Ejercicios Resueltos sobre Inecuaciones de Segundo Grado. Un recorrido guiado por el uso de la fórmula cuadrática y el análisis de los signos. Aprende a pasar de la ecuación asociada a la solución final en unos pocos pasos algebraicos.
Ejercicio 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 4 > 0 \]
Resultado
\[ x < -2 \quad \text{o bien} \quad x > 2 \]
Desarrollo
Ecuación asociada y raíces
\[ x^2-4=(x-2)(x+2)=0 \implies x_1=-2,\quad x_2=2 \]
Regla de los signos
El coeficiente de \(x^2\) es positivo: la parábola tiene ramas hacia arriba y el polinomio es positivo fuera de las raíces.
\[ x^2-4 > 0 \iff x < -2 \;\text{ o bien }\; x > 2 \]
Conjunto solución
\[ S = (-\infty,\,-2)\cup(2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < -2 \quad \text{o bien} \quad x > 2} \]
Ejercicio 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 9 \leq 0 \]
Resultado
\[ -3 \leq x \leq 3 \]
Desarrollo
Ecuación asociada y raíces
\[ x^2-9=(x-3)(x+3)=0 \implies x_1=-3,\quad x_2=3 \]
Regla de los signos
Parábola con ramas hacia arriba: el polinomio es negativo o nulo entre las raíces.
\[ x^2-9 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3 \]
Conjunto solución
\[ S = [-3,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 3} \]
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 > 0 \]
Resultado
\[ x < 2 \quad \text{o bien} \quad x > 3 \]
Desarrollo
Ecuación asociada y raíces
Producto \(6\), suma \(-5\): se obtienen \(x_1=2\) y \(x_2=3\).
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]
Regla de los signos
Parábola con ramas hacia arriba: positivo fuera de las raíces.
\[ x^2-5x+6 > 0 \iff x < 2 \;\text{ o bien }\; x > 3 \]
Conjunto solución
\[ S = (-\infty,\,2)\cup(3,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < 2 \quad \text{o bien} \quad x > 3} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 \leq 0 \]
Resultado
\[ 2 \leq x \leq 3 \]
Desarrollo
Ecuación asociada y raíces
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \implies x_1=2,\quad x_2=3 \]
Regla de los signos
Parábola con ramas hacia arriba: el polinomio es negativo o nulo entre las raíces. Respecto al ejercicio anterior, solo cambia el sentido de la desigualdad.
\[ x^2-5x+6 \leq 0 \iff 2 \leq x \leq 3 \]
Conjunto solución
\[ S = [2,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{2 \leq x \leq 3} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 7x + 12 > 0 \]
Resultado
\[ x < 3 \quad \text{o bien} \quad x > 4 \]
Desarrollo
Ecuación asociada y raíces
Producto \(12\), suma \(-7\): se obtienen \(x_1=3\) y \(x_2=4\).
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0 \]
Regla de los signos
\[ x^2-7x+12 > 0 \iff x < 3 \;\text{ o bien }\; x > 4 \]
Conjunto solución
\[ S = (-\infty,\,3)\cup(4,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < 3 \quad \text{o bien} \quad x > 4} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + x - 6 \leq 0 \]
Resultado
\[ -3 \leq x \leq 2 \]
Desarrollo
Ecuación asociada y raíces
Producto \(-6\), suma \(1\): se obtienen \(x_1=-3\) y \(x_2=2\).
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0 \]
Regla de los signos
Parábola con ramas hacia arriba: negativo o nulo entre las raíces.
\[ x^2+x-6 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 2 \]
Conjunto solución
\[ S = [-3,\,2] \]
Resultado
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 2} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 \geq 0 \]
Resultado
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(siempre verdadera)} \]
Desarrollo
Reconocimiento del cuadrado perfecto
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Análisis
El cuadrado de cualquier número real es siempre no negativo: \((x-1)^2 \geq 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\). La desigualdad se cumple para todos los reales.
Conjunto solución
\[ S = \mathbb{R} \]
Resultado
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 < 0 \]
Resultado
Sin solución
Desarrollo
Reconocimiento del cuadrado perfecto
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Análisis
El cuadrado de un número real es siempre \(\geq 0\): no puede ser estrictamente negativo. La desigualdad no tiene solución.
Conjunto solución
\[ S = \emptyset \]
Resultado
\[ \boxed{\text{Sin solución}} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 5 > 0 \]
Resultado
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(siempre verdadera)} \]
Desarrollo
Cálculo del discriminante
\[ \Delta = 4 - 20 = -16 \]
Análisis
Como \(\Delta < 0\), el polinomio no tiene raíces reales. Con el coeficiente de \(x^2\) positivo, la parábola queda completamente por encima del eje \(x\): el polinomio es siempre positivo.
Conjunto solución
\[ S = \mathbb{R} \]
Resultado
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 4x + 5 \leq 0 \]
Resultado
Sin solución
Desarrollo
Cálculo del discriminante
\[ \Delta = 16 - 20 = -4 \]
Análisis
Como \(\Delta < 0\) y el coeficiente de \(x^2\) es positivo, la parábola está siempre por encima del eje \(x\): el polinomio nunca es \(\leq 0\).
Conjunto solución
\[ S = \emptyset \]
Resultado
\[ \boxed{\text{Sin solución}} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 > 2x + 3 \]
Resultado
\[ x < -1 \quad \text{o bien} \quad x > 3 \]
Desarrollo
Reescritura en forma estándar
\[ x^2-2x-3 > 0 \]
Ecuación asociada y raíces
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0 \implies x_1=-1,\quad x_2=3 \]
Regla de los signos
Parábola con ramas hacia arriba: positivo fuera de las raíces.
\[ x < -1 \;\text{ o bien }\; x > 3 \]
Conjunto solución
\[ S = (-\infty,\,-1)\cup(3,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < -1 \quad \text{o bien} \quad x > 3} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★★☆
\[ 3x^2 - x - 2 \leq 0 \]
Resultado
\[ -\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Desarrollo
Ecuación asociada y raíces
\[ \Delta = 1+24=25 \implies x = \frac{1\pm5}{6} \implies x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=1 \]
Factorización
\[ 3x^2-x-2=(3x+2)(x-1) \]
Comprobación: \((3x+2)(x-1)=3x^2-3x+2x-2=3x^2-x-2\) ✓
Regla de los signos
Coeficiente de \(x^2\) positivo: negativo o nulo entre las raíces.
\[ -\frac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Conjunto solución
\[ S = \left[-\frac{2}{3},\,1\right] \]
Resultado
\[ \boxed{-\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
\[ -x^2 + 4x - 3 \geq 0 \]
Resultado
\[ 1 \leq x \leq 3 \]
Desarrollo
Cambio de signo
Se multiplica por \(-1\): el coeficiente de \(x^2\) se vuelve positivo y el sentido de la desigualdad se invierte.
\[ x^2 - 4x + 3 \leq 0 \]
Ecuación asociada y raíces
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \implies x_1=1,\quad x_2=3 \]
Regla de los signos
Negativo o nulo entre las raíces: \(1 \leq x \leq 3\).
Conjunto solución
\[ S = [1,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{1 \leq x \leq 3} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ 2x^2 + 5x - 3 < 0 \]
Resultado
\[ -3 < x < \dfrac{1}{2} \]
Desarrollo
Ecuación asociada y raíces
\[ \Delta = 25+24=49 \implies x = \frac{-5\pm7}{4} \implies x_1=-3,\quad x_2=\frac{1}{2} \]
Factorización
\[ 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3) \]
Regla de los signos
Coeficiente de \(x^2\) positivo: estrictamente negativo entre las raíces.
\[ -3 < x < \frac{1}{2} \]
Conjunto solución
\[ S = \left(-3,\,\frac{1}{2}\right) \]
Resultado
\[ \boxed{-3 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 - 6x + 9 > 0 \]
Resultado
\[ x \in \mathbb{R}\setminus\{3\} \]
Desarrollo
Reconocimiento del cuadrado perfecto
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
Análisis
\(\Delta=0\): raíz doble en \(x=3\). La parábola es siempre \(\geq 0\) y se anula únicamente en \(x=3\). Para la desigualdad estricta se excluye el punto de tangencia.
\[ (x-3)^2 > 0 \iff x \neq 3 \]
Conjunto solución
\[ S = \mathbb{R}\setminus\{3\} = (-\infty,\,3)\cup(3,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}\setminus\{3\}} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
\[ x(x-4) \geq 5 \]
Resultado
\[ x \leq -1 \quad \text{o bien} \quad x \geq 5 \]
Desarrollo
Reescritura en forma estándar
\[ x^2-4x-5 \geq 0 \]
Ecuación asociada y raíces
\[ \Delta = 16+20=36 \implies x = \frac{4\pm6}{2} \implies x_1=-1,\quad x_2=5 \]
Factorización
\[ x^2-4x-5=(x+1)(x-5) \]
Regla de los signos
Positivo o nulo fuera de las raíces: \(x \leq -1\) o bien \(x \geq 5\).
Comprobación
\(x=5\): \(5\cdot1=5\geq5\) \(x=-1\): \((-1)(-5)=5\geq5\)
Resultado
\[ \boxed{x \leq -1 \quad \text{o bien} \quad x \geq 5} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2-5x+4 < 0 \\ x^2-4 > 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ 2 < x < 4 \]
Desarrollo
Primera inecuación
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) < 0 \implies 1 < x < 4 \]
Segunda inecuación
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) > 0 \implies x < -2 \;\text{ o bien }\; x > 2 \]
Intersección
Se intersectan \((1,\,4)\) con \((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\):
\[ (1 < x < 4)\;\cap\;(x > 2) \;=\; 2 < x < 4 \]
Conjunto solución
\[ S = (2,\,4) \]
Resultado
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ (x^2-4x+3)(x^2-x-2) \leq 0 \]
Resultado
\[ -1 \leq x \leq 1 \quad \text{o bien} \quad 2 \leq x \leq 3 \]
Desarrollo
Factorización
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \qquad x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Las raíces del producto son \(x=-1,\,1,\,2,\,3\).
Tabla de signos de \((x-1)(x-3)(x-2)(x+1)\)
\(x < -1\): cuatro factores negativos \(\to\) producto \(> 0\)
\(-1 < x < 1\): tres negativos \(\to\) producto \(< 0\)
\(1 < x < 2\): dos negativos \(\to\) producto \(> 0\)
\(2 < x < 3\): un negativo \(\to\) producto \(< 0\)
\(x > 3\): cero negativos \(\to\) producto \(> 0\)
Solución para \(\leq 0\)
El producto es negativo o nulo en los intervalos con signo \(-\) y en los puntos de cero.
Conjunto solución
\[ S = [-1,\,1]\cup[2,\,3] \]
Resultado
\[ \boxed{-1 \leq x \leq 1 \quad \text{o bien} \quad 2 \leq x \leq 3} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x^2-5x+2 > 0 \\ x^2-x-2 < 0 \end{cases} \]
Resultado
\[ -1 < x < \dfrac{1}{2} \]
Desarrollo
Primera inecuación
\[ \Delta=9 \implies x_1=\tfrac{1}{2},\; x_2=2 \qquad (2x-1)(x-2) > 0 \implies x < \frac{1}{2} \;\text{ o bien }\; x > 2 \]
Segunda inecuación
\[ (x-2)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 2 \]
Intersección
\[ \left(x < \tfrac{1}{2} \;\text{ o bien }\; x > 2\right)\cap\left(-1 < x < 2\right) = -1 < x < \frac{1}{2} \]
Conjunto solución
\[ S = \left(-1,\,\tfrac{1}{2}\right) \]
Resultado
\[ \boxed{-1 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ x(x-2) > x-2 \]
Resultado
\[ x < 1 \quad \text{o bien} \quad x > 2 \]
Desarrollo
Reescritura en forma estándar
\[ x(x-2)-(x-2) > 0 \]
Extracción del factor \((x-2)\)
\[ (x-2)(x-1) > 0 \]
Raíces y regla de los signos
Raíces: \(x=1\) y \(x=2\). Parábola con ramas hacia arriba: positivo fuera de las raíces.
\[ x < 1 \;\text{ o bien }\; x > 2 \]
Comprobación
\(x=0\): \(0 > -2\) \(x=3\): \(3 > 1\) \(x=1{,}5\): \(-0{,}75 > -0{,}5\) — falso, no es solución
Conjunto solución
\[ S = (-\infty,\,1)\cup(2,\,+\infty) \]
Resultado
\[ \boxed{x < 1 \quad \text{o bien} \quad x > 2} \]