Los intervalos y los entornos son subconjuntos particulares de la recta real. Permiten describir con precisión conjuntos de números reales comprendidos entre dos extremos, así como regiones de la recta suficientemente próximas a un punto fijado.
Los intervalos representan porciones continuas de la recta real, mientras que los entornos describen regiones de la recta suficientemente cercanas a un punto fijado.
A continuación estudiaremos de forma rigurosa los intervalos y los entornos, distinguiendo entre intervalos abiertos, cerrados, acotados, no acotados y los principales tipos de entorno.
Índice
- Intervalos en la Recta Real
- Definición Formal de Intervalo
- Intervalos Acotados: Abiertos, Cerrados y Semiabiertos
- Extremos, Centro, Amplitud y Radio
- Intervalos No Acotados y Semirrectas
- Representación Gráfica de los Intervalos
- Conjuntos Abiertos y Cerrados
- Entornos de un Punto
- Entornos Circulares Abiertos y Cerrados
- Entornos Derechos e Izquierdos
- Entornos Reducidos
- Entornos de \(+\infty\) y \(-\infty\)
- Observaciones Finales
Intervalos en la Recta Real
Un intervalo es un conjunto de números reales que ocupa una porción continua de la recta real.
Por ejemplo: \[ [2,5] \]
contiene todos los números reales comprendidos entre \(2\) y \(5\), con ambos extremos incluidos.
El conjunto: \[ (2,5) \qquad \text{o bien} \qquad ]2,5[ \]
contiene en cambio todos los números reales comprendidos entre \(2\) y \(5\), pero excluye los extremos \(2\) y \(5\).
En muchos textos de análisis matemático se emplea la segunda notación, con corchetes invertidos, para indicar el intervalo abierto.
La idea fundamental es que un intervalo no presenta interrupciones: si contiene dos números, entonces contiene también todos los números comprendidos entre ellos.
Definición Formal de Intervalo
En matemáticas, un intervalo es un subconjunto convexo particular de la recta real.
Formalmente, un subconjunto: \[ I\subseteq\mathbb{R} \]
se denomina intervalo si:
\[ \forall x,y\in I,\ \forall z\in\mathbb{R},\quad \min(x,y)<z<\max(x,y) \Longrightarrow z\in I \]
Esto significa que, dados dos elementos cualesquiera del conjunto, todos los números comprendidos entre ellos pertenecen igualmente al conjunto.
Esta propiedad garantiza la ausencia de «huecos» internos.
Ejemplo. \[ [1,4] \] es un intervalo.
En efecto, tomados dos números cualesquiera pertenecientes a \([1,4]\), todos los valores comprendidos entre ellos pertenecen todavía al intervalo.
Contraejemplo. \[ [1,2]\cup[3,4] \]
no es un intervalo.
En efecto: \[ 1{,}5\in [1,2]\cup[3,4], \qquad 3{,}5\in [1,2]\cup[3,4] \]
pero: \[ 2{,}5\notin [1,2]\cup[3,4] \]
a pesar de que: \[ 1{,}5<2{,}5<3{,}5 \]
Intervalos Acotados: Abiertos, Cerrados y Semiabiertos
Sean: \[ a,b\in\mathbb{R}, \qquad a<b \]
Los intervalos acotados de extremos \(a\) y \(b\) se clasifican según se incluyan o excluyan dichos extremos.
Intervalo abierto
El intervalo abierto de extremos \(a\) y \(b\) excluye ambos extremos:
\[ (a,b)=]a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\} \]
Intervalo cerrado
El intervalo cerrado de extremos \(a\) y \(b\) incluye ambos extremos:
\[ [a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\} \]
Intervalos semiabiertos
Los intervalos semiabiertos contienen uno solo de los dos extremos.
Se distinguen:
\[ [a,b)=[a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\} \]
y:
\[ (a,b]=]a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\} \]
En el primer caso pertenece al intervalo el extremo izquierdo \(a\), pero no \(b\). En el segundo caso pertenece \(b\), pero no \(a\).
Extremos, Centro, Amplitud y Radio
Consideremos un intervalo acotado de extremos \(a\) y \(b\), con:
\[ a<b \]
Se definen:
- extremo inferior: el número \(a\);
- extremo superior: el número \(b\);
- amplitud (o longitud): \[ b-a \]
- centro: \[ \frac{a+b}{2} \]
- radio: \[ \frac{b-a}{2} \]
Por ejemplo, para el intervalo: \[ [2,8] \]
la amplitud es: \[ 8-2=6 \]
el centro es: \[ \frac{2+8}{2}=5 \]
y el radio es: \[ \frac{8-2}{2}=3 \]
Intervalos No Acotados y Semirrectas
Un intervalo se denomina no acotado si se extiende indefinidamente hacia la derecha, hacia la izquierda o en ambas direcciones de la recta real.
Las semirrectas no acotadas hacia la derecha son:
\[ (a,+\infty)=]a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\} \]
y:
\[ [a,+\infty)=[a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\} \]
Análogamente, las semirrectas no acotadas hacia la izquierda son:
\[ (-\infty,b)=]-\infty,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\} \]
y:
\[ (-\infty,b]=]-\infty,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\} \]
Es importante observar que: \[ +\infty\notin\mathbb{R}, \qquad -\infty\notin\mathbb{R} \]
Por consiguiente, los infinitos no pueden incluirse nunca mediante corchetes.
La recta real completa puede representarse como: \[ \mathbb{R}=(-\infty,+\infty)=]-\infty,+\infty[ \]
Representación Gráfica de los Intervalos
Los intervalos pueden representarse gráficamente sobre la recta real.
En general:
- un punto relleno indica que el extremo pertenece al intervalo;
- un punto vacío indica que el extremo no pertenece al intervalo;
- una línea continua representa todos los puntos pertenecientes al intervalo.
Por ejemplo, el intervalo: \[ [-2,3) \qquad \text{es decir} \qquad [-2,3[ \]
contiene \(-2\), pero no contiene \(3\).
Sobre la recta real se representa por tanto con:
- un punto relleno en \(-2\);
- un punto vacío en \(3\);
- una línea continua entre ambos extremos.
Conjuntos Abiertos y Cerrados
Los intervalos permiten introducir los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado en la recta real.
Un intervalo abierto: \[ (a,b)=]a,b[ \]
es un ejemplo de conjunto abierto, puesto que todo punto suyo puede rodearse de un pequeño intervalo que queda completamente contenido en el conjunto.
Un intervalo cerrado: \[ [a,b] \]
es, en cambio, un ejemplo de conjunto cerrado de la recta real.
Los intervalos: \[ [a,b), \qquad (a,b] \]
que pueden escribirse también como: \[ [a,b[, \qquad ]a,b] \]
no son ni abiertos ni cerrados.
Entornos de un Punto
El concepto de entorno formaliza la idea de proximidad a un punto de la recta real.
Sea: \[ x_0\in\mathbb{R} \]
Un conjunto: \[ U\subseteq\mathbb{R} \]
se denomina entorno de \(x_0\) si contiene un intervalo abierto que contiene a \(x_0\).
Equivalentemente, \(U\) es un entorno de \(x_0\) si existen dos números reales \(a,b\) tales que:
\[ x_0\in(a,b)\subseteq U \qquad \text{o bien} \qquad x_0\in]a,b[\subseteq U \]
Intuitivamente, un entorno contiene siempre una región suficientemente próxima al punto \(x_0\).
Entornos Circulares Abiertos y Cerrados
Los entornos más utilizados son los entornos circulares, es decir, intervalos centrados en un punto.
Sean: \[ x_0\in\mathbb{R}, \qquad r>0 \]
donde \(r\) recibe el nombre de radio.
Entorno circular abierto
El entorno circular abierto de centro \(x_0\) y radio \(r\) es:
\[ I(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\} \]
Equivalentemente:
\[ I(x_0,r) = (x_0-r,x_0+r) = ]x_0-r,x_0+r[ \]
La condición: \[ |x-x_0|<r \]
significa que la distancia entre \(x\) y \(x_0\) es menor que \(r\).
Entorno circular cerrado
El entorno circular cerrado de centro \(x_0\) y radio \(r\) es:
\[ \overline{I}(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\} \]
Equivalentemente:
\[ \overline{I}(x_0,r) = [x_0-r,x_0+r] \]
En este caso se incluyen también los extremos.
Ejemplo. El entorno circular abierto de centro \(3\) y radio \(2\) es:
\[ I(3,2) = (1,5) = ]1,5[ \]
Entornos Derechos e Izquierdos
En ocasiones interesa estudiar únicamente los puntos situados a la derecha o a la izquierda de un punto fijado.
Un entorno derecho abierto de \(x_0\) es un conjunto de la forma:
\[ (x_0,x_0+r) = ]x_0,x_0+r[ \]
con: \[ r>0 \]
Análogamente, un entorno izquierdo abierto de \(x_0\) es:
\[ (x_0-r,x_0) = ]x_0-r,x_0[ \]
con: \[ r>0 \]
El primero contiene únicamente puntos mayores que \(x_0\), mientras que el segundo contiene únicamente puntos menores que \(x_0\).
Entornos Reducidos
Un entorno reducido es un entorno circular al que se le elimina el punto central.
Formalmente:
\[ I^\ast(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\} \]
Equivalentemente:
\[ I^\ast(x_0,r) = (x_0-r,x_0)\cup(x_0,x_0+r) = ]x_0-r,x_0[ \cup ]x_0,x_0+r[ \]
La condición: \[ 0<|x-x_0| \]
excluye el punto: \[ x=x_0 \]
mientras que: \[ |x-x_0|<r \]
incluye todos los puntos cuya distancia a \(x_0\) es menor que \(r\).
Ejemplo. Para: \[ x_0=4, \qquad r=1 \]
se obtiene:
\[ I^\ast(4,1) = (3,4)\cup(4,5) = ]3,4[ \cup ]4,5[ \]
Entornos de \(+\infty\) y \(-\infty\)
Para poder estudiar el comportamiento de las funciones cuando los valores crecen sin límite, el concepto de entorno se extiende también a los infinitos.
Se define entorno de \(+\infty\) toda semirrecta abierta derecha de la forma:
\[ (M,+\infty) = ]M,+\infty[ \]
con: \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Intuitivamente, este entorno representa el conjunto de todos los números reales mayores que un valor \(M\) positivo elegido tan grande como se desee.
Análogamente, se define entorno de \(-\infty\) toda semirrecta abierta izquierda de la forma:
\[ (-\infty,-M) = ]-\infty,-M[ \]
con: \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Este conjunto describe la región de la recta real formada por todos los números menores que un valor negativo tan grande en valor absoluto como se desee.
Observaciones Finales
Los intervalos y los entornos permiten describir de forma rigurosa subconjuntos de la recta real y regiones próximas a un punto.
Los intervalos distinguen entre extremos incluidos y extremos excluidos, mientras que los entornos introducen el concepto de proximidad en la recta real.
En particular:
- los intervalos abiertos no contienen los extremos;
- los intervalos cerrados contienen los extremos;
- los intervalos semiabiertos contienen uno solo de los dos extremos;
- los entornos circulares abiertos son intervalos abiertos centrados en un punto;
- los entornos circulares cerrados incluyen también los extremos;
- los entornos reducidos excluyen el punto central;
- los entornos de \(+\infty\) y \(-\infty\) representan semirrectas abiertas que se extienden más allá de un valor arbitrariamente grande.
Estos conceptos se utilizarán de manera continua en el estudio de las funciones y del análisis matemático.