Las funciones pares y las funciones impares se caracterizan por presentar determinadas propiedades de simetría. Una función par toma el mismo valor en dos puntos opuestos \(x\) y \(-x\), mientras que una función impar toma valores opuestos.
Desde el punto de vista geométrico, la gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de ordenadas, mientras que la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Estas simetrías simplifican el estudio de la gráfica y resultan especialmente útiles en el cálculo de integrales sobre intervalos simétricos.
No obstante, antes de definir formalmente las funciones pares e impares, conviene precisar un requisito fundamental: el dominio de la función debe ser simétrico respecto al origen. En efecto, para comparar \(f(x)\) con \(f(-x)\), ambos valores deben estar definidos.
Índice
- Dominio simétrico respecto al origen
- Funciones pares
- Significado geométrico de las funciones pares
- Funciones impares
- Significado geométrico de las funciones impares
- Funciones que no son ni pares ni impares
- Funciones que son a la vez pares e impares
- Suma de funciones pares e impares
- Producto de funciones pares e impares
- Integrales de funciones pares e impares sobre intervalos simétricos
- Descomposición en parte par y parte impar
- Unicidad de la descomposición
Dominio simétrico respecto al origen
Para hablar con propiedad de una función par o de una función impar, el dominio debe cumplir una propiedad preliminar: ha de ser simétrico respecto al origen.
Se dice que un conjunto \(X\subseteq\mathbb R\) es simétrico respecto al origen si, para cada elemento \(x\in X\), su opuesto \(-x\) también pertenece a \(X\). En símbolos:
\[ x\in X \implies -x\in X. \]
Esta condición significa que el dominio contiene siempre las parejas de puntos opuestos \(x\) y \(-x\).
Por ejemplo, los conjuntos
\[ \mathbb R, \qquad [-a,a], \qquad (-a,a), \qquad \mathbb R\setminus\{0\} \]
son simétricos respecto al origen.
Por el contrario, los conjuntos
\[ [0,+\infty), \qquad (0,+\infty), \qquad [1,3] \]
no son simétricos respecto al origen. Por ejemplo, \(1\in[0,+\infty)\), pero \(-1\notin[0,+\infty)\).
La simetría del dominio es esencial porque, para determinar si una función es par o impar, debemos comparar los valores \(f(x)\) y \(f(-x)\). Si \(x\) pertenece al dominio pero \(-x\) no, entonces \(f(-x)\) no está definido y la comparación carece de sentido.
Por consiguiente, una función solo puede ser par o impar si su dominio es simétrico respecto al origen.
Funciones pares
Sea \(f:X\to\mathbb R\) una función definida en un dominio \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico respecto al origen. Se dice que la función \(f\) es par si, para cada \(x\in X\), se cumple
\[ f(-x)=f(x). \]
Dicho de otro modo, una función es par si toma el mismo valor en dos puntos opuestos del dominio. La condición debe cumplirse para cada elemento del dominio.
La definición comprende, por tanto, dos aspectos distintos:
- el dominio debe ser simétrico respecto al origen;
- la función debe tomar el mismo valor en \(x\) y en \(-x\).
Si alguna de estas dos condiciones no se cumple, la función no es par.
Consideremos la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
El dominio es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen. Además, para cada \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x). \]
Por tanto, la función \(f(x)=x^2\) es par.
La función coseno también es par. En efecto, para cada \(x\in\mathbb R\) se cumple la identidad trigonométrica
\[ \cos(-x)=\cos x \]
Por tanto, la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\cos x \]
es par.
Otro ejemplo es el coseno hiperbólico. Recordando que
\[ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \]
obtenemos
\[ \cosh(-x)=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
Por tanto, \(f(x)=\cosh x\) es par.
Por último, consideremos la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^{-x^2}. \]
Para cada \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x). \]
Así pues, \(f(x)=e^{-x^2}\) también es una función par.
Significado geométrico de las funciones pares
La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de ordenadas.
En efecto, si \(f\) es par, entonces para cada \(x\) del dominio
\[ f(-x)=f(x). \]
Esto significa que los puntos de la gráfica correspondientes a \(x\) y a \(-x\) tienen la misma ordenada:
\[ (x,f(x)) \qquad \text{y} \qquad (-x,f(-x))=(-x,f(x)). \]
Los dos puntos son simétricos respecto al eje de ordenadas. Por consiguiente, toda la gráfica de la función es simétrica respecto al eje de ordenadas.
Esta propiedad es útil en el estudio de la gráfica: si una función es par, basta estudiarla para \(x\ge 0\). La parte de la gráfica correspondiente a \(x<0\) se obtiene después por simetría respecto al eje de ordenadas.
Funciones impares
Sea \(f:X\to\mathbb R\) una función definida en un dominio \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico respecto al origen. Se dice que la función \(f\) es impar si, para cada \(x\in X\), se cumple
\[ f(-x)=-f(x). \]
Dicho de otro modo, una función es impar si toma valores opuestos en dos puntos opuestos del dominio. También en este caso la condición debe cumplirse para cada elemento del dominio.
La definición exige, pues, dos aspectos distintos:
- el dominio debe ser simétrico respecto al origen;
- la función debe tomar valores opuestos en \(x\) y en \(-x\).
Si alguna de estas dos condiciones no se cumple, la función no es impar.
Consideremos la función seno:
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\operatorname{sen} x. \]
El dominio es \(\mathbb R\), por lo que es simétrico respecto al origen. Además, para cada \(x\in\mathbb R\) se cumple la identidad trigonométrica
\[ \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x \]
Por tanto, la función \(f(x)=\operatorname{sen} x\) es impar.
Otro ejemplo fundamental es la función cúbica:
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3. \]
Para cada \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x). \]
Por tanto, la función \(f(x)=x^3\) es impar.
Muchas otras funciones elementales también son impares; por ejemplo,
\[ f(x)=x,\qquad f(x)=x^5,\qquad f(x)=\operatorname{tg} x, \]
cada una considerada en su dominio natural. En todos los casos, la comprobación consiste siempre en calcular \(f(-x)\) y verificar si coincide con \(-f(x)\).
Significado geométrico de las funciones impares
La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen.
En efecto, si \(f\) es impar, entonces para cada \(x\) del dominio
\[ f(-x)=-f(x). \]
Por tanto, si el punto
\[ (x,f(x)) \]
pertenece a la gráfica de la función, entonces también pertenece a ella el punto
\[ (-x,f(-x))=(-x,-f(x)). \]
Los puntos \((x,f(x))\) y \((-x,-f(x))\) son simétricos respecto al origen. Por consiguiente, toda la gráfica de la función es simétrica respecto al origen.
De forma equivalente, al girar la gráfica de una función impar \(180^\circ\) en torno al origen se obtiene de nuevo la misma gráfica.
Esta propiedad es útil en el estudio de la gráfica: si una función es impar, basta estudiarla para \(x\ge 0\). La parte de la gráfica correspondiente a \(x<0\) se obtiene después por simetría respecto al origen.
Funciones que no son ni pares ni impares
Una función puede no ser ni par ni impar. Esto puede ocurrir por dos motivos distintos.
El primer motivo atañe al dominio: si el dominio no es simétrico respecto al origen, la función no puede clasificarse como par o impar según las definiciones dadas. En efecto, puede ocurrir que \(x\) pertenezca al dominio mientras que \(-x\) no, de modo que el valor \(f(-x)\) no esté definido.
Por ejemplo, la función
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
no se considera par cuando está definida en \([0,+\infty)\), porque su dominio no es simétrico respecto al origen.
El segundo motivo atañe a la propia ley de la función. Aun cuando el dominio sea simétrico respecto al origen, puede ocurrir que no se cumpla ni
\[ f(-x)=f(x) \]
ni
\[ f(-x)=-f(x). \]
En este caso la función no es ni par ni impar.
Consideremos, por ejemplo, la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
El dominio es \(\mathbb R\), por lo que es simétrico respecto al origen. Sin embargo, para cada \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
En general, \(e^{-x}\ne e^x\), de modo que la función no es par. Además, en general \(e^{-x}\ne -e^x\), de modo que la función no es impar.
Por tanto, \(f(x)=e^x\) no es ni par ni impar.
La función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1 \]
tampoco es ni par ni impar. En efecto,
\[ f(-x)=-x+1. \]
En general, \(-x+1\ne x+1\), de modo que la función no es par; además, \(-x+1\ne -(x+1)\), de modo que la función no es impar.
Funciones que son a la vez pares e impares
Una función real definida en un dominio simétrico respecto al origen puede ser a la vez par e impar en un único caso particular: cuando es idénticamente nula en su dominio.
Sea \(f:X\to\mathbb R\) una función definida en un dominio \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico respecto al origen. Si \(f\) es a la vez par e impar, entonces para cada \(x\in X\) se cumplen simultáneamente las dos relaciones
\[ f(-x)=f(x) \]
y
\[ f(-x)=-f(x). \]
Comparando las dos igualdades, obtenemos
\[ f(x)=-f(x). \]
Por tanto,
\[ 2f(x)=0, \]
y, por consiguiente,
\[ f(x)=0. \]
Como esto vale para cada \(x\in X\), la función es idénticamente nula:
\[ f\equiv 0. \]
Recíprocamente, la función nula es a la vez par e impar. En efecto, si \(f(x)=0\) para cada \(x\in X\), entonces
\[ f(-x)=0=f(x) \]
y también
\[ f(-x)=0=-0=-f(x). \]
Por tanto, en un dominio simétrico respecto al origen, las únicas funciones reales que son a la vez pares e impares son las funciones idénticamente nulas.
Suma de funciones pares e impares
El carácter par o impar de una función se comporta de manera sencilla con respecto a la suma de funciones.
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones reales definidas en dominios simétricos \(D_f\) y \(D_g\), respectivamente. La suma \(f+g\) está definida en el dominio común
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Como \(D_f\) y \(D_g\) son simétricos respecto al origen, también lo es \(D\).
Si \(f\) y \(g\) son ambas pares, entonces para cada \(x\in D\)
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x). \]
Por tanto, la suma de dos funciones pares es de nuevo una función par.
Si, en cambio, \(f\) y \(g\) son ambas impares, entonces para cada \(x\in D\)
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x)). \]
Como
\[ -(f(x)+g(x))=-(f+g)(x), \]
obtenemos
\[ (f+g)(-x)=-(f+g)(x). \]
Por tanto, la suma de dos funciones impares es de nuevo una función impar.
La suma de una función par y una función impar, en cambio, no es en general ni par ni impar. Por ejemplo,
\[ f(x)=x^2+x \]
es la suma de la función par \(x^2\) y de la función impar \(x\), pero no es ni par ni impar.
Producto de funciones pares e impares
El producto de funciones pares e impares obedece asimismo a reglas precisas.
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones reales definidas en dominios simétricos \(D_f\) y \(D_g\). El producto \(fg\) está definido en el dominio común
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Si \(f\) y \(g\) son ambas pares, entonces para cada \(x\in D\)
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Por tanto, el producto de dos funciones pares es par.
Si \(f\) y \(g\) son ambas impares, entonces
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Por tanto, el producto de dos funciones impares es par.
Por último, si \(f\) es par y \(g\) es impar, entonces
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-f(x)g(x)=-(fg)(x). \]
Por tanto, el producto de una función par y una función impar es impar.
En resumen:
\[ \text{par}\cdot\text{par}=\text{par}, \qquad \text{impar}\cdot\text{impar}=\text{par}, \qquad \text{par}\cdot\text{impar}=\text{impar}. \]
Integrales de funciones pares e impares sobre intervalos simétricos
Las funciones pares e impares resultan especialmente útiles en el cálculo de integrales definidas sobre intervalos simétricos respecto al origen.
Sea \(a>0\) y sea \(f\) una función integrable en \([-a,a]\).
Si \(f\) es par, entonces
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
En efecto, podemos escribir
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx. \]
En la primera integral hacemos el cambio \(x=-t\). Cuando \(x=-a\), entonces \(t=a\); cuando \(x=0\), entonces \(t=0\). Además, \(dx=-dt\). Por tanto,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_a^0 f(-t)(-dt) = \int_0^a f(-t)\,dt. \]
Como \(f\) es par, \(f(-t)=f(t)\). Por tanto,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(t)\,dt. \]
Sumando las dos contribuciones, obtenemos
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Si, en cambio, \(f\) es impar, entonces
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0. \]
En efecto, procediendo como antes,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(-t)\,dt. \]
Como \(f\) es impar, \(f(-t)=-f(t)\). Por tanto,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=-\int_0^a f(t)\,dt. \]
Por consiguiente,
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx=0. \]
Geométricamente, en el caso de una función impar las áreas orientadas en las dos mitades del intervalo se compensan. En el caso de una función par, por el contrario, las dos contribuciones son iguales.
Descomposición en parte par y parte impar
Toda función real definida en un dominio simétrico respecto al origen puede escribirse como suma de una función par y una función impar.
Sea, pues,
\[ f:X\to\mathbb R \]
una función definida en un conjunto \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico respecto al origen.
Definimos la función
\[ f_p:X\to\mathbb R,\qquad f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Esta función se denomina parte par de \(f\).
Definimos además
\[ f_i:X\to\mathbb R,\qquad f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Esta función se denomina parte impar de \(f\).
Comprobemos que \(f_p\) es par. Para cada \(x\in X\), usando la definición de \(f_p\), obtenemos
\[ f_p(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = f_p(x). \]
Por tanto, \(f_p\) es par.
Comprobemos ahora que \(f_i\) es impar. Para cada \(x\in X\),
\[ f_i(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = -\frac{f(x)-f(-x)}{2} = -f_i(x). \]
Por tanto, \(f_i\) es impar.
Por último, sumando \(f_p(x)\) y \(f_i(x)\), obtenemos
\[ f_p(x)+f_i(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} = f(x). \]
Por tanto,
\[ f=f_p+f_i. \]
Así pues, toda función real definida en un dominio simétrico puede descomponerse como suma de su parte par y su parte impar:
\[ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Ejemplo. Consideremos la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
La parte par de \(f\) es
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
La parte impar de \(f\) es
\[ f_i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x. \]
Por consiguiente,
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Unicidad de la descomposición
La descomposición de una función como suma de una función par y una función impar es única.
Sea \(f:X\to\mathbb R\) una función definida en un dominio \(X\subseteq\mathbb R\) simétrico respecto al origen. Supongamos que \(f\) puede escribirse de dos maneras como suma de una función par y una función impar:
\[ f=u+v=\tilde u+\tilde v, \]
donde \(u\) y \(\tilde u\) son funciones pares, mientras que \(v\) y \(\tilde v\) son funciones impares.
De la igualdad
\[ u+v=\tilde u+\tilde v \]
obtenemos
\[ u-\tilde u=\tilde v-v. \]
Denotemos por
\[ h=u-\tilde u=\tilde v-v. \]
Como \(u\) y \(\tilde u\) son pares, la diferencia \(u-\tilde u\) es par. Por tanto, \(h\) es par.
Como \(\tilde v\) y \(v\) son impares, la diferencia \(\tilde v-v\) es impar. Por tanto, \(h\) es impar.
La función \(h\) es, por tanto, a la vez par e impar. Así, para cada \(x\in X\),
\[ h(-x)=h(x) \]
y
\[ h(-x)=-h(x). \]
Comparando las dos igualdades, obtenemos
\[ h(x)=-h(x). \]
Por tanto,
\[ 2h(x)=0, \]
y, por consiguiente,
\[ h(x)=0 \]
para cada \(x\in X\). Así pues, \(h\) es la función idénticamente nula.
De
\[ h=u-\tilde u \]
se sigue que
\[ u=\tilde u. \]
De
\[ h=\tilde v-v \]
se sigue que
\[ v=\tilde v. \]
Las dos descomposiciones coinciden. Por tanto, la descomposición de \(f\) como suma de una función par y una función impar es única.