Al combinar números y variables según reglas bien definidas se obtienen expresiones algebraicas dotadas de una estructura precisa. Entre las formas más sencillas e importantes se encuentran los monomios, constituidos por el producto de un coeficiente numérico y, si las hay, de potencias de variables con exponentes enteros no negativos.
De la suma algebraica de un número finito de monomios surgen los polinomios. Su estructura conserva las propiedades fundamentales de los monomios, pero permite representar expresiones más elaboradas y desarrollar buena parte del cálculo algebraico.
Para comprender correctamente los monomios y los polinomios no basta con aplicar reglas operativas: es preciso reconocer su forma, distinguir sus elementos, determinar su grado y establecer bajo qué condiciones las operaciones siguen produciendo expresiones del mismo tipo. Partiendo de las definiciones, construiremos, pues, de manera progresiva, toda la teoría fundamental.
Índice
- Definición de Monomio
- Forma Normal, Coeficiente y Parte Literal
- Grado de un Monomio
- Monomios Iguales, Semejantes y Opuestos
- Operaciones con Monomios
- Definición de Polinomio
- Términos, Coeficientes y Forma Reducida
- Grado y Clasificación de los Polinomios
- Operaciones con Polinomios
- Valor Numérico de un Polinomio
Definición de Monomio
Un monomio en las variables \(x_1,x_2,\dots,x_n\) es una expresión algebraica constituida por el producto de un coeficiente numérico y, si las hay, de potencias de las variables con exponentes enteros no negativos.
Una vez reducido a forma normal, un monomio puede escribirse como
\[ a x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]
donde \(a\) es un número real, llamado coeficiente, \(x_1,x_2,\dots,x_n\) son las variables y los exponentes \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) son números enteros no negativos, es decir, elementos del conjunto
\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
Son monomios, por ejemplo,
\[ 5x^2y^3,\qquad -\frac{3}{4}ab^2,\qquad x^4,\qquad -7. \]
En el monomio \(x^4\) el coeficiente \(1\) no se escribe; análogamente, en el monomio \(-x^4\) el coeficiente es \(-1\).
Un monomio puede no estar escrito inicialmente en forma normal. Consideremos, por ejemplo,
\[ 2x\cdot 3xy^2. \]
Multiplicando los factores numéricos y agrupando las potencias de la misma variable se obtiene
\[ 2x\cdot 3xy^2=6x^2y^2. \]
La expresión dada representa, por tanto, un monomio, ya que está constituida exclusivamente por productos de factores numéricos y potencias de variables con exponentes enteros no negativos.
Todo número real es también un monomio. Un número real distinto de cero recibe el nombre de monomio constante, puesto que no contiene variables, mientras que el número \(0\) se denomina monomio nulo.
La condición impuesta a los exponentes es esencial. No son monomios, por ejemplo,
\[ \frac{1}{x},\qquad x^{-2},\qquad \sqrt{x},\qquad x^{\frac{3}{2}},\qquad 2^x. \]
En efecto, en las dos primeras expresiones la variable aparece con exponente negativo; en las dos siguientes aparece con exponente no entero; en la última figura como exponente y no como base de una potencia.
En particular, en la forma de un monomio una variable no puede aparecer en el denominador, bajo un radical ni en el exponente. Un denominador puramente numérico sí es admisible, pues puede incorporarse al coeficiente. Por ejemplo,
\[ \frac{x^2y}{3}=\frac{1}{3}x^2y \]
es un monomio.
No todas las expresiones algebraicas son monomios. La expresión
\[ 3x^2y+1 \]
es una suma de dos monomios no semejantes y no puede, por tanto, reducirse a un único monomio. Se trata, en cambio, de un polinomio, tal como veremos en las secciones siguientes.
Forma Normal, Coeficiente y Parte Literal
Un monomio está escrito en forma normal cuando todos sus factores numéricos se han multiplicado entre sí y cada variable aparece una sola vez, elevada a su propio exponente.
Para obtener la forma normal se emplean la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa de la multiplicación, junto con la regla del producto de potencias de la misma base:
\[ x^m x^n=x^{m+n}. \]
Consideremos el monomio
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]
Multiplicando los factores numéricos y sumando los exponentes de las potencias de la misma base, obtenemos
\[ 2\cdot(-3)\cdot x^{2+4}y^{1+2}=-6x^6y^3. \]
La forma normal del monomio dado es, en consecuencia,
\[ -6x^6y^3. \]
El orden de los factores literales no modifica el monomio, ya que la multiplicación es conmutativa. Las expresiones
\[ 3x^2y,\qquad 3yx^2,\qquad 3xyx \]
representan, pues, el mismo monomio. Las dos primeras están ya escritas en forma normal, mientras que la tercera no lo está, porque la variable \(x\) aparece en dos factores distintos. Con el fin de uniformar la escritura, las variables suelen disponerse en orden alfabético.
En un monomio no nulo escrito en forma normal, el factor numérico, con su signo incluido, recibe el nombre de coeficiente; el producto de las potencias de las variables constituye, en cambio, la parte literal.
En el monomio
\[ -6x^6y^3 \]
el coeficiente es \(-6\), mientras que la parte literal es
\[ x^6y^3. \]
Cuando el coeficiente es \(1\), se omite; cuando es \(-1\), se escribe únicamente el signo menos:
\[ x^2y=1\cdot x^2y, \qquad -x^2y=-1\cdot x^2y. \]
Un monomio constante no nulo tiene como coeficiente el propio número y como parte literal el factor \(1\). En el monomio
\[ -7, \]
por ejemplo, el coeficiente es \(-7\) y la parte literal es \(1\).
Las variables con exponente \(0\) no se hacen constar en la forma normal, puesto que corresponden al factor multiplicativo \(1\). En la parte literal figuran, por tanto, únicamente las variables cuyo exponente es positivo.
Consideremos, por último,
\[ -\frac{2}{3}x\cdot 9xy^2. \]
La reducción a forma normal conduce a
\[ -\frac{2}{3}\cdot 9\cdot x^2y^2=-6x^2y^2. \]
Fijado un orden para las variables, todo monomio no nulo posee una única forma normal. Esta unicidad permite comparar de inmediato dos monomios y será fundamental para definir los monomios iguales, semejantes y opuestos.
El monomio nulo constituye un caso particular. En efecto, cualquier producto cuyo coeficiente sea \(0\) representa la misma expresión nula:
\[ 0x^2y=0a^5b^3=0. \]
Por este motivo se escribe simplemente como \(0\) y no se le atribuye una parte literal determinada.
Grado de un Monomio
Los exponentes que figuran en la parte literal de un monomio describen su grado. Esta noción permite medir cuántas veces, en total o respecto de una variable determinada, intervienen los factores literales en el producto.
Consideremos el monomio no nulo
\[ -5x^2y^3z. \]
El grado respecto de una variable es el exponente con que dicha variable aparece en la forma normal del monomio. Así pues, el monomio anterior tiene grado \(2\) respecto de \(x\), grado \(3\) respecto de \(y\) y grado \(1\) respecto de \(z\).
Si una variable no aparece en la parte literal, su exponente se considera igual a \(0\). El mismo monomio tiene, por tanto, grado \(0\) respecto de la variable \(t\), por ejemplo.
El grado total, o simplemente grado, de un monomio no nulo es la suma de los exponentes de todas las variables presentes en su forma normal.
En nuestro ejemplo se tiene
\[ 2+3+1=6. \]
El monomio
\[ -5x^2y^3z \]
es, pues, un monomio de grado total \(6\).
El coeficiente no influye en el grado. Los monomios
\[ 4x^2y^3,\qquad -7x^2y^3,\qquad \frac{1}{2}x^2y^3 \]
tienen todos grado total \(5\), porque poseen la misma parte literal.
El orden en que se escriben las variables es asimismo irrelevante. Por ejemplo,
\[ 3a^2bc^4 \]
tiene grado \(2\) respecto de \(a\), grado \(1\) respecto de \(b\), grado \(4\) respecto de \(c\) y grado total
\[ 2+1+4=7. \]
Un monomio constante no nulo tiene parte literal igual a \(1\) y no contiene variables con exponente positivo. Su grado es, en consecuencia, \(0\). Por ejemplo,
\[ \deg(-8)=0. \]
El monomio nulo representa, en cambio, un caso particular. Puesto que puede escribirse formalmente atribuyéndole cualquier parte literal,
\[ 0=0x=0x^2y^5=0a^{10}b, \]
no es posible asociarle un grado determinado. Por este motivo, en el álgebra elemental el grado del monomio nulo se deja sin definir.
La distinción entre el grado respecto de una variable y el grado total resulta especialmente importante cuando hay varias variables. En el monomio
\[ 2x^4y^2, \]
el grado respecto de \(x\) es \(4\), el grado respecto de \(y\) es \(2\), mientras que el grado total es \(6\). Las tres informaciones no deben, por tanto, confundirse.
Monomios Iguales, Semejantes y Opuestos
Para comparar correctamente dos monomios es necesario escribirlos previamente en forma normal. Solo de este modo cabe reconocer de inmediato el coeficiente y la parte literal de cada uno.
Dos monomios no nulos se dicen iguales cuando, una vez reducidos a forma normal, poseen el mismo coeficiente y la misma parte literal.
Consideremos, por ejemplo,
\[ 2x^2\cdot 3y \qquad\text{y}\qquad 6yx^2. \]
Reduciendo ambos monomios a forma normal, se obtiene
\[ 2x^2\cdot 3y=6x^2y, \qquad 6yx^2=6x^2y. \]
Los dos monomios son, pues, iguales, aun cuando inicialmente estuvieran escritos de manera distinta.
Dos monomios no nulos se dicen, en cambio, semejantes cuando poseen la misma parte literal, con independencia de sus respectivos coeficientes.
Los monomios
\[ 3x^2y,\qquad -7x^2y,\qquad \frac{1}{2}x^2y \]
son semejantes, porque todos tienen parte literal
\[ x^2y. \]
No son semejantes, en cambio, los monomios
\[ 3x^2y \qquad\text{y}\qquad 3xy^2, \]
puesto que las variables \(x\) e \(y\) aparecen con exponentes distintos.
Dos monomios iguales son necesariamente semejantes, pero dos monomios semejantes no son necesariamente iguales. Para ser iguales, en efecto, deben coincidir tanto la parte literal como el coeficiente.
Dos monomios no nulos se dicen opuestos cuando tienen la misma parte literal y coeficientes opuestos.
Por ejemplo,
\[ 5a^2b^3 \qquad\text{y}\qquad -5a^2b^3 \]
son monomios opuestos. Su suma es igual al monomio nulo:
\[ 5a^2b^3-5a^2b^3=0. \]
Más en general, si
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]
el monomio opuesto de \(M\) es
\[ -M=-ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]
El monomio nulo constituye una vez más un caso particular. Es igual únicamente a sí mismo y es también su propio opuesto, puesto que
\[ -0=0. \]
No se le atribuye, en cambio, una parte literal determinada; por este motivo, cuando se habla de monomios semejantes se consideran ordinariamente monomios no nulos.
La semejanza entre monomios es fundamental en las operaciones algebraicas: dentro de una suma algebraica, solo los monomios semejantes pueden agruparse directamente en un único término. Por ejemplo,
\[ 3x^2y-7x^2y=-4x^2y, \]
mientras que en la expresión
\[ 3x^2y-7xy^2 \]
los dos términos permanecen distintos, porque no son semejantes.
Operaciones con Monomios
Las operaciones con monomios se fundamentan en las propiedades de los números reales, de la multiplicación y de las potencias. Antes de efectuar cualquier cálculo conviene reducir los monomios a forma normal, de modo que puedan reconocerse de inmediato el coeficiente y la parte literal.
Adición y Sustracción
En la adición y en la sustracción, los monomios semejantes pueden agruparse en un único monomio, porque poseen la misma parte literal.
En tal caso se suman algebraicamente los coeficientes y se conserva inalterada la parte literal:
\[ ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} + bx_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} = (a+b)x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]
Por ejemplo,
\[ 7x^2y-3x^2y=(7-3)x^2y=4x^2y. \]
Análogamente,
\[ -5a^3b+2a^3b=(-5+2)a^3b=-3a^3b. \]
Si la suma de los coeficientes es nula, el resultado es el monomio nulo:
\[ 4x^2y-4x^2y=0. \]
Cuando dos monomios no nulos no son semejantes, su suma sigue siendo una expresión algebraica perfectamente definida, pero los dos términos no pueden agruparse en un único monomio. Por ejemplo,
\[ 3x^2y+5xy^2 \]
no es un monomio, porque las partes literales \(x^2y\) y \(xy^2\) son distintas.
Multiplicación
El producto de dos monomios es siempre un monomio. Para calcularlo se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las potencias de la misma base.
Si
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \qquad\text{y}\qquad N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \]
entonces
\[ MN = abx_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n+\beta_n}. \]
Consideremos, por ejemplo,
\[ (2x^2y)(-3xy^4). \]
Multiplicando los coeficientes y aplicando la regla del producto de potencias de la misma base, obtenemos
\[ (2x^2y)(-3xy^4) = -6x^{2+1}y^{1+4} = -6x^3y^5. \]
Si los dos monomios son no nulos, el grado del producto es igual a la suma de sus grados:
\[ \deg(MN)=\deg(M)+\deg(N). \]
En el ejemplo anterior, los dos factores tienen respectivamente grado \(3\) y grado \(5\), mientras que el producto tiene grado
\[ 3+5=8. \]
Potencia
Para elevar un monomio a un exponente entero positivo se eleva el coeficiente a dicho exponente y se multiplica cada exponente de la parte literal por el exponente de la potencia.
Si
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]
y \(m\) es un entero positivo, entonces
\[ M^m = a^m x_1^{m\alpha_1}\cdots x_n^{m\alpha_n}. \]
Por ejemplo,
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3x^{3\cdot3}y^{2\cdot3} = -8x^9y^6. \]
El signo del resultado depende del signo del coeficiente y de la paridad del exponente. Si el coeficiente es distinto de cero, una potencia de exponente par tiene coeficiente positivo, mientras que una potencia de exponente impar conserva el signo del coeficiente original. Si el monomio es nulo, toda potencia suya de exponente entero positivo sigue siendo igual a \(0\).
Si el monomio es no nulo, el grado de su potencia es igual al producto del grado del monomio por el exponente:
\[ \deg(M^m)=m\deg(M). \]
Para todo monomio no nulo se establece, además,
\[ M^0=1. \]
El caso \(0^0\), en cambio, no se define.
División
La división de monomios no produce siempre un monomio. Dados dos monomios no nulos
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]
y
\[ N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \qquad b\neq0, \]
se dice que \(M\) es divisible por \(N\) cuando existe un monomio \(Q\) tal que
\[ M=NQ. \]
Para que tal monomio exista, el exponente de cada variable en el dividendo debe ser mayor o igual que el exponente correspondiente en el divisor. Debe cumplirse, por tanto,
\[ \alpha_1\geq\beta_1,\qquad \alpha_2\geq\beta_2,\qquad \dots,\qquad \alpha_n\geq\beta_n. \]
Cuando estas condiciones se satisfacen, el monomio cociente es
\[ Q=\frac{a}{b}x_1^{\alpha_1-\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n-\beta_n}. \]
Por ejemplo, el monomio \(12x^5y^3\) es divisible por \(3x^2y\), pues el monomio cociente es
\[ 4x^{5-2}y^{3-1}=4x^3y^2, \]
y, en efecto,
\[ (3x^2y)(4x^3y^2)=12x^5y^3. \]
El monomio \(6x^2y\), en cambio, no es divisible por \(3x^4\), porque el cálculo de los exponentes exigiría
\[ x^{2-4}=x^{-2}, \]
que no puede figurar en la parte literal de un monomio.
El monomio nulo es divisible por todo monomio no nulo y tiene como cociente el monomio nulo. La división por el monomio nulo no está definida en ningún caso.
Si \(M\) y \(N\) son monomios no nulos y \(M\) es divisible por \(N\), el grado del cociente viene dado por la diferencia de sus grados:
\[ \deg(Q)=\deg(M)-\deg(N). \]
La adición, la sustracción, la multiplicación, la potencia y la división no se comportan, pues, del mismo modo. En la adición y en la sustracción solo pueden agruparse directamente los monomios semejantes; el producto y toda potencia de exponente entero positivo siguen siendo monomios; la potencia de exponente \(0\) está definida únicamente para los monomios no nulos; por último, un monomio no nulo es divisible por otro monomio no nulo solo cuando todos los exponentes del dividendo son mayores o iguales que los exponentes correspondientes del divisor.
Definición de Polinomio
Un polinomio en las variables \(x_1,x_2,\dots,x_n\) es una suma algebraica finita de monomios en esas mismas variables.
En forma general, un polinomio puede escribirse, por tanto, como
\[ P(x_1,x_2,\dots,x_n)=M_1+M_2+\cdots+M_k, \]
donde \(M_1,M_2,\dots,M_k\) son monomios y \(k\) es un número entero positivo.
Son polinomios, por ejemplo,
\[ 3x^2y-5xy^3+7, \qquad a^4-2a^2b+b^2, \qquad 4x^3-x+1. \]
Cada una de las expresiones anteriores está formada por un número finito de monomios enlazados por los signos \(+\) y \(-\). La sustracción no requiere una definición aparte, puesto que restar un monomio equivale a sumar su opuesto:
\[ 3x^2-5x=3x^2+(-5x). \]
Todo monomio no nulo es, pues, también un polinomio formado por un solo término. En particular,
\[ 6x^3y^2\qquad\text{y}\qquad -4 \]
son polinomios. También el monomio nulo representa un polinomio, llamado polinomio nulo; en su forma reducida no posee término no nulo alguno.
En el caso de una sola variable \(x\), un polinomio puede escribirse en la forma
\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]
donde \(a_0,a_1,\dots,a_n\) son números reales y los exponentes de \(x\) son enteros no negativos.
No es necesario que todos los coeficientes sean distintos de cero. Por ejemplo,
\[ P(x)=2x^5-3x^2+1 \]
puede escribirse también como
\[ P(x)=1+0x-3x^2+0x^3+0x^4+2x^5. \]
Los términos cuyo coeficiente es nulo se omiten normalmente, porque no contribuyen al valor de la expresión.
La palabra finita es esencial. Una expresión que contenga una suma infinita de potencias, como
\[ 1+x+x^2+x^3+\cdots, \]
no es un polinomio, puesto que posee un número infinito de términos.
También las condiciones ya encontradas para los monomios siguen siendo válidas. No son polinomios, por ejemplo,
\[ \frac{1}{x}+2, \qquad \sqrt{x}+x, \qquad x^{\frac{3}{2}}-1, \qquad 2^x+x. \]
En estas expresiones la variable aparece, respectivamente, con exponente negativo, bajo un radical, con exponente no entero o como exponente de una potencia.
Es importante observar que un polinomio puede presentarse en formas aparentemente distintas. Por ejemplo,
\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]
es un polinomio, pero contiene términos que pueden agruparse. Tras sumar los monomios semejantes, se convierte en
\[ x^2-2x+4. \]
Las dos expresiones representan el mismo polinomio. La segunda está escrita en forma reducida, noción que estudiaremos con mayor detalle en la sección siguiente.
Términos, Coeficientes y Forma Reducida
Los monomios que componen un polinomio reciben el nombre de términos del polinomio. Consideremos, por ejemplo,
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Sus términos son
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
El signo de cada término está incluido en su correspondiente coeficiente. En el polinomio anterior, por tanto, los coeficientes son respectivamente
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]
El término que no contiene variables recibe el nombre de término independiente. En el ejemplo considerado, el término independiente es \(-7\). Si en la expresión de un polinomio no aparece ningún término independiente, se considera que dicho término es \(0\).
Un polinomio puede contener términos semejantes, es decir, monomios con la misma parte literal. En tal caso, dichos términos pueden agruparse sumando algebraicamente sus respectivos coeficientes.
Consideremos el polinomio
\[ 3x^2y-5xy^2+4x^2y+2xy^2-7. \]
Los términos \(3x^2y\) y \(4x^2y\) son semejantes, al igual que los términos \(-5xy^2\) y \(2xy^2\). Al agruparlos se obtiene
\[ (3+4)x^2y+(-5+2)xy^2-7, \]
y, por tanto,
\[ 7x^2y-3xy^2-7. \]
Un polinomio se dice escrito en forma reducida cuando todos sus términos son monomios en forma normal y no figuran dos términos semejantes.
Reducir un polinomio significa, pues, reducir ante todo cada uno de sus términos a forma normal y, a continuación, agrupar los términos semejantes. Los términos cuyo coeficiente resulta igual a \(0\) se eliminan.
Por ejemplo,
\[ 2x\cdot 3xy-4x^2y+x^2y+5 \]
se convierte primero en
\[ 6x^2y-4x^2y+x^2y+5, \]
y luego en
\[ (6-4+1)x^2y+5=3x^2y+5. \]
La forma reducida permite reconocer de inmediato la estructura efectiva de un polinomio. En efecto, dos expresiones aparentemente distintas representan el mismo polinomio cuando, una vez reducidas, presentan los mismos términos con los mismos coeficientes.
Por ejemplo,
\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]
y
\[ x^2-2x+4 \]
representan el mismo polinomio, puesto que la primera expresión se reduce a la segunda.
En el caso de un polinomio en una sola variable,
\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]
el número \(a_k\) es el coeficiente de \(x^k\). Si \(a_k\neq0\), el monomio \(a_kx^k\) es un término del polinomio y tiene grado \(k\); si, por el contrario, \(a_k=0\), el término correspondiente se omite en la escritura.
Por ejemplo, en el polinomio
\[ P(x)=3x^4-2x+1, \]
los coeficientes de \(x^3\) y de \(x^2\) son ambos nulos. El polinomio puede, en efecto, escribirse también en la forma
\[ P(x)=3x^4+0x^3+0x^2-2x+1. \]
Los términos con coeficiente nulo se omiten normalmente, pero considerarlos implícitamente presentes permite comparar con mayor facilidad polinomios distintos y efectuar ordenadamente las operaciones entre ellos.
Grado y Clasificación de los Polinomios
Grado de un Polinomio
El grado de un polinomio no nulo es el máximo grado total de los monomios que figuran en su forma reducida.
Es necesario, por tanto, reducir el polinomio antes de determinar su grado, porque la suma de términos semejantes puede modificar o eliminar los términos de grado más elevado.
Consideremos, por ejemplo,
\[ P(x)=x^3-x^3+2x+1. \]
Los dos términos de tercer grado se anulan y el polinomio se reduce a
\[ P(x)=2x+1. \]
Su grado es, pues, \(1\), y no \(3\).
En el caso de un polinomio en una sola variable escrito en la forma reducida
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0, \]
el grado es el mayor exponente con que aparece la variable \(x\):
\[ \deg(P)=n. \]
El coeficiente \(a_n\) recibe el nombre de coeficiente principal, mientras que el término \(a_nx^n\) se denomina término principal.
Por ejemplo, en el polinomio
\[ P(x)=-3x^5+2x^2-x+4, \]
el grado es \(5\), el coeficiente principal es \(-3\) y el término principal es \(-3x^5\).
Un polinomio constante no nulo tiene grado \(0\). Por ejemplo,
\[ \deg(7)=0. \]
El polinomio nulo constituye, en cambio, un caso particular. Puesto que puede escribirse atribuyéndole términos de cualquier grado,
\[ 0=0x=0x^2=0x^{10}, \]
en el álgebra elemental su grado se deja sin definir.
Para un polinomio en varias variables cabe considerar también el grado respecto de una variable determinada, definido como el máximo exponente con que dicha variable aparece en los términos no nulos de la forma reducida.
Consideremos el polinomio
\[ P(x,y)=3x^2y-5xy^3+7. \]
Los tres términos tienen respectivamente grado total \(3\), \(4\) y \(0\). El grado total del polinomio es, por tanto,
\[ \deg(P)=4. \]
El grado respecto de \(x\) es, en cambio, \(2\), mientras que el grado respecto de \(y\) es \(3\).
Clasificación según el Número de Términos
Una vez reducido un polinomio no nulo, cabe clasificarlo según el número de sus términos.
Un polinomio formado por un solo término no nulo es un monomio; un polinomio formado por dos términos es un binomio; un polinomio formado por tres términos es un trinomio.
Por ejemplo,
\[ 4x^3,\qquad x^2-1,\qquad x^2+3x+2 \]
son respectivamente un monomio, un binomio y un trinomio.
El polinomio nulo constituye un caso particular: coincide con el monomio nulo, pero en su forma reducida no posee términos no nulos y no se clasifica según el número de términos.
También esta clasificación debe efectuarse tras la reducción. La expresión
\[ x^2+3x-2x+1 \]
contiene inicialmente cuatro términos, pero se reduce a
\[ x^2+x+1, \]
y es, por tanto, un trinomio.
Polinomios Ordenados y Completos
Un polinomio en una variable se dice ordenado cuando sus términos están dispuestos según las potencias crecientes o decrecientes de la variable.
El polinomio
\[ 3x^4-2x^3+x-5 \]
está ordenado según las potencias decrecientes de \(x\), mientras que
\[ -5+x-2x^3+3x^4 \]
está ordenado según las potencias crecientes.
Un polinomio de grado \(n\) se dice completo respecto de la variable \(x\) cuando contiene, con coeficientes no nulos, todas las potencias de \(x\) desde \(n\) hasta \(0\).
Por ejemplo,
\[ 2x^4-x^3+3x^2+x-5 \]
es un polinomio completo de cuarto grado, porque contiene las potencias
\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]
El polinomio
\[ 2x^4+3x-5 \]
es, en cambio, incompleto, puesto que no contiene términos en \(x^3\) ni en \(x^2\). Los coeficientes correspondientes a dichas potencias son implícitamente iguales a \(0\).
Polinomios Homogéneos
Un polinomio no nulo en varias variables se dice homogéneo cuando todos sus términos tienen el mismo grado total.
Por ejemplo,
\[ P(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3 \]
es homogéneo de grado \(3\), porque cada término tiene grado total \(3\).
El polinomio
\[ Q(x,y)=x^2+xy+y \]
no es, en cambio, homogéneo: los dos primeros términos tienen grado \(2\), mientras que el término \(y\) tiene grado \(1\).
Polinomios Mónicos
Un polinomio no nulo en una variable se dice mónico cuando su coeficiente principal es igual a \(1\).
El polinomio
\[ x^4-3x^2+2x-1 \]
es mónico, mientras que
\[ 2x^4-3x^2+2x-1 \]
no lo es, porque su coeficiente principal es \(2\).
El grado, el número de términos, el orden, la completitud, la homogeneidad y el carácter mónico describen aspectos distintos de la estructura de un polinomio. Un mismo polinomio puede, por tanto, pertenecer simultáneamente a varias categorías: por ejemplo, puede ser un trinomio, ordenado, incompleto y mónico.
Operaciones con Polinomios
La suma, la diferencia y el producto de dos polinomios son de nuevo polinomios. En consecuencia, también toda potencia de un polinomio con exponente entero positivo es un polinomio. Se dice, por tanto, que el conjunto de los polinomios es cerrado respecto de la adición, la sustracción y la multiplicación.
Antes de efectuar los cálculos conviene reducir cada polinomio y, en el caso de polinomios en una sola variable, ordenar sus términos según las potencias crecientes o decrecientes de la variable.
Adición
Para sumar dos polinomios se agrupan los términos semejantes, sumando algebraicamente sus respectivos coeficientes.
Consideremos
\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]
y
\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]
Disponiendo los términos semejantes en el mismo orden, obtenemos
\[ \begin{aligned} P(x)+Q(x) &=(3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6)\\ &=(3-1)x^3+(-2+4)x^2+(5-3)x+(-1+6)\\ &=2x^3+2x^2+2x+5. \end{aligned} \]
La suma puede efectuarse también disponiendo verticalmente los polinomios, con la precaución de colocar en la misma columna los términos con idéntica parte literal.
Para dos polinomios no nulos \(P\) y \(Q\), el grado de la suma satisface
\[ \deg(P+Q)\leq\max\{\deg(P),\deg(Q)\}, \]
siempre que \(P+Q\) no sea el polinomio nulo.
El grado de la suma puede ser menor que el máximo de los grados de los dos sumandos cuando los términos de grado más elevado se anulan. Por ejemplo,
\[ (2x^3+x)+(-2x^3+4)=x+4. \]
Los dos polinomios tienen grado \(3\), mientras que su suma tiene grado \(1\).
Sustracción
Restar un polinomio significa sumar su opuesto. El opuesto de un polinomio se obtiene cambiando el signo de todos sus términos.
Si
\[ Q(x)=x^2-3x+5, \]
entonces
\[ -Q(x)=-x^2+3x-5. \]
Consideremos ahora
\[ P(x)=4x^2+x-2. \]
La diferencia \(P(x)-Q(x)\) es
\[ \begin{aligned} P(x)-Q(x) &=(4x^2+x-2)-(x^2-3x+5)\\ &=4x^2+x-2-x^2+3x-5\\ &=3x^2+4x-7. \end{aligned} \]
Los paréntesis son esenciales: el signo menos situado delante de un polinomio modifica el signo de cada uno de los términos contenidos en su interior.
Multiplicación
El producto de dos polinomios se calcula aplicando reiteradamente la propiedad distributiva: cada término del primer polinomio debe multiplicarse por cada término del segundo.
Consideremos
\[ P(x)=2x-3 \qquad\text{y}\qquad Q(x)=x^2+4x+1. \]
Se tiene
\[ \begin{aligned} P(x)Q(x) &=(2x-3)(x^2+4x+1)\\ &=2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1)\\ &=2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3\\ &=2x^3+5x^2-10x-3. \end{aligned} \]
Tras aplicar la propiedad distributiva, el resultado debe reducirse agrupando los eventuales términos semejantes.
El producto de dos polinomios no nulos no es nunca el polinomio nulo. Además, su grado es igual a la suma de los grados de los factores:
\[ \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q). \]
En el ejemplo anterior,
\[ \deg(P)=1, \qquad \deg(Q)=2, \]
y, en efecto,
\[ \deg(PQ)=1+2=3. \]
Esta propiedad se deriva del hecho de que el término principal del producto se obtiene multiplicando los términos principales de los dos factores. Si
\[ P(x)=a_nx^n+\cdots \qquad\text{y}\qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots, \]
con \(a_n\neq0\) y \(b_m\neq0\), el término principal del producto es
\[ a_nb_mx^{n+m}. \]
Puesto que el producto \(a_nb_m\) de dos números reales no nulos sigue siendo distinto de cero, el grado del producto es \(n+m\).
Potencia
Elevar un polinomio a un exponente entero positivo significa multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indique el exponente.
Por ejemplo,
\[ P(x)^3=P(x)\cdot P(x)\cdot P(x). \]
Consideremos el polinomio
\[ P(x)=x+2. \]
Su segunda potencia es
\[ \begin{aligned} P(x)^2 &=(x+2)(x+2)\\ &=x^2+2x+2x+4\\ &=x^2+4x+4. \end{aligned} \]
El cálculo se ha efectuado aplicando la propiedad distributiva. Las fórmulas conocidas como productos notables permiten abreviar algunos desarrollos recurrentes, pero se derivan siempre de esta misma propiedad.
Si \(P\) es un polinomio no nulo y \(m\) es un entero positivo, entonces
\[ \deg(P^m)=m\deg(P). \]
En efecto, \(P^m\) es el producto de \(m\) factores todos iguales a \(P\), y el grado del producto es la suma de los grados de cada uno de los factores.
Para todo polinomio no nulo se establece, además,
\[ P(x)^0=1. \]
El caso en que el polinomio sea nulo y el exponente sea \(0\) no se define.
Las operaciones que acabamos de estudiar muestran que la adición, la sustracción y la multiplicación producen siempre polinomios; lo mismo cabe decir de las potencias con exponente entero positivo. Para todo polinomio no nulo está definida asimismo la potencia de exponente \(0\), mientras que la división exige condiciones adicionales y será tratada por separado.
Valor Numérico de un Polinomio
El valor numérico de un polinomio se obtiene sustituyendo sus variables por determinados valores numéricos y efectuando las operaciones indicadas.
Consideremos, por ejemplo, el polinomio
\[ P(x)=2x^3-5x+1. \]
Asignando a la variable \(x\) el valor \(2\), se obtiene
\[ P(2)=2\cdot 2^3-5\cdot 2+1. \]
Efectuando los cálculos,
\[ P(2)=2\cdot 8-10+1=16-10+1=7. \]
Se dice, en consecuencia, que el valor numérico de \(P(x)\) para \(x=2\) es \(7\).
La notación \(P(2)\) indica el número obtenido al sustituir \(2\) en cada aparición de la variable \(x\). Más en general, si
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \]
entonces, dado un número real \(c\), se tiene
\[ P(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_1c+a_0. \]
Cuando el valor asignado a la variable es negativo, es importante encerrarlo entre paréntesis antes de elevarlo a una potencia. Consideremos, por ejemplo,
\[ Q(x)=x^3-2x^2+4. \]
Para \(x=-2\) se obtiene
\[ Q(-2)=(-2)^3-2(-2)^2+4. \]
Por tanto,
\[ Q(-2)=-8-2\cdot 4+4=-8-8+4=-12. \]
Los paréntesis permiten distinguir correctamente la potencia del número negativo del opuesto de una potencia. En efecto,
\[ (-2)^2=4, \qquad -2^2=-4. \]
El valor numérico puede calcularse también para polinomios en varias variables. Consideremos
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Para \(x=2\) e \(y=-1\), se tiene
\[ P(2,-1)=3\cdot 2^2\cdot(-1)-2\cdot 2\cdot(-1)^2+5. \]
Desarrollando los cálculos,
\[ P(2,-1)=3\cdot 4\cdot(-1)-4+5=-12-4+5=-11. \]
En general, si \(P(x_1,x_2,\dots,x_n)\) es un polinomio en \(n\) variables, su valor numérico correspondiente a los números reales \(c_1,c_2,\dots,c_n\) se indica con
\[ P(c_1,c_2,\dots,c_n) \]
y se obtiene sustituyendo la variable \(x_i\) por \(c_i\) para todo \(i=1,2,\dots,n\).
Puesto que un polinomio contiene únicamente sumas, diferencias, productos y potencias con exponente entero no negativo, su valor numérico está definido para toda elección real de las variables.
A todo polinomio en una variable puede asociarse, por tanto, una función que a cada número real \(x\) le asigna el valor \(P(x)\) correspondiente:
\[ x\longmapsto P(x). \]
El polinomio y la función polinómica asociada a él son objetos estrechamente relacionados, pero no deben confundirse: el primero es un objeto algebraico representado por una expresión formal, mientras que la segunda es la función que asigna a cada valor de la variable el valor numérico correspondiente del polinomio.