Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre inecuaciones exponenciales, pensada para aprender a aplicar correctamente la monotonía de dichas funciones, reconocer cuándo el sentido de la inecuación se conserva y cuándo, en cambio, se invierte.
En cada ejercicio haremos uso cuidadoso de las propiedades de las potencias, de la reducción a la misma base y, cuando sea necesario, del método de sustitución.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ 2^x>8 \]
Resultado
\[ S=(3,+\infty) \]
Resolución
Escribimos \(8\) como potencia de \(2\):
\[ 8=2^3 \]
La inecuación se convierte en:
\[ 2^x>2^3 \]
Como \(2>1\), la función exponencial \(2^x\) es estrictamente creciente. Por tanto, podemos comparar los exponentes conservando el sentido de la inecuación:
\[ x>3 \]
Por lo tanto:
\[ S=(3,+\infty) \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ 3^{x-1}\le 27 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,4] \]
Resolución
Escribimos \(27\) como potencia de \(3\):
\[ 27=3^3 \]
Obtenemos:
\[ 3^{x-1}\le 3^3 \]
Como \(3>1\), la función exponencial es creciente. El sentido de la inecuación se conserva:
\[ x-1\le 3 \]
Luego:
\[ x\le 4 \]
Por lo tanto:
\[ S=(-\infty,4] \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ \left(\frac12\right)^x>\frac1{16} \]
Resultado
\[ S=(-\infty,4) \]
Resolución
Escribimos el segundo miembro como potencia de \(\frac12\):
\[ \frac1{16}=\left(\frac12\right)^4 \]
La inecuación se convierte en:
\[ \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^4 \]
Dado que:
\[ 0<\frac12<1 \]
la función exponencial es estrictamente decreciente. Por ello, al comparar los exponentes, el sentido de la inecuación se invierte:
\[ x<4 \]
Por lo tanto:
\[ S=(-\infty,4) \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 5^{2x+1}\ge 5^{x-3} \]
Resultado
\[ S=[-4,+\infty) \]
Resolución
Ambas potencias tienen la misma base \(5\). Como \(5>1\), la función exponencial es creciente.
Por tanto, podemos comparar los exponentes conservando el sentido de la inecuación:
\[ 2x+1\ge x-3 \]
Restando \(x\) en ambos miembros:
\[ x+1\ge -3 \]
Luego:
\[ x\ge -4 \]
Por lo tanto:
\[ S=[-4,+\infty) \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
Resultado
\[ S=(-\infty,3] \]
Resolución
La base es \(\frac13\), de modo que:
\[ 0<\frac13<1 \]
La función exponencial es decreciente. En consecuencia, al pasar de las expresiones exponenciales a los exponentes, el sentido de la inecuación se invierte.
De:
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
obtenemos:
\[ x+2\ge 2x-1 \]
Luego:
\[ 3\ge x \]
es decir:
\[ x\le 3 \]
Por lo tanto:
\[ S=(-\infty,3] \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 4^x>2^{3x} \]
Resultado
\[ S=(-\infty,0) \]
Resolución
Escribimos \(4\) como potencia de \(2\):
\[ 4=2^2 \]
Entonces:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x} \]
La inecuación se convierte en:
\[ 2^{2x}>2^{3x} \]
Como \(2>1\), la función exponencial \(2^x\) es estrictamente creciente. Por tanto, comparamos los exponentes conservando el sentido:
\[ 2x>3x \]
Restando \(3x\) en ambos miembros:
\[ -x>0 \]
Multiplicando por \(-1\), el sentido de la inecuación se invierte:
\[ x<0 \]
Por lo tanto:
\[ S=(-\infty,0) \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 9^x\le 3^{x+4} \]
Resultado
\[ S=(-\infty,4] \]
Resolución
Escribimos \(9\) como potencia de \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Entonces:
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x} \]
La inecuación se convierte en:
\[ 3^{2x}\le 3^{x+4} \]
Como \(3>1\), comparamos los exponentes conservando el sentido:
\[ 2x\le x+4 \]
Luego:
\[ x\le 4 \]
Por lo tanto:
\[ S=(-\infty,4] \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 2^{x+2}-2^x>12 \]
Resultado
\[ S=(2,+\infty) \]
Resolución
Reescribimos el primer término:
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4\cdot 2^x \]
La inecuación se convierte en:
\[ 4\cdot 2^x-2^x>12 \]
Extraemos factor común \(2^x\):
\[ 2^x(4-1)>12 \]
es decir:
\[ 3\cdot 2^x>12 \]
Dividimos por \(3\), que es positivo:
\[ 2^x>4 \]
Como \(4=2^2\), obtenemos:
\[ 2^x>2^2 \]
Siendo \(2>1\), la función exponencial es creciente:
\[ x>2 \]
Por lo tanto:
\[ S=(2,+\infty) \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ 3^{x+1}+3^x\le 36 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,2] \]
Resolución
Reescribimos:
\[ 3^{x+1}=3\cdot 3^x \]
Entonces:
\[ 3^{x+1}+3^x=3\cdot 3^x+3^x=4\cdot 3^x \]
La inecuación se convierte en:
\[ 4\cdot 3^x\le 36 \]
Dividimos por \(4\), que es positivo:
\[ 3^x\le 9 \]
Como \(9=3^2\), obtenemos:
\[ 3^x\le 3^2 \]
Siendo \(3>1\), comparamos los exponentes:
\[ x\le 2 \]
Por lo tanto:
\[ S=(-\infty,2] \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+4\le 0 \]
Resultado
\[ S=[0,2] \]
Resolución
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=2^x \]
Como \(2^x>0\), tenemos:
\[ t>0 \]
Además:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Luego:
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
El producto es negativo o nulo entre las dos raíces:
\[ 1\le t\le 4 \]
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ 1\le 2^x\le 4 \]
Escribimos:
\[ 1=2^0,\qquad 4=2^2 \]
Como \(2>1\), obtenemos:
\[ 0\le x\le 2 \]
Por lo tanto:
\[ S=[0,2] \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ 3^{2x}-4\cdot 3^x+3>0 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Resolución
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=3^x \]
Como \(3^x>0\), tenemos:
\[ t>0 \]
Además:
\[ 3^{2x}=(3^x)^2=t^2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ t^2-4t+3>0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-4t+3=(t-1)(t-3) \]
Luego:
\[ (t-1)(t-3)>0 \]
El producto es positivo fuera de las dos raíces:
\[ t<1 \quad \text{o bien} \quad t>3 \]
Teniendo en cuenta que \(t>0\), la primera condición equivale a:
\[ 0
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ 3^x<1 \quad \text{o bien} \quad 3^x>3 \]
Escribimos:
\[ 1=3^0,\qquad 3=3^1 \]
Como \(3>1\), obtenemos:
\[ x<0 \quad \text{o bien} \quad x>1 \]
Por lo tanto:
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ 4^x-6\cdot 2^x+8\ge 0 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Resolución
Observamos que:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=2^x \]
con:
\[ t>0 \]
La inecuación se convierte en:
\[ t^2-6t+8\ge 0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Luego:
\[ (t-2)(t-4)\ge 0 \]
El producto es positivo o nulo fuera de las raíces:
\[ t\le 2 \quad \text{o bien} \quad t\ge 4 \]
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ 2^x\le 2 \quad \text{o bien} \quad 2^x\ge 4 \]
Como:
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
y siendo \(2>1\), obtenemos:
\[ x\le 1 \quad \text{o bien} \quad x\ge 2 \]
Por lo tanto:
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ \frac{2^x-4}{2^x+1}\ge 0 \]
Resultado
\[ S=[2,+\infty) \]
Resolución
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=2^x \]
Como \(2^x>0\), tenemos:
\[ t>0 \]
La inecuación se convierte en:
\[ \frac{t-4}{t+1}\ge 0 \]
Como \(t>0\), el denominador es siempre positivo:
\[ t+1>0 \]
Por tanto, el signo de la fracción depende únicamente del numerador:
\[ t-4\ge 0 \]
es decir:
\[ t\ge 4 \]
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ 2^x\ge 4 \]
Como \(4=2^2\) y \(2>1\), obtenemos:
\[ x\ge 2 \]
Por lo tanto:
\[ S=[2,+\infty) \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ \frac{3^x-9}{3^x-1}<0 \]
Resultado
\[ S=(0,2) \]
Resolución
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=3^x \]
Como \(3^x>0\), tenemos:
\[ t>0 \]
La inecuación se convierte en:
\[ \frac{t-9}{t-1}<0 \]
Los puntos críticos son:
\[ t=1,\qquad t=9 \]
El valor \(t=1\) anula el denominador y por tanto no está admitido. El valor \(t=9\) anula el numerador.
Para \(t>0\), estudiamos el signo en los intervalos:
\[ (0,1),\qquad (1,9),\qquad (9,+\infty) \]
El cuadro de signos es:
\[ \begin{array}{c|ccc} t & (0,1) & (1,9) & (9,+\infty)\\ \hline t-9 & - & - & +\\ t-1 & - & + & +\\ \hline \dfrac{t-9}{t-1} & + & - & + \end{array} \]
La fracción debe ser negativa, por tanto:
\[ 1
Volviendo a la variable \(x\):
\[ 1<3^x<9 \]
Escribimos:
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
Luego:
\[ 3^0<3^x<3^2 \]
Como \(3>1\), obtenemos:
\[ 0
Por lo tanto:
\[ S=(0,2) \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ 2^{x+1}+2^{1-x}\le 5 \]
Resultado
\[ S=[-1,1] \]
Resolución
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=2^x \]
Como \(2^x>0\), tenemos:
\[ t>0 \]
Reescribimos los dos términos:
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t \]
Además:
\[ 2^{1-x}=2\cdot 2^{-x}=\frac{2}{2^x}=\frac{2}{t} \]
La inecuación se convierte en:
\[ 2t+\frac{2}{t}\le 5 \]
Como \(t>0\), podemos multiplicar por \(t\) sin cambiar el sentido:
\[ 2t^2+2\le 5t \]
Pasando todo al primer miembro:
\[ 2t^2-5t+2\le 0 \]
Factorizamos:
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
Luego:
\[ (2t-1)(t-2)\le 0 \]
El producto es negativo o nulo entre las dos raíces:
\[ \frac12\le t\le 2 \]
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ \frac12\le 2^x\le 2 \]
Escribimos:
\[ \frac12=2^{-1},\qquad 2=2^1 \]
Como \(2>1\), obtenemos:
\[ -1\le x\le 1 \]
Por lo tanto:
\[ S=[-1,1] \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ 9^x-10\cdot 3^x+9\ge 0 \]
Resultado
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Resolución
Observamos que:
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2 \]
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=3^x \]
con:
\[ t>0 \]
La inecuación se convierte en:
\[ t^2-10t+9\ge 0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Luego:
\[ (t-1)(t-9)\ge 0 \]
El producto es positivo o nulo fuera de las raíces:
\[ t\le 1 \quad \text{o bien} \quad t\ge 9 \]
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ 3^x\le 1 \quad \text{o bien} \quad 3^x\ge 9 \]
Como:
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
y siendo \(3>1\), obtenemos:
\[ x\le 0 \quad \text{o bien} \quad x\ge 2 \]
Por lo tanto:
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ \left(\frac14\right)^x-5\left(\frac12\right)^x+4\le 0 \]
Resultado
\[ S=[-2,0] \]
Resolución
Expresamos todo en función de \(\left(\frac12\right)^x\).
Como:
\[ \frac14=\left(\frac12\right)^2 \]
tenemos:
\[ \left(\frac14\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x} \]
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=\left(\frac12\right)^x \]
con:
\[ t>0 \]
Entonces:
\[ \left(\frac12\right)^{2x}=t^2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Luego:
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
El producto es negativo o nulo entre las raíces:
\[ 1\le t\le 4 \]
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ 1\le \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Escribimos los extremos como potencias de \(\frac12\):
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
Como la base \(\frac12\) está comprendida entre \(0\) y \(1\), la función es decreciente. Por este motivo, el orden de los exponentes se invierte.
Resolvemos por separado:
\[ \left(\frac12\right)^x\ge 1 \]
y:
\[ \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Como:
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
y la función exponencial de base \(\frac12\) es decreciente, obtenemos:
\[ x\le 0 \]
y:
\[ x\ge -2 \]
Tomando la intersección:
\[ -2\le x\le 0 \]
Por lo tanto:
\[ S=[-2,0] \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ \begin{cases} 2^x>4\\ 3^{x-1}\le 9 \end{cases} \]
Resultado
\[ S=(2,3] \]
Resolución
Resolvemos por separado cada inecuación.
Primera inecuación:
\[ 2^x>4 \]
Como \(4=2^2\), tenemos:
\[ 2^x>2^2 \]
Siendo \(2>1\), obtenemos:
\[ x>2 \]
Segunda inecuación:
\[ 3^{x-1}\le 9 \]
Como \(9=3^2\), obtenemos:
\[ 3^{x-1}\le 3^2 \]
Siendo \(3>1\), comparamos los exponentes:
\[ x-1\le 2 \]
Luego:
\[ x\le 3 \]
Tomamos la intersección de las dos condiciones:
\[ x>2 \quad \text{y} \quad x\le 3 \]
Obtenemos:
\[ 2
Por lo tanto:
\[ S=(2,3] \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ \frac{2^{2x}-5\cdot 2^x+4}{2^x-2}\ge 0 \]
Resultado
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Resolución
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=2^x \]
Como \(2^x>0\), tenemos:
\[ t>0 \]
Además:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ \frac{t^2-5t+4}{t-2}\ge 0 \]
Factorizamos el numerador:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Luego:
\[ \frac{(t-1)(t-4)}{t-2}\ge 0 \]
Los puntos críticos son:
\[ t=1,\qquad t=2,\qquad t=4 \]
El valor \(t=2\) anula el denominador, por tanto debe quedar excluido.
Estudiamos el signo para \(t>0\):
\[ \begin{array}{c|cccc} t & (0,1) & (1,2) & (2,4) & (4,+\infty)\\ \hline t-1 & - & + & + & +\\ t-4 & - & - & - & +\\ t-2 & - & - & + & +\\ \hline \dfrac{(t-1)(t-4)}{t-2} & - & + & - & + \end{array} \]
Como buscamos una fracción mayor o igual que cero, tomamos los intervalos en que el signo es positivo e incluimos los ceros del numerador:
\[ 1\le t<2 \quad \text{o bien} \quad t\ge 4 \]
El valor \(t=2\) permanece excluido por anular el denominador.
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ 1\le 2^x<2 \quad \text{o bien} \quad 2^x\ge 4 \]
Escribimos:
\[ 1=2^0,\qquad 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Como \(2>1\), obtenemos:
\[ 0\le x<1 \quad \text{o bien} \quad x\ge 2 \]
Por lo tanto:
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8<0 \]
Resultado
\[ S=(1,2) \]
Resolución
Expresamos todo en función de \(2^x\).
Como:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
y:
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x \]
hacemos el cambio de variable:
\[ t=2^x \]
con:
\[ t>0 \]
La inecuación se convierte en:
\[ t^2-6t+8<0 \]
Factorizamos:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Luego:
\[ (t-2)(t-4)<0 \]
El producto es negativo entre las dos raíces:
\[ 2
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ 2<2^x<4 \]
Escribimos:
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Como \(2>1\), obtenemos:
\[ 1
Por lo tanto:
\[ S=(1,2) \]