Los siguientes ejercicios permiten aplicar progresivamente las definiciones y propiedades relativas a los infinitos, los infinitésimos, los órdenes, las equivalencias asintóticas y la notación \(o\) pequeña.
En cada ejercicio se indica explícitamente el proceso de paso al límite, puesto que una función puede ser un infinito, un infinitésimo o no presentar ninguno de estos dos comportamientos, según el límite considerado.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la función
\[ f(x)=x^3 \]
es un infinito o un infinitésimo respecto de los procesos de paso al límite \(x\to 0\) y \(x\to+\infty\).
Resultado
La función \(x^3\) es un infinitésimo para \(x\to 0\) y es un infinito para \(x\to+\infty\).
Resolución
Una función es un infinitésimo respecto de un determinado proceso de paso al límite cuando su límite es igual a cero.
Consideremos en primer lugar \(x\to 0\). Puesto que la función \(x^3\) es continua, podemos calcular el límite mediante sustitución directa:
\[ \lim_{x\to 0}x^3=0^3=0. \]
Por tanto, \(x^3\) es un infinitésimo para \(x\to 0\).
Consideremos ahora \(x\to+\infty\). Cuando \(x\) toma valores positivos cada vez mayores, también \(x^3\) toma valores positivos cada vez mayores. Se tiene entonces
\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty. \]
En consecuencia, \(x^3\) es un infinito para \(x\to+\infty\).
El ejercicio muestra que ser un infinito o un infinitésimo no es una propiedad absoluta de la función: depende siempre del proceso de paso al límite considerado.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la función
\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]
para \(x\to 0\) y para \(x\to+\infty\).
Resultado
La función \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) es un infinito para \(x\to 0\) y es un infinitésimo para \(x\to+\infty\).
Resolución
Consideremos inicialmente el límite para \(x\to 0\).
Cuando \(x\) se aproxima a cero, \(x^2\) permanece positivo y tiende a cero:
\[ x^2\to 0^+. \]
El recíproco de una cantidad positiva que tiende a cero toma valores positivos arbitrariamente grandes. Por tanto,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
La función es, por tanto, un infinito para \(x\to 0\).
Consideremos ahora \(x\to+\infty\). En este caso,
\[ x^2\to+\infty. \]
El recíproco de una cantidad positiva que tiende a \(+\infty\) tiende a cero. De ello se sigue que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0. \]
Por tanto, \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) es un infinitésimo para \(x\to+\infty\).
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
Comparar los infinitos
\[ f(x)=x^2 \qquad\text{y}\qquad g(x)=x^5 \]
para \(x\to+\infty\).
Resultado
La función \(x^2\) es un infinito de orden inferior respecto a \(x^5\).
Resolución
Ambas funciones son infinitos para \(x\to+\infty\), puesto que
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to+\infty}x^5=+\infty. \]
Para comparar la rapidez con la que crecen, calculamos el límite del cociente entre \(f(x)\) y \(g(x)\):
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^5}. \]
Utilizando las propiedades de las potencias, simplificamos:
\[ \frac{x^2}{x^5}=\frac{1}{x^3}. \]
Puesto que \(x^3\to+\infty\), su recíproco tiende a cero:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^3}=0. \]
Hemos obtenido, por tanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^5}=0. \]
Cuando el cociente entre dos infinitos tiende a cero, la función situada en el numerador es un infinito de orden inferior respecto a la situada en el denominador.
Por tanto, \(x^2\) es un infinito de orden inferior respecto a \(x^5\).
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Comparar los infinitésimos
\[ f(x)=\frac{1}{x^4} \qquad\text{y}\qquad g(x)=\frac{1}{x} \]
para \(x\to+\infty\).
Resultado
La función \(\displaystyle\frac{1}{x^4}\) es un infinitésimo de orden superior respecto a \(\displaystyle\frac{1}{x}\).
Resolución
Ambas funciones son infinitésimos para \(x\to+\infty\), puesto que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^4}=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. \]
Para comparar dos infinitésimos, consideramos el límite de su cociente:
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\displaystyle\frac{1}{x^4}} {\displaystyle\frac{1}{x}}. \]
Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su recíproco. Por tanto,
\[ \frac{\displaystyle\frac{1}{x^4}} {\displaystyle\frac{1}{x}} = \frac{1}{x^4}\cdot x = \frac{1}{x^3}. \]
Calculamos el límite:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^3}=0. \]
Cuando el cociente entre dos infinitésimos tiende a cero, el infinitésimo situado en el numerador tiende a cero con mayor rapidez y es, por tanto, de orden superior.
En consecuencia, \(\displaystyle\frac{1}{x^4}\) es un infinitésimo de orden superior respecto a \(\displaystyle\frac{1}{x}\).
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si los infinitos
\[ f(x)=3x^2+1 \qquad\text{y}\qquad g(x)=x^2 \]
son del mismo orden y si son asintóticamente equivalentes para \(x\to+\infty\).
Resultado
Las dos funciones son infinitos del mismo orden, pero no son asintóticamente equivalentes.
Resolución
Para \(x\to+\infty\), ambas funciones tienden a \(+\infty\). Podemos, por tanto, compararlas mediante el cociente:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2}. \]
Dividimos por separado cada término del numerador entre \(x^2\):
\[ \frac{3x^2+1}{x^2} = \frac{3x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2} = 3+\frac{1}{x^2}. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0, \]
obtenemos
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2}=3. \]
El cociente tiende a una constante finita y distinta de cero. Las dos funciones son, por tanto, infinitos del mismo orden.
Para ser asintóticamente equivalentes, sin embargo, el cociente debería tender exactamente a \(1\). Puesto que el límite es \(3\), no podemos escribir
\[ 3x^2+1\sim x^2. \]
Podemos, en cambio, observar que
\[ 3x^2+1\sim 3x^2, \]
porque
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{3x^2}=1. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Comprobar que
\[ x^2+x\sim x^2 \qquad\text{para }x\to+\infty. \]
Resultado
La equivalencia es cierta:
\[ x^2+x\sim x^2 \qquad\text{para }x\to+\infty. \]
Resolución
Dos funciones son asintóticamente equivalentes cuando el cociente entre la primera y la segunda tiende a \(1\).
Debemos, por tanto, calcular
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x}{x^2}. \]
Dividimos ambos términos del numerador entre \(x^2\):
\[ \frac{x^2+x}{x^2} = \frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2} = 1+\frac{1}{x}. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0, \]
se sigue que
\[ \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)=1. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x}{x^2}=1, \]
y en consecuencia
\[ x^2+x\sim x^2. \]
El término \(x\) es despreciable frente a \(x^2\) en el comportamiento principal de la función para \(x\to+\infty\).
Ejercicio 7 — nivel ★★★☆☆
Determinar el orden del infinito
\[ f(x)=x^6 \]
respecto al infinito
\[ g(x)=x^2 \]
para \(x\to+\infty\).
Resultado
La función \(x^6\) es un infinito de orden \(3\) respecto a \(x^2\).
Resolución
La función \(f\) es un infinito de orden \(\alpha>0\) respecto de \(g\) si
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha}=L, \qquad 0<|L|<+\infty. \]
En nuestro caso,
\[ f(x)=x^6 \qquad\text{y}\qquad g(x)=x^2. \]
Buscamos un número \(\alpha>0\) tal que
\[ [g(x)]^\alpha=(x^2)^\alpha=x^{2\alpha} \]
tenga la misma potencia de \(x\) que aparece en \(f(x)=x^6\).
Debemos, por tanto, imponer
\[ 2\alpha=6. \]
Dividiendo ambos miembros entre \(2\), obtenemos
\[ \alpha=3. \]
Verifiquemos la definición:
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{x^6}{(x^2)^3} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^6}{x^6} = \lim_{x\to+\infty}1 = 1. \]
El límite es finito y distinto de cero. Por tanto, \(x^6\) es un infinito de orden \(3\) respecto a \(x^2\).
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
Determinar el orden del infinitésimo
\[ f(x)=x^5 \]
respecto al infinitésimo
\[ g(x)=x \]
para \(x\to 0^+\).
Resultado
La función \(x^5\) es un infinitésimo de orden \(5\) respecto a \(x\).
Resolución
Para \(x\to 0^+\), tanto \(x^5\) como \(x\) tienden a cero. Son, por tanto, dos infinitésimos respecto del mismo proceso de paso al límite.
Buscamos \(\alpha>0\) tal que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x^5}{x^\alpha} \]
sea una constante finita y distinta de cero.
Utilizando las propiedades de las potencias, para \(x>0\) se tiene
\[ \frac{x^5}{x^\alpha}=x^{5-\alpha}. \]
Para que el cociente sea idénticamente igual a \(1\), debemos elegir
\[ 5-\alpha=0. \]
De ello se sigue
\[ \alpha=5. \]
Verifiquemos:
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x^5}{x^5} = \lim_{x\to 0^+}1 = 1. \]
Puesto que el límite es finito y distinto de cero, \(x^5\) es un infinitésimo de orden \(5\) respecto a \(x\).
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Determinar si los infinitos
\[ f(x)=x(2+\sin x) \qquad\text{y}\qquad g(x)=x \]
son comparables mediante la clasificación basada en el límite del cociente para \(x\to+\infty\).
Resultado
Ambas funciones son infinitos, pero no son comparables mediante la clasificación basada en el límite del cociente, porque dicho límite no existe.
Resolución
Para todo número real \(x\) se cumple
\[ -1\leq\sin x\leq 1. \]
Sumando \(2\) a todos los miembros obtenemos
\[ 1\leq 2+\sin x\leq 3. \]
Para \(x>0\), multiplicando por \(x\) se obtiene
\[ x\leq x(2+\sin x)\leq 3x. \]
Puesto que \(x\to+\infty\), también \(x(2+\sin x)\to+\infty\). Por tanto, tanto \(f\) como \(g\) son infinitos para \(x\to+\infty\).
Calculemos ahora su cociente:
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x(2+\sin x)}{x} = 2+\sin x. \]
La función \(\sin x\) continúa oscilando entre \(-1\) y \(1\) cuando \(x\to+\infty\). En consecuencia, \(2+\sin x\) continúa oscilando entre \(1\) y \(3\) y no admite límite.
El cociente, por tanto, no tiende ni a cero ni a una constante finita y distinta de cero, y su valor absoluto tampoco tiende a \(+\infty\).
Las dos funciones no son, por tanto, comparables mediante esta clasificación.
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Estudiar la relación entre el infinitésimo
\[ f(x)=x \]
y su recíproco para \(x\to 0\), distinguiendo el límite por la derecha, el límite por la izquierda y el límite bilateral.
Resultado
Se tiene
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
El límite bilateral de \(\displaystyle\frac{1}{x}\) para \(x\to 0\) no existe, mientras que
\[ \lim_{x\to 0}\left|\frac{1}{x}\right|=+\infty. \]
Resolución
La función \(f(x)=x\) es un infinitésimo para \(x\to 0\), porque
\[ \lim_{x\to 0}x=0. \]
Sin embargo, \(x\) no tiene signo definido en un entorno completo de cero: es positiva a la derecha de cero y negativa a la izquierda de cero.
Consideremos primero \(x\to 0^+\). En este caso, \(x\) toma valores positivos cada vez más pequeños:
\[ x\to 0^+. \]
El recíproco de una cantidad positiva que tiende a cero tiende a \(+\infty\). Por tanto,
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Consideremos ahora \(x\to 0^-\). En este caso, \(x\) toma valores negativos cuyo valor absoluto se hace cada vez más pequeño:
\[ x\to 0^-. \]
El recíproco permanece negativo y se hace arbitrariamente grande en valor absoluto. En consecuencia,
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Los dos límites laterales son distintos. El límite bilateral
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \]
no existe, por tanto, ni siquiera como límite en la recta real ampliada.
El valor absoluto del recíproco es, en cambio,
\[ \left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}. \]
Puesto que \(|x|\to 0^+\), se tiene
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{|x|}=+\infty. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to 0}\left|\frac{1}{x}\right|=+\infty. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3. \]
Resolución
Para \(u\to 0\) se cumple la equivalencia notable
\[ \sin u\sim u. \]
En nuestro caso, el argumento del seno es
\[ u=3x. \]
Cuando \(x\to 0\), también \(3x\to 0\). Podemos, por tanto, aplicar la equivalencia:
\[ \sin(3x)\sim 3x. \]
Puesto que \(\sin(3x)\) aparece como factor en el numerador de un cociente, podemos sustituirlo por su equivalente:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{3x}{x}. \]
Para \(x\neq 0\), simplificamos \(x\):
\[ \frac{3x}{x}=3. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to 0}3 = 3. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2}=2. \]
Resolución
Para \(u\to 0\) se cumple la equivalencia
\[ 1-\cos u\sim\frac{u^2}{2}. \]
Ponemos
\[ u=2x. \]
Cuando \(x\to 0\), también \(u=2x\to 0\). Podemos, por tanto, escribir
\[ 1-\cos(2x)\sim\frac{(2x)^2}{2}. \]
Calculamos el cuadrado:
\[ (2x)^2=4x^2. \]
En consecuencia,
\[ \frac{(2x)^2}{2} = \frac{4x^2}{2} = 2x^2. \]
Por tanto,
\[ 1-\cos(2x)\sim 2x^2. \]
Sustituyendo el equivalente en el cociente obtenemos
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{x^2}. \]
Para \(x\neq 0\), se tiene
\[ \frac{2x^2}{x^2}=2. \]
Por tanto, el límite vale
\[ 2. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\tan(5x)}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\tan(5x)}=\frac{2}{5}. \]
Resolución
Para \(u\to 0\) se cumplen las equivalencias
\[ e^u-1\sim u \qquad\text{y}\qquad \tan u\sim u. \]
En el numerador ponemos \(u=2x\). Puesto que \(2x\to 0\), obtenemos
\[ e^{2x}-1\sim 2x. \]
En el denominador ponemos \(u=5x\). Puesto que \(5x\to 0\), obtenemos
\[ \tan(5x)\sim 5x. \]
Las dos expresiones aparecen, respectivamente, en el numerador y en el denominador de un cociente. Podemos, por tanto, utilizar sus equivalentes:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\tan(5x)} = \lim_{x\to 0}\frac{2x}{5x}. \]
Para \(x\neq 0\), simplificamos \(x\):
\[ \frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\tan(5x)} = \frac{2}{5}. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{\arcsin(3x)}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{\arcsin(3x)}=\frac{4}{3}. \]
Resolución
Para \(u\to 0\) se cumplen las equivalencias
\[ \ln(1+u)\sim u \qquad\text{y}\qquad \arcsin u\sim u. \]
En el numerador, el incremento que aparece dentro del logaritmo es \(4x\). Cuando \(x\to 0\), también \(4x\to 0\). Por tanto,
\[ \ln(1+4x)\sim 4x. \]
En el denominador, el argumento de la función arcoseno es \(3x\). Puesto que \(3x\to 0\), se tiene
\[ \arcsin(3x)\sim 3x. \]
Utilizando los equivalentes en el cociente obtenemos
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{\arcsin(3x)} = \lim_{x\to 0}\frac{4x}{3x}. \]
Para \(x\neq 0\), simplificamos el factor \(x\):
\[ \frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}. \]
Por tanto, el límite solicitado es
\[ \frac{4}{3}. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^5-1}{e^{2x}-1}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^5-1}{e^{2x}-1}=\frac{5}{2}. \]
Resolución
Para \(x\to 0\) se cumple la equivalencia
\[ (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x, \qquad \alpha\neq 0. \]
En nuestro caso, \(\alpha=5\). Por tanto,
\[ (1+x)^5-1\sim 5x. \]
Para el denominador utilizamos la equivalencia
\[ e^u-1\sim u \qquad\text{para }u\to 0. \]
Poniendo \(u=2x\), puesto que \(2x\to 0\), obtenemos
\[ e^{2x}-1\sim 2x. \]
Las dos expresiones aparecen en un cociente, por lo que podemos sustituirlas por sus respectivos equivalentes:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^5-1}{e^{2x}-1} = \lim_{x\to 0}\frac{5x}{2x}. \]
Para \(x\neq 0\), simplificamos \(x\):
\[ \frac{5x}{2x}=\frac{5}{2}. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^5-1}{e^{2x}-1} = \frac{5}{2}. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)\tan(3x)}{x^2}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)\tan(3x)}{x^2}=6. \]
Resolución
El numerador es el producto de dos infinitésimos. Podemos aplicar por separado las equivalencias notables a ambos factores.
Puesto que
\[ \sin u\sim u \qquad\text{para }u\to 0, \]
poniendo \(u=2x\) obtenemos
\[ \sin(2x)\sim 2x. \]
Además,
\[ \tan u\sim u \qquad\text{para }u\to 0. \]
Poniendo \(u=3x\), obtenemos
\[ \tan(3x)\sim 3x. \]
Los equivalentes se utilizan dentro de un producto y de un cociente, por lo que la sustitución es lícita:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)\tan(3x)}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{(2x)(3x)}{x^2}. \]
Multiplicamos los factores del numerador:
\[ (2x)(3x)=6x^2. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{6x^2}{x^2}. \]
Para \(x\neq 0\), se tiene
\[ \frac{6x^2}{x^2}=6. \]
El límite solicitado es, por tanto,
\[ 6. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(4x)}{x\sin(2x)}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(4x)}{x\sin(2x)}=4. \]
Resolución
Para el numerador utilizamos la equivalencia
\[ 1-\cos u\sim\frac{u^2}{2} \qquad\text{para }u\to 0. \]
Poniendo \(u=4x\), obtenemos
\[ 1-\cos(4x)\sim\frac{(4x)^2}{2}. \]
Calculamos:
\[ \frac{(4x)^2}{2} = \frac{16x^2}{2} = 8x^2. \]
Por tanto,
\[ 1-\cos(4x)\sim 8x^2. \]
En el denominador aparece el producto \(x\sin(2x)\). Para el seno se cumple
\[ \sin(2x)\sim 2x. \]
En consecuencia,
\[ x\sin(2x)\sim x\cdot 2x=2x^2. \]
Podemos ahora sustituir los equivalentes en el cociente:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(4x)}{x\sin(2x)} = \lim_{x\to 0}\frac{8x^2}{2x^2}. \]
Para \(x\neq 0\), simplificamos \(x^2\):
\[ \frac{8x^2}{2x^2}=\frac{8}{2}=4. \]
Por tanto, el límite vale
\[ 4. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x)-x^2}{x} \]
y explicar por qué no es correcto sustituir directamente \(x^2+x\) por el equivalente \(x^2\) en la diferencia.
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x)-x^2}{x}=1. \]
La sustitución directa mediante equivalentes en la diferencia no es lícita, porque eliminaría precisamente el término que determina el valor del límite.
Resolución
Sabemos que
\[ x^2+x\sim x^2 \qquad\text{para }x\to+\infty, \]
porque
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x}{x^2}=1. \]
Sin embargo, la expresión \(x^2+x\) aparece dentro de la diferencia
\[ (x^2+x)-x^2. \]
Los equivalentes no pueden sustituirse automáticamente en sumas y diferencias, porque los términos principales pueden cancelarse.
Calculemos, por tanto, la diferencia de forma exacta:
\[ (x^2+x)-x^2=x^2+x-x^2=x. \]
El límite se convierte en
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}. \]
Para \(x\neq 0\),
\[ \frac{x}{x}=1. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x)-x^2}{x}=1. \]
Si hubiéramos sustituido \(x^2+x\) directamente por \(x^2\) en la diferencia, habríamos obtenido
\[ x^2-x^2=0 \]
y, por tanto, erróneamente,
\[ \frac{0}{x}=0. \]
La sustitución habría eliminado el término \(x\), que es despreciable frente a \(x^2\) en la función \(x^2+x\), pero que se convierte en el término determinante tras la cancelación de los términos \(x^2\).
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Utilizando las jerarquías fundamentales, establecer las siguientes relaciones para \(x\to+\infty\):
\[ \ln(x)=o(\sqrt{x}), \qquad x^4=o(2^x), \]
y deducir las correspondientes relaciones entre los recíprocos.
Resultado
Para \(x\to+\infty\) se tiene
\[ \ln(x)=o(\sqrt{x}), \qquad x^4=o(2^x), \]
y, pasando a los recíprocos,
\[ \frac{1}{2^x}=o\left(\frac{1}{x^4}\right), \qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=o\left(\frac{1}{\ln(x)}\right). \]
Resolución
En el proceso \(x\to+\infty\), la notación
\[ f(x)=o(g(x)) \]
significa que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0. \]
La jerarquía fundamental entre logaritmos y potencias afirma que, para todo \(\alpha>0\),
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=0. \]
Puesto que
\[ \sqrt{x}=x^{1/2} \]
y \(\displaystyle\frac{1}{2}>0\), eligiendo \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\) obtenemos
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=0. \]
Por definición de la notación \(o\) pequeña, podemos, por tanto, escribir
\[ \ln(x)=o(\sqrt{x}). \]
La jerarquía entre potencias y exponenciales afirma además que, para todo \(\alpha>0\) y todo \(a>1\),
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x}=0. \]
Eligiendo \(\alpha=4\) y \(a=2\), obtenemos
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^4}{2^x}=0. \]
Por tanto,
\[ x^4=o(2^x). \]
Pasemos ahora a los recíprocos. De la relación
\[ x^4=o(2^x) \]
se sigue que \(2^x\) crece con mayor rapidez que \(x^4\). En consecuencia, el recíproco de \(2^x\) tiende a cero con mayor rapidez que el recíproco de \(x^4\):
\[ \frac{1}{2^x} = o\left(\frac{1}{x^4}\right). \]
En efecto,
\[ \frac{\displaystyle\frac{1}{2^x}} {\displaystyle\frac{1}{x^4}} = \frac{x^4}{2^x} \to 0. \]
Análogamente, de la relación
\[ \ln(x)=o(\sqrt{x}) \]
se sigue
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} = o\left(\frac{1}{\ln(x)}\right). \]
En efecto,
\[ \frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}} {\displaystyle\frac{1}{\ln(x)}} = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \to 0. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)\ln(1+x)} {x^2\sin x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)\ln(1+x)} {x^2\sin x} = \frac{1}{2}. \]
Resolución
El límite presenta la forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\), porque para \(x\to 0\) se tiene
\[ 1-\cos x\to 0, \qquad \ln(1+x)\to 0, \qquad x^2\sin x\to 0. \]
El numerador es un producto y el denominador es también un producto. Podemos, por tanto, utilizar las equivalencias asintóticas de los factores individuales.
Para \(x\to 0\) se cumple
\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}. \]
Además,
\[ \ln(1+x)\sim x \]
y
\[ \sin x\sim x. \]
Sustituimos cada factor por su equivalente:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)\ln(1+x)} {x^2\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\displaystyle\frac{x^2}{2}\cdot x} {x^2\cdot x}. \]
Multiplicamos los factores del numerador:
\[ \frac{x^2}{2}\cdot x=\frac{x^3}{2}. \]
Multiplicamos los factores del denominador:
\[ x^2\cdot x=x^3. \]
El límite se convierte, por tanto, en
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{x^3}{2}}{x^3}. \]
Dividir \(\displaystyle\frac{x^3}{2}\) entre \(x^3\) equivale a escribir
\[ \frac{x^3}{2x^3}. \]
Para \(x\neq 0\), podemos simplificar \(x^3\):
\[ \frac{x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)\ln(1+x)} {x^2\sin x} = \frac{1}{2}. \]