Las inecuaciones fraccionarias son inecuaciones en las que la incógnita aparece en el denominador de una fracción algebraica. Su resolución se basa casi por completo en el estudio del signo: no basta con saber cuándo una expresión se anula, sino que también es preciso determinar en qué intervalos el numerador y el denominador tienen signos iguales o contrarios.
Índice
- Idea fundamental del estudio del signo
- Condiciones de existencia
- Puntos críticos y división de la recta
- Cómo construir la tabla de signos
- Multiplicidad de las raíces
- Ejemplo completo resuelto
- Errores más frecuentes
Idea fundamental del estudio del signo
Consideremos una inecuación del tipo:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \]
El signo de la fracción depende simultáneamente del signo del numerador y del denominador.
Una fracción es positiva cuando numerador y denominador tienen el mismo signo; en cambio, es negativa cuando tienen signos contrarios.
En términos formales:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}>0 \]
cuando:
\[ \begin{cases} P(x)>0 \\ Q(x)>0 \end{cases} \quad \text{o bien} \quad \begin{cases} P(x)<0 \\ Q(x)<0 \end{cases} \]
Análogamente:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}<0 \]
cuando los signos son contrarios.
Toda la teoría de las inecuaciones fraccionarias parte precisamente de esta observación.
Condiciones de existencia
Antes de estudiar el signo de la fracción es necesario establecer para qué valores la expresión está definida.
Dado que una fracción no puede tener denominador nulo, debe cumplirse siempre:
\[ Q(x)\neq0 \]
Los valores que anulan el denominador reciben los siguientes nombres:
- valores no admitidos;
- puntos de exclusión;
- condiciones de existencia.
Dichos valores no pueden pertenecer nunca a la solución final, incluso cuando posibles simplificaciones parecen eliminarlos.
Por ejemplo:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} \]
puede escribirse como:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \]
pero:
\[ x=2 \]
queda igualmente excluido, pues anulaba el denominador de la expresión original.
Puntos críticos y división de la recta
Los valores que pueden producir un cambio de signo se denominan puntos críticos.
Estos comprenden:
- las raíces del numerador;
- las raíces del denominador.
Consideremos, por ejemplo:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3} \]
Los puntos críticos son:
\[ -2,\quad1,\quad3 \]
Dichos valores dividen la recta real en intervalos:
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,1),\quad(1,3),\quad(3,+\infty) \]
En el interior de cada intervalo el signo de los factores permanece constante. Un polinomio solo puede cambiar de signo al atravesar una de sus raíces.
Cómo construir la tabla de signos
La tabla de signos se construye directamente a partir de la factorización de la fracción.
En primer lugar se factorizan el numerador y el denominador en sus factores irreducibles. A continuación se identifican todos los puntos críticos y se colocan sobre la recta real en orden creciente.
Hecho esto, se estudia el signo de cada factor en los distintos intervalos determinados por los puntos críticos.
Consideremos:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
| Intervalo | \((-\infty,-2)\) | \((-2,1)\) | \((1,3)\) | \((3,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-3\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| Fracción | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Una vez conocido el signo de cada factor, el comportamiento de la fracción queda determinado de inmediato: el producto de factores con el mismo signo da un valor positivo, mientras que signos contrarios producen un valor negativo.
Como la inecuación exige:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
se seleccionan los intervalos en los que la última fila resulta positiva:
\[ (-2,1)\cup(3,+\infty) \]
Multiplicidad de las raíces
Cuando un factor aparece elevado a una potencia, el comportamiento del signo depende de la multiplicidad de la raíz.
Si la multiplicidad es impar, el factor atraviesa efectivamente la raíz y cambia de signo.
Por ejemplo:
\[ (x-1)^3 \]
es negativo para:
\[ x<1 \]
y positivo para:
\[ x>1 \]
Una multiplicidad par, en cambio, no produce ningún cambio de signo.
En efecto:
\[ (x-1)^2\geq0 \]
para todo valor real de \(x\).
Geométricamente, una raíz de multiplicidad impar corta al eje, mientras que una raíz de multiplicidad par simplemente lo toca sin cruzarlo.
Ejemplo completo resuelto
Resolvamos la inecuación:
\[ \frac{x^2-4x}{x+2}\geq0 \]
El objetivo es determinar para qué valores de \(x\) la fracción es positiva o nula.
Para ello debemos:
- factorizar el numerador;
- determinar las condiciones de existencia;
- identificar los puntos críticos;
- construir la tabla de signos.
Factorización
El numerador tiene el factor común \(x\):
\[ x^2-4x=x(x-4) \]
La inecuación se convierte entonces en:
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
En esta forma el signo de la fracción puede estudiarse por separado sobre cada factor:
\[ x,\qquad x-4,\qquad x+2 \]
Condiciones de existencia
El denominador no puede anularse:
\[ x+2\neq0 \]
luego:
\[ x\neq-2 \]
Este valor deberá quedar excluido de la solución final, independientemente del signo de la fracción.
Puntos críticos
Los puntos críticos son los valores que anulan el numerador o el denominador.
En este caso:
\[ x=0,\qquad x=4,\qquad x=-2 \]
Ordenándolos sobre la recta real obtenemos:
\[ -2,\quad0,\quad4 \]
Estos puntos dividen la recta en los siguientes intervalos:
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,0),\quad(0,4),\quad(4,+\infty) \]
En el interior de cada intervalo el signo de cada factor permanece constante.
Estudio del signo
Analicemos ahora el comportamiento de cada factor.
El factor:
\[ x \]
es negativo para \(x<0\) y positivo para \(x>0\).
El factor:
\[ x-4 \]
es negativo para \(x<4\) y positivo para \(x>4\).
Por último:
\[ x+2 \]
es negativo para \(x<-2\) y positivo para \(x>-2\).
Recogemos todo en la tabla de signos:
| Intervalo | \((-\infty,-2)\) | \((-2,0)\) | \((0,4)\) | \((4,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-4\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| Fracción | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
La última fila se obtiene multiplicando los signos de cada factor.
Por ejemplo, en el intervalo:
\[ (-2,0) \]
tenemos:
\[ (-)\cdot(-)\cdot(+)=+ \]
por lo que la fracción resulta positiva.
En los intervalos:
\[ (-\infty,-2) \quad\text{y}\quad (0,4) \]
el producto de los signos es, en cambio, negativo.
Determinación de la solución
La inecuación exige:
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
por lo que debemos seleccionar los intervalos en los que la fracción es positiva o nula.
De la tabla obtenemos:
\[ (-2,0) \quad\text{y}\quad (4,+\infty) \]
Como aparece el símbolo:
\[ \geq \]
deben incluirse también las raíces del numerador:
\[ x=0,\qquad x=4 \]
El valor:
\[ x=-2 \]
queda excluido, puesto que anula el denominador.
La solución final es por tanto:
\[ (-2,0]\cup[4,+\infty) \]
Errores más frecuentes
Olvidar las condiciones de existencia
Es el error más habitual. Las raíces del denominador deben excluirse siempre.
Cambiar el sentido de la inecuación de forma incorrecta
No es posible multiplicar una inecuación por una expresión que contenga la incógnita sin conocer previamente el signo de dicha expresión.
Eliminar valores excluidos durante la simplificación
Incluso después de simplificar factores comunes, los valores que anulaban el denominador original siguen estando prohibidos.
Olvidar las raíces del numerador
En las inecuaciones con:
\[ \geq \quad\text{o bien}\quad \leq \]
las raíces del numerador deben incluirse cuando sean admisibles.
Las inecuaciones fraccionarias muestran con gran claridad cómo el comportamiento de una función racional depende de la distribución de sus raíces y de sus puntos de no definición.
El estudio del signo transforma así un problema aparentemente complicado en un análisis ordenado de los intervalos de la recta real.
Una factorización correcta, junto con una tabla de signos construida con rigor, permite abordar incluso inecuaciones muy complejas de forma sistemática, elegante y segura.