En esta colección presentamos 20 ejercicios resueltos sobre inecuaciones con valor absoluto, ordenadas de forma progresiva. Cada ejercicio se resuelve paso a paso, prestando especial atención al significado de las equivalencias utilizadas y a la correcta escritura del conjunto de soluciones.
Recordemos que, para \(k>0\), son válidas las siguientes equivalencias fundamentales:
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{o bien} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{o bien} \quad A(x)\ge k \]
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |x-2|<5 \]
Resultado
\[ S=(-3,7) \]
Resolución
La inecuación tiene la forma:
\[ |A(x)|<k \]
con:
\[ A(x)=x-2, \qquad k=5 \]
Como \(5>0\), podemos transformar la inecuación con valor absoluto en la doble inecuación:
\[ -5<x-2<5 \]
Sumamos \(2\) a todos los miembros:
\[ -5+2<x-2+2<5+2 \]
es decir:
\[ -3<x<7 \]
Por tanto, el conjunto de soluciones es:
\[ S=(-3,7) \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |x+4|\le 3 \]
Resultado
\[ S=[-7,-1] \]
Resolución
La inecuación tiene la forma:
\[ |A(x)|\le k \]
con:
\[ A(x)=x+4, \qquad k=3 \]
Como \(3>0\), podemos escribir:
\[ -3\le x+4\le 3 \]
Restamos \(4\) a todos los miembros:
\[ -3-4\le x+4-4\le 3-4 \]
Obtenemos:
\[ -7\le x\le -1 \]
Como la inecuación inicial contiene el símbolo \(\le\), los extremos también están incluidos.
Por tanto:
\[ S=[-7,-1] \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |2x-1|>7 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Resolución
La inecuación tiene la forma:
\[ |A(x)|>k \]
con:
\[ A(x)=2x-1, \qquad k=7 \]
Como \(7>0\), el valor absoluto es mayor que \(7\) cuando el argumento es menor que \(-7\) o bien mayor que \(7\). Luego:
\[ 2x-1<-7 \quad \text{o bien} \quad 2x-1>7 \]
Resolvemos la primera inecuación:
\[ 2x-1<-7 \]
Sumamos \(1\):
\[ 2x<-6 \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x<-3 \]
Resolvemos ahora la segunda inecuación:
\[ 2x-1>7 \]
Sumamos \(1\):
\[ 2x>8 \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x>4 \]
Reuniendo ambas soluciones, obtenemos:
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |3x+2|\ge 4 \]
Resultado
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Resolución
La inecuación tiene la forma:
\[ |A(x)|\ge k \]
con:
\[ A(x)=3x+2, \qquad k=4 \]
Como \(4>0\), podemos escribir:
\[ 3x+2\le -4 \quad \text{o bien} \quad 3x+2\ge 4 \]
Resolvemos la primera inecuación:
\[ 3x+2\le -4 \]
Restamos \(2\):
\[ 3x\le -6 \]
Dividimos entre \(3\):
\[ x\le -2 \]
Resolvemos la segunda inecuación:
\[ 3x+2\ge 4 \]
Restamos \(2\):
\[ 3x\ge 2 \]
Dividimos entre \(3\):
\[ x\ge \frac{2}{3} \]
Como en la inecuación inicial aparece el símbolo \(\ge\), los extremos encontrados están incluidos.
Por tanto:
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |5-x|<2 \]
Resultado
\[ S=(3,7) \]
Resolución
La inecuación es:
\[ |5-x|<2 \]
Como \(2>0\), podemos transformarla en:
\[ -2<5-x<2 \]
Ahora debemos aislar \(x\). Restamos \(5\) a todos los miembros:
\[ -2-5<5-x-5<2-5 \]
es decir:
\[ -7<-x<-3 \]
Multiplicamos todos los miembros por \(-1\). Como multiplicamos por un número negativo, los sentidos de las desigualdades se invierten:
\[ 7>x>3 \]
Escribiendo el intervalo en el sentido creciente de la recta real:
\[ 3<x<7 \]
Por tanto:
\[ S=(3,7) \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |4-2x|\le 6 \]
Resultado
\[ S=[-1,5] \]
Resolución
Como \(6>0\), transformamos la inecuación:
\[ -6\le 4-2x\le 6 \]
Restamos \(4\) a todos los miembros:
\[ -10\le -2x\le 2 \]
Dividimos entre \(-2\). Como dividimos entre un número negativo, los sentidos de las desigualdades se invierten:
\[ 5\ge x\ge -1 \]
Reescribimos la doble inecuación en orden creciente:
\[ -1\le x\le 5 \]
Por tanto:
\[ S=[-1,5] \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |2x+3|<|x-1| \]
Resultado
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Resolución
En esta inecuación aparecen dos valores absolutos. Como ambos miembros son no negativos, podemos elevar al cuadrado sin modificar el conjunto de soluciones:
\[ |2x+3|<|x-1| \iff (2x+3)^2<(x-1)^2 \]
Desarrollamos los cuadrados:
\[ 4x^2+12x+9<x^2-2x+1 \]
Llevamos todo al primer miembro:
\[ 4x^2+12x+9-x^2+2x-1<0 \]
es decir:
\[ 3x^2+14x+8<0 \]
Factorizamos el trinomio:
\[ 3x^2+14x+8=(3x+2)(x+4) \]
La inecuación queda:
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
Los ceros de los factores son:
\[ 3x+2=0 \iff x=-\frac{2}{3}, \qquad x+4=0 \iff x=-4 \]
Comprobamos que la factorización es correcta:
\[ (3x+2)(x+4)=3x^2+14x+8 \checkmark \]
Estudiamos el signo del producto:
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
El producto es negativo entre los dos ceros:
\[ -4<x<-\frac{2}{3} \]
Por tanto, el conjunto de soluciones es:
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |x-3|>0 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Resolución
El valor absoluto de cualquier expresión es siempre mayor o igual que cero:
\[ |x-3|\ge 0 \]
La inecuación exige, sin embargo, que el valor absoluto sea estrictamente mayor que cero:
\[ |x-3|>0 \]
Un valor absoluto es igual a cero únicamente cuando su argumento es igual a cero:
\[ |x-3|=0 \iff x-3=0 \iff x=3 \]
Por tanto, la inecuación se cumple para todos los números reales salvo \(x=3\).
En consecuencia:
\[ S=\mathbb{R}\setminus\{3\} \]
o bien, en forma de unión de intervalos:
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |2x-5|\le 0 \]
Resultado
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Resolución
El valor absoluto es siempre no negativo:
\[ |2x-5|\ge 0 \]
La inecuación:
\[ |2x-5|\le 0 \]
solo puede verificarse cuando el valor absoluto es exactamente igual a cero:
\[ |2x-5|=0 \]
Un valor absoluto se anula si y solo si se anula su argumento:
\[ 2x-5=0 \]
Resolvemos:
\[ 2x=5 \]
luego:
\[ x=\frac{5}{2} \]
Por tanto:
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |x+2|<-1 \]
Resultado
\[ S=\varnothing \]
Resolución
El valor absoluto de cualquier expresión real es siempre mayor o igual que cero:
\[ |x+2|\ge 0 \]
La inecuación propuesta exige, en cambio:
\[ |x+2|<-1 \]
es decir, requiere que un número no negativo sea menor que un número negativo. Esto es imposible.
Por tanto, la inecuación no tiene solución:
\[ S=\varnothing \]
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |3x-6|>-2 \]
Resultado
\[ S=\mathbb{R} \]
Resolución
El valor absoluto es siempre mayor o igual que cero:
\[ |3x-6|\ge 0 \]
La inecuación exige:
\[ |3x-6|>-2 \]
Dado que todo valor absoluto es no negativo, resulta automáticamente mayor que \(-2\).
La inecuación se cumple, pues, para todo número real:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |x-1|+2<5 \]
Resultado
\[ S=(-2,4) \]
Resolución
Antes de aplicar las reglas del valor absoluto, aislamos el módulo.
Partimos de:
\[ |x-1|+2<5 \]
Restamos \(2\) a ambos miembros:
\[ |x-1|<3 \]
Como \(3>0\), podemos escribir:
\[ -3<x-1<3 \]
Sumamos \(1\) a todos los miembros:
\[ -2<x<4 \]
Por tanto:
\[ S=(-2,4) \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Resolver la inecuación:
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Resolución
En primer lugar, aislamos el valor absoluto.
Partimos de:
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
Sumamos \(1\) a ambos miembros:
\[ 2|x+3|\ge 8 \]
Dividimos entre \(2\):
\[ |x+3|\ge 4 \]
Como \(4>0\), la inecuación equivale a:
\[ x+3\le -4 \quad \text{o bien} \quad x+3\ge 4 \]
Resolvemos la primera inecuación:
\[ x\le -7 \]
Resolvemos la segunda:
\[ x\ge 1 \]
Por tanto:
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Resolver la inecuación:
\[ 3-2|x-4|>1 \]
Resultado
\[ S=(3,5) \]
Resolución
En este ejercicio el valor absoluto está multiplicado por un número negativo. Procedemos con cuidado.
Partimos de:
\[ 3-2|x-4|>1 \]
Restamos \(3\) a ambos miembros:
\[ -2|x-4|>-2 \]
Dividimos entre \(-2\). Como dividimos entre un número negativo, el sentido de la inecuación se invierte:
\[ |x-4|<1 \]
Como \(1>0\), podemos escribir:
\[ -1<x-4<1 \]
Sumamos \(4\) a todos los miembros:
\[ 3<x<5 \]
Por tanto:
\[ S=(3,5) \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |x^2-4|\le 5 \]
Resultado
\[ S=[-3,3] \]
Resolución
La inecuación tiene la forma:
\[ |A(x)|\le k \]
con:
\[ A(x)=x^2-4, \qquad k=5 \]
Como \(5>0\), podemos transformarla en la doble inecuación:
\[ -5\le x^2-4\le 5 \]
Sumamos \(4\) a todos los miembros:
\[ -1\le x^2\le 9 \]
Observamos que \(x^2\ge 0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\). Por ello, la condición:
\[ -1\le x^2 \]
siempre se cumple.
Solo queda imponer:
\[ x^2\le 9 \]
Esta inecuación equivale a:
\[ -3\le x\le 3 \]
Por tanto:
\[ S=[-3,3] \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Resolver la inecuación:
\[ |x^2-1|>3 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Resolución
La inecuación tiene la forma:
\[ |A(x)|>k \]
con:
\[ A(x)=x^2-1, \qquad k=3 \]
Como \(3>0\), debemos resolver la unión de dos inecuaciones:
\[ x^2-1<-3 \quad \text{o bien} \quad x^2-1>3 \]
Consideramos la primera:
\[ x^2-1<-3 \]
Sumamos \(1\):
\[ x^2<-2 \]
Esta inecuación no tiene solución real, pues el cuadrado de un número real es siempre mayor o igual que cero.
Consideramos ahora la segunda:
\[ x^2-1>3 \]
Sumamos \(1\):
\[ x^2>4 \]
La inecuación \(x^2>4\) se cumple cuando \(x\) está fuera del intervalo comprendido entre \(-2\) y \(2\):
\[ x<-2 \quad \text{o bien} \quad x>2 \]
Por tanto:
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Resolver la inecuación:
\[ |x-1|+|x+2|\le 5 \]
Resultado
\[ S=[-3,2] \]
Resolución
En esta inecuación aparecen dos valores absolutos. Aplicamos por tanto el método de la definición, dividiendo la recta real en los intervalos determinados por los ceros de los argumentos de los módulos.
Los argumentos de los valores absolutos son:
\[ x-1, \qquad x+2 \]
Encontramos los puntos en los que se anulan:
\[ x-1=0 \iff x=1 \]
\[ x+2=0 \iff x=-2 \]
Los puntos críticos son:
\[ -2, \qquad 1 \]
Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos:
\[ (-\infty,-2), \qquad [-2,1), \qquad [1,+\infty) \]
Primer caso: \(x<-2\)
Si \(x<-2\), entonces:
\[ x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Luego:
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ -x+1-x-2\le 5 \]
es decir:
\[ -2x-1\le 5 \]
Sumamos \(1\):
\[ -2x\le 6 \]
Dividimos entre \(-2\), recordando que el sentido de la inecuación se invierte:
\[ x\ge -3 \]
Intersecando con la condición inicial \(x<-2\), obtenemos:
\[ -3\le x<-2 \]
Segundo caso: \(-2\le x<1\)
Si \(-2\le x<1\), entonces:
\[ x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Luego:
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ -x+1+x+2\le 5 \]
es decir:
\[ 3\le 5 \]
Esta desigualdad es siempre verdadera, de modo que todo el intervalo considerado es solución:
\[ -2\le x<1 \]
Tercer caso: \(x\ge 1\)
Si \(x\ge 1\), entonces:
\[ x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Luego:
\[ |x-1|=x-1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ x-1+x+2\le 5 \]
es decir:
\[ 2x+1\le 5 \]
Restamos \(1\):
\[ 2x\le 4 \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x\le 2 \]
Intersecando con la condición inicial \(x\ge 1\), obtenemos:
\[ 1\le x\le 2 \]
Reuniendo las soluciones obtenidas en los tres casos:
\[ S= [-3,-2) \cup [-2,1) \cup [1,2] \]
Como los intervalos son consecutivos, podemos escribir de forma más sencilla:
\[ S=[-3,2] \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Resolver la inecuación:
\[ |x+1|-|x-3|>2 \]
Resultado
\[ S=(2,+\infty) \]
Resolución
Los argumentos de los valores absolutos son:
\[ x+1, \qquad x-3 \]
Encontramos los ceros:
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-3=0 \iff x=3 \]
Los puntos críticos son:
\[ -1, \qquad 3 \]
Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos:
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,3), \qquad [3,+\infty) \]
Primer caso: \(x<-1\)
Si \(x<-1\), entonces:
\[ x+1<0, \qquad x-3<0 \]
Luego:
\[ |x+1|=-x-1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
La inecuación se convierte en:
\[ (-x-1)-(-x+3)>2 \]
es decir:
\[ -x-1+x-3>2 \]
luego:
\[ -4>2 \]
Esta desigualdad es falsa, de modo que en el primer intervalo no hay soluciones.
Segundo caso: \(-1\le x<3\)
Si \(-1\le x<3\), entonces:
\[ x+1\ge 0, \qquad x-3<0 \]
Luego:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
La inecuación se convierte en:
\[ x+1-(-x+3)>2 \]
es decir:
\[ x+1+x-3>2 \]
luego:
\[ 2x-2>2 \]
Sumamos \(2\):
\[ 2x>4 \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x>2 \]
Intersecando con el intervalo \(-1\le x<3\), obtenemos:
\[ 2<x<3 \]
Tercer caso: \(x\ge 3\)
Si \(x\ge 3\), entonces:
\[ x+1>0, \qquad x-3\ge 0 \]
Luego:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=x-3 \]
La inecuación se convierte en:
\[ x+1-(x-3)>2 \]
es decir:
\[ 4>2 \]
Esta desigualdad es siempre verdadera, de modo que todo el intervalo considerado es solución:
\[ x\ge 3 \]
Reuniendo los resultados:
\[ S=(2,3)\cup[3,+\infty) \]
luego:
\[ S=(2,+\infty) \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Resolver la inecuación:
\[ |2x-1|+|x+2|<6 \]
Resultado
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Resolución
Los argumentos de los dos valores absolutos son:
\[ 2x-1, \qquad x+2 \]
Encontramos los ceros:
\[ 2x-1=0 \iff x=\frac{1}{2}, \qquad x+2=0 \iff x=-2 \]
Los puntos críticos, ordenados sobre la recta real, son:
\[ -2, \qquad \frac{1}{2} \]
Estudiamos los tres intervalos:
\[ (-\infty,-2), \qquad \left[-2,\frac{1}{2}\right), \qquad \left[\frac{1}{2},+\infty\right) \]
Primer caso: \(x<-2\)
Si \(x<-2\), entonces:
\[ 2x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Luego:
\[ |2x-1|=-(2x-1)=-2x+1, \qquad |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ -2x+1-x-2<6 \]
es decir:
\[ -3x-1<6 \]
Sumamos \(1\):
\[ -3x<7 \]
Dividimos entre \(-3\), invirtiendo el sentido:
\[ x>-\frac{7}{3} \]
Intersecando con \(x<-2\), obtenemos:
\[ -\frac{7}{3}<x<-2 \]
Segundo caso: \(-2\le x<\frac{1}{2}\)
Si \(-2\le x<\frac{1}{2}\), entonces:
\[ 2x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Luego:
\[ |2x-1|=-2x+1, \qquad |x+2|=x+2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ -2x+1+x+2<6 \]
es decir:
\[ -x+3<6 \]
Restamos \(3\):
\[ -x<3 \]
Multiplicamos por \(-1\), invirtiendo el sentido:
\[ x>-3 \]
Intersecando con \(-2\le x<\frac{1}{2}\), todo el intervalo resulta solución:
\[ -2\le x<\frac{1}{2} \]
Tercer caso: \(x\ge \frac{1}{2}\)
Si \(x\ge \frac{1}{2}\), entonces:
\[ 2x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Luego:
\[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ 2x-1+x+2<6 \]
es decir:
\[ 3x+1<6 \]
Restamos \(1\):
\[ 3x<5 \]
Dividimos entre \(3\):
\[ x<\frac{5}{3} \]
Intersecando con \(x\ge \frac{1}{2}\), obtenemos:
\[ \frac{1}{2}\le x<\frac{5}{3} \]
Reuniendo las soluciones parciales:
\[ S= \left(-\frac{7}{3},-2\right) \cup \left[-2,\frac{1}{2}\right) \cup \left[\frac{1}{2},\frac{5}{3}\right) \]
Como los intervalos son consecutivos, obtenemos:
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resolver la inecuación:
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
Resultado
\[ S=[-4,0] \]
Resolución
Ambos miembros de la inecuación son no negativos. Podemos por tanto elevar al cuadrado los dos miembros sin modificar el conjunto de soluciones.
Partimos de:
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
Elevando al cuadrado:
\[ (x-2)^2\ge \left(2|x+1|\right)^2 \]
Como:
\[ \left(2|x+1|\right)^2=4(x+1)^2 \]
obtenemos:
\[ (x-2)^2\ge 4(x+1)^2 \]
Desarrollamos los cuadrados:
\[ x^2-4x+4\ge 4(x^2+2x+1) \]
es decir:
\[ x^2-4x+4\ge 4x^2+8x+4 \]
Restando \(x^2-4x+4\) a ambos miembros, obtenemos:
\[ 0\ge 3x^2+12x \]
es decir:
\[ 3x^2+12x\le 0 \]
Sacamos factor común \(3x\):
\[ 3x(x+4)\le 0 \]
Como \(3>0\), el signo depende del producto:
\[ x(x+4)\le 0 \]
Los ceros son:
\[ x=0, \qquad x=-4 \]
El producto \(x(x+4)\) es menor o igual que cero entre los dos ceros, extremos incluidos:
\[ -4\le x\le 0 \]
Por tanto:
\[ S=[-4,0] \]