Una función es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia a cada elemento del primero (dominio) uno y solo un elemento del segundo (codominio).
En este artículo estudiaremos la definición formal de función, el significado de dominio, codominio e imagen, y las propiedades fundamentales de inyectividad, sobreyectividad, biyectividad, función inversa y restricción.
Índice
- Definición de Función
- Dominio, Codominio e Imagen
- Funciones Inyectivas
- Ejercicios sobre Funciones Inyectivas
- Funciones Sobreyectivas
- Ejercicios sobre Funciones Sobreyectivas
- Funciones Biyectivas
- Función Inversa
- Ejercicios sobre Funciones Biyectivas
- Restricción de una Función
- Ejercicios sobre la Restricción de Funciones
Definición de Función
Una función (o aplicación) es una regla que asocia a cada elemento de un conjunto \(X\) uno y solo un elemento de un conjunto \(Y\).
Se escribe:
\[ f:X\to Y, \]
donde \(X\) es el dominio e \(Y\) el codominio.
Si \(x\in X\), el valor asociado a \(x\) mediante la función se denota \(f(x)\) y recibe el nombre de imagen de \(x\).
La notación:
\[ x\mapsto f(x) \]
describe explícitamente la correspondencia definida por la función.
La propiedad fundamental de una función es la unicidad de la imagen: para cada elemento del dominio debe existir uno y solo un elemento del codominio asociado a él.
Por ejemplo:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2 \]
define una función, pues a cada número real le asocia un único número real.
Dominio, Codominio e Imagen
Dada una función:
\[ f:X\to Y, \]
el conjunto \(X\) recibe el nombre de dominio, mientras que \(Y\) es el codominio. El conjunto de los valores efectivamente alcanzados por la función se denomina imagen.
En símbolos:
\[ \operatorname{Im}(f)=f(X)=\{y\in Y \mid \exists x\in X:\ f(x)=y\}. \]
Se cumple siempre:
\[ \operatorname{Im}(f)\subseteq Y, \]
es decir, la imagen es un subconjunto del codominio.
Consideremos:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
En este caso el dominio y el codominio coinciden con \(\mathbb{R}\), mientras que:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty), \]
ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo.
Funciones Inyectivas
Una función:
\[ f:X\to Y \]
se dice inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas:
\[ x_1\neq x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\neq f(x_2). \]
De manera equivalente:
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Intuitivamente, una función inyectiva no «identifica» elementos distintos del dominio.
Consideremos:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Supongamos:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Entonces:
\[ 2x_1+1=2x_2+1 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
La función es por tanto inyectiva.
La función:
\[ f(x)=x^2 \]
no es inyectiva, puesto que:
\[ f(1)=f(-1)=1 \]
a pesar de que:
\[ 1\neq -1. \]
Desde el punto de vista gráfico, una función es inyectiva si toda recta horizontal corta a la gráfica en a lo sumo un punto. Este criterio se conoce como el criterio de la recta horizontal.
Ejercicios sobre Funciones Inyectivas
Ejercicio 1. Determina si:
\[ f(x)=2x+3 \]
es inyectiva en \(\mathbb{R}\).
Solución. Supongamos:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obtenemos:
\[ 2x_1+3=2x_2+3 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
La función es por tanto inyectiva.
Ejercicio 2. Determina si:
\[ f(x)=x^2 \]
es inyectiva en \(\mathbb{R}\).
Solución. Se tiene:
\[ f(2)=4 \qquad \text{y} \qquad f(-2)=4, \]
a pesar de que:
\[ 2\neq -2. \]
La función no es por tanto inyectiva.
Funciones Sobreyectivas
Una función:
\[ f:X\to Y \]
se dice sobreyectiva si todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio:
\[ \forall y\in Y, \quad \exists x\in X \quad \text{tal que} \quad f(x)=y. \]
De manera equivalente:
\[ \operatorname{Im}(f)=Y. \]
Intuitivamente, una función sobreyectiva «cubre» todo el codominio.
Consideremos:
\[ f(x)=2x+1. \]
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Resolviendo:
\[ 2x+1=y, \]
obtenemos:
\[ x=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{R}. \]
La función es por tanto sobreyectiva.
La función:
\[ f(x)=x^2 \]
no es sobreyectiva de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), puesto que:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Ejercicios sobre Funciones Sobreyectivas
Ejercicio 1. Determina si:
\[ f(x)=2x+3 \]
es sobreyectiva de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\).
Solución. Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Resolviendo:
\[ 2x+3=y, \]
obtenemos:
\[ x=\frac{y-3}{2}\in\mathbb{R}. \]
La función es por tanto sobreyectiva.
Ejercicio 2. Determina si:
\[ f(x)=x^2 \]
es sobreyectiva de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\).
Solución. No existe ningún:
\[ x\in\mathbb{R} \]
tal que:
\[ x^2=-1. \]
La función no es por tanto sobreyectiva.
Funciones Biyectivas
Una función:
\[ f:X\to Y \]
se dice biyectiva si es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva.
En una función biyectiva, todo elemento del codominio es imagen de exactamente un elemento del dominio.
Las funciones biyectivas establecen así una correspondencia perfecta entre dominio y codominio, y son exactamente las funciones que admiten función inversa.
La función:
\[ f(x)=2x+1 \]
es biyectiva de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), mientras que:
\[ f(x)=x^2 \]
no es biyectiva de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), pues no es ni inyectiva ni sobreyectiva.
Función Inversa
Sea:
\[ f:X\to Y. \]
Una función:
\[ g:Y\to X \]
se dice función inversa de \(f\) si:
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X \qquad \text{y} \qquad f\circ g=\operatorname{Id}_Y. \]
En tal caso:
\[ g=f^{-1}. \]
De manera equivalente:
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \forall x\in X, \]
y:
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \forall y\in Y. \]
Una función admite inversa si y solo si es biyectiva.
Inversa Izquierda e Inyectividad
Sea:
\[ f:X\to Y \]
una función inyectiva con:
\[ X\neq\varnothing. \]
Entonces existe una función:
\[ g:Y\to X \]
tal que:
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X. \]
Dicha función recibe el nombre de inversa izquierda.
Para cada:
\[ y\in f(X), \]
existe en efecto un único:
\[ x\in X \]
tal que:
\[ f(x)=y. \]
Para los elementos de:
\[ Y\setminus f(X), \]
el valor de la función puede definirse de manera arbitraria.
Inversa Derecha y Sobreyectividad
Sea:
\[ f:X\to Y \]
una función sobreyectiva.
Una función:
\[ h:Y\to X \]
tal que:
\[ f\circ h=\operatorname{Id}_Y \]
recibe el nombre de inversa derecha.
Para construir dicha función es necesario elegir, para cada:
\[ y\in Y, \]
un elemento:
\[ x\in X \]
tal que:
\[ f(x)=y. \]
En general, la existencia de tal función de elección para familias arbitrarias está relacionada con el Axioma de Elección.
Caso Biyectivo
Si una función es biyectiva, entonces existe una única inversa izquierda y una única inversa derecha.
Además, ambas coinciden y definen la función inversa:
\[ f^{-1}:Y\to X. \]
Consideremos:
\[ f(x)=2x+1. \]
Despejando \(x\) en:
\[ y=2x+1, \]
obtenemos:
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
La función inversa es por tanto:
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]
Ejercicios sobre Funciones Biyectivas
Ejercicio 1. Determina si:
\[ f(x)=3x-4 \]
es biyectiva de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\).
Solución. La función es inyectiva y sobreyectiva, luego es biyectiva.
Despejando \(x\) en:
\[ y=3x-4, \]
obtenemos:
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+4}{3}. \]
Ejercicio 2. Comprueba si:
\[ f(x)=x^2 \]
es biyectiva de:
\[ [0,+\infty) \]
en:
\[ [0,+\infty). \]
Solución. En dicho intervalo la función es inyectiva y todo número real no negativo posee una raíz cuadrada real no negativa. La función es por tanto biyectiva.
La función inversa es:
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]
Restricción de una Función
La restricción de una función consiste en limitar su dominio a un subconjunto.
Este procedimiento es útil con frecuencia para convertir una función en inyectiva o biyectiva.
Por ejemplo:
\[ f(x)=x^2 \]
no es inyectiva en \(\mathbb{R}\), pero la restricción:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2 \]
es biyectiva.
Cuando se restringe también el codominio con el fin de obtener una función sobreyectiva, se habla más precisamente de correstricción.
Ejercicios sobre la Restricción de Funciones
Ejercicio 1. Restringe el dominio de:
\[ f(x)=x^2 \]
de modo que la función resulte biyectiva.
Solución. Consideremos la restricción:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
En este caso la función es inyectiva y sobreyectiva, luego es biyectiva.
La función inversa es:
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]