Las inecuaciones con valor absoluto son inecuaciones en las que la incógnita aparece dentro de uno o más valores absolutos. Para resolverlas correctamente no basta con aplicar reglas mecánicas: es necesario comprender el significado del valor absoluto y sin signos de valor absoluto.
Recordemos en primer lugar la definición de valor absoluto:
\[ |x|= \begin{cases} x, & \text{si } x\ge 0,\\ -x, & \text{si } x<0. \end{cases} \]
Esta definición establece que el valor absoluto de un número real es siempre no negativo:
\[ |x|\ge 0 \qquad \text{para todo } x\in\mathbb{R}. \]
Además:
\[ |x|=0 \iff x=0. \]
Índice
- Significado geométrico del valor absoluto
- Inecuaciones del tipo \(|A(x)|<k\)
- Inecuaciones del tipo \(|A(x)|\le k\)
- Inecuaciones del tipo \(|A(x)|>k\)
- Inecuaciones del tipo \(|A(x)|\ge k\)
- Qué ocurre cuando el segundo miembro es negativo
- Método de la definición
- Inecuaciones con varios valores absolutos
- Ejemplos resueltos
Significado geométrico del valor absoluto
El valor absoluto tiene un significado geométrico fundamental: representa una distancia en la recta real.
En particular, \(|x|\) representa la distancia del punto \(x\) al origen:
\[ |x|=d(x,0). \]
Más en general, la expresión:
\[ |x-a| \]
representa la distancia entre \(x\) y \(a\):
\[ |x-a|=d(x,a). \]
Por ejemplo, la inecuación:
\[ |x-3|<2 \]
significa que la distancia entre \(x\) y \(3\) debe ser menor que \(2\). Por tanto, \(x\) debe estar entre \(3-2\) y \(3+2\), es decir:
\[ 1<x<5 \]
Esta interpretación es muy útil, pues permite comprender de inmediato la diferencia entre las inecuaciones del tipo «menor que» y las del tipo «mayor que».
Inecuaciones del tipo \(|A(x)|<k\)
Consideremos una inecuación de la forma:
\[ |A(x)|<k \]
Supongamos inicialmente que:
\[ k>0 \]
Decir que \(|A(x)|<k\) significa decir que \(A(x)\) debe encontrarse a una distancia menor que \(k\) de \(0\). Por tanto, \(A(x)\) debe estar comprendido entre \(-k\) y \(k\):
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
Así, una inecuación con valor absoluto menor que un número positivo se transforma en una inecuación compuesta.
Ejemplo. Resolvamos:
\[ |2x-3|<5 \]
Como el segundo miembro es positivo, podemos escribir:
\[ -5<2x-3<5 \]
Sumamos \(3\) a todos los miembros:
\[ -2<2x<8 \]
Dividimos por \(2\):
\[ -1<x<4 \]
Por tanto, el conjunto solución es:
\[ S=(-1,4) \]
Inecuaciones del tipo \(|A(x)|\le k\)
Si el símbolo es \(\le\), el razonamiento es el mismo. Para \(k>0\), se tiene:
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k. \]
En este caso los extremos están incluidos, ya que la inecuación admite también el caso en que el valor absoluto sea exactamente igual a \(k\).
Ejemplo. Resolvamos:
\[ |x-4|\le 2. \]
Escribimos la inecuación equivalente:
\[ -2\le x-4\le 2. \]
Sumamos \(4\):
\[ 2\le x\le 6. \]
Luego:
\[ S=[2,6]. \]
Inecuaciones del tipo \(|A(x)|>k\)
Consideremos ahora una inecuación de la forma:
\[ |A(x)|>k, \]
con:
\[ k>0. \]
Decir que \(|A(x)|>k\) significa decir que \(A(x)\) debe encontrarse a una distancia mayor que \(k\) de \(0\). Por tanto, \(A(x)\) debe ser menor que \(-k\) o mayor que \(k\):
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{o} \quad A(x)>k. \]
A diferencia del caso anterior, no obtenemos una doble inecuación, sino la unión de dos condiciones alternativas.
Ejemplo. Resolvamos:
\[ |3x+1|>7. \]
Escribimos:
\[ 3x+1<-7 \quad \text{o} \quad 3x+1>7. \]
Resolvemos la primera inecuación:
\[ 3x<-8 \iff x<-\frac{8}{3}. \]
Resolvemos la segunda:
\[ 3x>6 \iff x>2. \]
Por tanto:
\[ S=\left(-\infty,-\frac{8}{3}\right)\cup(2,+\infty). \]
Inecuaciones del tipo \(|A(x)|\ge k\)
Si el símbolo es \(\ge\), para \(k>0\) se tiene:
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{o} \quad A(x)\ge k. \]
Los extremos están incluidos porque el valor absoluto puede ser igual a \(k\).
Ejemplo. Resolvamos:
\[ |2x+5|\ge 1. \]
Escribimos:
\[ 2x+5\le -1 \quad \text{o} \quad 2x+5\ge 1. \]
Primera inecuación:
\[ 2x\le -6 \iff x\le -3. \]
Segunda inecuación:
\[ 2x\ge -4 \iff x\ge -2. \]
Luego:
\[ S=(-\infty,-3]\cup[-2,+\infty). \]
Qué ocurre cuando el segundo miembro es negativo
El valor absoluto es siempre mayor o igual que cero. Por ello, cuando el segundo miembro es negativo, hay que razonar con atención.
Si \(k<0\), entonces la inecuación:
\[ |A(x)|<k \]
no tiene solución, ya que un número no negativo no puede ser menor que un número negativo.
En consecuencia:
\[ |A(x)|<k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
Del mismo modo:
\[ |A(x)|\le k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
En cambio, si \(k<0\), la inecuación:
\[ |A(x)|>k \]
se cumple para todos los valores para los que \(A(x)\) está definida, pues el valor absoluto es siempre al menos \(0\), y por tanto es ciertamente mayor que cualquier número negativo.
En consecuencia:
\[ |A(x)|>k, \quad k<0 \implies S=D \]
donde \(D\) es el dominio de la expresión \(A(x)\).
Análogamente:
\[ |A(x)|\ge k, \quad k<0 \implies S=D \]
Ejemplos
La inecuación:
\[ |x-1|<-3 \]
no tiene solución:
\[ S=\varnothing \]
En cambio:
\[ |2x+1|>-5 \]
se cumple para todo número real:
\[ S=\mathbb{R} \]
Método de la definición
Cuando la inecuación contiene un solo valor absoluto lineal, suele ser conveniente aplicar las reglas vistas anteriormente. Sin embargo, ante expresiones más complejas o varios valores absolutos, es frecuentemente más seguro utilizar directamente la definición.
La definición general es:
\[ |A(x)|= \begin{cases} A(x), & \text{si } A(x)\ge 0,\\ -A(x), & \text{si } A(x)<0. \end{cases} \]
Esto significa que, para eliminar el valor absoluto, es necesario saber en qué región el argumento del módulo es positivo y en cuál es negativo.
Por ejemplo, consideremos:
\[ |x-2|. \]
El argumento se anula para:
\[ x-2=0 \iff x=2. \]
Luego:
\[ |x-2|= \begin{cases} -(x-2), & \text{si } x<2,\\ x-2, & \text{si } x\ge 2. \end{cases} \]
es decir:
\[ |x-2|= \begin{cases} -x+2, & \text{si } x<2,\\ x-2, & \text{si } x\ge 2. \end{cases} \]
Inecuaciones con varios valores absolutos
Cuando aparecen varios valores absolutos, hay que identificar todos los puntos en los que se anulan los argumentos de los módulos. Dichos puntos dividen la recta real en intervalos. En cada intervalo, cada argumento mantiene signo constante, por lo que cada módulo puede eliminarse correctamente.
El procedimiento general es el siguiente:
- se igualan a cero los argumentos de los valores absolutos;
- se ordenan los puntos obtenidos en la recta real;
- se estudia la inecuación por separado en cada intervalo;
- se elimina cada módulo usando el signo del argumento;
- se resuelve la inecuación resultante;
- se interseca el resultado con el intervalo considerado;
- se reúnen todas las soluciones parciales.
Este método es más largo, pero también es el más general y reduce al mínimo el riesgo de errores.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. Resolver:
\[ |x+3|<4 \]
Como el segundo miembro es positivo, escribimos:
\[ -4<x+3<4 \]
Restamos \(3\):
\[ -7<x<1 \]
Luego:
\[ S=(-7,1) \]
Ejemplo 2. Resolver:
\[ |2x-1|\ge 5 \]
Como el segundo miembro es positivo, obtenemos:
\[ 2x-1\le -5 \quad \text{o} \quad 2x-1\ge 5 \]
Resolvemos la primera inecuación:
\[ 2x\le -4 \iff x\le -2 \]
Resolvemos la segunda:
\[ 2x\ge 6 \iff x\ge 3 \]
Por tanto:
\[ S=(-\infty,-2]\cup[3,+\infty) \]
Ejemplo 3. Resolver:
\[ |3x+2|\le 1 \]
Escribimos:
\[ -1\le 3x+2\le 1 \]
Restamos \(2\):
\[ -3\le 3x\le -1 \]
Dividimos por \(3\):
\[ -1\le x\le -\frac{1}{3} \]
Luego:
\[ S=\left[-1,-\frac{1}{3}\right] \]
Ejemplo 4. Resolver:
\[ |x-5|>2 \]
Escribimos:
\[ x-5<-2 \quad \text{o} \quad x-5>2 \]
Resolvemos:
\[ x<3 \quad \text{o} \quad x>7 \]
Luego:
\[ S=(-\infty,3)\cup(7,+\infty) \]
Ejemplo 5. Resolver:
\[ |x+1|+|x-2|\le 4 \]
Los argumentos de los valores absolutos son:
\[ x+1, \qquad x-2 \]
Hallamos los puntos en que se anulan:
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-2=0 \iff x=2 \]
Los puntos críticos son:
\[ -1, \qquad 2 \]
Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos:
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,2), \qquad [2,+\infty) \]
Primer caso: \(x<-1\)
Si \(x<-1\), entonces:
\[ x+1<0, \qquad x-2<0 \]
Luego:
\[ |x+1|=-(x+1)=-x-1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ -x-1-x+2\le 4 \]
Simplificamos:
\[ -2x+1\le 4 \]
Restamos \(1\):
\[ -2x\le 3 \]
Al dividir por \(-2\), el sentido de la inecuación se invierte:
\[ x\ge -\frac{3}{2} \]
Intersecamos con la condición del caso \(x<-1\):
\[ -\frac{3}{2}\le x<-1 \]
Segundo caso: \(-1\le x<2\)
Si \(-1\le x<2\), entonces:
\[ x+1\ge 0, \qquad x-2<0 \]
Luego:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ x+1-x+2\le 4 \]
es decir:
\[ 3\le 4 \]
Esta desigualdad es siempre cierta, por lo que todo el intervalo considerado es solución:
\[ -1\le x<2 \]
Tercer caso: \(x\ge 2\)
Si \(x\ge 2\), entonces:
\[ x+1>0, \qquad x-2\ge 0 \]
Luego:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=x-2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ x+1+x-2\le 4 \]
Simplificamos:
\[ 2x-1\le 4 \]
Sumamos \(1\):
\[ 2x\le 5 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x\le \frac{5}{2} \]
Intersecamos con la condición del caso \(x\ge 2\):
\[ 2\le x\le \frac{5}{2} \]
Reuniendo las soluciones de los tres casos, obtenemos:
\[ S= \left[-\frac{3}{2},-1\right) \cup [-1,2) \cup \left[2,\frac{5}{2}\right] \]
Como estos intervalos son consecutivos, podemos escribir de forma más sencilla:
\[ S=\left[-\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right] \]
Esquema resumen
Para \(k>0\), se tienen las siguientes equivalencias:
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{o} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{o} \quad A(x)\ge k \]
Si en cambio \(k<0\), hay que recordar que:
\[ |A(x)|\ge 0 \]
En consecuencia:
\[ |A(x)|<k \quad \text{y} \quad |A(x)|\le k \]
no tienen solución, mientras que:
\[ |A(x)|>k \quad \text{y} \quad |A(x)|\ge k \]
se cumplen para todos los valores pertenecientes al dominio de la expresión.
Las inecuaciones con valor absoluto se basan en una idea sencilla pero fundamental: el valor absoluto mide una distancia. Por este motivo, las inecuaciones del tipo \(|A(x)|<k\) o \(|A(x)|\le k\) describen una condición de proximidad, mientras que las del tipo \(|A(x)|>k\) o \(|A(x)|\ge k\) describen una condición de distancia respecto del origen.
En los casos más sencillos se aplican directamente las equivalencias fundamentales. En los casos más complejos, especialmente cuando aparecen varios módulos, el método más seguro consiste en utilizar la definición de valor absoluto, dividiendo la recta real en los intervalos determinados por los ceros de los argumentos de los módulos.