Esta colección presenta 20 ejercicios resueltos sobre las propiedades de las potencias, ordenados con dificultad creciente. El objetivo no es únicamente efectuar correctamente los cálculos, sino aprender a reconocer la estructura de una expresión y a identificar la propiedad de las potencias que puede aplicarse.
Estudiaremos el producto y el cociente de potencias de la misma base, la potencia de una potencia, la potencia de un producto y la potencia de un cociente. Abordaremos, además, ejercicios sobre potencias de exponente cero, negativo y racional.
En los primeros ejercicios aplicaremos una sola propiedad cada vez. En los siguientes, en cambio, será necesario emplear varias propiedades de forma sucesiva, prestando atención al orden en que deben efectuarse las distintas transformaciones.
Cuando aparezcan variables, denominadores o exponentes negativos y racionales, examinaremos también las condiciones bajo las cuales las expresiones están definidas. De este modo, cada simplificación conservará no solo el valor de la expresión, sino también el dominio de la expresión de partida.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ 2^3\cdot 2^4. \]
Resultado
\[ 2^3\cdot 2^4=128. \]
Resolución
La expresión es el producto de dos potencias de la misma base, igual a \(2\). Al multiplicar potencias de la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
En nuestro caso, los exponentes son \(3\) y \(4\). Por tanto,
\[ 2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7. \]
Por definición, \(2^7\) es el producto de siete factores iguales a \(2\):
\[ 2^7=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=128. \]
En consecuencia,
\[ 2^3\cdot 2^4=128. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{5^6}{5^4}. \]
Resultado
\[ \frac{5^6}{5^4}=25. \]
Resolución
En el numerador y en el denominador aparecen dos potencias de la misma base, igual a \(5\). Como la base es distinta de cero, podemos aplicar la propiedad del cociente de potencias de la misma base:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0. \]
Se conserva la base y se resta al exponente del numerador el del denominador. Obtenemos así
\[ \frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2. \]
Calculamos la potencia resultante:
\[ 5^2=5\cdot5=25. \]
Por tanto,
\[ \frac{5^6}{5^4}=25. \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ \left(3^2\right)^3. \]
Resultado
\[ \left(3^2\right)^3=729. \]
Resolución
La expresión está formada por la potencia \(3^2\), elevada a su vez al cubo. Se trata, por tanto, de una potencia de una potencia.
En este caso, los exponentes no se suman. Se conserva la base y se multiplican el exponente interior y el exterior:
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
El exponente interior es \(2\) y el exterior es \(3\). Por tanto,
\[ \left(3^2\right)^3=3^{2\cdot3}=3^6. \]
Al calcular la sexta potencia de \(3\), obtenemos
\[ 3^6=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=729. \]
El mismo resultado podría obtenerse calculando primero \(3^2=9\) y después \(9^3=729\). Sin embargo, aplicar la propiedad de la potencia de una potencia permite poner de manifiesto directamente la estructura de la expresión. En consecuencia,
\[ \left(3^2\right)^3=729. \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ (2\cdot5)^3. \]
Resultado
\[ (2\cdot5)^3=1000. \]
Resolución
Dentro del paréntesis aparece el producto \(2\cdot5\), y todo el producto está elevado al cubo. Podemos, por tanto, aplicar la propiedad de la potencia de un producto:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Esta propiedad establece que el exponente debe aplicarse a cada factor del producto. Por tanto,
\[ (2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3. \]
Calculamos por separado las dos potencias:
\[ 2^3=8 \qquad\text{y}\qquad 5^3=125. \]
En consecuencia,
\[ 2^3\cdot5^3=8\cdot125=1000. \]
Podemos comprobar el resultado calculando primero el producto contenido en el paréntesis:
\[ (2\cdot5)^3=10^3=1000. \]
Por tanto,
\[ (2\cdot5)^3=1000. \]
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4. \]
Resultado
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=16. \]
Resolución
La expresión es un cociente elevado a la cuarta potencia. Podemos proceder de dos maneras: simplificar primero el cociente o bien aplicar la propiedad de la potencia de un cociente.
En este caso, el primer procedimiento es el más inmediato, ya que
\[ \frac{6}{3}=2. \]
Por tanto,
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=2^4=16. \]
Podemos obtener el mismo resultado aplicando la propiedad
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
Como el denominador es \(3\neq0\), podemos escribir
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=\frac{6^4}{3^4}. \]
Al calcular el numerador y el denominador, obtenemos
\[ 6^4=1296 \qquad\text{y}\qquad 3^4=81. \]
Entonces,
\[ \frac{6^4}{3^4}=\frac{1296}{81}=16. \]
Ambos procedimientos conducen, pues, al mismo resultado:
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=16. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ x^4\cdot x^5. \]
Resultado
\[ x^4\cdot x^5=x^9. \]
Resolución
La expresión es el producto de dos potencias de la misma base \(x\). El hecho de que la base sea una variable, en lugar de un número dado, no altera la propiedad que debe aplicarse.
Al multiplicar dos potencias de la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
En nuestro caso, la base común es \(x\) y los exponentes son \(4\) y \(5\). Por tanto,
\[ x^4\cdot x^5=x^{4+5}=x^9. \]
No se necesita ninguna condición sobre la variable, pues solo aparecen potencias de exponente entero positivo. La igualdad es, por tanto, válida para todo \(x\in\mathbb{R}\):
\[ x^4\cdot x^5=x^9. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \frac{x^9}{x^4} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^5 \qquad (x\neq0). \]
Resolución
Antes de simplificar la expresión, debemos examinar su dominio. Como \(x^4\) aparece en el denominador, el cociente está definido únicamente cuando
\[ x^4\neq0. \]
Una potencia de exponente entero positivo es igual a cero si y solo si su base es igual a cero. Por tanto,
\[ x^4\neq0 \iff x\neq0. \]
Bajo esta condición, el numerador y el denominador son potencias de la misma base \(x\). Podemos, pues, aplicar la propiedad
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0. \]
Conservamos la base \(x\) y restamos al exponente del numerador el del denominador:
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^{9-4}=x^5. \]
Aunque la expresión simplificada \(x^5\) está definida también para \(x=0\), el cociente inicial no lo está. Por ello, debe mantenerse la condición \(x\neq0\). Por tanto,
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^5 \qquad (x\neq0). \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \left(x^3\right)^5. \]
Resultado
\[ \left(x^3\right)^5=x^{15}. \]
Resolución
La expresión está formada por la potencia \(x^3\), elevada a su vez a la quinta potencia. Se trata, por tanto, de una potencia de una potencia.
En este caso, los exponentes no se suman. Se conserva la base y se multiplican el exponente interior y el exterior:
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
El exponente interior es \(3\) y el exterior es \(5\). En consecuencia,
\[ \left(x^3\right)^5=x^{3\cdot5}=x^{15}. \]
Como todos los exponentes que intervienen son enteros positivos, la igualdad es válida para todo \(x\in\mathbb{R}\). Por tanto,
\[ \left(x^3\right)^5=x^{15}. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ (3x)^3. \]
Resultado
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Resolución
Dentro del paréntesis aparece el producto del factor numérico \(3\) por la variable \(x\). Como todo el producto está elevado al cubo, el exponente debe aplicarse a ambos factores.
Utilizamos la propiedad
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Tomando \(a=3\), \(b=x\) y \(n=3\), obtenemos
\[ (3x)^3=3^3x^3. \]
Calculamos ahora la potencia del factor numérico:
\[ 3^3=3\cdot3\cdot3=27. \]
Por tanto,
\[ (3x)^3=27x^3. \]
No sería correcto escribir \(3x^3\), porque el exponente actúa sobre todo el producto contenido en el paréntesis y, por tanto, también sobre el factor \(3\). En consecuencia,
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4. \]
Resultado
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{16}. \]
Resolución
Todo el cociente \(\displaystyle\frac{x}{2}\) está elevado a la cuarta potencia. Como el denominador es el número \(2\), distinto de cero, la expresión está definida para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Podemos, pues, aplicar la propiedad de la potencia de un cociente:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
El exponente \(4\) debe aplicarse tanto al numerador como al denominador. Por tanto,
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{2^4}. \]
Como
\[ 2^4=16, \]
obtenemos
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{16}. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Calcular:
\[ 4^0\cdot 7^2. \]
Resultado
\[ 4^0\cdot 7^2=49. \]
Resolución
En la expresión aparece la potencia \(4^0\). Para calcularla utilizamos la definición de potencia de exponente cero.
Para todo número real \(a\neq0\), se tiene
\[ a^0=1. \]
La condición \(a\neq0\) es esencial, porque en el ámbito de las propiedades algebraicas de las potencias la expresión \(0^0\) no se define.
En este ejercicio, la base es \(4\), distinta de cero. Por tanto,
\[ 4^0=1. \]
Además,
\[ 7^2=7\cdot7=49. \]
Sustituyendo estos valores en la expresión inicial, obtenemos
\[ 4^0\cdot7^2=1\cdot49=49. \]
En consecuencia,
\[ 4^0\cdot7^2=49. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★☆☆☆
Calcular:
\[ 3^{-2}. \]
Resultado
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Resolución
El exponente es negativo. El signo menos del exponente no determina el signo de la potencia, sino que indica que debemos tomar el inverso de la potencia correspondiente de exponente positivo.
Si \(a\neq0\) y \(n\in\mathbb{N}^*\), se define
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
En este ejercicio, la base es \(3\), distinta de cero, de modo que la potencia está definida. Aplicando la definición con \(a=3\) y \(n=2\), obtenemos
\[ 3^{-2}=\frac{1}{3^2}. \]
Como
\[ 3^2=9, \]
se sigue que
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
No sería correcto escribir \(3^{-2}=-9\), pues el signo menos pertenece al exponente e indica el paso al inverso; no indica que el valor de la potencia sea negativo.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Simplificar:
\[ x^{-3}\cdot x^7 \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4 \qquad (x\neq0). \]
Resolución
En la expresión aparece la potencia \(x^{-3}\). Por definición,
\[ x^{-3}=\frac{1}{x^3}. \]
Este inverso está definido únicamente cuando \(x^3\neq0\), condición equivalente a
\[ x\neq0. \]
Bajo esta condición, las dos potencias que forman el producto tienen la misma base \(x\). La propiedad del producto de potencias de la misma base sigue siendo válida para exponentes enteros:
\[ a^h\cdot a^k=a^{h+k}, \qquad a\neq0,\quad h,k\in\mathbb{Z}. \]
Sumamos, pues, algebraicamente los exponentes, teniendo en cuenta su signo:
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^{-3+7}. \]
Como
\[ -3+7=4, \]
obtenemos
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4. \]
Podemos comprobar el mismo resultado directamente a partir de la definición de exponente negativo:
\[ x^{-3}\cdot x^7=\frac{1}{x^3}\cdot x^7=\frac{x^7}{x^3}=x^{7-3}=x^4. \]
Aunque la expresión simplificada \(x^4\) está definida también para \(x=0\), la expresión inicial no lo está. Por ello, debe mantenerse la condición \(x\neq0\). Por tanto,
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4 \qquad (x\neq0). \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \left(x^2y^3\right)^4. \]
Resultado
\[ \left(x^2y^3\right)^4=x^8y^{12}. \]
Resolución
Dentro del paréntesis aparece el producto de las dos potencias \(x^2\) e \(y^3\), y todo el producto está elevado a la cuarta potencia.
Aplicamos, en primer lugar, la propiedad de la potencia de un producto:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Considerando \(x^2\) e \(y^3\) como los dos factores, obtenemos
\[ \left(x^2y^3\right)^4=\left(x^2\right)^4\left(y^3\right)^4. \]
Cada factor es ahora una potencia de una potencia. Utilizamos, pues, la propiedad
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
Al aplicarla al primer factor, obtenemos
\[ \left(x^2\right)^4=x^{2\cdot4}=x^8. \]
Al aplicarla al segundo factor, obtenemos
\[ \left(y^3\right)^4=y^{3\cdot4}=y^{12}. \]
Sustituyendo los resultados obtenidos, se sigue que
\[ \left(x^2y^3\right)^4=x^8y^{12}. \]
Todos los exponentes que intervienen son enteros positivos y no aparecen denominadores. La igualdad es, por tanto, válida para todo \(x,y\in\mathbb{R}\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8} \qquad (x\neq0). \]
Resolución
Antes de simplificar la expresión, debemos examinar su dominio. La variable \(x\) aparece en el denominador del cociente \(\displaystyle\frac{2}{x}\), de modo que debemos imponer
\[ x\neq0. \]
Además, todo el cociente está elevado a un exponente negativo, por lo que su base debe ser distinta de cero. Esta segunda condición se cumple automáticamente, ya que el numerador es \(2\neq0\) y, en consecuencia, \(\displaystyle\frac{2}{x}\neq0\) siempre que \(x\neq0\).
Un exponente negativo indica el inverso de la potencia correspondiente de exponente positivo. Para \(a\neq0\), \(b\neq0\) y \(n\in\mathbb{N}^*\), se cumple
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n. \]
Aplicando esta propiedad con \(a=2\), \(b=x\) y \(n=3\), obtenemos
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\left(\frac{x}{2}\right)^3. \]
Aplicamos ahora la propiedad de la potencia de un cociente:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
Por tanto,
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^3=\frac{x^3}{2^3}. \]
Como
\[ 2^3=8, \]
se sigue que
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8}. \]
Aunque en la forma simplificada \(x\) ya no aparece en el denominador, debe mantenerse la condición \(x\neq0\), pues forma parte de las condiciones de definición de la expresión inicial. En consecuencia,
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8} \qquad (x\neq0). \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Calcular:
\[ 25^{\frac{1}{2}}. \]
Resultado
\[ 25^{\frac{1}{2}}=5. \]
Resolución
El exponente es el número racional \(\displaystyle\frac{1}{2}\). Una potencia cuyo exponente tiene la forma \(\displaystyle\frac{1}{q}\) se interpreta mediante una raíz.
Si \(a>0\) y \(q\in\mathbb{N}^*\), se define
\[ a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}. \]
Cuando \(q=2\), esta definición se reduce a
\[ a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}. \]
Como la base \(25\) es positiva, podemos escribir
\[ 25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}. \]
El símbolo \(\sqrt{25}\) designa la raíz cuadrada aritmética de \(25\), es decir, el único número no negativo cuyo cuadrado es igual a \(25\).
Como
\[ 5^2=25, \]
se sigue que
\[ \sqrt{25}=5. \]
Por tanto,
\[ 25^{\frac{1}{2}}=5. \]
El resultado es \(5\), no \(\pm5\). Los números \(5\) y \(-5\) son ambos soluciones de la ecuación \(x^2=25\), mientras que el radical \(\sqrt{25}\) designa únicamente la solución no negativa.
Ejercicio 17 — nivel ★★★☆☆
Calcular:
\[ 8^{\frac{1}{3}}. \]
Resultado
\[ 8^{\frac{1}{3}}=2. \]
Resolución
El exponente es \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Una potencia con este exponente representa la raíz cúbica de la base.
Para una base positiva \(a\), se tiene
\[ a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}. \]
Como \(8>0\), podemos escribir
\[ 8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}. \]
Debemos, pues, determinar el número que, elevado al cubo, da \(8\).
Como
\[ 2^3=2\cdot2\cdot2=8, \]
obtenemos
\[ \sqrt[3]{8}=2. \]
Por tanto,
\[ 8^{\frac{1}{3}}=2. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★☆☆
Simplificar:
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} \qquad (x>0). \]
Resultado
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x \qquad (x>0). \]
Resolución
En la expresión aparecen potencias de exponente racional. En el marco de la teoría desarrollada, suponemos que la base es estrictamente positiva:
\[ x>0. \]
Bajo esta condición, las propiedades de las potencias siguen siendo válidas también para exponentes racionales.
Las dos potencias están multiplicadas entre sí y tienen la misma base \(x\). Podemos, pues, aplicar la propiedad
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s}, \qquad a>0,\quad r,s\in\mathbb{Q}. \]
Conservamos la base \(x\) y sumamos los exponentes:
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =x^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}. \]
Las dos fracciones tienen el mismo denominador, de modo que podemos sumar los numeradores:
\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{3} =\frac{2+1}{3} =\frac{3}{3} =1. \]
En consecuencia,
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x^1. \]
Como todo número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo,
\[ x^1=x. \]
Por tanto,
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x \qquad (x>0). \]
Podemos comprobar el mismo resultado reescribiendo las potencias racionales mediante raíces:
\[ x^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 \qquad\text{y}\qquad x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}. \]
En consecuencia,
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =\left(\sqrt[3]{x}\right)^2\cdot\sqrt[3]{x} =\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 =x. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★☆☆
Calcular:
\[ 27^{\frac{2}{3}}. \]
Resultado
\[ 27^{\frac{2}{3}}=9. \]
Resolución
El exponente es el número racional \(\displaystyle\frac{2}{3}\). El denominador \(3\) indica una raíz cúbica, mientras que el numerador \(2\) indica que el resultado de la raíz debe elevarse al cuadrado.
Si \(a>0\), \(p\in\mathbb{Z}\) y \(q\in\mathbb{N}^*\), se tiene
\[ a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p. \]
En este ejercicio, \(a=27\), \(p=2\) y \(q=3\). Por tanto,
\[ 27^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2. \]
La raíz cúbica de \(27\) es \(3\), porque
\[ 3^3=27. \]
En consecuencia,
\[ 27^{\frac{2}{3}}=3^2=9. \]
También podemos emplear la representación equivalente
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}, \qquad a>0. \]
De este modo obtenemos
\[ 27^{\frac{2}{3}} =\sqrt[3]{27^2} =\sqrt[3]{729} =9, \]
puesto que
\[ 9^3=729. \]
Ambos procedimientos son correctos. En este caso resulta más conveniente calcular primero la raíz cúbica, pues permite trabajar con números más pequeños. Por tanto,
\[ 27^{\frac{2}{3}}=9. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9 \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3 \qquad (x\neq0). \]
Resolución
En la expresión aparece la potencia \(x^{-2}\). Por definición,
\[ x^{-2}=\frac{1}{x^2}. \]
Esta expresión está definida únicamente cuando \(x\neq0\). Por ello, debe mantenerse la misma condición a lo largo de toda la simplificación y en el resultado final.
Simplifiquemos, en primer lugar, la potencia de una potencia \(\left(x^{-2}\right)^3\). Para una base distinta de cero y exponentes enteros, se cumple
\[ \left(a^h\right)^k=a^{hk}. \]
El exponente interior es \(-2\) y el exterior es \(3\). Por tanto,
\[ \left(x^{-2}\right)^3=x^{(-2)\cdot3}=x^{-6}. \]
Sustituyendo este resultado en la expresión inicial, obtenemos
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^{-6}\cdot x^9. \]
Las dos potencias tienen ahora la misma base \(x\). Podemos, pues, sumar los exponentes:
\[ x^{-6}\cdot x^9=x^{-6+9}. \]
Como
\[ -6+9=3, \]
obtenemos
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3. \]
Podemos comprobar el resultado directamente a partir de la definición de exponente negativo:
\[ \left(x^{-2}\right)^3 =\left(\frac{1}{x^2}\right)^3 =\frac{1}{x^6}. \]
En consecuencia,
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9 =\frac{x^9}{x^6} =x^{9-6} =x^3. \]
Aunque la expresión simplificada \(x^3\) está definida también para \(x=0\), la expresión inicial no lo está. Por ello, debe mantenerse la condición \(x\neq0\). Por tanto,
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3 \qquad (x\neq0). \]
Ejercicio 21 — nivel ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3}=2 \qquad (x\neq0). \]
Resolución
La variable \(x\) aparece en el denominador, por lo que la expresión está definida únicamente cuando \(x\neq0\).
Desarrollamos por separado el numerador y el denominador, aplicando primero la potencia de un producto y después la potencia de una potencia:
\[ (4x^3)^2=4^2\left(x^3\right)^2=16x^6 \]
y
\[ (2x^2)^3=2^3\left(x^2\right)^3=8x^6. \]
Sustituyendo estos resultados en el cociente, obtenemos
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3} =\frac{16x^6}{8x^6} =\frac{16}{8}\cdot\frac{x^6}{x^6}. \]
Como \(x\neq0\), se tiene \(\displaystyle\frac{x^6}{x^6}=1\). Por tanto,
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3}=2. \]
Ejercicio 22 — nivel ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} =a^3b^5 \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Resolución
Las potencias \(a^5\) y \(b^7\) aparecen en el denominador, por lo que debemos exigir \(a\neq0\) y \(b\neq0\).
Desarrollamos el numerador aplicando la propiedad de la potencia de un producto:
\[ \left(a^2b^3\right)^4 =\left(a^2\right)^4\left(b^3\right)^4 =a^{2\cdot4}b^{3\cdot4} =a^8b^{12}. \]
Sustituyendo este resultado, obtenemos
\[ \frac{a^8b^{12}}{a^5b^7} =a^{8-5}b^{12-7} =a^3b^5. \]
Por tanto,
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} =a^3b^5 \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Ejercicio 23 — nivel ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{x^6}{4} \qquad (x\neq0). \]
Resolución
Como la variable \(x\) aparece en el denominador, la expresión está definida únicamente cuando \(x\neq0\).
Desarrollamos el numerador y el denominador:
\[ (2x^3)^4=2^4\left(x^3\right)^4=16x^{12} \]
y
\[ (4x^2)^3=4^3\left(x^2\right)^3=64x^6. \]
Por tanto,
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{16x^{12}}{64x^6} =\frac{16}{64}x^{12-6} =\frac{x^6}{4}. \]
Ejercicio 24 — nivel ★★★★☆
Simplificar:
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 \qquad (a\geq0,\ b\geq0). \]
Resultado
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =a^3b^2 \qquad (a\geq0,\ b\geq0). \]
Resolución
Las condiciones \(a\geq0\) y \(b\geq0\) garantizan que las potencias racionales de la expresión estén definidas dentro del marco considerado.
Distribuimos el exponente \(6\) sobre los dos factores:
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =\left(a^{\frac12}\right)^6 \left(b^{\frac13}\right)^6. \]
Multiplicando los exponentes, obtenemos
\[ \left(a^{\frac12}\right)^6=a^3 \qquad\text{y}\qquad \left(b^{\frac13}\right)^6=b^2. \]
Por tanto,
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6=a^3b^2. \]
Ejercicio 25 — nivel ★★★★☆
Simplificar:
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Resultado
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\frac{y^6}{x^4} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Resolución
La condición \(y\neq0\) permite definir el cociente. Como este está elevado a un exponente negativo, su base también debe ser distinta de cero, de modo que debemos exigir \(x\neq0\).
Invertimos el cociente y cambiamos el exponente por su correspondiente positivo:
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\left(\frac{y^3}{x^2}\right)^2. \]
Aplicando la potencia de un cociente, obtenemos
\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^2 =\frac{\left(y^3\right)^2}{\left(x^2\right)^2} =\frac{y^6}{x^4}. \]
Ejercicio 26 — nivel ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}. \]
Resultado
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}=1. \]
Resolución
Las bases \(2\), \(4\) y \(8\) son positivas, por lo que las potencias están definidas para todo \(n\in\mathbb{R}\), y el denominador nunca es cero.
Escribimos todas las potencias con base \(2\):
\[ 4^n=2^{2n} \qquad\text{y}\qquad 8^n=2^{3n}. \]
Por tanto,
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n} =\frac{2^n\cdot2^{2n}}{2^{3n}} =\frac{2^{3n}}{2^{3n}} =1. \]
Ejercicio 27 — nivel ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} \qquad (x\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} =3 \qquad (x\neq0). \]
Resolución
Desarrollamos los dos factores del numerador:
\[ (3x^2)^3=27x^6 \qquad\text{y}\qquad (2x)^2=4x^2. \]
El numerador es, por tanto,
\[ 27x^6\cdot4x^2=108x^8. \]
El denominador es
\[ (6x^4)^2=36x^8. \]
Como \(x\neq0\), podemos simplificar \(x^8\):
\[ \frac{108x^8}{36x^8}=3. \]
Ejercicio 28 — nivel ★★★★★
Simplificar:
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2} \qquad (a\neq0). \]
Resultado
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2}=1 \qquad (a\neq0). \]
Resolución
La condición \(a\neq0\) garantiza que el denominador no sea nulo. Si \(m\) y \(n\) son enteros, todas las potencias están definidas; de forma más general, el procedimiento es válido siempre que las potencias consideradas estén definidas.
Simplificamos el numerador:
\[ a^{m+n}a^{m-n} =a^{(m+n)+(m-n)} =a^{2m}. \]
El denominador también es igual a \(a^{2m}\):
\[ \left(a^m\right)^2=a^{2m}. \]
Por tanto,
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2} =\frac{a^{2m}}{a^{2m}} =1. \]
Ejercicio 29 — nivel ★★★★★
Simplificar:
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n}. \]
Resultado
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n}=3. \]
Resolución
La expresión está definida para todo \(n\in\mathbb{R}\), porque \(3^n\) es siempre positivo.
Extraemos el factor común \(3^n\) del numerador:
\[ 3^{n+2}-3^{n+1} =3^n\left(3^2-3\right) =3^n(9-3) =6\cdot3^n. \]
Por tanto,
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n} =\frac{6\cdot3^n}{2\cdot3^n} =3. \]
Ejercicio 30 — nivel ★★★★★
Simplificar:
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} \qquad (x>0). \]
Resultado
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} =1 \qquad (x>0). \]
Resolución
La condición \(x>0\) garantiza que todas las potencias estén definidas aunque \(a\), \(b\) y \(c\) sean números reales.
El numerador se reduce a
\[ x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)} =x^{2(a+b+c)}. \]
En el denominador,
\[ \left(x^ax^bx^c\right)^2 =\left(x^{a+b+c}\right)^2 =x^{2(a+b+c)}. \]
Como el numerador y el denominador son iguales,
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} =1. \]