Una colección de problemas resueltos para aprender a estudiar el signo de un trinomio al variar un parámetro real, analizar el discriminante como función de \( k \) y tratar los casos degenerados en los que el coeficiente del término cuadrático se anula. Encontrarás la discusión completa para cada valor de \( k \), con pasos claros incluso en los casos más elaborados, pensada para ayudarte a razonar con método sin pasar por alto ningún caso.
Ejercicio 1 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + 1 > 0 \]
Resultado
• \(|k| < 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{-\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\): \(S = \left(-\infty,\, x_1\right) \cup \left(x_2,\, +\infty\right)\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4 \]
Raíces (cuando \(\Delta \ge 0\))
\[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2} \]
Estudio del signo — parábola con concavidad hacia arriba
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\): ninguna raíz real, el trinomio es siempre \(> 0\); \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\): raíz doble \(x_0 = -k/2\); la parábola toca el eje pero no lo atraviesa; desigualdad estricta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\): dos raíces distintas \(x_1 < x_2\); positivo en el exterior de las raíces; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Ejercicio 2 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-2)x + k > 0 \]
Resultado
• \(k \in (4-2\sqrt{3},\; 4+2\sqrt{3})\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 4 \pm 2\sqrt{3}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• en caso contrario: \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = (k-2)^2 - 4k = k^2 - 8k + 4 \]
Raíces de \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} \]
Estudio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (4-2\sqrt{3},\, 4+2\sqrt{3})\): trinomio siempre \(> 0\); \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0\): raíz doble; desigualdad estricta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\): parábola hacia arriba con dos raíces distintas; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Ejercicio 3 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 > 0 \]
Resultado
• \(k < -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\)
• \(k > -\tfrac{1}{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) con \(x_{1,2} = (k+1) \mp \sqrt{2k+1}\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4k^2 = 4(k^2+2k+1-k^2) = 4(2k+1) \]
Estudio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k < -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = -\tfrac{1}{2}\): raíz doble \(x_0 = k+1 = \tfrac{1}{2}\); desigualdad estricta; \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k > -\tfrac{1}{2}\): dos raíces distintas; positivo en el exterior; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Ejercicio 4 — nivel ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Resultado
• \(k = 1\): \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(1 < k < 2\): \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 1\): \(S = [x_1, x_2]\)
Resolución
Caso \(k = 1\) — ecuación lineal
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Caso \(k \neq 1\) — ecuación cuadrática
\[ \Delta = 4 - 4(k-1) = 8 - 4k \]
• \(k > 2\): \(\Delta < 0\), \(k-1 > 0\) (concavidad \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 2\): \(\Delta = 0\), raíz doble \(x_0 = -1\), \(k-1 > 0\); desigualdad no estricta; \(S = \mathbb{R}\).
• \(1 < k < 2\): \(\Delta > 0\), \(k-1 > 0\) (concavidad \(\uparrow\)); \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 1\): \(\Delta > 0\), \(k-1 < 0\) (concavidad \(\downarrow\)); \(S = [x_1, x_2]\).
Ejercicio 5 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + kx - 4 > 0 \]
Resultado
Para todo \(k \in \mathbb{R}\) existen siempre dos raíces reales distintas; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) con \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{k^2+16}}{2}\).
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = k^2 + 16 \ge 16 > 0 \quad \forall\, k \in \mathbb{R} \]
El trinomio tiene siempre dos raíces reales distintas. Parábola hacia arriba: positivo en el exterior de las raíces.
Ejercicio 6 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + k > 0 \]
Resultado
• \(k \in (0, 4)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(k < 0\) o \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Estudio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (raíz \(x_0=0\)) o \(k=4\) (raíz \(x_0=2\)): desigualdad estricta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) o \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Ejercicio 7 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 + (k+1)x + k < 0 \]
Resultado
• \(k = 1\): \(S = \emptyset\)
• \(k < 1\): \(S = (-1,\; -k)\)
• \(k > 1\): \(S = (-k,\; -1)\)
Resolución
Factorización
\[ x^2 + (k+1)x + k = (x+1)(x+k) \]
Discriminante (verificación)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Estudio del signo
Raíces: \(x = -1\) y \(x = -k\).
• \(k = 1\): raíz doble \(x = -1\); \((x+1)^2 < 0\) es imposible; \(S = \emptyset\).
• \(k < 1\): \(-k > -1\), raíces ordenadas \(-1 < -k\); producto \(< 0\) entre las raíces; \(S = (-1,\, -k)\).
• \(k > 1\): \(-k < -1\), raíces ordenadas \(-k < -1\); producto \(< 0\) entre las raíces; \(S = (-k,\, -1)\).
Ejercicio 8 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 - 3kx + 2k > 0 \]
Resultado
• \(k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\) o \(k = \tfrac{8}{9}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• \(k < 0\) o \(k > \tfrac{8}{9}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = 9k^2 - 8k = k(9k-8) \]
Estudio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = 0\) o \(k = \tfrac{8}{9}\): desigualdad estricta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) o \(k > \tfrac{8}{9}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + 2 > 0 \]
Resultado
• \(|k| < 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 8 \]
Estudio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\sqrt{2}\): raíz doble \(x_0 = k/2\); desigualdad estricta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-3)x + 2k \le 0 \]
Resultado
• \(k \in (7-2\sqrt{10},\; 7+2\sqrt{10})\): \(S = \emptyset\)
• \(k = 7 \pm 2\sqrt{10}\): \(S = \{x_0\}\)
• en caso contrario: \(S = [x_1, x_2]\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = (k-3)^2 - 8k = k^2 - 14k + 9 \]
Raíces de \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{14 \pm \sqrt{196-36}}{2} = 7 \pm 2\sqrt{10} \]
Estudio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (7-2\sqrt{10},\, 7+2\sqrt{10})\): parábola hacia arriba siempre \(> 0\); \(S = \emptyset\).
• \(\Delta = 0\): raíz única \(x_0\); desigualdad no estricta; \(S = \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\): parábola hacia arriba, negativa entre las raíces; \(S = [x_1, x_2]\).
Ejercicio 11 — nivel ★★★★☆
\[ (k+2)x^2 - x + 1 > 0 \]
Resultado
• \(k = -2\): \(S = (-\infty, 1)\)
• \(k > -\tfrac{7}{4}\) (con \(k \neq -2\)): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{7}{4}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
• \(k < -2\): \(S = (x_1, x_2)\)
Resolución
Caso \(k = -2\) — ecuación lineal
\(-x + 1 > 0 \;\Rightarrow\; x < 1\); \(S = (-\infty, 1)\).
Caso \(k \neq -2\) — ecuación cuadrática
\[ \Delta = 1 - 4(k+2) = -4k - 7 \]
Nota: \(-2 < -\tfrac{7}{4}\) (es decir, \(-2 < -1{,}75\)), por lo que en la recta real el orden es \(k < -2\), luego \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\) y por último \(k \ge -\tfrac{7}{4}\).
• \(k > -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta < 0\), \(k+2 > 0\) (concavidad \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta = 0\), \(k+2 = \tfrac{1}{4} > 0\); raíz doble \(x_0 = \tfrac{1}{2(k+2)} = 2\); desigualdad estricta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta > 0\), \(k+2 > 0\) (concavidad \(\uparrow\)); positivo en el exterior; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
• \(k < -2\): \(\Delta > 0\), \(k+2 < 0\) (concavidad \(\downarrow\)); positivo entre las raíces; \(S = (x_1, x_2)\).
Ejercicio 12 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 \ge 0 \]
Resultado
Para todo \(k\), \(S = (-\infty,\; k-1] \cup [k+1,\; +\infty)\).
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-1) = 4 > 0 \quad \forall\, k \]
Raíces
\[ x_{1,2} = \frac{2k \pm 2}{2} = k \pm 1 \]
Parábola hacia arriba con raíces \(k-1 < k+1\); desigualdad no estricta; \(S = (-\infty,\, k-1] \cup [k+1,\, +\infty)\).
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + k > 0 \]
Resultado
• \(k \in (0, 4)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\)
• \(k < 0\) o \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Estudio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (raíz \(x_0=0\)) o \(k=4\) (raíz \(x_0=-2\)): desigualdad estricta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) o \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + 1 < 0 \]
Resultado
• \(k = 1\): \(S = \left(-\infty,\, -\tfrac{1}{2}\right)\)
• \(k > 1\): \(S = (x_1, x_2)\)
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolución
Caso \(k = 1\) — ecuación lineal
\(2x + 1 < 0 \;\Rightarrow\; x < -\tfrac{1}{2}\); \(S = \left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right)\).
Caso \(k \neq 1\) — ecuación cuadrática
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1) = k^2 - 2k + 5 = (k-1)^2 + 4 \ge 4 > 0 \quad \forall\, k \]
El discriminante es siempre positivo: el trinomio tiene siempre dos raíces reales distintas.
• \(k > 1\): \(k-1 > 0\) (concavidad \(\uparrow\)); negativo entre las raíces; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(k < 1\): \(k-1 < 0\) (concavidad \(\downarrow\)); negativo en el exterior de las raíces; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - k^2 x + 1 > 0 \]
Resultado
• \(|k| < \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(|k| > \sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = k^4 - 4 \]
Estudio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k^4 < 4 \;\Leftrightarrow\; k^2 < 2 \;\Leftrightarrow\; |k| < \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \sqrt{2}\): \(k^2 = 2\), raíz doble \(x_0 = k^2/2 = 1\); desigualdad estricta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 + 2kx + k^2 - 4 \ge 0 \]
Resultado
Para todo \(k\), \(S = (-\infty,\; -k-2] \cup [-k+2,\; +\infty)\).
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-4) = 16 > 0 \quad \forall\, k \]
Raíces
\[ x_{1,2} = \frac{-2k \pm 4}{2} = -k \pm 2 \]
Parábola hacia arriba con raíces \(-k-2 < -k+2\); desigualdad no estricta; \(S = (-\infty,\, -k-2] \cup [-k+2,\, +\infty)\).
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 - (k+1)x + k > 0 \]
Resultado
• \(k = 1\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k > 1\): \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Resolución
Factorización
\[ x^2 - (k+1)x + k = (x-1)(x-k) \]
Discriminante (verificación)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Estudio del signo
• \(k = 1\): raíz doble \(x = 1\); \((x-1)^2 > 0\) para todo \(x \neq 1\); \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k < 1\): raíces ordenadas \(k < 1\); producto \(> 0\) en el exterior; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k > 1\): raíces ordenadas \(1 < k\); producto \(> 0\) en el exterior; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ (k-2)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Resultado
• \(k = 2\): \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 3\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 3\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(2 < k < 3\): \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 2\): \(S = [x_1, x_2]\)
Resolución
Caso \(k = 2\) — ecuación lineal
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Caso \(k \neq 2\) — ecuación cuadrática
\[ \Delta = 4 - 4(k-2) = 12 - 4k \]
• \(k > 3\): \(\Delta < 0\), \(k-2 > 0\) (concavidad \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 3\): \(\Delta = 0\), raíz doble \(x_0 = -1\), \(k-2 = 1 > 0\); desigualdad no estricta; \(S = \mathbb{R}\).
• \(2 < k < 3\): \(\Delta > 0\), \(k-2 > 0\) (concavidad \(\uparrow\)); \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 2\): \(\Delta > 0\), \(k-2 < 0\) (concavidad \(\downarrow\)); \(S = [x_1, x_2]\).
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ x^2 + kx + k^2 - 1 < 0 \]
Resultado
• \(|k| < \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): \(S = (x_1, x_2)\) con \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{4-3k^2}}{2}\)
• \(|k| \ge \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): \(S = \emptyset\)
Resolución
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4(k^2-1) = -3k^2 + 4 \]
Estudio
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; 3k^2 < 4 \;\Leftrightarrow\; |k| < \tfrac{2}{\sqrt{3}} = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): parábola hacia arriba, negativa entre las raíces; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): raíz doble, trinomio \(\ge 0\); desigualdad estricta; \(S = \emptyset\).
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): ninguna raíz real, trinomio siempre \(> 0\); \(S = \emptyset\).
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ (x-k)(x-1) > 0 \]
Resultado
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k = 1\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k > 1\): \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Resolución
Raíces
\[ x = k \qquad x = 1 \]
Estudio del signo
• \(k < 1\): raíces ordenadas \(k < 1\); producto \(> 0\) en el exterior; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k = 1\): raíz doble \((x-1)^2 > 0\) para todo \(x \neq 1\); \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k > 1\): raíces ordenadas \(1 < k\); producto \(> 0\) en el exterior; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).