Inecuaciones de Primer Grado: Ejercicios Resueltos y Reglas Básicas. Guía práctica para resolver inecuaciones lineales paso a paso. Descubre cómo gestionar el cambio de sentido, aplicar los principios de equivalencia y escribir correctamente las soluciones en forma de intervalo.
Ejercicio 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ 2x + 3 > 7 \]
Resultado
\[ x > 2 \]
Desarrollo
Idea clave
Se despeja \(x\) en el primer miembro aplicando las mismas operaciones que en una ecuación. Como se divide por un número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia.
Despeje de la incógnita
Se restan \(3\) a ambos miembros:
\[ 2x > 7-3 \implies 2x > 4 \]
Se divide por \(2\) (positivo, el sentido no cambia):
\[ x > 2 \]
Conjunto solución
\[ S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\} = (2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > 2} \]
Ejercicio 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ 3x - 5 \leq 4 \]
Resultado
\[ x \leq 3 \]
Desarrollo
Despeje de la incógnita
Se suman \(5\) a ambos miembros:
\[ 3x \leq 9 \]
Se divide por \(3\) (positivo, sentido invariado):
\[ x \leq 3 \]
Conjunto solución
\[ S = (-\infty,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{x \leq 3} \]
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ -2x + 1 < 5 \]
Resultado
\[ x > -2 \]
Desarrollo
Precaución con el signo
Cuando se divide o multiplica por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.
Despeje de la incógnita
Se resta \(1\) a ambos miembros:
\[ -2x < 4 \]
Se divide por \(-2\) (negativo): el sentido se invierte de \(<\) a \(>\):
\[ x > -2 \]
Conjunto solución
\[ S = (-2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > -2} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ 4x - 8 \geq 0 \]
Resultado
\[ x \geq 2 \]
Desarrollo
Despeje de la incógnita
Se suman \(8\) a ambos miembros:
\[ 4x \geq 8 \]
Se divide por \(4\) (positivo, sentido invariado):
\[ x \geq 2 \]
Conjunto solución
\[ S = [2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x \geq 2} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★★☆☆
\[ 3x + 2 > x + 8 \]
Resultado
\[ x > 3 \]
Desarrollo
Agrupación de términos en \(x\)
Se pasan los términos con \(x\) al primer miembro y las constantes al segundo:
\[ 3x-x > 8-2 \implies 2x > 6 \implies x > 3 \]
Conjunto solución
\[ S = (3,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > 3} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★★☆☆
\[ 5x - 3 \leq 2x + 9 \]
Resultado
\[ x \leq 4 \]
Desarrollo
Agrupación de términos
\[ 5x-2x \leq 9+3 \implies 3x \leq 12 \implies x \leq 4 \]
Conjunto solución
\[ S = (-\infty,\,4] \]
Resultado
\[ \boxed{x \leq 4} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★★☆☆
\[ 2(x + 1) < 3(x - 1) \]
Resultado
\[ x > 5 \]
Desarrollo
Distribución de los factores
\[ 2x+2 < 3x-3 \]
Agrupación de términos
\[ 2x-3x < -3-2 \implies -x < -5 \implies x > 5 \]
Al dividir por \(-1\), el sentido de la desigualdad se invierte.
Conjunto solución
\[ S = (5,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > 5} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{x}{2} + 1 > \frac{x}{3} \]
Resultado
\[ x > -6 \]
Desarrollo
Eliminación de las fracciones
El mcm de \(2\) y \(3\) es \(6\). Se multiplica todo por \(6\) (positivo, sentido invariado):
\[ 3x + 6 > 2x \]
Agrupación de términos
\[ 3x-2x > -6 \implies x > -6 \]
Conjunto solución
\[ S = (-6,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x > -6} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{x - 1}{2} \leq \frac{x + 3}{4} \]
Resultado
\[ x \leq 5 \]
Desarrollo
Eliminación de las fracciones
El mcm de \(2\) y \(4\) es \(4\). Se multiplica todo por \(4\):
\[ 2(x-1) \leq x+3 \implies 2x-2 \leq x+3 \]
Agrupación de términos
\[ 2x-x \leq 3+2 \implies x \leq 5 \]
Conjunto solución
\[ S = (-\infty,\,5] \]
Resultado
\[ \boxed{x \leq 5} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ 3(2x - 1) \geq 2(x + 5) \]
Resultado
\[ x \geq \dfrac{13}{4} \]
Desarrollo
Distribución de los factores
\[ 6x-3 \geq 2x+10 \]
Agrupación de términos
\[ 6x-2x \geq 10+3 \implies 4x \geq 13 \implies x \geq \frac{13}{4} \]
Conjunto solución
\[ S = \left[\frac{13}{4},\,+\infty\right) \]
Resultado
\[ \boxed{x \geq \dfrac{13}{4}} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x - 3 < 5 \end{cases} \]
Resultado
\[ -1 < x < 4 \]
Desarrollo
Idea clave
Se resuelve cada desigualdad por separado y luego se toma la intersección de los conjuntos solución.
Primera inecuación
\[ x+1>0 \implies x>-1 \]
Segunda inecuación
\[ 2x-3<5 \implies 2x<8 \implies x<4 \]
Intersección
\[ x>-1 \;\text{ y }\; x<4 \implies -1<x<4 \]
Conjunto solución
\[ S = (-1,\,4) \]
Resultado
\[ \boxed{-1 < x < 4} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} 3x - 2 \geq 1 \\ x + 5 > 2x \end{cases} \]
Resultado
\[ 1 \leq x < 5 \]
Desarrollo
Primera inecuación
\[ 3x-2\geq1 \implies 3x\geq3 \implies x\geq1 \]
Segunda inecuación
\[ x+5>2x \implies 5>x \implies x<5 \]
Intersección
\[ x\geq1 \;\text{ y }\; x<5 \implies 1\leq x<5 \]
Conjunto solución
\[ S = [1,\,5) \]
Resultado
\[ \boxed{1 \leq x < 5} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
\[ -1 < 2x + 3 < 7 \]
Resultado
\[ -2 < x < 2 \]
Desarrollo
Idea clave
Se trata de una desigualdad doble. Se aplican las mismas operaciones a los tres miembros al mismo tiempo.
Resta de \(3\) en todos los miembros
\[ -1-3 < 2x+3-3 < 7-3 \implies -4 < 2x < 4 \]
División por \(2\) en todos los miembros
El divisor es positivo, los sentidos no cambian:
\[ -2 < x < 2 \]
Conjunto solución
\[ S = (-2,\,2) \]
Resultado
\[ \boxed{-2 < x < 2} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ 3x + 2 < 14 \end{cases} \]
Resultado
\[ 2 < x < 4 \]
Desarrollo
Primera inecuación
\[ 2x-1>3 \implies 2x>4 \implies x>2 \]
Segunda inecuación
\[ 3x+2<14 \implies 3x<12 \implies x<4 \]
Intersección
\[ x>2 \;\text{ y }\; x<4 \implies 2<x<4 \]
Conjunto solución
\[ S = (2,\,4) \]
Resultado
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} - 1 \geq 0 \\[6pt] \dfrac{x + 3}{3} < 2 \end{cases} \]
Resultado
\[ 2 \leq x < 3 \]
Desarrollo
Primera inecuación
\[ \frac{x}{2}\geq1 \implies x\geq2 \]
Segunda inecuación
Se multiplica por \(3\) (positivo):
\[ x+3<6 \implies x<3 \]
Intersección
\[ x\geq2 \;\text{ y }\; x<3 \implies 2\leq x<3 \]
Conjunto solución
\[ S = [2,\,3) \]
Resultado
\[ \boxed{2 \leq x < 3} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x > 5 \\ x < 3 \end{cases} \]
Resultado
Sin solución
Desarrollo
Primera inecuación
\[ x>5 \implies S_1=(5,\,+\infty) \]
Segunda inecuación
\[ x<3 \implies S_2=(-\infty,\,3) \]
Intersección
\[ S_1 \cap S_2 = (5,\,+\infty) \cap (-\infty,\,3) = \emptyset \]
No existe ningún número real que sea a la vez mayor que \(5\) y menor que \(3\).
Resultado
\[ \boxed{\text{Sin solución} \quad S = \emptyset} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
\[ \frac{2x - 3}{4} - \frac{x + 1}{3} > \frac{1}{6} \]
Resultado
\[ x > \dfrac{15}{2} \]
Desarrollo
Eliminación de las fracciones
El mcm de \(4\), \(3\) y \(6\) es \(12\). Se multiplica todo por \(12\) (positivo):
\[ 3(2x-3) - 4(x+1) > 2 \]
Distribución
\[ 6x-9-4x-4 > 2 \implies 2x-13 > 2 \implies 2x > 15 \implies x > \frac{15}{2} \]
Comprobación con \(x=8\)
\[ \frac{13}{4}-\frac{9}{3}=\frac{13}{4}-3=\frac{1}{4}>\frac{1}{6} \]
Conjunto solución
\[ S = \left(\frac{15}{2},\,+\infty\right) \]
Resultado
\[ \boxed{x > \dfrac{15}{2}} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ 3(x - 2) - 2(2x + 1) \geq x - 5 \]
Resultado
\[ x \leq -\dfrac{3}{2} \]
Desarrollo
Distribución de los factores
\[ 3x-6-4x-2 \geq x-5 \implies -x-8 \geq x-5 \]
Agrupación de términos
\[ -x-x \geq -5+8 \implies -2x \geq 3 \]
Se divide por \(-2\) (negativo): el sentido se invierte de \(\geq\) a \(\leq\):
\[ x \leq -\frac{3}{2} \]
Comprobación con \(x=-2\)
\[ 3(-4)-2(-3)=-12+6=-6 \] y \[ -2-5=-7 \]. Como \(-6\geq-7\)
Conjunto solución
\[ S = \left(-\infty,\,-\frac{3}{2}\right] \]
Resultado
\[ \boxed{x \leq -\dfrac{3}{2}} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x-1}{2} < \dfrac{x}{3} + 1 \\[8pt] 2x - 3 > x - 7 \end{cases} \]
Resultado
\[ -4 < x < 9 \]
Desarrollo
Primera inecuación
Se multiplica por el mcm \(6\):
\[ 3(x-1)<2x+6 \implies 3x-3<2x+6 \implies x<9 \]
Segunda inecuación
\[ 2x-x>-7+3 \implies x>-4 \]
Intersección
\[ x>-4 \;\text{ y }\; x<9 \implies -4<x<9 \]
Conjunto solución
\[ S = (-4,\,9) \]
Resultado
\[ \boxed{-4 < x < 9} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} - 1 \leq \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{6} \\[8pt] 2x + 3 \geq \dfrac{x}{2} - 3 \end{cases} \]
Resultado
\[ x \geq -4 \]
Desarrollo
Primera inecuación
Se multiplica por el mcm \(6\):
\[ 2x-6 \leq 3x+1 \implies -x\leq7 \implies x\geq-7 \]
Segunda inecuación
Se multiplica por \(2\):
\[ 4x+6 \geq x-6 \implies 3x\geq-12 \implies x\geq-4 \]
Intersección
\[ x\geq-7 \;\text{ y }\; x\geq-4 \]
La condición más restrictiva es \(x\geq-4\).
Conjunto solución
\[ S = [-4,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x \geq -4} \]