El logaritmo surge como operación inversa de la potenciación. Si una potencia permite determinar el resultado conociendo la base y el exponente, el logaritmo permite determinar el exponente conociendo la base y el resultado.
Más precisamente, dada una base \(b>0\), con \(b\neq 1\), y un número \(x>0\), el logaritmo de \(x\) en base \(b\), denotado por \(\log_b(x)\), es el exponente al que hay que elevar \(b\) para obtener \(x\). En símbolos,
\[ \log_b(x)=y \iff b^y=x. \]
A partir de esta definición demostraremos las principales propiedades de los logaritmos, que permiten transformar productos, cocientes y potencias en expresiones más sencillas. Veremos además las identidades fundamentales que relacionan logaritmos y exponenciales, junto con la fórmula del cambio de base.
Índice
- Definición de logaritmo
- Identidades fundamentales y valores notables
- Logaritmo de un producto
- Logaritmo de un cociente
- Logaritmo de una potencia
- Fórmula del cambio de base
Definición de logaritmo
Sean \(b\) y \(x\) dos números reales tales que
\[ b>0,\qquad b\neq 1,\qquad x>0. \]
Puesto que la función exponencial \(y\mapsto b^y\) es estrictamente monótona y toma todos los valores reales positivos, para cada \(x>0\) existe un único número real \(y\) tal que
\[ b^y=x. \]
Este número se denomina logaritmo de \(x\) en base \(b\). En símbolos,
\[ \log_b(x)=y \iff b^y=x. \]
La base del logaritmo debe ser positiva y distinta de \(1\), mientras que su argumento debe ser estrictamente positivo.
La condición \(b>0\) garantiza que la potencia \(b^y\) esté definida para todo exponente real \(y\). La condición \(b\neq 1\) es necesaria porque
\[ 1^y=1 \]
para todo \(y\in\mathbb{R}\). Por tanto, cuando \(b=1\), ningún exponente produce un número positivo distinto de \(1\), mientras que todo exponente real produce \(1\). En consecuencia, el logaritmo no puede definirse como operación inversa.
Además, dado que
\[ b^y>0 \]
para todo \(y\in\mathbb{R}\), el logaritmo está definido únicamente para argumentos positivos.
Por ejemplo,
\[ \log_2(8)=3, \]
porque
\[ 2^3=8. \]
Análogamente,
\[ \log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2, \]
porque
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
El logaritmo puede, por tanto, tomar valores positivos, nulos o negativos, mientras que su argumento debe ser siempre positivo.
Identidades fundamentales y valores notables
Puesto que el logaritmo y la potenciación son operaciones inversas, se verifican las identidades fundamentales
\[ b^{\log_b(x)}=x, \qquad x>0, \]
y
\[ \log_b(b^y)=y, \qquad y\in\mathbb{R}, \]
donde \(b>0\) y \(b\neq 1\).
La primera identidad se sigue inmediatamente de la definición de logaritmo: \(\log_b(x)\) es, por definición, el exponente al que hay que elevar \(b\) para obtener \(x\).
La segunda expresa la misma relación en sentido inverso: el logaritmo en base \(b\) de la potencia \(b^y\) es igual al exponente \(y\).
De la definición se obtienen también dos valores notables importantes:
\[ \log_b(1)=0 \]
porque
\[ b^0=1, \]
y
\[ \log_b(b)=1 \]
porque
\[ b^1=b. \]
Por ejemplo,
\[ 5^{\log_5(12)}=12 \]
y
\[ \log_2(2^{-3})=-3. \]
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Si
\[ x>0,\qquad y>0, \]
entonces
\[ \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y), \]
donde \(b>0\) y \(b\neq 1\).
Demostración. Sean
\[ u=\log_b(x) \qquad\text{y}\qquad v=\log_b(y). \]
Por definición de logaritmo,
\[ x=b^u \qquad\text{y}\qquad y=b^v. \]
Multiplicando ambas igualdades, obtenemos
\[ xy=b^u\cdot b^v=b^{u+v}. \]
Tomando el logaritmo en base \(b\) en ambos miembros,
\[ \log_b(xy)=\log_b\left(b^{u+v}\right)=u+v. \]
Puesto que \(u=\log_b(x)\) y \(v=\log_b(y)\), se sigue que
\[ \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y). \]
Ejemplo. Calculemos
\[ \log_2(4\cdot 8). \]
Aplicando la propiedad del producto,
\[ \log_2(4\cdot 8)=\log_2(4)+\log_2(8)=2+3=5. \]
En efecto,
\[ 4\cdot 8=32 \qquad\text{y}\qquad \log_2(32)=5. \]
La propiedad se extiende a cualquier producto finito de factores positivos. Si \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geq 2\), y \(x_1,\ldots,x_n>0\), entonces
\[ \log_b(x_1x_2\cdots x_n)=\log_b(x_1)+\log_b(x_2)+\cdots+\log_b(x_n). \]
Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador. Si
\[ x>0,\qquad y>0, \]
entonces
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y), \]
donde \(b>0\) y \(b\neq 1\).
Demostración. Sean
\[ u=\log_b(x) \qquad\text{y}\qquad v=\log_b(y). \]
Por definición de logaritmo,
\[ x=b^u \qquad\text{y}\qquad y=b^v. \]
Dividiendo la primera igualdad por la segunda, obtenemos
\[ \frac{x}{y}=\frac{b^u}{b^v}=b^{u-v}. \]
Tomando el logaritmo en base \(b\) en ambos miembros,
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b\left(b^{u-v}\right) = u-v. \]
Puesto que \(u=\log_b(x)\) y \(v=\log_b(y)\), se sigue que
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y). \]
Ejemplo. Calculemos
\[ \log_3\left(\frac{81}{9}\right). \]
Aplicando la propiedad del cociente,
\[ \log_3\left(\frac{81}{9}\right) = \log_3(81)-\log_3(9) = 4-2 = 2. \]
En efecto,
\[ \frac{81}{9}=9 \qquad\text{y}\qquad \log_3(9)=2. \]
Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia. Si
\[ x>0 \]
y \(\alpha\in\mathbb{R}\), entonces
\[ \log_b(x^\alpha)=\alpha\log_b(x), \]
donde \(b>0\) y \(b\neq 1\).
Demostración. Sea
\[ u=\log_b(x). \]
Por definición de logaritmo,
\[ x=b^u. \]
Elevando ambos miembros a la potencia \(\alpha\), obtenemos
\[ x^\alpha=(b^u)^\alpha=b^{\alpha u}. \]
Tomando el logaritmo en base \(b\) en ambos miembros,
\[ \log_b(x^\alpha) = \log_b\left(b^{\alpha u}\right) = \alpha u. \]
Puesto que \(u=\log_b(x)\), se sigue que
\[ \log_b(x^\alpha)=\alpha\log_b(x). \]
Ejemplo. Calculemos
\[ \log_2(8^4). \]
Aplicando la propiedad de la potencia,
\[ \log_2(8^4)=4\log_2(8)=4\cdot 3=12. \]
En efecto,
\[ 8^4=(2^3)^4=2^{12}, \]
y por tanto
\[ \log_2(8^4)=12. \]
Un caso particular importante se obtiene tomando \(\alpha=-1\):
\[ \log_b\left(\frac{1}{x}\right) = \log_b(x^{-1}) = -\log_b(x), \qquad x>0. \]
Análogamente, tomando \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{n}\), con \(n\in\mathbb{N}\) y \(n\geq 2\), obtenemos
\[ \log_b\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{1}{n}\log_b(x), \qquad x>0. \]
Fórmula del cambio de base
La fórmula del cambio de base permite expresar un logaritmo en una base dada mediante logaritmos calculados en otra base. Si
\[ x>0,\qquad b>0,\qquad b\neq 1,\qquad c>0,\qquad c\neq 1, \]
entonces
\[ \log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Demostración. Sea
\[ y=\log_b(x). \]
Por definición de logaritmo,
\[ b^y=x. \]
Tomando el logaritmo en base \(c\) en ambos miembros, obtenemos
\[ \log_c(b^y)=\log_c(x). \]
Por la propiedad de la potencia,
\[ y\log_c(b)=\log_c(x). \]
Puesto que \(b\neq 1\), se tiene \(\log_c(b)\neq 0\). Podemos entonces dividir ambos miembros por \(\log_c(b)\):
\[ y=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Recordando que \(y=\log_b(x)\), se sigue que
\[ \log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Logaritmos decimales y logaritmos naturales
Dos bases particularmente importantes son \(10\) y \(e\). El logaritmo en base \(10\) se denomina logaritmo decimal y, en la matemática elemental, suele denotarse por
\[ \log(x)=\log_{10}(x), \]
mientras que el logaritmo en base \(e\) se denomina logaritmo natural o logaritmo neperiano y se denota por
\[ \ln(x)=\log_e(x). \]
La fórmula del cambio de base permite entonces escribir
\[ \log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)} \]
o bien
\[ \log_b(x)=\frac{\log(x)}{\log(b)}. \]
Ejemplo. Expresemos \(\log_2(40)\) mediante el logaritmo natural:
\[ \log_2(40)=\frac{\ln(40)}{\ln(2)}. \]
Con una calculadora obtenemos
\[ \log_2(40)\approx 5{,}322. \]
Este valor está comprendido entre \(5\) y \(6\), tal como cabe esperar de la desigualdad
\[ 2^5=32<40<64=2^6. \]