Ya hemos calculado algunas derivadas de funciones elementales mediante el límite del cociente incremental. Ahora estudiaremos, de manera más general, la derivada de la suma \((f+g)'(x_0)\), la derivada del producto \((f\cdot g)'(x_0)\), la derivada de la función compuesta \((f\circ g)'(x_0)\) y la derivada de la función inversa \((f^{-1})'(y_0)\).
Índice
- Derivada de la Suma
- Derivada del Producto
- Derivada de la Función Compuesta
- Derivada de la Función Inversa
Derivada de la Suma
Sean \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) y \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dos funciones y sea \(x_0 \in X\cap Y\). Si \( f \) y \( g \) son derivables en el punto \(x_0\), entonces \( (f + g )(x) \) es derivable en \(x_0\) y su derivada viene dada por\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Demostración. Aplicamos la definición de derivada a la función suma:
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))}{x - x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x) -g(x_0)}{x - x_0} \end{align} El último paso está justificado por el hecho de que el límite de la suma es igual a la suma de los límites. Deducimos por tanto que, puesto que las funciones \(f\) y \(g\) son derivables en \(x_0\), la suma es derivable en \(x_0\):
\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Derivada del Producto
Sean \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) y \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dos funciones y sea \(x_0 \in X \cap Y\). Si \( f \) y \( g \) son derivables en el punto \( x_0 \), entonces el producto \( (f \cdot g)(x) \) es derivable en \(x_0\) y su derivada viene dada por: \[ (f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \]
Demostración. Aplicamos la definición de derivada a la función producto:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) g(x) - f(x_0) g(x_0)}{x - x_0} \]
Podemos manipular algebraicamente la expresión - sumando y restando \( f(x_0)g(x) \) - al numerador para evidenciar la diferencia de dos términos:
\[ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) \]
Agrupamos los términos de modo que podamos sacar factores comunes:
\[ (f(x) - f(x_0))g(x) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) \]
Ahora podemos sustituir esta expresión en el límite:
\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \right) \]
Dividimos este límite en dos partes:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \]
Consideremos el primer límite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x) \right). \]
Como \(g\) es derivable en \(x_0\), es continua en \(x_0\). Por tanto
\[ \lim_{x \to x_0}g(x)=g(x_0). \]
En consecuencia
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = f'(x_0)g(x_0). \]
Ahora consideremos el segundo límite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
Combinando ambos resultados, obtenemos:
\[ ( f \cdot g )'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \]
Esta es la regla del producto para las derivadas, que afirma que la derivada del producto de dos funciones viene dada por la suma del producto de la derivada de la primera función por la segunda función, más el producto de la primera función por la derivada de la segunda función.
Derivada de la Función Compuesta
Sean \(g:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) y \(f:Y\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dos funciones tales que \(g(X)\subset Y\). Sea \(x_0\in X\), y supongamos que \(g\) es derivable en \(x_0\) y que \(f\) es derivable en \(g(x_0)\). Entonces la función compuesta
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
es derivable en \(x_0\), y se cumple
\[ (f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0). \]
Demostración. Ponemos
\[ y_0=g(x_0). \]
Como \(f\) es derivable en \(y_0\), existe una función \(\varepsilon\), con \(\varepsilon(y)\to 0\) cuando \(y\to y_0\), tal que
\[ f(y)-f(y_0)=\bigl(f'(y_0)+\varepsilon(y)\bigr)(y-y_0). \]
Aplicando esta identidad con \(y=g(x)\), obtenemos
\[ f(g(x))-f(g(x_0)) = \bigl(f'(g(x_0))+\varepsilon(g(x))\bigr) \bigl(g(x)-g(x_0)\bigr). \]
Dividiendo entre \(x-x_0\), con \(x\neq x_0\), se tiene
\[ \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0} = \bigl(f'(g(x_0))+\varepsilon(g(x))\bigr) \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}. \]
Como \(g\) es derivable en \(x_0\), es continua en \(x_0\). Por tanto, cuando \(x\to x_0\), se tiene \(g(x)\to g(x_0)\), y por ello
\[ \varepsilon(g(x))\to 0. \]
Pasando al límite, obtenemos
\[ (f\circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))\cdot g'(x_0). \]
Esto demuestra la regla de derivación de la función compuesta.
Derivada de la Función Inversa
Sea \(f:X\subset\mathbb{R}\to Y\subset\mathbb{R}\) una función biyectiva y continua en un intervalo abierto \(X\), con inversa \(f^{-1}:Y\to X\). Sea \(x_0\in X\), y pongamos
\[ y_0=f(x_0). \]
Si \(f\) es derivable en \(x_0\) y \(f'(x_0)\neq 0\), entonces \(f^{-1}\) es derivable en \(y_0\), y se cumple
\[ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}. \]
Demostración. Consideremos el cociente incremental de la función inversa:
\[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}. \]
Pongamos
\[ x=f^{-1}(y). \]
Entonces \(y=f(x)\). Además, como \(f^{-1}\) es continua, de la condición \(y\to y_0\) se sigue que \(x\to x_0\). Por tanto, podemos escribir
\[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}. \]
Pasando al límite para \(y\to y_0\), es decir, para \(x\to x_0\), obtenemos
\[ \lim_{y\to y_0} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}. \]
Como \(f'(x_0)\neq 0\), se tiene
\[ \lim_{x\to x_0} \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} = \frac{1}{f'(x_0)}. \]
Por consiguiente
\[ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}. \]
Observación. Si \(f'(x_0)=0\), la fórmula anterior no se puede aplicar. En efecto, si \(f^{-1}\) fuera derivable en \(y_0=f(x_0)\), al aplicar la regla de derivación de la función compuesta a la identidad
\[ (f^{-1}\circ f)(x)=x \]
se obtendría
\[ (f^{-1})'(y_0)\cdot f'(x_0)=1, \]
lo cual es imposible cuando \(f'(x_0)=0\).
Ejemplo. Consideremos la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por
\[ f(x)=x^3. \]
Es biyectiva y tiene inversa
\[ f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}. \]
Sin embargo, \(f'(0)=0\). En efecto, la función inversa no es derivable en \(y_0=0\), porque
\[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(0)}{y-0} = \frac{\sqrt[3]{y}}{y} = \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \]
no admite límite finito cuando \(y\to 0\).