Las inecuaciones irracionales son inecuaciones en las que la incógnita aparece bajo el signo radical. Se trata de un tema fundamental del álgebra, ya que exige el uso simultáneo de las propiedades de las raíces, el estudio del signo y las condiciones de existencia.
A diferencia de las inecuaciones polinómicas o racionales, en las inecuaciones irracionales no basta con manipular algebraicamente la expresión: cada paso debe respetar el dominio de definición de los radicales presentes.
En particular, cuando se elevan ambos miembros al cuadrado, es preciso verificar con cuidado que dicha transformación sea lógicamente equivalente a la inecuación original. Un uso incorrecto de esta operación puede introducir soluciones no válidas.
Estudiaremos:
- las condiciones de existencia de los radicales;
- el método general de resolución;
- los casos fundamentales;
- las inecuaciones con un solo radical;
- las inecuaciones con varios radicales;
- los errores más frecuentes que conviene evitar.
Índice
- Qué son las inecuaciones irracionales
- Condiciones de existencia
- Inecuaciones del tipo \(\sqrt{A(x)}>B(x)\)
- Inecuaciones del tipo \(\sqrt{A(x)}<B(x)\)
- Inecuaciones con radicales en ambos miembros
- Inecuaciones con varios radicales
- Método general
- Errores que hay que evitar
Qué son las inecuaciones irracionales
Una inecuación irracional es una inecuación en la que la incógnita aparece bajo el signo radical.
Por ejemplo:
\[ \sqrt{x-1}>2 \]
\[ \sqrt{2x+3}\le x \]
\[ \sqrt{x+1}>\sqrt{2x-3} \]
son todas inecuaciones irracionales.
El aspecto más delicado de estas inecuaciones es que las raíces cuadradas reales solo existen cuando el radicando es mayor o igual que cero.
Por este motivo, antes de cualquier transformación algebraica, siempre hay que determinar las condiciones de existencia.
Condiciones de existencia
Si aparece una raíz cuadrada:
\[ \sqrt{A(x)}, \]
entonces debe cumplirse necesariamente:
\[ A(x)\ge 0. \]
Esta es la condición fundamental de existencia.
Ejemplo
Consideremos:
\[ \sqrt{2x-5}>1. \]
La raíz existe únicamente si:
\[ 2x-5\ge 0. \]
Resolviendo:
\[ 2x\ge 5 \]
obtenemos:
\[ x\ge \frac52. \]
Esto significa que cualquier solución final deberá pertenecer al intervalo:
\[ \left[\frac52,+\infty\right). \]
Inecuaciones del tipo \(\sqrt{A(x)}>B(x)\)
Consideremos una inecuación de la forma:
\[ \sqrt{A(x)}>B(x). \]
El método varía según el signo del segundo miembro.
En efecto, la raíz cuadrada es siempre no negativa:
\[ \sqrt{A(x)}\ge 0. \]
Por consiguiente:
- si \(B(x)<0\), la inecuación se verifica automáticamente siempre que el radical exista;
- si \(B(x)\ge 0\), entonces se pueden elevar ambos miembros al cuadrado.
Ejemplo
Resolvamos:
\[ \sqrt{x+1}>3. \]
En primer lugar imponemos las condiciones de existencia:
\[ x+1\ge 0. \]
Es decir:
\[ x\ge -1. \]
El segundo miembro es positivo. Podemos entonces elevar al cuadrado:
\[ x+1>9. \]
De donde:
\[ x>8. \]
Al intersectar con las condiciones de existencia obtenemos:
\[ S=(8,+\infty). \]
Inecuaciones del tipo \(\sqrt{A(x)}<B(x)\)
Consideremos ahora:
\[ \sqrt{A(x)}<B(x). \]
En este caso hay que prestar aún más atención.
Dado que la raíz es siempre no negativa, para que una cantidad no negativa sea menor que \(B(x)\), es necesario que:
\[ B(x)>0. \]
Solo después de imponer esta condición se puede elevar al cuadrado.
El sistema equivalente es, por tanto:
\[ \begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)>0 \\ A(x)<B(x)^2 \end{cases} \]
Ejemplo
Resolvamos:
\[ \sqrt{x-2}<x-4. \]
Planteamos las condiciones:
\[ \begin{cases} x-2\ge 0 \\ x-4>0 \end{cases} \]
es decir:
\[ \begin{cases} x\ge 2 \\ x>4 \end{cases} \]
La segunda condición implica ya la primera, de modo que basta considerar:
\[ x>4. \]
Ahora podemos elevar al cuadrado:
\[ x-2<(x-4)^2. \]
Desarrollando:
\[ x-2<x^2-8x+16. \]
Pasamos todo al segundo miembro:
\[ 0<x^2-9x+18. \]
es decir:
\[ x^2-9x+18>0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-9x+18=(x-3)(x-6). \]
La inecuación queda:
\[ (x-3)(x-6)>0. \]
Del estudio del signo obtenemos:
\[ x<3 \quad \text{o bien} \quad x>6. \]
Al intersectar con la condición \(x>4\), resulta:
\[ S=(6,+\infty). \]
Inecuaciones con radicales en ambos miembros
Consideremos inecuaciones del tipo:
\[ \sqrt{A(x)}>\sqrt{B(x)}. \]
En este caso ambos radicales deben existir:
\[ \begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \end{cases} \]
Una vez impuestas estas condiciones, podemos elevar al cuadrado:
\[ A(x)>B(x). \]
Ejemplo
Resolvamos:
\[ \sqrt{x+3}>\sqrt{2x-1}. \]
Imponemos las condiciones de existencia:
\[ \begin{cases} x+3\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \end{cases} \]
es decir:
\[ \begin{cases} x\ge -3 \\ x\ge \frac12 \end{cases} \]
Por tanto:
\[ x\ge \frac12. \]
Elevamos ahora al cuadrado:
\[ x+3>2x-1. \]
Resolviendo:
\[ 4>x. \]
Es decir:
\[ x<4. \]
Al intersectar con \(x\ge \frac12\) obtenemos:
\[ S=\left[\frac12,4\right). \]
Inecuaciones con varios radicales
Cuando una inecuación contiene varios radicales en la misma expresión, el procedimiento puede requerir varias elevaciones sucesivas al cuadrado.
En estos casos es importante:
- aislar un radical cada vez;
- imponer siempre las condiciones de existencia;
- comprobar las soluciones finales.
Ejemplo
Resolvamos:
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}>0. \]
Imponemos las condiciones de existencia:
\[ \begin{cases} x+5\ge 0 \\ x-1\ge 0 \end{cases} \]
De donde:
\[ \begin{cases} x\ge -5 \\ x\ge 1 \end{cases} \]
Por tanto:
\[ x\ge 1. \]
Pasamos un radical al segundo miembro:
\[ \sqrt{x+5}>\sqrt{x-1}. \]
Ambos miembros son no negativos, de modo que podemos elevar al cuadrado:
\[ x+5>x-1. \]
Simplificando:
\[ 5>-1. \]
Esta relación es siempre verdadera.
En consecuencia, la inecuación se cumple para todos los valores admitidos por el dominio:
\[ S=[1,+\infty). \]
Método general
Para resolver correctamente una inecuación irracional conviene seguir siempre el mismo esquema.
- Determinar las condiciones de existencia de los radicales.
- Aislar, si es necesario, un radical.
- Estudiar el signo de los miembros de la inecuación.
- Elevar al cuadrado únicamente cuando la equivalencia esté garantizada.
- Resolver la inecuación resultante.
- Intersectar con las condiciones iniciales.
- Verificar posibles soluciones espurias.
La comprobación final es fundamental, especialmente en las inecuaciones obtenidas tras varios elevamientos al cuadrado.
Errores que hay que evitar
Omitir las condiciones de existencia
Es el error más frecuente.
Por ejemplo:
\[ \sqrt{x-2}>1 \]
exige necesariamente:
\[ x-2\ge 0. \]
Ignorar esta condición puede llevar a soluciones no válidas.
Elevar al cuadrado sin controlar el signo
Las inecuaciones:
\[ a>b \]
y
\[ a^2>b^2 \]
no son equivalentes en general.
La elevación al cuadrado preserva la equivalencia solo bajo condiciones de signo adecuadas.
No verificar las soluciones finales
Tras elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones espurias.
Por ello es imprescindible comprobar siempre el resultado final en la inecuación original.
Las inecuaciones irracionales requieren un enfoque riguroso y ordenado. Cada paso debe respetar tanto el dominio de los radicales como las condiciones que garantizan la equivalencia de las transformaciones realizadas.
Lo esencial no es solo saber elevar al cuadrado, sino comprender cuándo ese paso está lógicamente justificado.
Un buen dominio de las inecuaciones irracionales es indispensable para abordar el estudio de funciones, las intersecciones entre gráficas y las inecuaciones más avanzadas del análisis matemático.