Esta colección propone 20 ejercicios resueltos sobre monomios y polinomios, ordenados según una progresión que sigue paso a paso la teoría. Comenzaremos por el reconocimiento de los monomios y por su reducción a forma normal; estudiaremos después el coeficiente, la parte literal, el grado y las operaciones fundamentales. Pasaremos por último a la estructura de los polinomios, a su clasificación, a las operaciones y al cálculo del valor numérico.
Cada ejercicio va acompañado de una resolución completa, en la que se justifican las reglas empleadas y se precisan las condiciones necesarias para aplicarlas. El objetivo no es únicamente obtener el resultado correcto, sino comprender la estructura de las expresiones y el significado de cada paso.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la expresión
\[ 5x^2y^3 \]
es un monomio.
Resultado
Sí, la expresión es un monomio.
Resolución
Un monomio es una expresión algebraica constituida por el producto de un coeficiente numérico y, si las hay, de potencias de variables con exponentes enteros no negativos.
En la expresión
\[ 5x^2y^3 \]
el factor numérico es \(5\), mientras que la parte literal es
\[ x^2y^3. \]
La variable \(x\) aparece con exponente \(2\), mientras que la variable \(y\) aparece con exponente \(3\). Ambos exponentes son números enteros no negativos.
Además, las variables no aparecen en el denominador, bajo un radical ni en el exponente de otras potencias. La expresión posee, por tanto, exactamente la estructura que exige la definición de monomio.
En consecuencia,
\[ 5x^2y^3 \]
es un monomio de coeficiente \(5\) y parte literal \(x^2y^3\).
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la expresión
\[ \frac{3}{x} \]
es un monomio.
Resultado
No, la expresión no es un monomio.
Resolución
En un monomio las variables solo pueden aparecer como bases de potencias con exponentes enteros no negativos.
En la expresión
\[ \frac{3}{x} \]
la variable \(x\) aparece en el denominador. Para \(x\neq0\), la expresión puede reescribirse mediante un exponente negativo:
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
El exponente de \(x\) es, por tanto, \(-1\), que es un número entero negativo y no pertenece al conjunto
\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
La presencia de la variable en el denominador o, equivalentemente, de un exponente negativo, impide que la expresión sea un monomio.
En consecuencia,
\[ \frac{3}{x} \]
no es un monomio.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Reducir a forma normal el monomio
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]
Resultado
\[ -6x^6y^3 \]
Resolución
Un monomio está escrito en forma normal cuando todos los factores numéricos se han multiplicado entre sí y cada variable aparece una sola vez, elevada a su propio exponente.
En la expresión
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 \]
los factores numéricos son \(2\) y \(-3\). Su producto es
\[ 2\cdot(-3)=-6. \]
Pasemos ahora a la parte literal. La variable \(x\) aparece en las potencias
\[ x^2 \qquad\text{y}\qquad x^4. \]
Aplicando la propiedad del producto de potencias de la misma base,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
obtenemos
\[ x^2x^4=x^{2+4}=x^6. \]
La variable \(y\) aparece una primera vez sin exponente escrito y una segunda vez en la potencia \(y^2\). Puesto que
\[ y=y^1, \]
se tiene
\[ y\cdot y^2=y^{1+2}=y^3. \]
Reuniendo el coeficiente y la parte literal, obtenemos
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 = -6x^6y^3. \]
El monomio está ahora escrito en forma normal: su coeficiente es \(-6\) y cada variable aparece una sola vez.
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
En el monomio
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
identificar el coeficiente y la parte literal.
Resultado
El coeficiente es
\[ -\frac{5}{2}, \]
mientras que la parte literal es
\[ a^3b^2. \]
Resolución
En un monomio no nulo escrito en forma normal se distinguen dos componentes: el factor numérico, incluido su signo, recibe el nombre de coeficiente; el producto de las potencias de las variables constituye, en cambio, la parte literal.
Consideremos el monomio
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2. \]
Su factor numérico es
\[ -\frac{5}{2}. \]
El signo menos pertenece al coeficiente y no debe separarse de él. El coeficiente del monomio es, por tanto,
\[ -\frac{5}{2}. \]
Los factores literales son, en cambio,
\[ a^3 \qquad\text{y}\qquad b^2. \]
Su producto forma la parte literal:
\[ a^3b^2. \]
Así pues, en el monomio
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
el coeficiente es \(\displaystyle -\frac{5}{2}\), mientras que la parte literal es \(a^3b^2\).
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar el grado respecto de cada variable y el grado total del monomio
\[ -7x^3y^2z. \]
Resultado
El grado respecto de \(x\) es \(3\), el grado respecto de \(y\) es \(2\) y el grado respecto de \(z\) es \(1\).
El grado total del monomio es
\[ 6. \]
Resolución
El grado respecto de una variable es el exponente con el que dicha variable aparece en la forma normal del monomio.
Consideremos
\[ -7x^3y^2z. \]
La variable \(x\) aparece en la potencia \(x^3\). El grado respecto de \(x\) es, por tanto,
\[ 3. \]
La variable \(y\) aparece en la potencia \(y^2\). El grado respecto de \(y\) es, en consecuencia,
\[ 2. \]
La variable \(z\) aparece sin exponente escrito. En este caso el exponente es implícitamente igual a \(1\), puesto que
\[ z=z^1. \]
El grado respecto de \(z\) es, así,
\[ 1. \]
El grado total de un monomio no nulo se obtiene sumando los exponentes de todas las variables presentes en su parte literal.
En nuestro caso se tiene
\[ 3+2+1=6. \]
El coeficiente \(-7\) no influye en el grado, ya que este depende exclusivamente de los exponentes de la parte literal.
Por consiguiente, el monomio
\[ -7x^3y^2z \]
tiene grado \(3\) respecto de \(x\), grado \(2\) respecto de \(y\), grado \(1\) respecto de \(z\) y grado total \(6\).
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Considerar los monomios
\[ A=2x^2\cdot 3y,\qquad B=6yx^2,\qquad C=-6x^2y,\qquad D=4xy^2. \]
Determinar qué monomios son iguales, cuáles son semejantes y cuáles son opuestos.
Resultado
Los monomios \(A\) y \(B\) son iguales.
Los monomios \(A\), \(B\) y \(C\) son semejantes.
Los monomios \(A\) y \(C\), así como \(B\) y \(C\), son opuestos.
El monomio \(D\) no es semejante a los demás.
Resolución
Para comparar correctamente varios monomios es necesario escribirlos ante todo en forma normal. De este modo pueden reconocerse de inmediato el coeficiente y la parte literal de cada uno de ellos.
El primer monomio es
\[ A=2x^2\cdot 3y. \]
Multiplicando los coeficientes numéricos se obtiene
\[ 2\cdot 3=6, \]
mientras que la parte literal está ya constituida por el producto \(x^2y\). Por consiguiente,
\[ A=6x^2y. \]
El segundo monomio es
\[ B=6yx^2. \]
El orden de los factores literales no modifica el producto, ya que la multiplicación es conmutativa. Disponiendo las variables en orden alfabético se obtiene
\[ B=6x^2y. \]
Los monomios \(A\) y \(B\) tienen, por tanto, el mismo coeficiente y la misma parte literal. Son, en consecuencia, iguales.
El tercer monomio es
\[ C=-6x^2y. \]
Su parte literal es de nuevo
\[ x^2y, \]
mientras que su coeficiente es \(-6\). Puesto que \(A\), \(B\) y \(C\) poseen la misma parte literal, son semejantes.
Dos monomios semejantes son opuestos cuando sus coeficientes son opuestos. Los coeficientes de \(A\) y \(C\) son, respectivamente, \(6\) y \(-6\); lo mismo ocurre con \(B\) y \(C\). En consecuencia,
\[ A+C=6x^2y-6x^2y=0 \]
y
\[ B+C=6x^2y-6x^2y=0. \]
Así pues, \(A\) y \(C\) son opuestos, y lo mismo sucede con \(B\) y \(C\).
Consideremos por último
\[ D=4xy^2. \]
Su parte literal es
\[ xy^2, \]
que es distinta de \(x^2y\). El monomio \(D\) no es, por tanto, semejante a \(A\), \(B\) ni \(C\).
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Reducir la siguiente suma algebraica de monomios:
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
Resultado
\[ 4x^2y+3xy^2 \]
Resolución
En la adición y en la sustracción de monomios solo pueden reunirse directamente los términos semejantes, es decir, los monomios que poseen la misma parte literal.
Consideremos la expresión
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
Los monomios
\[ 7x^2y \qquad\text{y}\qquad -3x^2y \]
son semejantes, ya que ambos poseen la parte literal
\[ x^2y. \]
Se suman entonces algebraicamente sus respectivos coeficientes:
\[ 7-3=4. \]
Se obtiene, por tanto,
\[ 7x^2y-3x^2y=4x^2y. \]
También los monomios
\[ 5xy^2 \qquad\text{y}\qquad -2xy^2 \]
son semejantes, puesto que ambos tienen parte literal
\[ xy^2. \]
Sumando los coeficientes se tiene
\[ 5-2=3, \]
y por consiguiente
\[ 5xy^2-2xy^2=3xy^2. \]
Reuniendo los resultados obtenidos,
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2 = 4x^2y+3xy^2. \]
Los monomios \(4x^2y\) y \(3xy^2\) no son semejantes, ya que sus partes literales son distintas. No pueden, por tanto, reunirse ulteriormente.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el producto
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
Resultado
\[ -10x^5y^5 \]
Resolución
El producto de dos monomios es siempre un monomio. Para calcularlo se multiplican los coeficientes numéricos y se suman los exponentes de las potencias de la misma base.
Consideremos
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
Los coeficientes numéricos son \(2\) y \(-5\). Su producto es
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Para la variable \(x\) se tiene
\[ x^3\cdot x^2. \]
Aplicando la propiedad del producto de potencias de la misma base,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
obtenemos
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Para la variable \(y\), en cambio, se tiene
\[ y\cdot y^4. \]
Puesto que \(y=y^1\),
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
Reuniendo el coeficiente y la parte literal, se obtiene
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) = -10x^5y^5. \]
El resultado está ya escrito en forma normal.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Calcular la potencia
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
Resultado
\[ -8x^9y^6 \]
Resolución
Para elevar un monomio a un exponente entero positivo se eleva el coeficiente a dicho exponente y se multiplica cada exponente de la parte literal por el exponente de la potencia.
Consideremos
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
La potencia afecta al monomio entero. Podemos, por tanto, escribir
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3\left(x^3\right)^3\left(y^2\right)^3. \]
Calculemos ante todo la potencia del coeficiente:
\[ (-2)^3=-8. \]
El resultado es negativo porque el coeficiente es negativo y el exponente \(3\) es impar.
Para la variable \(x\) se aplica la propiedad de la potencia de una potencia:
\[ \left(x^m\right)^n=x^{mn}. \]
Por consiguiente,
\[ \left(x^3\right)^3=x^{3\cdot3}=x^9. \]
Análogamente, para la variable \(y\) se tiene
\[ \left(y^2\right)^3=y^{2\cdot3}=y^6. \]
Reuniendo el coeficiente y la parte literal, obtenemos
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = -8x^9y^6. \]
El resultado está ya escrito en forma normal.
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el monomio
\[ 12x^5y^3 \]
es divisible por el monomio
\[ 3x^2y \]
y, en caso afirmativo, hallar el monomio cociente.
Resultado
El monomio \(12x^5y^3\) es divisible por \(3x^2y\).
El monomio cociente es
\[ 4x^3y^2. \]
Resolución
Un monomio \(M\) es divisible por un monomio no nulo \(N\) cuando existe un monomio \(Q\) tal que
\[ M=NQ. \]
Para que el cociente sea de nuevo un monomio, el exponente de cada variable en el dividendo debe ser mayor o igual que el exponente correspondiente en el divisor.
En nuestro caso, el dividendo es
\[ 12x^5y^3, \]
mientras que el divisor es
\[ 3x^2y. \]
Comparemos ante todo los exponentes de la variable \(x\). En el dividendo el exponente es \(5\), mientras que en el divisor es \(2\). Puesto que
\[ 5\geq2, \]
la condición exigida se cumple.
Para la variable \(y\), el exponente en el dividendo es \(3\), mientras que en el divisor es \(1\), ya que \(y=y^1\). También en este caso
\[ 3\geq1. \]
El monomio \(12x^5y^3\) es, por tanto, divisible por \(3x^2y\).
Para hallar el cociente se dividen los coeficientes:
\[ \frac{12}{3}=4, \]
y se restan los exponentes de las potencias de la misma base:
\[ x^{5-2}=x^3 \]
y
\[ y^{3-1}=y^2. \]
El monomio cociente es, en consecuencia,
\[ Q=4x^3y^2. \]
Comprobemos el resultado multiplicando el divisor por el cociente:
\[ (3x^2y)(4x^3y^2) = 12x^{2+3}y^{1+2} = 12x^5y^3. \]
El producto coincide con el dividendo, de modo que la división se ha efectuado correctamente.
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la expresión
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
es un polinomio.
Resultado
Sí, la expresión es un polinomio en las variables \(x\) e \(y\).
Resolución
Un polinomio es una suma algebraica finita de monomios en las mismas variables.
Consideremos la expresión
\[ 3x^2y-5xy^3+7. \]
Para determinar si se trata de un polinomio, debemos comprobar que cada uno de sus términos sea un monomio.
El primer término es
\[ 3x^2y. \]
Su coeficiente es \(3\), mientras que las variables \(x\) e \(y\) aparecen, respectivamente, con exponentes \(2\) y \(1\). Ambos exponentes son enteros no negativos, de modo que \(3x^2y\) es un monomio.
El segundo término es
\[ -5xy^3. \]
Su coeficiente es \(-5\), mientras que \(x\) aparece con exponente \(1\) e \(y\) con exponente \(3\). También este término es, por tanto, un monomio.
El tercer término es el número real
\[ 7. \]
Todo número real es un monomio constante; en consecuencia, \(7\) es asimismo un monomio.
La expresión dada es, pues, una suma algebraica finita de tres monomios:
\[ 3x^2y,\qquad -5xy^3,\qquad 7. \]
Por consiguiente,
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
es un polinomio en las variables \(x\) e \(y\).
Ejercicio 12 — nivel ★★☆☆☆
Considerar el polinomio
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Identificar sus términos, los respectivos coeficientes y el término independiente.
Resultado
Los términos del polinomio son
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
Sus coeficientes respectivos son
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]
El término independiente es
\[ -7. \]
Resolución
Los monomios que componen un polinomio reciben el nombre de términos del polinomio.
Consideremos
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
El polinomio está formado por cuatro monomios, separados por los signos \(+\) y \(-\). Sus términos son, por tanto,
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
El signo de cada término está incluido en el coeficiente correspondiente.
En el término
\[ 4x^3y \]
el coeficiente es \(4\), mientras que la parte literal es \(x^3y\).
En el término
\[ -2xy^2 \]
el coeficiente es \(-2\), mientras que la parte literal es \(xy^2\).
En el término
\[ 5x \]
el coeficiente es \(5\), mientras que la parte literal es \(x\).
El último término es
\[ -7. \]
Se trata de un monomio constante: su coeficiente es \(-7\) y su parte literal es \(1\).
El término de un polinomio que no contiene variables recibe el nombre de término independiente. En el polinomio dado, por tanto, el término independiente es
\[ -7. \]
En conclusión, los coeficientes de los cuatro términos son, respectivamente,
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7, \]
mientras que el término independiente es \(-7\).
Ejercicio 13 — nivel ★★☆☆☆
Reducir el polinomio
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
Resultado
\[ 5x^2-x+6 \]
Resolución
Un polinomio está escrito en forma reducida cuando todos sus términos son monomios en forma normal y no aparecen dos términos semejantes.
Reducir un polinomio significa, por tanto, identificar los términos semejantes y reunirlos sumando algebraicamente sus respectivos coeficientes.
Consideremos el polinomio
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
Los términos
\[ 3x^2 \qquad\text{y}\qquad 2x^2 \]
son semejantes, ya que ambos poseen la parte literal \(x^2\). Sumando los coeficientes se obtiene
\[ 3+2=5, \]
y por consiguiente
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
También los términos
\[ -5x \qquad\text{y}\qquad 4x \]
son semejantes, puesto que ambos poseen la parte literal \(x\). Sumando algebraicamente los coeficientes se tiene
\[ -5+4=-1. \]
Por tanto,
\[ -5x+4x=-x. \]
Por último, los términos constantes
\[ 7 \qquad\text{y}\qquad -1 \]
son monomios semejantes, ya que ambos tienen parte literal igual a \(1\). Su suma es
\[ 7-1=6. \]
Reuniendo los resultados obtenidos, se tiene
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 = 5x^2-x+6. \]
En el polinomio obtenido no aparecen términos semejantes y cada término está ya escrito en forma normal. El polinomio está, pues, en forma reducida.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Reducir el polinomio y hallar su grado:
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
Resultado
La forma reducida del polinomio es
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
El grado del polinomio es
\[ 3. \]
Resolución
El grado de un polinomio no nulo es el máximo grado total de los monomios presentes en su forma reducida.
No basta, por tanto, con observar el exponente más elevado de la escritura inicial: antes de determinar el grado es preciso reducir el polinomio reuniendo los eventuales términos semejantes.
Consideremos
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
Los términos
\[ 3x^4 \qquad\text{y}\qquad -3x^4 \]
son semejantes. Sumando sus coeficientes se obtiene
\[ 3-3=0. \]
Por consiguiente, los dos términos de cuarto grado se anulan:
\[ 3x^4-3x^4=0. \]
También los términos
\[ -2x^3 \qquad\text{y}\qquad 5x^3 \]
son semejantes. Sumando algebraicamente los coeficientes se tiene
\[ -2+5=3, \]
y por tanto
\[ -2x^3+5x^3=3x^3. \]
Los términos \(x^2\) y \(-4\) no tienen términos semejantes con los que reunirse y permanecen, por tanto, invariados.
La forma reducida del polinomio es, en consecuencia,
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
Los términos no nulos de la forma reducida tienen, respectivamente, grado
\[ 3,\qquad 2,\qquad 0. \]
El grado máximo es \(3\). En consecuencia,
\[ \deg(P)=3. \]
Aunque en la escritura inicial aparecían términos de cuarto grado, estos se anularon durante la reducción. El grado del polinomio es, por tanto, \(3\) y no \(4\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Reducir, cuando sea necesario, los siguientes polinomios y clasificarlos según el número de términos:
\[ A(x)=4x^3, \]
\[ B(x)=x^2-1, \]
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1, \]
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
Resultado
\(A(x)\) es un monomio.
\(B(x)\) es un binomio.
\(C(x)\) se reduce a
\[ x^2+x+1 \]
y es, por tanto, un trinomio.
\(D(x)\) se reduce al polinomio nulo y no se clasifica según el número de términos.
Resolución
Para clasificar un polinomio según el número de términos es necesario considerar su forma reducida.
Un polinomio no nulo formado por un solo término es un monomio; si posee dos términos es un binomio; si posee tres es un trinomio.
Consideremos ante todo
\[ A(x)=4x^3. \]
El polinomio está ya escrito en forma reducida y está formado por un solo término no nulo:
\[ 4x^3. \]
Por consiguiente, \(A(x)\) es un monomio.
Pasemos ahora al polinomio
\[ B(x)=x^2-1. \]
Sus términos son
\[ x^2 \qquad\text{y}\qquad -1. \]
Los dos términos no son semejantes y no pueden, por tanto, reunirse. El polinomio está ya en forma reducida y posee dos términos.
Por consiguiente, \(B(x)\) es un binomio.
Consideremos a continuación
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1. \]
Antes de clasificarlo debemos reunir los términos semejantes. Los términos
\[ 3x \qquad\text{y}\qquad -2x \]
tienen la misma parte literal \(x\). Sumando los coeficientes se obtiene
\[ 3-2=1, \]
y por tanto
\[ 3x-2x=x. \]
La forma reducida de \(C(x)\) es, en consecuencia,
\[ C(x)=x^2+x+1. \]
Sus términos son
\[ x^2,\qquad x,\qquad 1. \]
Puesto que el polinomio posee tres términos, \(C(x)\) es un trinomio.
Consideremos, por último,
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
Los dos términos son opuestos y su suma es igual a cero:
\[ 5x^2-5x^2=0. \]
Por consiguiente,
\[ D(x)=0. \]
El resultado es el polinomio nulo. En su forma reducida no posee términos no nulos y constituye, por tanto, un caso particular: no se clasifica como monomio, binomio ni trinomio según el número de términos.
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Considerar los polinomios
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5, \]
\[ B(x)=2x^4+3x-1, \]
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Determinar, para cada polinomio, si es ordenado, completo y mónico.
Resultado
\(A(x)\) está ordenado según las potencias decrecientes de \(x\), es completo y es mónico.
\(B(x)\) está ordenado según las potencias decrecientes de \(x\), es incompleto y no es mónico.
\(C(x)\) está ordenado según las potencias crecientes de \(x\), es incompleto y no es mónico.
Resolución
Un polinomio en una variable se dice ordenado cuando sus términos están dispuestos según las potencias crecientes o decrecientes de la variable.
Un polinomio de grado \(n\) se dice completo cuando contiene, con coeficientes no nulos, todas las potencias de la variable desde \(n\) hasta \(0\).
Por último, un polinomio no nulo en una variable se dice mónico cuando su coeficiente principal es igual a \(1\).
Consideremos ante todo
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5. \]
Los exponentes de \(x\) aparecen en el orden
\[ 4,\qquad 3,\qquad 2,\qquad 1,\qquad 0. \]
Están dispuestos en orden decreciente. El polinomio está, por tanto, ordenado según las potencias decrecientes de \(x\).
El grado de \(A(x)\) es \(4\). Están presentes todas las potencias desde \(4\) hasta \(0\):
\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]
Todos los coeficientes correspondientes son distintos de cero. Por consiguiente, \(A(x)\) es completo.
El término principal es
\[ x^4, \]
cuyo coeficiente es \(1\). En consecuencia, \(A(x)\) es además mónico.
Consideremos ahora
\[ B(x)=2x^4+3x-1. \]
Los exponentes de las potencias presentes son
\[ 4,\qquad 1,\qquad 0. \]
Están dispuestos en orden decreciente, de modo que el polinomio está ordenado según las potencias decrecientes de \(x\).
El grado de \(B(x)\) es \(4\), pero no aparecen términos en \(x^3\) ni en \(x^2\). Los coeficientes de dichas potencias son implícitamente iguales a cero.
Por consiguiente, \(B(x)\) es incompleto.
El término principal es
\[ 2x^4, \]
y el coeficiente principal es \(2\), no \(1\). En consecuencia, \(B(x)\) no es mónico.
Consideremos, por último,
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Los exponentes de las potencias presentes son
\[ 0,\qquad 1,\qquad 3,\qquad 4. \]
Están dispuestos en orden creciente. Por consiguiente, \(C(x)\) está ordenado según las potencias crecientes de \(x\).
El grado del polinomio es \(4\), pero no aparece ningún término en \(x^2\). El coeficiente de \(x^2\) es, por tanto, implícitamente igual a \(0\).
En consecuencia, \(C(x)\) es incompleto.
Para determinar si el polinomio es mónico hay que identificar el coeficiente del término de mayor grado. El término principal es
\[ 3x^4, \]
y el coeficiente principal es \(3\). Por consiguiente, \(C(x)\) no es mónico.
Ejercicio 17 — nivel ★★★☆☆
Determinar cuáles de los siguientes polinomios son homogéneos y, en caso afirmativo, hallar su grado:
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3, \]
\[ B(x,y)=x^2+xy+y, \]
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
Resultado
\(A(x,y)\) es un polinomio homogéneo de grado \(3\).
\(B(x,y)\) no es un polinomio homogéneo.
\(C(a,b,c)\) es un polinomio homogéneo de grado \(3\).
Resolución
Un polinomio no nulo en varias variables se dice homogéneo cuando todos sus términos tienen el mismo grado total.
Para determinar si un polinomio es homogéneo debemos, por tanto, calcular el grado total de cada uno de sus términos. El grado total de un monomio se obtiene sumando los exponentes de todas las variables presentes en su parte literal.
Consideremos ante todo
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3. \]
El primer término es
\[ 3x^3. \]
La variable \(x\) aparece con exponente \(3\), mientras que \(y\) no aparece y tiene, por tanto, exponente \(0\). El grado total del término es
\[ 3+0=3. \]
El segundo término es
\[ -2x^2y. \]
Los exponentes de \(x\) e \(y\) son, respectivamente, \(2\) y \(1\). El grado total es, por tanto,
\[ 2+1=3. \]
El tercer término es
\[ 5xy^2. \]
En este caso los exponentes son \(1\) y \(2\), de modo que el grado total es
\[ 1+2=3. \]
El último término es
\[ -y^3. \]
La variable \(x\) no aparece y tiene exponente \(0\), mientras que \(y\) tiene exponente \(3\). El grado total es, pues,
\[ 0+3=3. \]
Todos los términos de \(A(x,y)\) tienen grado total \(3\). Por consiguiente, \(A(x,y)\) es un polinomio homogéneo de grado \(3\).
Consideremos ahora
\[ B(x,y)=x^2+xy+y. \]
El término \(x^2\) tiene grado total
\[ 2. \]
El término \(xy\) tiene grado total
\[ 1+1=2. \]
El término \(y\), en cambio, tiene grado total
\[ 1. \]
Los términos no tienen todos el mismo grado total. En consecuencia, \(B(x,y)\) no es un polinomio homogéneo.
Consideremos, por último,
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
El término
\[ 2a^2b \]
tiene grado total
\[ 2+1+0=3. \]
El término
\[ -3abc \]
tiene grado total
\[ 1+1+1=3. \]
El término
\[ 4b^2c \]
tiene grado total
\[ 0+2+1=3. \]
También en este caso todos los términos tienen el mismo grado total. Por consiguiente, \(C(a,b,c)\) es un polinomio homogéneo de grado \(3\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★☆☆
Considerar los polinomios
\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]
y
\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]
Calcular
\[ P(x)+Q(x) \]
y
\[ P(x)-Q(x). \]
Resultado
La suma es
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
La diferencia es
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
Resolución
Para sumar o restar dos polinomios se reúnen los términos semejantes, es decir, los términos que contienen la misma potencia de la variable.
Consideremos ante todo la suma
\[ P(x)+Q(x). \]
Sustituyendo las expresiones de ambos polinomios, obtenemos
\[ P(x)+Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6). \]
Los paréntesis pueden suprimirse sin modificar los signos de los términos, ya que entre los dos polinomios aparece el signo \(+\):
\[ P(x)+Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1-x^3+4x^2-3x+6. \]
Reunamos ahora los términos semejantes.
Los términos de tercer grado son
\[ 3x^3 \qquad\text{y}\qquad -x^3. \]
Sumando los coeficientes se tiene
\[ 3-1=2, \]
y por tanto
\[ 3x^3-x^3=2x^3. \]
Los términos de segundo grado son
\[ -2x^2 \qquad\text{y}\qquad 4x^2. \]
Sumando los coeficientes se obtiene
\[ -2+4=2, \]
de modo que
\[ -2x^2+4x^2=2x^2. \]
Los términos de primer grado son
\[ 5x \qquad\text{y}\qquad -3x. \]
Su suma es
\[ 5x-3x=2x. \]
Por último, los términos independientes son
\[ -1 \qquad\text{y}\qquad 6. \]
Se tiene
\[ -1+6=5. \]
Por consiguiente,
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
Calculemos ahora la diferencia
\[ P(x)-Q(x). \]
Sustituyendo las expresiones de ambos polinomios, obtenemos
\[ P(x)-Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)-(-x^3+4x^2-3x+6). \]
Restar un polinomio significa sumar su opuesto. El signo menos situado delante del segundo paréntesis modifica, por tanto, el signo de cada término de \(Q(x)\):
\[ -Q(x)=x^3-4x^2+3x-6. \]
En consecuencia,
\[ P(x)-Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1+x^3-4x^2+3x-6. \]
Reunamos de nuevo los términos semejantes.
Para los términos de tercer grado se tiene
\[ 3x^3+x^3=4x^3. \]
Para los términos de segundo grado,
\[ -2x^2-4x^2=-6x^2. \]
Para los términos de primer grado,
\[ 5x+3x=8x. \]
Por último, para los términos independientes,
\[ -1-6=-7. \]
Por consiguiente,
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
En ninguno de los dos resultados aparecen términos semejantes, de modo que los polinomios obtenidos están ya escritos en forma reducida.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Considerar los polinomios
\[ P(x)=2x-3 \]
y
\[ Q(x)=x^2+4x+1. \]
Calcular
\[ P(x)Q(x) \]
y
\[ P(x)^2. \]
Resultado
El producto de ambos polinomios es
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
El cuadrado de \(P(x)\) es
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
Resolución
El producto de dos polinomios se calcula aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición: cada término del primer polinomio debe multiplicarse por cada término del segundo.
Consideremos ante todo
\[ P(x)Q(x)=(2x-3)(x^2+4x+1). \]
El primer polinomio está formado por los términos \(2x\) y \(-3\). Multipliquemos cada uno de ellos por el polinomio entero \(Q(x)\):
\[ (2x-3)(x^2+4x+1) = 2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1). \]
Desarrollemos el primer producto:
\[ 2x(x^2+4x+1) = 2x\cdot x^2+2x\cdot4x+2x\cdot1. \]
Calculando cada término, obtenemos
\[ 2x\cdot x^2=2x^3, \]
\[ 2x\cdot4x=8x^2 \]
y
\[ 2x\cdot1=2x. \]
Por consiguiente,
\[ 2x(x^2+4x+1)=2x^3+8x^2+2x. \]
Desarrollemos ahora el segundo producto:
\[ -3(x^2+4x+1) = -3\cdot x^2-3\cdot4x-3\cdot1. \]
Se obtiene
\[ -3(x^2+4x+1)=-3x^2-12x-3. \]
Reuniendo ambos desarrollos, tenemos
\[ P(x)Q(x) = 2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3. \]
Los términos
\[ 8x^2 \qquad\text{y}\qquad -3x^2 \]
son semejantes. Sumando los coeficientes se tiene
\[ 8-3=5, \]
y por tanto
\[ 8x^2-3x^2=5x^2. \]
También los términos
\[ 2x \qquad\text{y}\qquad -12x \]
son semejantes. Su suma es
\[ 2x-12x=-10x. \]
El producto reducido es, en consecuencia,
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
Calculemos ahora la segunda potencia de \(P(x)\):
\[ P(x)^2=(2x-3)^2. \]
Elevar un polinomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo:
\[ P(x)^2=(2x-3)(2x-3). \]
Apliquemos de nuevo la propiedad distributiva:
\[ (2x-3)(2x-3) = 2x(2x-3)-3(2x-3). \]
Desarrollando el primer producto se obtiene
\[ 2x(2x-3)=2x\cdot2x-2x\cdot3=4x^2-6x. \]
Desarrollando el segundo producto se tiene
\[ -3(2x-3)=-6x+9. \]
Reuniendo los resultados,
\[ P(x)^2=4x^2-6x-6x+9. \]
Los términos \(-6x\) y \(-6x\) son semejantes y su suma es
\[ -6x-6x=-12x. \]
Por consiguiente,
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
En ambos cálculos el resultado es de nuevo un polinomio, tal como garantiza el carácter cerrado del conjunto de los polinomios respecto de la multiplicación.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★☆
Considerar el polinomio
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Calcular su valor numérico para
\[ x=2 \qquad\text{y}\qquad y=-1. \]
Resultado
\[ P(2,-1)=-11 \]
Resolución
Calcular el valor numérico de un polinomio significa sustituir cada variable por el valor asignado y efectuar las operaciones indicadas.
El polinomio es
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Debemos sustituir
\[ x=2 \qquad\text{y}\qquad y=-1. \]
La escritura
\[ P(2,-1) \]
denota, por tanto, el número que se obtiene al sustituir \(2\) por cada aparición de \(x\) y \(-1\) por cada aparición de \(y\).
Efectuando las sustituciones, se obtiene
\[ P(2,-1) = 3\cdot 2^2\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot(-1)^2 + 5. \]
El valor negativo asignado a \(y\) se ha encerrado entre paréntesis. Este paso es esencial, sobre todo cuando el número debe elevarse a una potencia.
Calculemos ante todo las potencias:
\[ 2^2=4 \]
y
\[ (-1)^2=1. \]
La segunda potencia es positiva porque el producto de dos números negativos es positivo:
\[ (-1)^2=(-1)(-1)=1. \]
Sustituyendo los valores de las potencias, obtenemos
\[ P(2,-1) = 3\cdot4\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot1 + 5. \]
Calculemos ahora el primer producto:
\[ 3\cdot4\cdot(-1)=12\cdot(-1)=-12. \]
El segundo producto es
\[ 2\cdot2\cdot1=4. \]
Por consiguiente,
\[ P(2,-1)=-12-4+5. \]
Efectuando por último la adición algebraica,
\[ -12-4=-16 \]
y
\[ -16+5=-11. \]
El valor numérico pedido es, pues,
\[ P(2,-1)=-11. \]