Las inecuaciones exponenciales son inecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente. Constituyen una de las aplicaciones fundamentales de las propiedades de las funciones exponenciales y requieren especial atención al estudio de la monotonía.
La forma más sencilla es:
\[ a^{f(x)} \gtrless a^{g(x)}, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
En estos casos, el comportamiento de la inecuación depende enteramente de la base \(a\):
- si \(a>1\), la función exponencial es estrictamente creciente;
- si \(0<a<1\), la función exponencial es estrictamente decreciente.
En consecuencia:
\[ a^{u}>a^{v} \iff u>v \qquad \text{si } a>1, \]
mientras que:
\[ a^{u}>a^{v} \iff u<v \qquad \text{si } 0<a<1. \]
Este es el principio central de toda la teoría de las inecuaciones exponenciales.
Índice
- Definición de inecuación exponencial
- Monotonía de la función exponencial
- Inecuaciones elementales con la misma base
- Caso \(a>1\)
- Caso \(0<a<1\)
- Reducción a la misma base
- Inecuaciones reducibles a una exponencial
- Método de sustitución
- Inecuaciones exponenciales fraccionarias
- Sistemas de inecuaciones exponenciales
- Ejemplos resueltos
Definición de inecuación exponencial
Una inecuación exponencial es una inecuación en la que la incógnita aparece en el exponente de al menos una potencia.
Ejemplos:
\[ 2^x>8, \]
\[ 3^{2x-1}\le 9, \]
\[ \left(\frac12\right)^{x+1}>4. \]
No todas las inecuaciones exponenciales se resuelven del mismo modo. En algunos casos basta con comparar los exponentes; en otros es necesario realizar transformaciones algebraicas, factorizaciones o sustituciones.
Monotonía de la función exponencial
Consideremos la función:
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
Esta función es:
- creciente si \(a>1\);
- decreciente si \(0<a<1\).
Este hecho es fundamental, pues permite pasar de la inecuación exponencial a una inecuación entre exponentes.
En efecto:
\[ a^{u(x)} \gtrless a^{v(x)} \]
es equivalente a:
\[ u(x)\gtrless v(x) \]
si \(a>1\), mientras que el sentido de la inecuación se invierte si \(0<a<1\).
Inecuaciones elementales con la misma base
Consideremos:
\[ 5^{2x-1}>5^3. \]
Como la base es mayor que \(1\), podemos comparar directamente los exponentes:
\[ 2x-1>3. \]
Resolviendo:
\[ 2x>4 \]
\[ x>2. \]
Luego:
\[ S=(2,+\infty). \]
Caso \(a>1\)
Si la base es mayor que \(1\), la función exponencial preserva el orden:
\[ a^u>a^v \iff u>v. \]
Ejemplo:
\[ 3^{x+2}\le 3^{2x-1}. \]
Comparamos los exponentes:
\[ x+2\le 2x-1. \]
De donde:
\[ 3\le x. \]
La solución es:
\[ S=[3,+\infty). \]
Caso \(0<a<1\)
Si en cambio:
\[ 0<a<1, \]
la función es decreciente y el sentido de la inecuación se invierte.
Por ejemplo:
\[ \left(\frac12\right)^{x-1}>\left(\frac12\right)^{2x+3}. \]
Como:
\[ 0<\frac12<1, \]
debemos invertir el sentido:
\[ x-1<2x+3. \]
Por tanto:
\[ -4<x. \]
Luego:
\[ S=(-4,+\infty). \]
Reducción a la misma base
Con frecuencia, las bases son distintas pero reducibles a una base común.
Consideremos:
\[ 8^x>2^{x+1}. \]
Observamos que:
\[ 8=2^3. \]
Entonces:
\[ (2^3)^x>2^{x+1}. \]
Aplicando la propiedad:
\[ (a^m)^n=a^{mn}, \]
obtenemos:
\[ 2^{3x}>2^{x+1}. \]
Como \(2>1\):
\[ 3x>x+1. \]
Luego:
\[ 2x>1 \]
\[ x>\frac12. \]
Inecuaciones reducibles a una exponencial
En ocasiones es necesario transformar la expresión antes de poder aplicar la monotonía.
Por ejemplo:
\[ 2^{x+1}-2^x>4. \]
Extraemos factor común \(2^x\):
\[ 2^x(2-1)>4. \]
es decir:
\[ 2^x>4. \]
Dado que:
\[ 4=2^2, \]
obtenemos:
\[ 2^x>2^2. \]
Por tanto:
\[ x>2. \]
Método de sustitución
Algunas inecuaciones exponenciales adquieren forma polinómica tras un cambio de variable.
Consideremos:
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+6>0. \]
Hacemos el cambio:
\[ t=2^x. \]
Como toda función exponencial es siempre positiva:
\[ t>0. \]
Además:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2. \]
La inecuación se transforma en:
\[ t^2-5t+6>0. \]
Factorizamos:
\[ (t-2)(t-3)>0. \]
El estudio del signo proporciona:
\[ t<2 \quad \text{o} \quad t>3. \]
Deshaciendo el cambio:
\[ 2^x<2 \quad \text{o} \quad 2^x>3. \]
La primera condición da:
\[ x<1. \]
La segunda:
\[ x>\log_2 3. \]
Por tanto:
\[ S=(-\infty,1)\cup(\log_2 3,+\infty). \]
Inecuaciones exponenciales fraccionarias
También pueden aparecer expresiones racionales que contienen exponenciales.
Ejemplo:
\[ \frac{2^x-1}{2^x+3}>0. \]
Sea:
\[ t=2^x, \qquad t>0. \]
Obtenemos:
\[ \frac{t-1}{t+3}>0. \]
Como:
\[ t+3>0 \]
para todo \(t>0\), basta con exigir:
\[ t-1>0. \]
Por tanto:
\[ t>1. \]
Volviendo a la variable original:
\[ 2^x>1. \]
Dado que:
\[ 1=2^0, \]
se tiene:
\[ x>0. \]
Sistemas de inecuaciones exponenciales
Las inecuaciones exponenciales pueden aparecer formando sistemas.
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} 2^x>4 \\ 3^x\le 27 \end{cases} \]
La primera inecuación proporciona:
\[ x>2. \]
La segunda:
\[ x\le 3. \]
Intersectando ambas soluciones:
\[ S=(2,3]. \]
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Resolver:
\[ 4^x\ge 16. \]
Escribimos todo en base \(2\):
\[ 4=2^2, \qquad 16=2^4. \]
Luego:
\[ 2^{2x}\ge 2^4. \]
Como \(2>1\):
\[ 2x\ge 4. \]
De donde:
\[ x\ge 2. \]
Por tanto:
\[ S=[2,+\infty). \]
Ejemplo 2
Resolver:
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}<27. \]
Escribimos todo en base \(3\):
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}=3^{-(2x-1)}, \qquad 27=3^3. \]
Obtenemos:
\[ 3^{-2x+1}<3^3. \]
Como la base \(3\) es mayor que \(1\):
\[ -2x+1<3. \]
Por tanto:
\[ -2x<2 \]
\[ x>-1. \]
Luego:
\[ S=(-1,+\infty). \]
Ejemplo 3
Resolver:
\[ 3^{2x}-10\cdot 3^x+9\le 0. \]
Sea:
\[ t=3^x, \qquad t>0. \]
Obtenemos:
\[ t^2-10t+9\le 0. \]
Factorizamos:
\[ (t-1)(t-9)\le 0. \]
Del estudio del signo:
\[ 1\le t\le 9. \]
Volviendo a la variable exponencial:
\[ 1\le 3^x\le 9. \]
es decir:
\[ 3^0\le 3^x\le 3^2. \]
Como \(3>1\):
\[ 0\le x\le 2. \]
Por tanto:
\[ S=[0,2]. \]
Las inecuaciones exponenciales se resuelven, pues, aprovechando las propiedades fundamentales de la función exponencial: monotonía, comparación de bases, transformaciones algebraicas y sustituciones. Comprender el comportamiento de la base es el punto esencial para evitar errores en el sentido de la inecuación y construir una resolución rigurosa y correcta.