Intuitivamente, un conjunto puede concebirse como una colección de objetos bien determinados, llamados elementos. En un tratamiento elemental, esto significa que ha de quedar claro, sin ambigüedad, si un objeto pertenece o no pertenece al conjunto.
Cuando los elementos considerados son números, se habla de conjunto numérico. Entre los conjuntos numéricos fundamentales se encuentran los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números reales. Los números irracionales constituyen, en cambio, la parte de los números reales que no pertenece a los racionales.
Su introducción obedece a un criterio preciso: cada ampliación permite resolver problemas que, en el conjunto anterior, no siempre tienen solución. Los números naturales permiten contar; los números enteros hacen posible la resta sin salir del conjunto; los números racionales permiten representar razones entre enteros; los números reales reúnen en un único conjunto los números racionales y los números irracionales.
Los conjuntos numéricos fundamentales están enlazados por la siguiente cadena de inclusiones:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Esta relación significa que todo número natural es también un número entero, todo número entero es también un número racional y todo número racional es también un número real. Estudiar los conjuntos numéricos consiste, por tanto, en comprender cómo están organizados los números, qué propiedades poseen y qué operaciones son posibles en cada conjunto.
Índice
- Por qué se introducen nuevos conjuntos numéricos
- Los números naturales \(\mathbb{N}\)
- Los números enteros \(\mathbb{Z}\)
- Los números racionales \(\mathbb{Q}\)
- Los números irracionales
- Los números reales \(\mathbb{R}\)
- Relaciones entre los conjuntos numéricos
- Representación decimal de los números reales
- Esquema resumen
Por qué se introducen nuevos conjuntos numéricos
Para comprender el papel de los conjuntos numéricos no basta con enumerarlos: es necesario captar qué necesidad matemática conduce a su introducción. La cuestión central es que un conjunto puede ser apto para ciertas operaciones, pero no para otras.
Una propiedad importante es el cierre respecto de una operación. Un conjunto numérico es cerrado respecto de una operación dada si, al aplicar esa operación a elementos del conjunto, el resultado sigue perteneciendo al mismo conjunto.
Por ejemplo, los números naturales son cerrados respecto de la suma y la multiplicación. En efecto,
\[ 3+5=8 \]
y
\[ 3\cdot 5=15. \]
En ambos casos el resultado es de nuevo un número natural.
La resta, en cambio, no siempre es posible permaneciendo en los números naturales. En efecto,
\[ 3-5=-2, \]
pero \(-2\) no pertenece a \(\mathbb{N}\). Para hacer posible la resta de manera más general se introducen entonces los números enteros.
Los números enteros permiten efectuar sumas, restas y multiplicaciones sin salir del conjunto, pero no son cerrados respecto de la división. Por ejemplo, la ecuación
\[ 2x=1 \]
no tiene solución entera, pues su solución es
\[ x=\frac{1}{2}. \]
Para representar razones de este tipo se introducen los números racionales, es decir, los números que pueden escribirse como fracción de dos enteros con denominador distinto de cero.
Sin embargo, tampoco los números racionales describen todas las magnitudes matemáticas. La diagonal de un cuadrado de lado \(1\), por ejemplo, mide \(\sqrt{2}\), y este número no puede escribirse como razón de dos enteros. Para incluir también magnitudes de este tipo se pasa al conjunto de los números reales.
El recorrido fundamental es, por tanto,
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Cada ampliación contiene a la anterior y permite abordar problemas que antes no siempre tenían solución. Por ello los conjuntos numéricos deben estudiarse de manera progresiva: cada uno surge de una necesidad precisa y posee propiedades propias.
Los números naturales \(\mathbb{N}\)
Los números naturales son los números empleados para contar y ordenar. Sirven, por ejemplo, para indicar cuántas unidades contiene una determinada cantidad o qué posición ocupa un elemento en una sucesión ordenada.
Adoptamos el convenio según el cual el cero pertenece al conjunto de los números naturales:
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
Si se quieren indicar únicamente los números naturales positivos, es decir, sin el cero, puede usarse la notación
\[ \mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,\dots\}. \]
El conjunto de los números naturales es infinito y ordenado. En efecto, sus elementos pueden disponerse según el orden natural
\[ 0<1<2<3<\dots \]
y, dado un número natural \(n\), el número \(n+1\) es de nuevo un número natural. El número \(n+1\) se llama sucesor de \(n\).
Los números naturales son cerrados respecto de la suma y la multiplicación. Esto significa que, si \(a\) y \(b\) son números naturales, entonces también \(a+b\) y \(a\cdot b\) son números naturales:
\[ a,b\in\mathbb{N} \quad\Longrightarrow\quad a+b\in\mathbb{N} \quad\text{y}\quad a\cdot b\in\mathbb{N}. \]
Por ejemplo,
\[ 4+7=11 \quad\text{y}\quad 4\cdot 7=28. \]
En ambos casos el resultado pertenece de nuevo a \(\mathbb{N}\).
No todas las operaciones, sin embargo, son siempre posibles dentro de los números naturales. La resta puede conducir a un resultado que no pertenece a \(\mathbb{N}\). Por ejemplo,
\[ 3-5=-2. \]
Como \(-2\) no es un número natural, el conjunto \(\mathbb{N}\) no es cerrado respecto de la resta.
Esta observación pone de manifiesto la primera limitación de los números naturales: son aptos para representar cantidades enteras no negativas, pero no bastan cuando hace falta describir diferencias que pueden ser negativas. Por este motivo se introduce el conjunto de los números enteros.
Los números enteros \(\mathbb{Z}\)
Los números enteros surgen de la necesidad de efectuar restas que, en los números naturales, no siempre son posibles. Por ejemplo, la resta \(3-5\) no tiene un resultado perteneciente a \(\mathbb{N}\), pues da un número negativo.
El conjunto de los números enteros se denota por \(\mathbb{Z}\) y está formado por los números naturales y sus opuestos:
\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}. \]
Como todo número natural es también un número entero, se cumple la inclusión
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]
El conjunto \(\mathbb{Z}\) es infinito tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. En efecto, sus elementos pueden ordenarse del modo siguiente:
\[ \dots<-3<-2<-1<0<1<2<3<\dots \]
A diferencia de \(\mathbb{N}\), el conjunto de los números enteros no tiene elemento mínimo: dado cualquier número entero, siempre existe un número entero menor.
La propiedad fundamental de los números enteros es la existencia del opuesto. Si \(a\) es un número entero, también \(-a\) es un número entero, y se tiene
\[ a+(-a)=0. \]
Gracias a los opuestos, la resta entre números enteros siempre es posible. En efecto, restar un número equivale a sumar su opuesto:
\[ a-b=a+(-b). \]
Por ejemplo,
\[ 3-5=3+(-5)=-2. \]
El resultado pertenece a \(\mathbb{Z}\), de modo que el conjunto de los números enteros es cerrado respecto de la resta.
Además, los números enteros son también cerrados respecto de la suma y la multiplicación. Si \(a\) y \(b\) son números enteros, entonces
\[ a+b\in\mathbb{Z} \quad\text{y}\quad a\cdot b\in\mathbb{Z}. \]
Por ejemplo,
\[ (-4)+7=3 \quad\text{y}\quad (-4)\cdot 7=-28. \]
En ambos casos el resultado es de nuevo un número entero.
No obstante, los números enteros no son cerrados respecto de la división. Por ejemplo,
\[ 1:2=\frac{1}{2}, \]
pero \(\displaystyle \frac{1}{2}\) no es un número entero. De manera equivalente, la ecuación
\[ 2x=1 \]
no tiene solución en \(\mathbb{Z}\).
Esto muestra la limitación de los números enteros: permiten efectuar sumas, restas y multiplicaciones sin salir del conjunto, pero no bastan para representar todas las razones entre números. Por este motivo se introducen los números racionales.
Los números racionales \(\mathbb{Q}\)
Los números racionales surgen de la necesidad de representar razones entre números enteros. En efecto, aunque en los números enteros siempre son posibles la suma, la resta y la multiplicación, la división no siempre produce un número entero.
Por ejemplo, la ecuación
\[ 2x=1 \]
no tiene solución en \(\mathbb{Z}\), pues su solución es
\[ x=\frac{1}{2}. \]
Para incluir números de este tipo se introduce el conjunto de los números racionales, denotado por \(\mathbb{Q}\).
Un número es racional si puede escribirse como razón de dos números enteros, con denominador distinto de cero. En símbolos,
\[ \mathbb{Q}= \left\{ \frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq 0 \right\}. \]
La condición \(q\neq 0\) es necesaria porque la división por cero no está definida.
Son números racionales, por ejemplo,
\[ \frac{1}{2}, \qquad -\frac{3}{5}, \qquad \frac{7}{4}, \qquad 0. \]
También todo número entero es racional, pues puede escribirse como fracción con denominador igual a \(1\). Por ejemplo,
\[ 5=\frac{5}{1}, \qquad -3=\frac{-3}{1}, \qquad 0=\frac{0}{1}. \]
En consecuencia, se cumple la inclusión
\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]
Un mismo número racional puede representarse mediante fracciones distintas. Por ejemplo,
\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}. \]
Estas fracciones son distintas, pero representan el mismo número racional. En general, al multiplicar numerador y denominador por un mismo entero no nulo, o al dividir ambos por un mismo divisor común no nulo, el número racional representado no cambia.
El conjunto de los números racionales es cerrado respecto de la suma, la resta y la multiplicación. Además es cerrado respecto de la división, siempre que el divisor sea distinto de cero. Si \(a,b\in\mathbb{Q}\) y \(b\neq 0\), entonces
\[ a+b\in\mathbb{Q}, \qquad a-b\in\mathbb{Q}, \qquad a\cdot b\in\mathbb{Q}, \qquad \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}. \]
Por ejemplo,
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} \]
y
\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}. \]
En ambos casos el resultado es de nuevo un número racional.
Sin embargo, los números racionales no bastan para representar todas las magnitudes que aparecen en matemáticas. Existen, en efecto, números que no pueden escribirse como razón de dos enteros. Un ejemplo fundamental es \(\sqrt{2}\), que representa la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado \(1\).
Esto muestra la limitación de los números racionales: permiten representar todas las razones entre enteros, pero no todas las magnitudes geométricas y numéricas. Para describir estos nuevos números es preciso introducir los números irracionales.
Los números irracionales
Los números racionales permiten representar todas las razones entre números enteros, pero no agotan todos los números que aparecen en matemáticas. Existen, en efecto, magnitudes que no pueden expresarse mediante una fracción con numerador y denominador enteros.
Un ejemplo fundamental viene dado por \(\sqrt{2}\). Este número representa la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado \(1\). En efecto, por el teorema de Pitágoras, si \(d\) denota la diagonal, entonces
\[ d^2=1^2+1^2=2, \]
de donde
\[ d=\sqrt{2}. \]
El número \(\sqrt{2}\), sin embargo, no es racional. Lo demostramos mediante una demostración por reducción al absurdo.
Supongamos que \(\sqrt{2}\) fuera racional. Entonces existirían dos números enteros \(p\) y \(q\), con \(q\neq 0\), tales que
\[ \sqrt{2}=\frac{p}{q}. \]
Podemos suponer, además, que la fracción es irreducible, es decir, que \(p\) y \(q\) no tienen divisores comunes distintos de \(1\) y \(-1\).
Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos
\[ 2=\frac{p^2}{q^2}, \]
de donde
\[ p^2=2q^2. \]
Por tanto \(p^2\) es par. Como el cuadrado de un entero impar es impar, también \(p\) ha de ser par. Existe entonces un entero \(k\) tal que
\[ p=2k. \]
Sustituyendo en la igualdad \(p^2=2q^2\), se obtiene
\[ (2k)^2=2q^2, \]
es decir,
\[ 4k^2=2q^2. \]
Dividiendo por \(2\), se sigue que
\[ q^2=2k^2. \]
Por consiguiente \(q^2\) es par. De nuevo, como el cuadrado de un entero impar es impar, también \(q\) ha de ser par.
Hemos obtenido así que \(p\) y \(q\) son ambos pares. Esto es imposible, porque habíamos elegido la fracción \(\displaystyle \frac{p}{q}\) irreducible. La contradicción muestra que \(\sqrt{2}\) no es racional:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. \]
Los números como \(\sqrt{2}\), es decir, los números que no pueden escribirse como razón de dos enteros, se llaman números irracionales.
En el contexto de los números reales, el conjunto de los números irracionales se denota por
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]
Son números irracionales, por ejemplo,
\[ \sqrt{2}, \qquad \sqrt{3}, \qquad \pi. \]
Los números irracionales muestran que los números racionales no son suficientes para describir todas las magnitudes geométricas y numéricas. Por este motivo es necesario considerar un conjunto más amplio, capaz de contener tanto los números racionales como los irracionales: el conjunto de los números reales.
Los números reales \(\mathbb{R}\)
El conjunto de los números reales contiene todos los números racionales y todos los números irracionales. Se denota con el símbolo \(\mathbb{R}\).
En particular, todo número racional es también real, de modo que
\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Son, en cambio, reales pero no racionales números como
\[ \sqrt{2},\qquad \sqrt{3},\qquad \pi. \]
Podemos, pues, distinguir los números reales en dos clases:
- los números racionales, que pueden escribirse como fracción de dos enteros con denominador distinto de cero;
- los números irracionales, que no pueden escribirse de esta forma.
En símbolos, el conjunto de los números irracionales se denota por
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]
Por tanto, los números reales están formados por la unión de los números racionales y los números irracionales:
\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]
Además, un número real no puede ser a la vez racional e irracional. En efecto, los dos conjuntos no tienen elementos en común:
\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]
Los números reales pueden representarse sobre la recta numérica. Sobre esta recta se sitúan los números naturales, los enteros, los racionales y también los irracionales.
Por ejemplo, los números
\[ -2,\qquad 0,\qquad \frac{1}{2},\qquad \sqrt{2},\qquad 3 \]
son todos números reales y pueden ordenarse sobre la recta numérica.
El conjunto \(\mathbb{R}\) permite, por tanto, trabajar en un único ámbito con números enteros, fracciones, números decimales finitos, números decimales periódicos y números decimales infinitos no periódicos.
En este sentido, los números reales constituyen el conjunto numérico más amplio de entre los estudiados en esta introducción:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Relaciones entre los conjuntos numéricos
Tras haber introducido los principales conjuntos numéricos, podemos describir con mayor precisión las relaciones que los conectan.
Decir que un conjunto está contenido en otro significa que todo elemento del primer conjunto es también elemento del segundo. Por ejemplo, todo número natural es también un número entero; por tanto, el conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]
Del mismo modo, todo número entero es también un número racional, pues puede escribirse como fracción con denominador \(1\). En efecto, si \(n\in\mathbb{Z}\), entonces
\[ n=\frac{n}{1}. \]
Por ello se cumple la inclusión
\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]
Por último, todo número racional es también un número real, de modo que
\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Reuniendo estas relaciones, obtenemos la cadena fundamental de los conjuntos numéricos:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Esta cadena ha de leerse de izquierda a derecha: al pasar de un conjunto al siguiente, no se pierden los números ya introducidos, sino que se añaden otros nuevos.
Por ejemplo:
- \(5\) es un número natural, de modo que es también entero, racional y real;
- \(-3\) es un número entero, de modo que es también racional y real, pero no es natural;
- \(\displaystyle \frac{2}{5}\) es un número racional y real, pero no es entero;
- \(\sqrt{2}\) es un número real, pero no es racional.
Los números irracionales merecen una atención particular. No forman un conjunto situado entre \(\mathbb{Q}\) y \(\mathbb{R}\), sino que constituyen la parte de los números reales que no pertenece a \(\mathbb{Q}\).
En símbolos, el conjunto de los números irracionales es
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]
Todo número real es, por tanto, racional o irracional. Las dos posibilidades se excluyen mutuamente:
\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]
Además, su unión devuelve todo el conjunto de los números reales:
\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]
En conclusión, los conjuntos numéricos no están separados entre sí de manera independiente: están organizados según relaciones de inclusión. Comprender estas relaciones permite determinar con precisión a qué conjuntos pertenece un número y qué propiedades pueden emplearse al trabajar con él.
Representación decimal de los números reales
Todo número real puede escribirse en forma decimal. La representación decimal describe un número mediante una parte entera y una parte decimal, separadas por la coma.
Por ejemplo,
\[ \frac{1}{2}=0{,}5, \qquad \frac{1}{4}=0{,}25, \qquad \frac{1}{3}=0{,}333\dots \]
La forma decimal permite distinguir de manera sencilla los números racionales de los números irracionales.
Números decimales finitos
Un número decimal se dice finito si, después de la coma, tiene un número finito de cifras. Por ejemplo,
\[ 0{,}5, \qquad 1{,}25, \qquad -3{,}75 \]
son números decimales finitos.
Todo número decimal finito es racional, pues puede escribirse como fracción con denominador una potencia de \(10\). En efecto,
\[ 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, \qquad 1{,}25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}. \]
Números decimales periódicos
Un número decimal se dice periódico si, a partir de un cierto punto, una cifra o un grupo de cifras se repite indefinidamente.
Por ejemplo,
\[ 0{,}333\dots \]
es periódico, pues la cifra \(3\) se repite sin fin. También
\[ 1{,}272727\dots \]
es periódico, pues el grupo de cifras \(27\) se repite indefinidamente.
Los números decimales periódicos son racionales. Por ejemplo,
\[ 0{,}333\dots=\frac{1}{3}, \qquad 1{,}272727\dots=\frac{14}{11}. \]
En general, un número es racional si y solo si su representación decimal es finita o periódica.
Números decimales infinitos no periódicos
Un número decimal se dice infinito no periódico si tiene infinitas cifras después de la coma y, a partir de ningún punto, su parte decimal se vuelve periódica.
Los números decimales infinitos no periódicos son irracionales. Por ejemplo,
\[ \sqrt{2}=1{,}414213562\dots \]
y
\[ \pi=3{,}141592653\dots \]
son números irracionales: su representación decimal no termina ni se vuelve periódica.
Podemos, pues, resumir la situación del modo siguiente:
- los números decimales finitos son racionales;
- los números decimales periódicos son racionales;
- los números decimales infinitos no periódicos son irracionales.
Esta distinción es muy útil para reconocer la naturaleza de un número. Por ejemplo,
\[ 0{,}75=\frac{3}{4} \]
es racional, mientras que
\[ \sqrt{3}=1{,}732050807\dots \]
es irracional.
Algunos números reales admiten dos representaciones decimales. Por ejemplo,
\[ 1=0{,}999\dots \]
Esta particularidad no cambia la clasificación anterior, pero muestra que la escritura decimal ha de interpretarse con atención.
Esquema resumen
Resumimos ahora las características principales de los conjuntos numéricos estudiados.
| Conjunto | Símbolo | Descripción | Ejemplos |
|---|---|---|---|
| Números naturales | \(\mathbb{N}\) | Números empleados para contar y ordenar | \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\dots\) |
| Números enteros | \(\mathbb{Z}\) | Números naturales y sus opuestos | \(\dots,-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\dots\) |
| Números racionales | \(\mathbb{Q}\) | Números expresables como razón de dos enteros, con denominador distinto de cero | \(\displaystyle \frac{1}{2},\ \displaystyle -\frac{3}{5},\ 4\) |
| Números irracionales | \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) | Números reales no expresables como razón de dos enteros | \(\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \pi\) |
| Números reales | \(\mathbb{R}\) | Números racionales y números irracionales | \(-2,\ 0,\ \displaystyle \frac{1}{2},\ \sqrt{2},\ \pi\) |
Las inclusiones fundamentales entre los conjuntos numéricos son:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Esto significa que todo número natural es también entero, todo número entero es también racional y todo número racional es también real.
Los números irracionales, en cambio, no pertenecen a \(\mathbb{Q}\), pero pertenecen a \(\mathbb{R}\). En símbolos:
\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) \quad\text{y}\quad \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]
Los conjuntos numéricos permiten, por tanto, organizar los números de manera progresiva. Cada ampliación conserva los números ya introducidos y hace posible representar nuevas cantidades o efectuar operaciones que antes no siempre eran posibles.