En esta colección proponemos 20 ejercicios resueltos sobre el teorema del límite de una sucesión monótona. Los ejercicios muestran cómo estudiar la monotonía de una sucesión, cómo reconocer si está acotada y cómo deducir la existencia del límite mediante el teorema del límite de una sucesión monótona.
En particular, usaremos el hecho de que una sucesión creciente tiende a su supremo, que puede ser igual a \(+\infty\), mientras que una sucesión decreciente tiende a su ínfimo, que puede ser igual a \(-\infty\).
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Estudiar la monotonía de la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
y deducir su límite mediante el teorema del límite de una sucesión monótona.
Resultado
La sucesión es decreciente, está acotada inferiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Resolución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Para estudiar la monotonía comparamos dos términos consecutivos:
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Como \(n+1>n\) y los denominadores son positivos, se tiene
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La sucesión es, pues, estrictamente decreciente y, en particular, decreciente.
Además, para todo \(n\geq1\), se tiene
\[ \frac1n>0. \]
Por tanto, \(0\) es una cota inferior de la sucesión. La sucesión es decreciente y está acotada inferiormente.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, converge a su ínfimo:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
El ínfimo es \(0\): en efecto, todos los términos son positivos, pero se hacen arbitrariamente pequeños.
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Estudiar la monotonía de la sucesión
\[ a_n=1-\frac{1}{n} \]
y deducir su límite.
Resultado
La sucesión es creciente, está acotada superiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=1-\frac1n. \]
Calculamos el término siguiente:
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Como
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
cambiando de signo obtenemos
\[ -\frac{1}{n+1}>-\frac1n. \]
Sumando \(1\) a ambos miembros:
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac1n. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La sucesión es estrictamente creciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ 1-\frac1n<1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota superior de la sucesión.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, una sucesión creciente y acotada superiormente converge a su supremo.
En este caso
\[ \sup\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
En efecto, los términos son siempre menores que \(1\), pero se aproximan a \(1\) tanto como se quiera.
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=n. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es creciente, no está acotada superiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=n. \]
El término siguiente es
\[ a_{n+1}=n+1. \]
Para todo \(n\geq1\), se tiene
\[ n+1>n. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La sucesión es estrictamente creciente.
No está acotada superiormente. En efecto, dado un número real cualquiera \(M\), podemos elegir un entero \(n\) tal que
\[ n>M. \]
Entonces
\[ a_n=n>M. \]
Así pues, la sucesión crece sin cota.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, una sucesión creciente y no acotada superiormente diverge a \(+\infty\).
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=-n. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es decreciente, no está acotada inferiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=-n. \]
El término siguiente es
\[ a_{n+1}=-(n+1)=-n-1. \]
Como
\[ -n-1<-n, \]
se tiene
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La sucesión es estrictamente decreciente.
No está acotada inferiormente. En efecto, dado \(M>0\), podemos elegir \(n\) tal que
\[ n>M. \]
Multiplicando por \(-1\), obtenemos
\[ -n<-M. \]
Por tanto, los términos de la sucesión se hacen menores que cualquier umbral negativo.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, una sucesión decreciente y no acotada inferiormente diverge a \(-\infty\).
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es creciente, está acotada superiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Resolución
Reescribimos el término general:
\[ a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Como la sucesión
\[ \frac{1}{n+1} \]
es decreciente, la sucesión
\[ 1-\frac{1}{n+1} \]
es creciente.
Comprobémoslo directamente. Se tiene
\[ a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}. \]
Calculamos la diferencia:
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}. \]
Reduciendo a común denominador:
\[ a_{n+1}-a_n= \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}. \]
Desarrollamos el numerador:
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-(n^2+2n)=1. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0. \]
Así pues, \(a_{n+1}>a_n\), es decir, la sucesión es estrictamente creciente.
Además
\[ \frac{n}{n+1}<1 \]
para todo \(n\geq1\), de modo que \(1\) es una cota superior.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, la sucesión converge a su supremo.
Como los términos se aproximan a \(1\) desde abajo, se tiene
\[ \sup\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{n+1}{n}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es decreciente, está acotada inferiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Resolución
Reescribimos la sucesión:
\[ a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n. \]
Como \(\frac1n\) es decreciente, la expresión
\[ 1+\frac1n \]
también es decreciente.
Comprobémoslo con los términos consecutivos:
\[ a_{n+1}=1+\frac{1}{n+1}. \]
Como
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
sumando \(1\) a ambos miembros obtenemos
\[ 1+\frac{1}{n+1}<1+\frac1n. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La sucesión es estrictamente decreciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1n>1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota inferior.
Una sucesión decreciente y acotada inferiormente converge a su ínfimo.
En este caso
\[ \inf\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=2-\frac{3}{n}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es creciente, está acotada superiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Resolución
Consideremos
\[ a_n=2-\frac3n. \]
El término siguiente es
\[ a_{n+1}=2-\frac{3}{n+1}. \]
Como
\[ \frac{3}{n+1}<\frac3n, \]
cambiando de signo se obtiene
\[ -\frac{3}{n+1}>-\frac3n. \]
Sumando \(2\):
\[ 2-\frac{3}{n+1}>2-\frac3n. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La sucesión es estrictamente creciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ 2-\frac3n<2. \]
Por tanto, \(2\) es una cota superior.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, la sucesión converge a su supremo.
Como \(\frac3n\to0\), los términos se aproximan a \(2\) desde abajo. Por consiguiente,
\[ \sup\left\{2-\frac3n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=2. \]
Concluimos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=5+\frac{2}{n}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es decreciente, está acotada inferiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Resolución
Consideremos
\[ a_n=5+\frac2n. \]
El término siguiente es
\[ a_{n+1}=5+\frac{2}{n+1}. \]
Como
\[ \frac{2}{n+1}<\frac2n, \]
sumando \(5\) a ambos miembros obtenemos
\[ 5+\frac{2}{n+1}<5+\frac2n. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La sucesión es estrictamente decreciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ 5+\frac2n>5. \]
Por tanto, \(5\) es una cota inferior.
Una sucesión decreciente y acotada inferiormente converge a su ínfimo.
Como \(\frac2n\to0\), los términos se aproximan a \(5\) desde arriba. Así pues,
\[ \inf\left\{5+\frac2n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=5. \]
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+1}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es creciente, está acotada superiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Resolución
Reescribimos el término general:
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = 2-\frac{1}{n+1}. \]
Por tanto,
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}. \]
Como \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\) es decreciente, el término
\[ -\frac{1}{n+1} \]
es creciente. Por tanto, \(a_n\) es creciente.
Comprobémoslo también con el término siguiente:
\[ a_{n+1}=2-\frac{1}{n+2}. \]
Como
\[ \frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}, \]
se tiene
\[ -\frac{1}{n+2}>-\frac{1}{n+1}. \]
Sumando \(2\):
\[ 2-\frac{1}{n+2}>2-\frac{1}{n+1}. \]
Por consiguiente,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La sucesión es estrictamente creciente.
Además
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}<2, \]
de modo que \(2\) es una cota superior.
La sucesión es creciente y está acotada superiormente, por lo que converge a su supremo.
Como \(\displaystyle \frac1{n+1}\to0\), el supremo es \(2\). Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es decreciente, está acotada inferiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Resolución
Reescribimos la sucesión:
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}=3+\frac4n. \]
Como \(\frac4n\) es decreciente, la expresión
\[ 3+\frac4n \]
también es decreciente.
En efecto,
\[ a_{n+1}=3+\frac{4}{n+1}. \]
Puesto que
\[ \frac{4}{n+1}<\frac4n, \]
se tiene
\[ 3+\frac{4}{n+1}<3+\frac4n. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La sucesión es estrictamente decreciente.
Además
\[ 3+\frac4n>3 \]
para todo \(n\geq1\), de modo que \(3\) es una cota inferior.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, la sucesión converge a su ínfimo.
Como \(\frac4n\to0\), los términos se aproximan a \(3\) desde arriba. Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es creciente, está acotada superiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Resolución
Reescribimos la sucesión:
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}=1-\frac{1}{n^2+1}. \]
Como \(n^2+1\) crece al crecer \(n\), la cantidad
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
disminuye.
En consecuencia,
\[ 1-\frac{1}{n^2+1} \]
crece.
Así pues, la sucesión es creciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ \frac{n^2}{n^2+1}<1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota superior.
La sucesión es creciente y está acotada superiormente, por lo que converge.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, su límite es el supremo del conjunto de sus valores.
Como
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
obtenemos
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+1}\to1. \]
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es decreciente, está acotada inferiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Resolución
Reescribimos la sucesión:
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}=1+\frac1{n^2}. \]
La sucesión \(\frac1{n^2}\) es decreciente, porque \(n^2\) crece al crecer \(n\).
Por tanto, la expresión
\[ 1+\frac1{n^2} \]
también es decreciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1{n^2}>1. \]
Así pues, \(1\) es una cota inferior.
La sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, por lo que converge a su ínfimo.
Como
\[ \frac1{n^2}\to0, \]
se tiene
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es creciente, está acotada superiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Resolución
Reescribimos la sucesión:
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}=1-\frac{1}{2^n+1}. \]
Como \(2^n\) crece al crecer \(n\), también crece \(2^n+1\). Por tanto,
\[ \frac{1}{2^n+1} \]
decrece.
En consecuencia,
\[ 1-\frac{1}{2^n+1} \]
crece.
La sucesión es, pues, creciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ \frac{2^n}{2^n+1}<1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota superior.
La sucesión es creciente y está acotada superiormente; por ello converge a su supremo.
Como
\[ \frac{1}{2^n+1}\to0, \]
se sigue que
\[ a_n=1-\frac{1}{2^n+1}\to1. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es decreciente, está acotada inferiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Resolución
Reescribimos el término general:
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}=1+\frac{1}{3^n}. \]
Como \(3^n\) crece al crecer \(n\), la sucesión
\[ \frac{1}{3^n} \]
es decreciente.
Por tanto,
\[ a_n=1+\frac{1}{3^n} \]
es decreciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ 1+\frac{1}{3^n}>1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota inferior.
La sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, de modo que converge a su ínfimo.
Como
\[ \frac1{3^n}\to0, \]
se sigue que
\[ 1+\frac1{3^n}\to1. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es creciente, está acotada superiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Resolución
Reescribimos la sucesión:
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1-\frac{1}{n^2+n+1}. \]
El denominador
\[ n^2+n+1 \]
crece al crecer \(n\). En efecto, al pasar de \(n\) a \(n+1\) obtenemos
\[ (n+1)^2+(n+1)+1=n^2+3n+3, \]
que es mayor que
\[ n^2+n+1. \]
Por tanto,
\[ \frac{1}{n^2+n+1} \]
es decreciente.
En consecuencia,
\[ 1-\frac{1}{n^2+n+1} \]
es creciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}<1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota superior.
La sucesión es creciente y está acotada superiormente, por lo que converge.
Como
\[ \frac{1}{n^2+n+1}\to0, \]
se tiene
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+n+1}\to1. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es decreciente, está acotada inferiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Resolución
Reescribimos:
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1} = \frac{n^2+1+1}{n^2+1} = 1+\frac{1}{n^2+1}. \]
Como \(n^2+1\) crece al crecer \(n\), la cantidad
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
decrece.
Por tanto,
\[ a_n=1+\frac{1}{n^2+1} \]
es decreciente.
Además, para todo \(n\geq1\),
\[ a_n>1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota inferior.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, la sucesión converge a su ínfimo.
Como
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
obtenemos
\[ a_n\to1. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=\sqrt{n}. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es creciente, no está acotada superiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=\sqrt n. \]
Como \(n+1>n\) y la raíz cuadrada conserva el orden en los números no negativos, se tiene
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La sucesión es estrictamente creciente.
Veamos ahora que no está acotada superiormente. Dado \(M>0\), queremos hallar \(n\) tal que
\[ \sqrt n>M. \]
Esta desigualdad equivale a
\[ n>M^2. \]
Siempre es posible elegir un número natural \(n\) mayor que \(M^2\). Por tanto, la sucesión no está acotada superiormente.
Al ser creciente y no estar acotada superiormente, por el teorema del límite de una sucesión monótona diverge a \(+\infty\).
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Estudiar la sucesión
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Determinar si es monótona y si está acotada, y hallar su límite.
Resultado
La sucesión es decreciente, no está acotada inferiormente y
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Como
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n, \]
al multiplicar por \(-1\) se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ -\sqrt{n+1}<-\sqrt n. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La sucesión es estrictamente decreciente.
No está acotada inferiormente. En efecto, dado \(M>0\), queremos hallar \(n\) tal que
\[ -\sqrt n<-M. \]
Multiplicando por \(-1\), el sentido cambia:
\[ \sqrt n>M. \]
Esta desigualdad se cumple cuando
\[ n>M^2. \]
Por tanto, los términos se hacen menores que cualquier umbral negativo.
Al ser decreciente y no estar acotada inferiormente, la sucesión diverge a \(-\infty\).
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Sea \((a_n)\) una sucesión creciente tal que
\[ a_n<4 \]
para todo \(n\geq1\). Determinar si la sucesión tiene límite e indicar qué puede decirse de su valor.
Resultado
La sucesión es convergente. Su límite \(L\) existe y es igual a
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Además, \(L\leq4\).
Resolución
La sucesión \((a_n)\) es creciente por hipótesis. Además, para todo \(n\geq1\), se cumple
\[ a_n<4. \]
Por tanto, \(4\) es una cota superior del conjunto de los valores de la sucesión:
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
La sucesión es, por tanto, creciente y está acotada superiormente.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, una sucesión creciente y acotada superiormente converge a su supremo.
Por consiguiente, existe el límite finito
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
Además,
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Como \(4\) es una cota superior, el supremo no puede ser mayor que \(4\). Por tanto,
\[ L\leq4. \]
No obstante, no podemos concluir necesariamente que \(L=4\). Por ejemplo, una sucesión creciente y siempre menor que \(4\) podría converger a \(4\), pero también podría converger a un número menor.
Así pues, la información segura es:
\[ \text{la sucesión converge y su límite satisface } L\leq4. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Sea \((a_n)\) una sucesión decreciente tal que
\[ a_n>-2 \]
para todo \(n\geq1\). Determinar si la sucesión tiene límite e indicar qué puede decirse de su valor.
Resultado
La sucesión es convergente. Su límite \(L\) existe y es igual a
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Además, \(L\geq -2\).
Resolución
La sucesión \((a_n)\) es decreciente por hipótesis. Además, para todo \(n\geq1\), se cumple
\[ a_n>-2. \]
Por tanto, \(-2\) es una cota inferior del conjunto de los valores de la sucesión:
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
La sucesión es, por tanto, decreciente y está acotada inferiormente.
Por el teorema del límite de una sucesión monótona, una sucesión decreciente y acotada inferiormente converge a su ínfimo.
Por consiguiente, existe el límite finito
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
Además,
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Como \(-2\) es una cota inferior, el ínfimo no puede ser menor que \(-2\). Por tanto,
\[ L\geq -2. \]
No obstante, no podemos concluir necesariamente que \(L=-2\). La sucesión podría tender a \(-2\), pero también podría tender a un número mayor.
Así pues, la información segura es:
\[ \text{la sucesión converge y su límite satisface } L\geq -2. \]