además, \(g\) es suprayectiva sobre \([0,+\infty)\), porque todo número \(y\ge 0\) puede escribirse como el cuadrado de un número real no negativo.

En efecto, si \(y\in[0,+\infty)\), eligiendo

\[ x=\sqrt y, \]

se tiene \(x\in[0,+\infty)\) y

\[ g(x)=g(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Por tanto, \(g\) es biyectiva.

Este ejemplo pone de manifiesto un punto fundamental: la inyectividad, la suprayectividad y la biyectividad no dependen únicamente de la ley, sino también del dominio y del codominio con los que se define la función.

Definición de función inyectiva

Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y sea

\[ f:A\to B \]

una función. Decir que \(f\) es inyectiva significa que elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.

En símbolos, \(f\) es inyectiva si

\[ x_1\ne x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\ne f(x_2) \]

para todo \(x_1,x_2\in A\).

Esta formulación expresa directamente la idea intuitiva: una función inyectiva nunca envía dos elementos diferentes del dominio al mismo elemento del codominio.

No obstante, existe una forma equivalente, a menudo más cómoda en las demostraciones. La función \(f\) es inyectiva si y solo si

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2 \]

para todo \(x_1,x_2\in A\).

Esta segunda forma afirma que, si dos elementos del dominio tienen la misma imagen, entonces esos elementos deben necesariamente coincidir.

Las dos condiciones son equivalentes: la primera dice que elementos diferentes tienen imágenes diferentes; la segunda dice que imágenes iguales solo pueden proceder del mismo elemento del dominio.

Por ejemplo, consideremos la función

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Demostremos que \(f\) es inyectiva. Sean \(x_1,x_2\in\mathbb R\) y supongamos que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Entonces

\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]

Restando \(1\) en ambos miembros, obtenemos

\[ 2x_1=2x_2. \]

Dividiendo entre \(2\), se sigue que

\[ x_1=x_2. \]

Hemos demostrado, pues, que

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]

Por tanto, la función \(f\) es inyectiva.

Consideremos, en cambio, la función

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Esta función no es inyectiva. En efecto, existen dos elementos distintos del dominio que tienen la misma imagen:

\[ -1\ne 1, \]

pero

\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]

y

\[ g(1)=1^2=1. \]

Así pues

\[ g(-1)=g(1), \]

aunque \(-1\ne 1\). En consecuencia, \(g\) no es inyectiva.

Definición de función suprayectiva

Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y sea

\[ f:A\to B \]

una función. Decir que \(f\) es suprayectiva significa que todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.

En símbolos, \(f\) es suprayectiva si

\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Esta condición afirma que ningún elemento del codominio queda excluido de los valores que toma la función.

Recordemos, en efecto, que la imagen de \(f\) es el conjunto

\[ f(A)=\{\,y\in B\mid \exists x\in A \text{ tal que } f(x)=y\,\}. \]

Por tanto, una función es suprayectiva si y solo si su imagen coincide con el codominio:

\[ f(A)=B. \]

Dicho de otro modo, una función suprayectiva alcanza todos los elementos del conjunto de llegada.

Por ejemplo, consideremos la función

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1. \]

Demostremos que \(f\) es suprayectiva. Sea \(y\in\mathbb R\). Queremos encontrar al menos un \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ f(x)=y. \]

Como \(f(x)=x+1\), debemos resolver la ecuación

\[ x+1=y. \]

De donde

\[ x=y-1. \]

Como \(y\in\mathbb R\), también \(y-1\in\mathbb R\). Así pues, eligiendo \(x=y-1\), obtenemos

\[ f(x)=f(y-1)=(y-1)+1=y. \]

Hemos mostrado, pues, que para todo \(y\in\mathbb R\) existe al menos un \(x\in\mathbb R\) tal que \(f(x)=y\). Por tanto, \(f\) es suprayectiva.

Consideremos, en cambio, la función

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Esta función no es suprayectiva. En efecto, el codominio es \(\mathbb R\), pero la función toma solo valores no negativos:

\[ g(x)=x^2\ge 0 \]

para todo \(x\in\mathbb R\).

En consecuencia, ningún número real negativo pertenece a la imagen de \(g\). Por ejemplo, no existe ningún \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ x^2=-1. \]

Así pues, \(-1\in\mathbb R\) pertenece al codominio, pero no pertenece a la imagen de la función. Por tanto, \(g\) no es suprayectiva.

Si, en cambio, cambiamos el codominio y consideramos

\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

entonces la función \(h\) es suprayectiva. En efecto, para todo \(y\in[0,+\infty)\), eligiendo

\[ x=\sqrt y, \]

se tiene \(x\in\mathbb R\) y

\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Por tanto, todo elemento del codominio \([0,+\infty)\) es alcanzado por la función.

Esto muestra que la suprayectividad depende de manera esencial del codominio elegido. La misma ley puede definir una función suprayectiva o no suprayectiva según el conjunto de llegada declarado.

Definición de función biyectiva

Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y sea

\[ f:A\to B \]

una función. Decir que \(f\) es biyectiva significa que \(f\) es a la vez inyectiva y suprayectiva.

Dicho de otro modo, una función es biyectiva cuando cada elemento del codominio es imagen de uno y solo un elemento del dominio.

En símbolos, \(f\) es biyectiva si

\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

El símbolo \(\exists!\) significa «existe uno y solo uno». Por tanto, la condición anterior afirma que, para cada elemento \(y\) del codominio, existe exactamente un elemento \(x\) del dominio tal que \(f(x)=y\).

Esta definición reúne las dos propiedades fundamentales.

• La suprayectividad garantiza la existencia: cada \(y\in B\) es alcanzado por al menos un elemento del dominio.
• La inyectividad garantiza la unicidad: ningún \(y\in B\) puede ser alcanzado por dos elementos distintos del dominio.

Una función biyectiva establece, pues, una correspondencia perfecta entre dominio y codominio: cada elemento del dominio tiene una única imagen en el codominio, y cada elemento del codominio proviene de uno y solo un elemento del dominio.

Por ejemplo, consideremos la función

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Demostremos que \(f\) es biyectiva.

Para comprobar la inyectividad, sean \(x_1,x_2\in\mathbb R\) y supongamos que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Entonces

\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]

Restando \(1\) en ambos miembros y dividiendo entre \(2\), obtenemos

\[ x_1=x_2. \]

Por tanto, \(f\) es inyectiva.

Para comprobar la suprayectividad, sea \(y\in\mathbb R\). Buscamos un \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ f(x)=y. \]

Resolvemos, pues, la ecuación

\[ 2x+1=y. \]

Se obtiene

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Como \(y\in\mathbb R\), también \(\displaystyle \frac{y-1}{2}\in\mathbb R\). Así pues, eligiendo

\[ x=\frac{y-1}{2}, \]

se tiene

\[ f(x)=2\cdot\frac{y-1}{2}+1=y. \]

Por tanto, \(f\) es suprayectiva.

Como \(f\) es a la vez inyectiva y suprayectiva, concluimos que \(f\) es biyectiva.

Consideremos, en cambio, la función

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Esta función no es biyectiva. En efecto, no es inyectiva, porque \(g(-1)=g(1)\) aunque \(-1\ne 1\), y no es suprayectiva, porque ningún número real negativo pertenece a su imagen.

Si, en cambio, consideramos

\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

entonces \(h\) es biyectiva. En efecto, sobre \([0,+\infty)\) la función \(x^2\) es inyectiva, y todo número real no negativo \(y\) es imagen de \(x=\sqrt y\).

También en este caso se observa que la biyectividad no depende únicamente de la ley de la función, sino del modo completo en que la función está definida, es decir, del dominio, del codominio y de la ley de asignación.

Diferencia entre función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Las nociones de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva describen propiedades distintas del modo en que una función conecta dominio y codominio.

Consideremos una función

\[ f:A\to B. \]

Decir que \(f\) es inyectiva significa centrarse en los elementos del dominio: elementos distintos de \(A\) deben tener imágenes distintas en \(B\).

Decir que \(f\) es suprayectiva significa, en cambio, centrarse en los elementos del codominio: cada elemento de \(B\) debe ser alcanzado por al menos un elemento de \(A\).

Decir que \(f\) es biyectiva significa exigir ambas condiciones: cada elemento del codominio debe ser alcanzado, y debe serlo una sola vez.

En símbolos:

\[ \text{\(f\) inyectiva} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \]

para todo \(x_1,x_2\in A\).

Además:

\[ \text{\(f\) suprayectiva} \quad \Longleftrightarrow \quad f(A)=B. \]

Por último:

\[ \text{\(f\) biyectiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{\(f\) es inyectiva y suprayectiva.} \]

Estas tres propiedades son independientes en el sentido siguiente: una función puede ser inyectiva sin ser suprayectiva, puede ser suprayectiva sin ser inyectiva, puede ser ambas cosas, o puede no ser ninguna de las dos.

Por ejemplo, la función

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]

es inyectiva, porque la función exponencial es estrictamente creciente sobre \(\mathbb R\). Sin embargo, no es suprayectiva sobre \(\mathbb R\), porque

\[ e^x>0 \]

para todo \(x\in\mathbb R\). Así pues, los números reales menores o iguales que cero pertenecen al codominio, pero no pertenecen a la imagen de la función.

Por tanto, \(f\) es inyectiva, pero no suprayectiva.

Consideremos, en cambio, la función

\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]

Esta función es suprayectiva, porque todo número real no negativo \(y\) es el cuadrado de al menos un número real. En efecto, si \(y\ge 0\), eligiendo \(x=\sqrt y\), se obtiene

\[ g(x)=y. \]

Sin embargo, \(g\) no es inyectiva, porque

\[ g(-1)=g(1)=1, \]

aunque \(-1\ne 1\).

Por tanto, \(g\) es suprayectiva, pero no inyectiva.

La función

\[ h:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad h(x)=2x+1 \]

es, en cambio, biyectiva. En efecto, es inyectiva, porque valores distintos de \(x\) producen valores distintos de \(2x+1\), y es suprayectiva, porque todo \(y\in\mathbb R\) se obtiene eligiendo

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Por último, la función

\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^2 \]

no es ni inyectiva ni suprayectiva. No es inyectiva porque valores opuestos tienen el mismo cuadrado; no es suprayectiva porque no toma valores negativos.

Estos ejemplos muestran que la inyectividad y la suprayectividad responden a preguntas distintas. La inyectividad concierne a la unicidad de la procedencia de los valores; la suprayectividad concierne a que todos los elementos del codominio sean efectivamente alcanzados.

Cómo comprobar si una función es inyectiva

Comprobar si una función es inyectiva significa determinar si elementos distintos del dominio tienen siempre imágenes distintas.

Consideremos una función

\[ f:A\to B. \]

Para demostrar que \(f\) es inyectiva, el método más usado consiste en partir de la igualdad entre dos imágenes y mostrar que los elementos de partida deben coincidir.

Se toman, pues, dos elementos arbitrarios \(x_1,x_2\in A\) y se supone que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Si de esta igualdad se logra deducir que

\[ x_1=x_2, \]

entonces la función es inyectiva.

En forma sintética, el razonamiento es el siguiente:

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]

Si esta implicación se cumple para todo \(x_1,x_2\in A\), entonces \(f\) es inyectiva.

Por ejemplo, consideremos la función

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-2. \]

Sean \(x_1,x_2\in\mathbb R\) y supongamos que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Entonces

\[ 3x_1-2=3x_2-2. \]

Sumando \(2\) en ambos miembros, obtenemos

\[ 3x_1=3x_2. \]

Dividiendo entre \(3\), se sigue que

\[ x_1=x_2. \]

Así pues

\[ f(x_1)=f(x_2)\quad \Longrightarrow\quad x_1=x_2. \]

Por tanto, \(f\) es inyectiva.

Para mostrar, en cambio, que una función no es inyectiva, basta con encontrar un contraejemplo: dos elementos distintos del dominio que tengan la misma imagen.

En símbolos, hay que encontrar \(x_1,x_2\in A\) tales que

\[ x_1\ne x_2 \]

pero

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Por ejemplo, consideremos la función

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]

La función no es inyectiva, porque

\[ -1\ne 1, \]

pero

\[ g(-1)=(-1)^2+1=2 \]

y

\[ g(1)=1^2+1=2. \]

Por tanto, \(g(-1)=g(1)\), aunque \(-1\ne 1\). Esto basta para concluir que \(g\) no es inyectiva.

En algunos casos, la inyectividad también puede comprobarse usando la monotonía. Si una función real de variable real es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en todo su dominio, entonces es inyectiva.

En efecto, si \(x_1<x_2\) y \(f\) es estrictamente creciente, entonces

\[ f(x_1)<f(x_2), \]

de modo que dos elementos distintos del dominio no pueden tener la misma imagen. Un razonamiento análogo vale para las funciones estrictamente decrecientes.

Por ejemplo, la función

\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]

es inyectiva, porque es estrictamente creciente en el dominio \([0,+\infty)\).

Sin embargo, conviene tener cuidado: una función creciente, pero no estrictamente creciente, no es necesariamente inyectiva. La inyectividad exige que elementos distintos tengan siempre imágenes distintas.

Desde el punto de vista gráfico, una función real de variable real es inyectiva cuando toda recta horizontal corta la gráfica en a lo sumo un punto. Este criterio se denomina con frecuencia criterio de la recta horizontal.

Si una recta horizontal corta la gráfica en dos puntos distintos, entonces existen dos elementos diferentes del dominio con la misma imagen y, por tanto, la función no es inyectiva. El criterio resulta útil para interpretar geométricamente la inyectividad, pero en las demostraciones es preferible usar la definición simbólica.

Cómo comprobar si una función es suprayectiva

Comprobar si una función es suprayectiva significa determinar si todo elemento del codominio es efectivamente alcanzado por la función.

Consideremos una función

\[ f:A\to B. \]

Para demostrar que \(f\) es suprayectiva, hay que tomar un elemento arbitrario \(y\in B\) y mostrar que existe al menos un elemento \(x\in A\) tal que

\[ f(x)=y. \]

En forma sintética, el razonamiento es el siguiente:

\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Si esta condición se cumple, entonces todo elemento del codominio pertenece a la imagen de la función. En consecuencia

\[ f(A)=B, \]

y, por tanto, \(f\) es suprayectiva.

En la práctica, para comprobar la suprayectividad se parte de la ecuación

\[ f(x)=y \]

y se intenta resolverla respecto de \(x\). Si, para todo \(y\in B\), se logra encontrar al menos una solución \(x\in A\), entonces la función es suprayectiva.

Para las funciones reales de variable real, comprobar la suprayectividad significa a menudo determinar la imagen de la función. Según los casos, puede ser necesario estudiar la monotonía, calcular límites, localizar máximos y mínimos o resolver directamente la ecuación \(f(x)=y\).

La pregunta fundamental es siempre la misma: ¿la imagen de la función coincide con el codominio declarado?

Por ejemplo, consideremos la función

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x-3. \]

Sea \(y\in\mathbb R\). Queremos encontrar un número real \(x\) tal que

\[ f(x)=y. \]

Como \(f(x)=2x-3\), debemos resolver la ecuación

\[ 2x-3=y. \]

De donde

\[ 2x=y+3 \]

y, por tanto,

\[ x=\frac{y+3}{2}. \]

Como \(y\in\mathbb R\), también \(\displaystyle \frac{y+3}{2}\in\mathbb R\). Así pues, eligiendo

\[ x=\frac{y+3}{2}, \]

obtenemos

\[ f(x)=2\cdot\frac{y+3}{2}-3=y+3-3=y. \]

Hemos mostrado, pues, que todo \(y\in\mathbb R\) es imagen de al menos un \(x\in\mathbb R\). Por tanto, \(f\) es suprayectiva.

Para mostrar, en cambio, que una función no es suprayectiva, basta con encontrar al menos un elemento del codominio que no se alcance.

En símbolos, hay que encontrar un elemento \(y\in B\) tal que la ecuación

\[ f(x)=y \]

no tenga soluciones \(x\in A\).

Por ejemplo, consideremos la función

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]

Esta función no es suprayectiva. En efecto, el codominio es \(\mathbb R\), pero para todo \(x\in\mathbb R\) se tiene

\[ x^2\ge 0, \]

de modo que

\[ x^2+1\ge 1. \]

En consecuencia, la función no toma valores menores que \(1\). Por ejemplo, \(0\in\mathbb R\) pertenece al codominio, pero no existe ningún \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ x^2+1=0. \]

Por tanto, \(g\) no es suprayectiva.

No obstante, la misma ley puede llegar a ser suprayectiva si se elige un codominio distinto. Consideremos, en efecto,

\[ h:\mathbb R\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]

Demostremos que \(h\) es suprayectiva. Sea \(y\in[1,+\infty)\). Entonces \(y\ge 1\), de modo que

\[ y-1\ge 0. \]

Podemos, pues, elegir

\[ x=\sqrt{y-1}. \]

Se tiene \(x\in\mathbb R\) y

\[ h(x)=h(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]

Por tanto, todo elemento del codominio \([1,+\infty)\) es alcanzado por la función. Así pues, \(h\) es suprayectiva.

Este ejemplo confirma que la suprayectividad no es una propiedad de la ley por sí sola, sino de la función en su conjunto. Para determinar si una función es suprayectiva, siempre hay que considerar conjuntamente el dominio, el codominio y la ley de asignación.

Funciones biyectivas y función inversa

Las funciones biyectivas son especialmente importantes porque permiten definir una función inversa.

Consideremos una función

\[ f:A\to B. \]

Decir que \(f\) es biyectiva significa que cada elemento \(y\in B\) es imagen de uno y solo un elemento \(x\in A\). En símbolos:

\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Esta propiedad permite invertir el sentido de la correspondencia. En efecto, si cada \(y\in B\) proviene de uno y solo un \(x\in A\), entonces podemos asociar a cada elemento \(y\in B\) aquel único elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\).

Se define así una nueva función

\[ f^{-1}:B\to A, \]

llamada función inversa de \(f\).

Por definición, la función inversa asocia a cada \(y\in B\) el único elemento \(x\in A\) tal que

\[ f(x)=y. \]

En símbolos:

\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]

La biyectividad es esencial para poder definir la inversa sobre todo el codominio \(B\).

• La suprayectividad garantiza que cada \(y\in B\) tenga al menos una preimagen en \(A\).
• La inyectividad garantiza que esta preimagen sea única.

Sin suprayectividad, existirían elementos del codominio no alcanzados por la función y, por tanto, la inversa no podría definirse sobre todo \(B\). Sin inyectividad, existirían elementos del codominio alcanzados por varios elementos del dominio y, por tanto, la inversa no sería una función.

Por ejemplo, consideremos la función

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Esta función es biyectiva. Para hallar su inversa, ponemos

\[ y=2x+1 \]

y resolvemos respecto de \(x\). Se obtiene

\[ y-1=2x \]

y, por tanto,

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Por tanto,

\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]

Designando de nuevo la variable independiente con \(x\), se escribe habitualmente

\[ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]

En este caso, la función inversa es

\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]

Verifiquemos ahora el significado de la inversa mediante la composición. Para todo \(x\in\mathbb R\),

\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=x. \]

Además, para todo \(x\in\mathbb R\),

\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-1}{2}\right)=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x. \]

Por tanto, componer una función biyectiva con su inversa devuelve el elemento de partida.

Consideremos, en cambio, la función

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Esta función no admite inversa de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\), porque no es biyectiva. En efecto, no es inyectiva, ya que

\[ g(-1)=g(1), \]

aunque \(-1\ne 1\). Además, no es suprayectiva sobre \(\mathbb R\), porque no toma valores negativos.

Si, en cambio, restringimos el dominio y el codominio y consideramos

\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

entonces \(h\) es biyectiva y admite función inversa. Para todo \(y\in[0,+\infty)\), el único \(x\in[0,+\infty)\) tal que

\[ x^2=y \]

es

\[ x=\sqrt y. \]

Por tanto,

\[ h^{-1}:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h^{-1}(x)=\sqrt x. \]

Este ejemplo muestra una vez más que la existencia de la función inversa no depende únicamente de la ley, sino de la función considerada en su totalidad: dominio, codominio y ley de asignación.

Ejemplos sobre funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Veamos algunos ejemplos en los que las propiedades de inyectividad, suprayectividad y biyectividad se determinan explícitamente. En todos los casos es importante considerar no solo la ley de la función, sino también el dominio y el codominio con los que está definida.

Ejemplo 1. Consideremos la función

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+3. \]

Demostremos que \(f\) es biyectiva.

Para comprobar la inyectividad, sean \(x_1,x_2\in\mathbb R\) y supongamos que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Entonces

\[ x_1+3=x_2+3. \]

Restando \(3\) en ambos miembros, obtenemos

\[ x_1=x_2. \]

Por tanto, \(f\) es inyectiva.

Para comprobar la suprayectividad, sea \(y\in\mathbb R\). Buscamos \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ f(x)=y. \]

Debemos, pues, resolver

\[ x+3=y, \]

de donde

\[ x=y-3. \]

Como \(y\in\mathbb R\), también \(y-3\in\mathbb R\). Eligiendo \(x=y-3\), se obtiene

\[ f(x)=f(y-3)=(y-3)+3=y. \]

Por tanto, \(f\) es suprayectiva.

Como \(f\) es a la vez inyectiva y suprayectiva, \(f\) es biyectiva.

Ejemplo 2. Consideremos la función

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

La función \(g\) no es inyectiva, porque dos elementos distintos del dominio pueden tener la misma imagen. En efecto

\[ -1\ne 1, \]

pero

\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]

y

\[ g(1)=1^2=1. \]

Por tanto, \(g(-1)=g(1)\), aunque \(-1\ne 1\). La función no es inyectiva.

Además, \(g\) no es suprayectiva de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\). En efecto, para todo \(x\in\mathbb R\) se tiene

\[ x^2\ge 0. \]

Por tanto, la función no toma valores negativos. Por ejemplo, no existe ningún \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ x^2=-1. \]

Por tanto, \(g\) no es suprayectiva.

Concluimos que \(g\) no es ni inyectiva ni suprayectiva; por tanto, no es biyectiva.

Ejemplo 3. Consideremos la función

\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2. \]

Respecto al ejemplo anterior, la ley y el dominio son los mismos, pero el codominio ha cambiado.

La función \(h\) no es inyectiva, porque

\[ h(-1)=h(1)=1, \]

aunque \(-1\ne 1\).

Sin embargo, \(h\) es suprayectiva. En efecto, sea \(y\in[0,+\infty)\). Entonces \(y\ge 0\), de modo que podemos elegir

\[ x=\sqrt y. \]

Se tiene \(x\in\mathbb R\) y

\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Por tanto, todo elemento del codominio \([0,+\infty)\) es alcanzado por la función.

Así pues, \(h\) es suprayectiva, pero no inyectiva. En consecuencia, no es biyectiva.

No obstante, la misma ley se vuelve inyectiva si se restringe el dominio a \([0,+\infty)\), porque sobre ese intervalo la función \(x^2\) es estrictamente creciente.

Ejemplo 4. Consideremos la función

\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^3. \]

Demostremos que \(p\) es biyectiva.

Para comprobar la inyectividad, sean \(x_1,x_2\in\mathbb R\) y supongamos que

\[ p(x_1)=p(x_2). \]

Entonces

\[ x_1^3=x_2^3. \]

Como la función cúbica es estrictamente creciente sobre \(\mathbb R\), de \(x_1^3=x_2^3\) se sigue necesariamente

\[ x_1=x_2. \]

Por tanto, \(p\) es inyectiva.

Para comprobar la suprayectividad, sea \(y\in\mathbb R\). Eligiendo

\[ x=\sqrt[3]{y}, \]

se tiene \(x\in\mathbb R\) y

\[ p(x)=p(\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{y})^3=y. \]

Por tanto, \(p\) es suprayectiva.

Como \(p\) es a la vez inyectiva y suprayectiva, \(p\) es biyectiva.

Ejemplo 5. Consideremos los conjuntos finitos

\[ A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b,c\} \]

y la función \(q:A\to B\) definida por

\[ q(1)=a,\qquad q(2)=b,\qquad q(3)=c. \]

La función \(q\) es inyectiva, porque elementos distintos de \(A\) tienen imágenes distintas en \(B\).

Además, \(q\) es suprayectiva, porque todo elemento del codominio \(B\) se alcanza:

\[ a=q(1),\qquad b=q(2),\qquad c=q(3). \]

Por tanto, \(q\) es biyectiva.

Este ejemplo ilustra de forma sencilla la idea de correspondencia uno a uno: a cada elemento del dominio le corresponde un elemento diferente del codominio, y cada elemento del codominio se alcanza exactamente una vez.

Ejemplo 6. Consideremos la función

\[ r:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad r(x)=e^x. \]

La función \(r\) es inyectiva, porque la función exponencial es estrictamente creciente sobre \(\mathbb R\).

Además, \(r\) es suprayectiva sobre el codominio \((0,+\infty)\). En efecto, si \(y\in(0,+\infty)\), entonces \(y>0\) y podemos elegir

\[ x=\log y. \]

Se tiene \(x\in\mathbb R\) y

\[ r(x)=r(\log y)=e^{\log y}=y. \]

Por tanto, \(r\) es biyectiva.

Su función inversa es

\[ r^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad r^{-1}(x)=\log x. \]

También en este caso la elección del codominio es esencial: si la exponencial se declarara como función de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\), no sería suprayectiva.

Errores comunes que conviene evitar

Resumamos algunos errores frecuentes en el estudio de las funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

• Confundir inyectividad y suprayectividad. La inyectividad concierne a que elementos distintos del dominio tengan imágenes distintas; la suprayectividad, en cambio, concierne a que todo elemento del codominio sea alcanzado.
• Pensar que la ley determina por sí sola estas propiedades. La misma ley puede definir funciones con propiedades distintas si cambian el dominio o el codominio.
• Establecer la suprayectividad sin mirar el codominio. Una función es suprayectiva si su imagen coincide con el codominio declarado, y no simplemente si toma «muchos» valores.
• Establecer la inyectividad mirando solo algunos valores. Para demostrar que una función es inyectiva hay que comprobar la propiedad para todos los elementos del dominio; para demostrar que no es inyectiva basta, en cambio, un solo contraejemplo.
• Pensar que una función biyectiva es solo una función invertible «a nivel de fórmula o ley». Una función es biyectiva cuando cada elemento del codominio es alcanzado por uno y solo un elemento del dominio. Solo en este caso existe una función inversa definida sobre todo el codominio.

Por ejemplo, una función puede tener una ley sencilla y aparentemente bien conocida, pero cambiar por completo de comportamiento si cambian el dominio o el codominio. Por este motivo, nunca se debe establecer la inyectividad, la suprayectividad o la biyectividad mirando únicamente la expresión de la función.

La inyectividad, la suprayectividad y la biyectividad deben estudiarse sobre la función completa, es decir, teniendo en cuenta el dominio, el codominio y la ley de correspondencia.

En conclusión, una función inyectiva no envía elementos distintos al mismo valor; una función suprayectiva alcanza todo el codominio; una función biyectiva cumple ambas condiciones y establece una correspondencia uno a uno entre dominio y codominio.