Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre inecuaciones irracionales, diseñada para aprender a resolver correctamente inecuaciones con radicales, prestando atención a las condiciones de existencia, al signo de cada miembro y a las posibles soluciones espurias.
En cada ejercicio no nos limitaremos a elevar al cuadrado, sino que justificaremos por qué dicho paso es válido. Este es el punto central de las inecuaciones irracionales: elevar al cuadrado no es siempre una transformación equivalente si no se verifican previamente las condiciones adecuadas.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x-2}\gt 3. \]
Resultado
\[ S=(11,+\infty). \]
Resolución
El radical existe si:
\[ x-2\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge 2. \]
Como el segundo miembro es positivo, podemos elevar al cuadrado:
\[ x-2\gt 9. \]
De donde:
\[ x\gt 11. \]
Intersectando con el dominio, obtenemos:
\[ S=(11,+\infty). \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{2x+1}\le 5. \]
Resultado
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Resolución
La condición de existencia es:
\[ 2x+1\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge -\frac{1}{2}. \]
El segundo miembro es positivo, luego podemos elevar al cuadrado:
\[ 2x+1\le 25. \]
De donde:
\[ 2x\le 24. \]
Es decir:
\[ x\le 12. \]
Intersectando las condiciones:
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+4}\lt 2. \]
Resultado
\[ S=[-4,0). \]
Resolución
El radical existe si:
\[ x+4\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge -4. \]
El segundo miembro es positivo, luego podemos elevar al cuadrado:
\[ x+4\lt 4. \]
De donde:
\[ x\lt 0. \]
Intersectando con el dominio:
\[ S=[-4,0). \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+1}\ge x-1. \]
Resultado
\[ S=[-1,3]. \]
Resolución
El radical existe si:
\[ x+1\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge -1. \]
El primer miembro es siempre no negativo. Estudiamos el signo del segundo miembro \(x-1\).
Primer caso: \(x-1\le 0\)
Si:
\[ x-1\le 0, \]
entonces:
\[ x\le 1. \]
En este caso el segundo miembro es no positivo, mientras que el radical es no negativo. Por tanto, la inecuación se satisface para:
\[ -1\le x\le 1. \]
Segundo caso: \(x-1\gt 0\)
Si:
\[ x-1\gt 0, \]
entonces:
\[ x\gt 1. \]
Ambos miembros son no negativos, de modo que podemos elevar al cuadrado:
\[ x+1\ge (x-1)^2. \]
Desarrollando:
\[ x+1\ge x^2-2x+1. \]
Pasando todo al segundo miembro:
\[ 0\ge x^2-3x. \]
Equivalentemente:
\[ x^2-3x\le 0. \]
Factorizando:
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
Resolvemos:
\[ x(x-3)\le 0. \]
Obtenemos:
\[ 0\le x\le 3. \]
Intersectando con \(x\gt 1\), resulta:
\[ 1\lt x\le 3. \]
Reuniendo los dos casos:
\[ [-1,1]\cup(1,3]=[-1,3]. \]
Por tanto:
\[ S=[-1,3]. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x-2}\lt x-4. \]
Resultado
\[ S=(6,+\infty). \]
Resolución
El radical existe si:
\[ x-2\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge 2. \]
Puesto que el primer miembro es no negativo, es necesario que:
\[ x-4\gt 0. \]
Es decir:
\[ x\gt 4. \]
Ahora podemos elevar al cuadrado:
\[ x-2\lt (x-4)^2. \]
Desarrollando:
\[ x-2\lt x^2-8x+16. \]
Pasando todo al segundo miembro:
\[ 0\lt x^2-9x+18. \]
Factorizando:
\[ x^2-9x+18=(x-3)(x-6). \]
Así pues:
\[ (x-3)(x-6)\gt 0. \]
Obtenemos:
\[ x\lt 3 \quad \text{o bien} \quad x\gt 6. \]
Intersectando con \(x\gt 4\), queda:
\[ S=(6,+\infty). \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{2x-1}\le x+1. \]
Resultado
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Resolución
La condición de existencia es:
\[ 2x-1\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
En el dominio hallado, \(x+1\gt 0\). Podemos por tanto elevar al cuadrado:
\[ 2x-1\le (x+1)^2. \]
Desarrollando:
\[ 2x-1\le x^2+2x+1. \]
Restando \(2x-1\) a ambos miembros:
\[ 0\le x^2+2. \]
Esta inecuación es siempre cierta. Por tanto, la solución es simplemente el dominio:
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+3}\ge 2x-1. \]
Resultado
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Resolución
El radical existe si:
\[ x+3\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge -3. \]
Si \(2x-1\le 0\), es decir \(x\le \frac{1}{2}\), la inecuación se satisface automáticamente en el dominio:
\[ -3\le x\le \frac{1}{2}. \]
Si en cambio \(2x-1\gt 0\), es decir \(x\gt \frac{1}{2}\), podemos elevar al cuadrado:
\[ x+3\ge (2x-1)^2. \]
Desarrollando:
\[ x+3\ge 4x^2-4x+1. \]
Pasando todo al segundo miembro:
\[ 4x^2-5x-2\le 0. \]
Resolvemos la ecuación asociada:
\[ 4x^2-5x-2=0. \]
El discriminante es:
\[ \Delta=57. \]
Las raíces son:
\[ x=\frac{5-\sqrt{57}}{8} \quad \text{e} \quad x=\frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Por tanto:
\[ \frac{5-\sqrt{57}}{8}\le x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Intersectando con \(x\gt \frac{1}{2}\), obtenemos:
\[ \frac{1}{2}\lt x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Reuniendo los dos casos:
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+5}\gt \sqrt{2x-1}. \]
Resultado
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Resolución
Las condiciones de existencia son:
\[ \begin{cases} x+5\ge 0,\\ 2x-1\ge 0. \end{cases} \]
Es decir:
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
Ambos miembros son raíces cuadradas, por tanto no negativas, luego podemos elevar al cuadrado:
\[ x+5\gt 2x-1. \]
De donde:
\[ x\lt 6. \]
Intersectando con el dominio:
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x^2-1}\le 2. \]
Resultado
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Resolución
El radical existe si:
\[ x^2-1\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\le -1 \quad \text{o bien} \quad x\ge 1. \]
Podemos elevar al cuadrado:
\[ x^2-1\le 4. \]
Por tanto:
\[ x^2\le 5. \]
De donde:
\[ -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}. \]
Intersectando con el dominio:
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x^2-4x}\ge x-2. \]
Resultado
\[ S=(-\infty,0]. \]
Resolución
El radical existe si:
\[ x^2-4x\ge 0. \]
Factorizando:
\[ x^2-4x=x(x-4). \]
Por tanto:
\[ x\le 0 \quad \text{o bien} \quad x\ge 4. \]
Si \(x\le 0\), entonces \(x-2\lt 0\), mientras que el radical es no negativo. Luego todos esos valores son solución.
Si \(x\ge 4\), podemos elevar al cuadrado:
\[ x^2-4x\ge (x-2)^2. \]
Desarrollando:
\[ x^2-4x\ge x^2-4x+4. \]
De donde:
\[ 0\ge 4, \]
lo cual es falso. Por tanto:
\[ S=(-\infty,0]. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{x^2-4x}\le x-2. \]
Resultado
\[ S=[4,+\infty). \]
Resolución
Del dominio:
\[ x^2-4x\ge 0 \]
obtenemos:
\[ x\le 0 \quad \text{o bien} \quad x\ge 4. \]
Además, como el primer miembro es no negativo, es necesario que:
\[ x-2\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge 2. \]
Intersectando, queda:
\[ x\ge 4. \]
Elevamos al cuadrado:
\[ x^2-4x\le (x-2)^2. \]
Es decir:
\[ x^2-4x\le x^2-4x+4. \]
De donde:
\[ 0\le 4. \]
Siempre cierto. Por tanto:
\[ S=[4,+\infty). \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ \sqrt{3x+1}\gt x+1. \]
Resultado
\[ S=(0,1). \]
Resolución
El radical existe si:
\[ 3x+1\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge -\frac{1}{3}. \]
En el dominio, \(x+1\gt 0\). Podemos por tanto elevar al cuadrado:
\[ 3x+1\gt (x+1)^2. \]
Desarrollando:
\[ 3x+1\gt x^2+2x+1. \]
Pasando todo al segundo miembro:
\[ x^2-x\lt 0. \]
Factorizando:
\[ x(x-1)\lt 0. \]
Por tanto:
\[ 0\lt x\lt 1. \]
Luego:
\[ S=(0,1). \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+2}+1\gt x. \]
Resultado
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Resolución
El radical existe si:
\[ x+2\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge -2. \]
Pasamos el \(1\) al segundo miembro:
\[ \sqrt{x+2}\gt x-1. \]
Si \(x-1\lt 0\), es decir \(x\lt 1\), la inecuación se satisface para:
\[ -2\le x\lt 1. \]
Si \(x\ge 1\), elevamos al cuadrado:
\[ x+2\gt (x-1)^2. \]
Por tanto:
\[ x+2\gt x^2-2x+1. \]
Pasando todo al segundo miembro:
\[ x^2-3x-1\lt 0. \]
Las raíces son:
\[ x=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \quad \text{y} \quad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Por tanto:
\[ \frac{3-\sqrt{13}}{2}\lt x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Intersectando con \(x\ge 1\), obtenemos:
\[ 1\le x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Reuniendo los dos casos:
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}\gt 5. \]
Resultado
\[ S=(5,+\infty). \]
Resolución
Las condiciones de existencia son:
\[ \begin{cases} x+4\ge 0,\\ x-1\ge 0. \end{cases} \]
Es decir:
\[ x\ge 1. \]
La función:
\[ f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1} \]
es creciente en el dominio. Resolvemos la ecuación:
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5. \]
Aislamos:
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x-1}. \]
Elevando al cuadrado:
\[ x+4=25-10\sqrt{x-1}+x-1. \]
Es decir:
\[ x+4=x+24-10\sqrt{x-1}. \]
De donde:
\[ \sqrt{x-1}=2. \]
Por tanto:
\[ x=5. \]
Como la función es creciente y la inecuación es estricta:
\[ S=(5,+\infty). \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}\le 1. \]
Resultado
\[ S=[5,+\infty). \]
Resolución
El dominio es:
\[ x\ge 1. \]
Pasamos el segundo radical al segundo miembro:
\[ \sqrt{x+4}\le 1+\sqrt{x-1}. \]
El segundo miembro es positivo, luego podemos elevar al cuadrado:
\[ x+4\le \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
Desarrollando:
\[ x+4\le x+2\sqrt{x-1}. \]
Restando \(x\) a ambos miembros:
\[ 4\le 2\sqrt{x-1}. \]
Es decir:
\[ 2\le \sqrt{x-1}. \]
Elevando al cuadrado:
\[ 4\le x-1. \]
De donde:
\[ x\ge 5. \]
Por tanto:
\[ S=[5,+\infty). \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{2x+3}\ge \sqrt{x+1}+1. \]
Resultado
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Resolución
El dominio es:
\[ x\ge -1. \]
Elevamos al cuadrado:
\[ 2x+3\ge \left(\sqrt{x+1}+1\right)^2. \]
Es decir:
\[ 2x+3\ge x+2+2\sqrt{x+1}. \]
De donde:
\[ x+1\ge 2\sqrt{x+1}. \]
Hacemos el cambio de variable:
\[ t=\sqrt{x+1}. \]
Entonces \(t\ge 0\) y:
\[ t^2\ge 2t. \]
Es decir:
\[ t(t-2)\ge 0. \]
Como \(t\ge 0\), obtenemos:
\[ t=0 \quad \text{o bien} \quad t\ge 2. \]
Volviendo a la variable original:
\[ x=-1 \quad \text{o bien} \quad x\ge 3. \]
Por tanto:
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ \sqrt{x+6}\gt x. \]
Resultado
\[ S=[-6,3). \]
Resolución
El dominio es:
\[ x\ge -6. \]
Si \(x\lt 0\), la inecuación se satisface automáticamente:
\[ -6\le x\lt 0. \]
Si \(x\ge 0\), elevamos al cuadrado:
\[ x+6\gt x^2. \]
Es decir:
\[ x^2-x-6\lt 0. \]
Factorizando:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Obtenemos:
\[ -2\lt x\lt 3. \]
Intersectando con \(x\ge 0\):
\[ 0\le x\lt 3. \]
Reuniendo los dos casos:
\[ S=[-6,3). \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}\le 5. \]
Resultado
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Resolución
El dominio es:
\[ x\ge -1. \]
La función:
\[ f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4} \]
es creciente en el dominio. Resolvemos:
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}=5. \]
Aislamos:
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x+1}. \]
Elevando al cuadrado:
\[ x+4=25-10\sqrt{x+1}+x+1. \]
Es decir:
\[ x+4=x+26-10\sqrt{x+1}. \]
De donde:
\[ \sqrt{x+1}=\frac{11}{5}. \]
Elevando al cuadrado:
\[ x+1=\frac{121}{25}. \]
Por tanto:
\[ x=\frac{96}{25}. \]
Como \(f\) es creciente:
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ \sqrt{x+2}\ge x. \]
Resultado
\[ S=[-2,2]. \]
Resolución
El dominio es:
\[ x\ge -2. \]
Si \(x\lt 0\), la inecuación se satisface automáticamente:
\[ -2\le x\lt 0. \]
Si \(x\ge 0\), elevamos al cuadrado:
\[ x+2\ge x^2. \]
Es decir:
\[ x^2-x-2\le 0. \]
Factorizando:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Obtenemos:
\[ -1\le x\le 2. \]
Intersectando con \(x\ge 0\):
\[ 0\le x\le 2. \]
Reuniendo los dos casos:
\[ S=[-2,2]. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}\ge 1. \]
Resultado
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]
Resolución
El dominio es:
\[ x\ge 1. \]
Pasamos el segundo radical al segundo miembro:
\[ \sqrt{x+3}\ge 1+\sqrt{x-1}. \]
Elevamos al cuadrado:
\[ x+3\ge \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
Desarrollando:
\[ x+3\ge x+2\sqrt{x-1}. \]
Restando \(x\) a ambos miembros:
\[ 3\ge 2\sqrt{x-1}. \]
Es decir:
\[ \sqrt{x-1}\le \frac{3}{2}. \]
Elevando al cuadrado:
\[ x-1\le \frac{9}{4}. \]
De donde:
\[ x\le \frac{13}{4}. \]
Intersectando con el dominio:
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]