Límite por la Derecha y Límite por la Izquierda: Definición, Ejemplos y Propiedades

Idea intuitiva del límite por la derecha y por la izquierda

Cuando estudiamos el límite de una función cuando \(x\to x_0\), observamos el comportamiento de los valores \(f(x)\) a medida que \(x\) se aproxima al punto \(x_0\). Sin embargo, la aproximación a \(x_0\) puede producirse de dos maneras distintas: por valores mayores que \(x_0\), o por valores menores que \(x_0\).

Si \(x\) se aproxima a \(x_0\) permaneciendo mayor que \(x_0\), decimos que \(x\) tiende a \(x_0\) por la derecha y escribimos

\[ x\to x_0^+. \]

Si, en cambio, \(x\) se aproxima a \(x_0\) permaneciendo menor que \(x_0\), decimos que \(x\) tiende a \(x_0\) por la izquierda y escribimos

\[ x\to x_0^-. \]

El límite por la derecha describe, pues, el comportamiento de la función cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\) por valores \(x>x_0\). El límite por la izquierda describe, en cambio, el comportamiento de la función cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\) por valores \(x<x_0\).

Esta distinción es importante porque una función puede comportarse de manera distinta a la derecha y a la izquierda de un mismo punto. En particular, puede ocurrir que los valores de \(f(x)\) se aproximen a un número determinado por un lado y a un número distinto por el otro.

El valor que toma la función en el punto \(x_0\), cuando existe, no es lo que determina el límite. Incluso en el caso de los límites por la derecha y por la izquierda, lo que importa es el comportamiento de \(f(x)\) para valores de \(x\) próximos a \(x_0\), pero distintos de \(x_0\).

Aproximarse a un punto por la derecha y por la izquierda

Sea \(f:D\to\mathbb{R}\) una función real de variable real, con dominio \(D\subseteq\mathbb{R}\). Para hablar del comportamiento de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a un punto \(x_0\), no es necesario que \(x_0\) pertenezca al dominio de la función.

Lo que importa es que existan valores del dominio arbitrariamente próximos a \(x_0\). En el caso del límite por la derecha, estos valores deben situarse a la derecha de \(x_0\); en el caso del límite por la izquierda, deben situarse a la izquierda de \(x_0\).

Decir que \(x\) se aproxima a \(x_0\) por la derecha significa considerar valores de \(x\) pertenecientes al dominio de la función y tales que

\[ x_0<x<x_0+\delta \]

para valores positivos de \(\delta\) cada vez más pequeños. En símbolos, se escribe

\[ x\to x_0^+. \]

Decir que \(x\) se aproxima a \(x_0\) por la izquierda significa, en cambio, considerar valores de \(x\) pertenecientes al dominio de la función y tales que

\[ x_0-\delta<x<x_0. \]

En este caso se escribe

\[ x\to x_0^-. \]

Así pues, cuando se estudia un límite por la derecha o por la izquierda, no se observan necesariamente todos los valores de \(x\) próximos a \(x_0\), sino solo aquellos que pertenecen al dominio de la función y que se encuentran del lado considerado.

Por ejemplo, si una función está definida en un intervalo del tipo \([a,b]\), en el punto \(a\) se puede estudiar el límite por la derecha, porque existen puntos del dominio a la derecha de \(a\), pero no se puede estudiar un límite por la izquierda dentro de ese dominio. Análogamente, en el punto \(b\) se puede estudiar el límite por la izquierda, pero no el límite por la derecha.

Más precisamente, el límite por la derecha en \(x_0\) tiene sentido cuando existen puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(x_0\) y mayores que \(x_0\). El límite por la izquierda en \(x_0\) tiene sentido cuando existen puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(x_0\) y menores que \(x_0\).

Definición de límite por la derecha

Sea \(f:D\to\mathbb{R}\) una función real de variable real, con \(D\subseteq\mathbb{R}\), y sea \(x_0\) un punto tal que existan puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(x_0\) y mayores que \(x_0\).

Decir que \(x_0\) tiene puntos del dominio arbitrariamente próximos por la derecha significa que, para todo \(\delta>0\), existe al menos un punto \(x\in D\) tal que

\[ x_0<x<x_0+\delta. \]

En estas condiciones, decimos que la función \(f\) tiene límite por la derecha igual a \(L\) cuando \(x\to x_0\), y escribimos

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L, \]

si para todo \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x_0<x<x_0+\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

En otras palabras, los valores \(f(x)\) pueden hacerse arbitrariamente próximos a \(L\), siempre que \(x\) esté suficientemente próximo a \(x_0\), pertenezca al dominio de la función y se encuentre a la derecha de \(x_0\).

La condición \(x_0<x\) es esencial: en el límite por la derecha no se observa el comportamiento de la función para valores de \(x\) menores que \(x_0\). Además, como ocurre con el límite cuando \(x\to x_0\), no importa el valor de la función en \(x_0\), incluso en el caso de que \(x_0\in D\).

El límite por la derecha depende únicamente del comportamiento de la función en puntos del dominio que se encuentran a la derecha de \(x_0\) y que se aproximan indefinidamente a \(x_0\).

Definición de límite por la izquierda

Sea \(f:D\to\mathbb{R}\) una función real de variable real, con \(D\subseteq\mathbb{R}\), y sea \(x_0\) un punto tal que existan puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(x_0\) y menores que \(x_0\).

Decir que \(x_0\) tiene puntos del dominio arbitrariamente próximos por la izquierda significa que, para todo \(\delta>0\), existe al menos un punto \(x\in D\) tal que

\[ x_0-\delta<x<x_0. \]

En estas condiciones, decimos que la función \(f\) tiene límite por la izquierda igual a \(L\) cuando \(x\to x_0\), y escribimos

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L, \]

si para todo \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

En otras palabras, los valores \(f(x)\) pueden hacerse arbitrariamente próximos a \(L\), siempre que \(x\) esté suficientemente próximo a \(x_0\), pertenezca al dominio de la función y se encuentre a la izquierda de \(x_0\).

La condición \(x<x_0\) es esencial: en el límite por la izquierda no se considera el comportamiento de la función para valores de \(x\) mayores que \(x_0\). También en este caso, el valor que eventualmente tome la función en el punto \(x_0\) no influye en el límite.

El límite por la izquierda depende únicamente del comportamiento de la función en puntos del dominio que se encuentran a la izquierda de \(x_0\) y que se aproximan indefinidamente a \(x_0\).

Relación con el límite sin restricciones laterales

El límite cuando \(x\to x_0\), considerado sin restricciones laterales, exige que la función se aproxime al mismo valor cualquiera que sea el modo en que \(x\) tienda a \(x_0\) dentro del dominio.

En particular, si el dominio de la función tiene puntos arbitrariamente próximos a \(x_0\) tanto por la izquierda como por la derecha, entonces el límite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]

existe y es igual a \(L\) si y solo si existen ambos límites

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]

y ambos son iguales a \(L\). En símbolos:

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \ \text{y}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]

Esta equivalencia muestra que el límite cuando \(x\to x_0\), sin restricciones laterales, es más exigente que los dos límites laterales tomados por separado. No basta, en efecto, con que la función tenga un comportamiento regular por un solo lado: es necesario que el comportamiento sea el mismo por ambos lados.

Si, en cambio, los dos límites existen pero son distintos, entonces el límite cuando \(x\to x_0\), sin restricciones laterales, no existe. La función se aproxima, en efecto, a dos valores diferentes según la dirección desde la que \(x\) tiende a \(x_0\).

En los extremos de un intervalo, la situación es distinta. Por ejemplo, si una función está definida en \([a,b]\), en el punto \(a\) se estudia de forma natural el límite por la derecha, mientras que en el punto \(b\) se estudia de forma natural el límite por la izquierda. En estos casos no se exige una comprobación por ambos lados, porque el propio dominio solo está presente por un lado.

Límite por la derecha y límite por la izquierda distintos

Puede ocurrir que una función tenga un comportamiento bien determinado tanto a la izquierda como a la derecha de un punto \(x_0\), pero que los dos comportamientos conduzcan a valores distintos.

Supongamos, por ejemplo, que

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]

con \(L_1\neq L_2\). En este caso el límite cuando \(x\to x_0\), considerado sin restricciones laterales, no existe.

En efecto, al aproximarse a \(x_0\) por la izquierda, los valores de la función se aproximan a \(L_1\); al aproximarse, en cambio, por la derecha, se aproximan a \(L_2\). Si \(L_1\) y \(L_2\) son distintos, no existe un único valor al que la función tienda cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\).

Este hecho se presenta con frecuencia en las funciones definidas a trozos. Consideremos, por ejemplo, la función

\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x>0. \end{cases} \]

Cuando \(x\to 0^-\), los valores de la función son iguales a \(1\), luego

\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]

Cuando, en cambio, \(x\to 0^+\), los valores de la función son iguales a \(2\), luego

\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]

Puesto que los dos límites son distintos, el límite cuando \(x\to 0\), sin restricciones laterales, no existe:

\[ \lim_{x\to 0}f(x) \quad\text{no existe.} \]

El punto esencial es que la existencia por separado del límite por la izquierda y del límite por la derecha no basta. Para que exista el límite cuando \(x\to x_0\), es necesario que ambos valores coincidan.

Límites laterales infinitos

El límite por la derecha y el límite por la izquierda no tienen por qué ser números reales finitos. Puede ocurrir que, al aproximarse a un punto \(x_0\) por un solo lado, los valores de la función crezcan sin cota o disminuyan sin cota.

Sea \(f:D\to\mathbb{R}\) una función real de variable real, con \(D\subseteq\mathbb{R}\), y supongamos que el límite por la derecha en \(x_0\) tiene sentido. Escribir

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]

significa que para todo \(M>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)>M. \]

En otras palabras, los valores de \(f(x)\) se hacen mayores que cualquier número real positivo prefijado, siempre que \(x\) esté suficientemente próximo a \(x_0\) por la derecha.

Análogamente, escribir

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]

significa que para todo \(M>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)<-M. \]

En este caso, al aproximarse a \(x_0\) por la derecha, los valores de la función se hacen menores que cualquier número real negativo prefijado, por grande que sea en valor absoluto.

Las definiciones por la izquierda son enteramente análogas. Si el límite por la izquierda en \(x_0\) tiene sentido, escribir

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]

significa que para todo \(M>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)>M. \]

En cambio, escribir

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]

significa que para todo \(M>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)<-M. \]

Consideremos, por ejemplo, la función

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Cuando \(x\to 0^+\), el denominador es positivo y cada vez más próximo a cero; en consecuencia, los valores de la función son positivos y crecen sin cota:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]

Cuando, en cambio, \(x\to 0^-\), el denominador es negativo y cada vez más próximo a cero; los valores de la función son negativos y disminuyen sin cota:

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

También en este caso los dos comportamientos no coinciden. Por ello, el límite cuando \(x\to 0\), considerado sin restricciones laterales, no es ni \(+\infty\) ni \(-\infty\).

Más en general, si por un lado la función tiende a \(+\infty\) y por el otro tiende a \(-\infty\), el límite cuando \(x\to x_0\) no existe como límite único. Los dos límites laterales existen, pero describen comportamientos incompatibles entre sí.

Ejemplos con funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son uno de los contextos en los que el límite por la derecha y el límite por la izquierda resultan más útiles. En estos casos, en efecto, la expresión de la función puede cambiar según el intervalo en el que se encuentre \(x\).

Cuando se calcula el límite en un punto en el que cambia la definición de la función, hay que usar la expresión válida a la izquierda del punto para el límite por la izquierda y la expresión válida a la derecha del punto para el límite por la derecha.

Consideremos la función

\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]

Para calcular el límite por la izquierda en \(x_0=1\), debemos usar el tramo válido para \(x<1\), es decir, \(f(x)=x+1\). Por tanto,

\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x+1)=2. \]

Para el límite por la derecha, en cambio, debemos usar el tramo válido para \(x>1\), es decir, \(f(x)=3-x\). Por consiguiente,

\[ \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(3-x)=2. \]

Los dos límites coinciden. En consecuencia, existe el límite cuando \(x\to 1\), considerado sin restricciones laterales, y vale

\[ \lim_{x\to 1}f(x)=2. \]

Sin embargo, \(f(1)=5\). Esto muestra una vez más que el valor de la función en el punto no determina el límite: el límite depende de los valores que toma la función en las proximidades del punto, no necesariamente del valor que toma en el propio punto.

Consideremos ahora un segundo ejemplo:

\[ g(x)= \begin{cases} x^2, & x<2,\\ x+1, & x\ge 2. \end{cases} \]

A la izquierda de \(2\), la función viene dada por \(g(x)=x^2\). Por tanto,

\[ \lim_{x\to 2^-}g(x)=\lim_{x\to 2^-}x^2=4. \]

A la derecha de \(2\), incluido el propio punto \(2\), la función viene dada por \(g(x)=x+1\). Para el límite por la derecha consideramos, sin embargo, valores \(x>2\), luego

\[ \lim_{x\to 2^+}g(x)=\lim_{x\to 2^+}(x+1)=3. \]

Puesto que los dos límites son distintos, el límite cuando \(x\to 2\), sin restricciones laterales, no existe.

En resumen, en las funciones definidas a trozos el procedimiento correcto consiste en leer con atención el dominio de cada tramo y en calcular por separado el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha.

Continuidad por la derecha y continuidad por la izquierda

Los límites laterales permiten también definir la continuidad de una función por un solo lado. Esto resulta especialmente útil en los extremos de un intervalo y en los puntos en los que una función está definida a trozos.

Sea \(f:D\to\mathbb{R}\) una función real de variable real y sea \(x_0\in D\). Supongamos que el límite por la derecha de \(f\) en \(x_0\) tiene sentido. Decimos que \(f\) es continua por la derecha en \(x_0\) si

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]

De manera equivalente, \(f\) es continua por la derecha en \(x_0\) si para todo \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x_0\le x<x_0+\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]

Análogamente, supongamos que el límite por la izquierda de \(f\) en \(x_0\) tiene sentido. Decimos que \(f\) es continua por la izquierda en \(x_0\) si

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]

En forma \(\varepsilon\)-\(\delta\), esto significa que para todo \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x\le x_0 \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]

La diferencia con el simple límite por la derecha o por la izquierda es importante. En el límite se observa únicamente el comportamiento de la función cerca de \(x_0\), sin que el valor \(f(x_0)\) sea determinante. En la continuidad, en cambio, el valor de la función en el punto debe coincidir con el valor hacia el que tiende la función.

Por ejemplo, si una función está definida en un intervalo \([a,b]\), la continuidad en \(a\), respecto al dominio, se verifica mediante la continuidad por la derecha, porque el dominio no contiene puntos a la izquierda de \(a\). En este caso la condición natural es

\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a). \]

Del mismo modo, en el punto \(b\) se considera la continuidad por la izquierda:

\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]

Si, en cambio, \(x_0\) es un punto interior del dominio, y la función está definida a ambos lados de \(x_0\), entonces la continuidad en \(x_0\) exige la continuidad tanto por la izquierda como por la derecha. En símbolos:

\[ f \text{ es continua en } x_0 \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) \ \text{y}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]

Errores comunes que se deben evitar

El primer error que se debe evitar es confundir el límite por la derecha o por la izquierda con el valor de la función en el punto. El límite describe el comportamiento de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\) por un lado determinado; el valor \(f(x_0)\), cuando existe, se refiere en cambio a la función exactamente en el punto \(x_0\).

Por ejemplo, si

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]

no se sigue necesariamente que \(f(x_0)=L\). El límite por la derecha depende de los valores de la función para \(x>x_0\) próximos a \(x_0\), no del valor que toma en el punto.

Un segundo error consiste en olvidar el dominio de la función. Al calcular un límite por la derecha, hay que considerar únicamente los valores \(x\in D\) tales que

\[ x_0<x<x_0+\delta. \]

Al calcular un límite por la izquierda, hay que considerar, en cambio, únicamente los valores \(x\in D\) tales que

\[ x_0-\delta<x<x_0. \]

No basta, pues, con fijarse en la posición de \(x\) respecto de \(x_0\): también hay que comprobar que dichos valores pertenezcan efectivamente al dominio de la función.

Un tercer error frecuente se refiere a las funciones definidas a trozos. En un punto en el que cambia la definición de la función, el límite por la izquierda debe calcularse usando el tramo válido a la izquierda del punto, mientras que el límite por la derecha debe calcularse usando el tramo válido a la derecha. El valor eventualmente asignado a la función en ese punto no debe utilizarse para calcular los límites por la derecha y por la izquierda.

Un cuarto error consiste en concluir que el límite cuando \(x\to x_0\), sin restricciones laterales, existe solo porque existe uno de los dos límites por un lado. Esto no es suficiente. Cuando el dominio tiene puntos arbitrariamente próximos a \(x_0\) tanto por la izquierda como por la derecha, el límite cuando \(x\to x_0\) existe únicamente si el límite por la izquierda y el límite por la derecha existen y coinciden.

En símbolos, si ambos lados están presentes en el dominio, la condición correcta es

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]

Solo en este caso se puede escribir

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]

Por último, hay que distinguir con precisión entre límite y continuidad. La existencia del límite por la derecha o por la izquierda no implica, por sí sola, la continuidad por ese lado. Para que haya continuidad por la derecha en \(x_0\), por ejemplo, no basta con que exista el límite por la derecha: es necesario también que sea igual al valor de la función en el punto, es decir,

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]

Análogamente, la continuidad por la izquierda exige que

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]

Mantener separados estos aspectos —lado de aproximación, dominio, valor de la función en el punto y coincidencia de los dos límites— permite tratar los límites laterales de manera correcta y sin ambigüedad.