Una sucesión numérica real es una lista ordenada de números reales, que suelen denotarse mediante
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
donde \(a_n\) representa el término general de la sucesión, es decir, el término que ocupa la posición \(n\). Estudiar una sucesión consiste en comprender cómo se comportan sus términos a medida que crece el índice \(n\).
El concepto central es el de límite de una sucesión. Cuando \(n\to+\infty\), los términos \(a_n\) pueden aproximarse a un número real, crecer sin límite, decrecer sin límite o bien no presentar ningún comportamiento límite. Por este motivo se distinguen las sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes.
Introducimos las definiciones fundamentales sobre los límites de sucesiones, explicando de manera rigurosa el significado de la convergencia, la divergencia y la oscilación.
Índice
- Qué es una sucesión numérica
- Límite de una sucesión
- Sucesiones convergentes
- Sucesiones divergentes
- Sucesiones oscilantes
- Ejemplos de sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes
Qué es una sucesión numérica
Una sucesión numérica es una función definida sobre el conjunto de los números naturales positivos y con valores en un conjunto numérico. En el caso de las sucesiones reales, se trata de una función
\[ a:\mathbb{N}_{\ge 1}\to\mathbb{R}. \]
A cada número natural positivo \(n\) se le asocia uno y solo un número real \(a(n)\). En lugar de escribir \(a(n)\), para las sucesiones se emplea casi siempre la notación
\[ a_n. \]
El número \(a_n\) se denomina término n-ésimo o término general de la sucesión. La sucesión se indica entonces mediante una de las siguientes notaciones:
\[ (a_n)_{n\in\mathbb{N}_{\ge 1}},\qquad (a_n),\qquad a_n. \]
Por ejemplo, la fórmula
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
define la sucesión
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
En este caso, el primer término es \(a_1=1\), el segundo término es \(a_2=\displaystyle \frac{1}{2}\), el tercer término es \(a_3=\displaystyle \frac{1}{3}\), y así sucesivamente.
El aspecto fundamental es que una sucesión no es solo un conjunto de números, sino un conjunto de valores dispuestos en un orden preciso. Por ejemplo, las sucesiones
\[ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ \ldots \]
y
\[ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ \ldots \]
toman los mismos valores, pero en distinto orden. Por ello deben considerarse sucesiones diferentes.
Límite de una sucesión
El límite de una sucesión describe el comportamiento de los términos \(a_n\) cuando el índice \(n\) se hace arbitrariamente grande, es decir, cuando
\[ n\to+\infty. \]
Este punto es importante: en una sucesión el índice \(n\) recorre los números naturales, de modo que no se estudia el comportamiento para \(n\to-\infty\), sino únicamente para \(n\to+\infty\).
Una sucesión puede presentar comportamientos diversos. Puede aproximarse a un número real, crecer sin límite, decrecer sin límite o bien no presentar comportamiento límite alguno. Por este motivo se distinguen tres casos fundamentales:
- las sucesiones convergentes, cuando los términos se aproximan a un número real;
- las sucesiones divergentes, cuando los términos tienden a \(+\infty\) o a \(-\infty\);
- las sucesiones oscilantes, cuando no existe ni un límite finito ni un límite infinito.
Escribir
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
significa que, a medida que crece \(n\), los términos \(a_n\) se aproximan indefinidamente al número real \(L\). El número \(L\), si existe, se denomina límite de la sucesión.
Por ejemplo, si consideramos la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n}, \]
los términos son
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
y se acercan cada vez más a \(0\). En este caso se escribe
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
El límite, sin embargo, no debe entenderse como un valor que la sucesión alcance necesariamente. En el ejemplo anterior, ningún término de la sucesión es igual a \(0\), ya que
\[ \frac{1}{n}\neq 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). No obstante, los términos se aproximan a \(0\) tanto como se quiera, con tal de que \(n\) sea suficientemente grande.
Sucesiones convergentes
Una sucesión real \((a_n)\) se dice convergente si existe un número real \(L\) tal que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
En este caso se dice que la sucesión converge a \(L\), o bien que \(L\) es el límite finito de la sucesión.
La definición rigurosa es la siguiente:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \iff \forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_\varepsilon \,\, , \,\ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Esta definición debe leerse con atención. El número \(\varepsilon>0\) representa una distancia arbitrariamente pequeña respecto del límite \(L\). Decir que
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
significa, en efecto, que el término \(a_n\) dista de \(L\) menos de \(\varepsilon\).
La definición afirma, por tanto, que, elegida una distancia positiva cualquiera \(\varepsilon\), por pequeña que sea, existe un índice \(n_\varepsilon\) tal que todos los términos de la sucesión con índice \(n\geq n_\varepsilon\) se encuentran a una distancia menor que \(\varepsilon\) de \(L\).
En términos geométricos, fijado un intervalo abierto centrado en \(L\),
\[ (L-\varepsilon,L+\varepsilon), \]
existe un índice \(n_\varepsilon\) tal que todos los términos posteriores de la sucesión pertenecen a dicho intervalo.
En símbolos:
\[ n\geq n_\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad a_n\in(L-\varepsilon,L+\varepsilon). \]
Es importante observar que la definición no exige que todos los términos de la sucesión estén próximos a \(L\). Los primeros términos pueden incluso estar muy alejados del límite. Lo que importa es que, a partir de cierto índice, todos los términos permanezcan arbitrariamente próximos a \(L\).
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
converge a \(1\), porque sus términos
\[ \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots \]
se aproximan cada vez más a \(1\).
En efecto:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
La cantidad que se resta a \(1\), es decir, \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), se hace cada vez más pequeña a medida que crece \(n\). Por tanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Las sucesiones convergentes tienen siempre un límite real finito. Por este motivo, también se dice que una sucesión convergente es una sucesión que admite límite finito.
Sucesiones divergentes
Una sucesión real \((a_n)\) se dice divergente si sus términos no se aproximan a un número real finito, sino que se hacen arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños.
Más concretamente, una sucesión puede divergir de dos maneras:
- puede divergir a \(+\infty\), si sus términos se hacen mayores que cualquier umbral positivo prefijado;
- puede divergir a \(-\infty\), si sus términos se hacen menores que cualquier umbral negativo prefijado.
En ambos casos, el símbolo \(+\infty\) o \(-\infty\) no representa un número real. Decir que una sucesión tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) significa describir un comportamiento de sus términos, no indicar un valor que la sucesión alcance.
Sucesiones divergentes a \(+\infty\)
Una sucesión real \((a_n)\) se dice divergente a \(+\infty\) si, fijado un número positivo cualquiera \(M\), existe un índice \(n_M\) tal que todos los términos posteriores de la sucesión son mayores que \(M\).
Formalmente:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n>M. \]
La definición dice que, sea cual sea el umbral positivo \(M\), por muy grande que sea, a partir de cierto índice todos los términos de la sucesión superan ese umbral.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=n^2 \]
diverge a \(+\infty\), porque sus términos
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
se hacen arbitrariamente grandes.
En efecto, fijado \(M>0\), queremos que
\[ n^2>M. \]
Como \(n\) es positivo, esta desigualdad se cumple cuando
\[ n>\sqrt{M}. \]
Eligiendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n_M>\sqrt{M}, \]
para todo \(n\geq n_M\) se tiene
\[ n^2>M. \]
Por tanto
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Sucesiones divergentes a \(-\infty\)
Una sucesión real \((a_n)\) se dice divergente a \(-\infty\) si, fijado un número positivo cualquiera \(M\), existe un índice \(n_M\) tal que todos los términos posteriores de la sucesión son menores que \(-M\).
Formalmente:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n<-M. \]
La definición dice que los términos de la sucesión descienden por debajo de cualquier umbral negativo. También en este caso \(-\infty\) no es un valor que la sucesión alcance, sino que describe el hecho de que los términos se hacen arbitrariamente pequeños.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=-n \]
diverge a \(-\infty\), porque sus términos
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
se hacen cada vez más pequeños.
En efecto, fijado \(M>0\), queremos que
\[ -n<-M. \]
Multiplicando ambos miembros por \(-1\), el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ n>M. \]
Eligiendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n_M>M, \]
para todo \(n\geq n_M\) se tiene
\[ n>M \]
y, por tanto,
\[ -n<-M. \]
En consecuencia
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Las sucesiones divergentes no son convergentes, ya que no admiten un límite real finito. No obstante, presentan igualmente un comportamiento límite preciso: tienden a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Sucesiones oscilantes
Una sucesión real \((a_n)\) se dice oscilante si no admite límite, ni finito ni infinito.
Dicho de otro modo, una sucesión es oscilante si no es convergente y no diverge ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\). Así pues, una sucesión oscilante no se aproxima a un número real, no crece sin límite y no decrece sin límite.
El caso más sencillo es el de una sucesión que oscila indefinidamente entre valores distintos. Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=(-1)^n \]
toma alternativamente los valores
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
y, por tanto, no se aproxima a un único valor límite.
En efecto, considerando solo los índices pares, obtenemos
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Por tanto
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Considerando en cambio los índices impares, obtenemos
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Por tanto
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
La misma sucesión posee, así, dos subsucesiones convergentes a límites distintos. Por este motivo, la sucesión \(((-1)^n)\) no puede ser convergente.
Además es acotada, ya que para todo \(n\in\mathbb{N}\) se cumple
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Al ser acotada, no puede divergir ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\). En consecuencia, es una sucesión oscilante.
Este ejemplo muestra que una sucesión acotada no es necesariamente convergente. La acotación impide la divergencia a \(+\infty\) o a \(-\infty\), pero no garantiza la existencia de un límite finito.
De manera más general, una sucesión puede ser oscilante porque oscila entre valores distintos, porque presenta comportamientos diferentes a lo largo de distintas subsucesiones, o porque no tiende de forma estable a ningún valor, finito o infinito.
Ejemplos de sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes
Veamos ahora algunos ejemplos fundamentales, útiles para reconocer los principales comportamientos límite de una sucesión.
Ejemplo 1. (Sucesión convergente a \(0\)). Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Sus términos son
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
A medida que crece \(n\), el denominador se hace cada vez mayor, mientras que el numerador permanece igual a \(1\). En consecuencia, los términos de la sucesión se hacen cada vez más pequeños y se aproximan a \(0\).
Por tanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
La sucesión es, pues, convergente.
Ejemplo 2. (Sucesión convergente a \(1\)). Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Podemos reescribir el término general del modo siguiente:
\[ \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1}. \]
Dado que
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
cuando \(n\to+\infty\), obtenemos
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Por tanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Esta sucesión también es convergente.
Ejemplo 3. (Sucesión divergente a \(+\infty\)).
Consideremos la sucesión
\[ a_n=2n. \]
Sus términos son
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots \]
y crecen sin límite. En efecto, fijado un número cualquiera \(M>0\), queremos encontrar un índice \(n_M\) tal que, para todo \(n\geq n_M\), se cumpla
\[ 2n>M. \]
Esta desigualdad equivale a
\[ n>\frac{M}{2}. \]
Eligiendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n_M>\frac{M}{2}, \]
para todo \(n\geq n_M\) se tiene \(2n>M\). Por tanto
\[ \lim_{n\to+\infty}2n=+\infty. \]
La sucesión es, pues, divergente a \(+\infty\).
Ejemplo 4. (Sucesión divergente a \(-\infty\)). Consideremos la sucesión
\[ a_n=-3n. \]
Sus términos son
\[ -3,\ -6,\ -9,\ -12,\ \ldots \]
y se hacen cada vez más pequeños. Fijado \(M>0\), queremos que
\[ -3n<-M. \]
Multiplicando ambos miembros por \(-1\), el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ 3n>M. \]
Por tanto
\[ n>\frac{M}{3}. \]
Eligiendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n_M>\frac{M}{3}, \]
para todo \(n\geq n_M\) se tiene
\[ -3n<-M. \]
Por consiguiente
\[ \lim_{n\to+\infty}(-3n)=-\infty. \]
La sucesión es, pues, divergente a \(-\infty\).
Ejemplo 5. (Sucesión oscilante). Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n. \]
Sus términos son
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
La sucesión no se aproxima a un único valor. En efecto, a lo largo de los índices pares se tiene
\[ a_{2k}=1, \]
mientras que a lo largo de los índices impares se tiene
\[ a_{2k-1}=-1. \]
Así pues, dos subsucesiones de la misma sucesión tienen límites distintos:
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
En consecuencia, la sucesión no es convergente.
Además es acotada, ya que para todo \(n\in\mathbb{N}\) se cumple
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
Por tanto, no diverge ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\). La sucesión es, pues, oscilante.
Ejemplo 6. (Sucesión acotada pero no convergente)
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Sus primeros términos son
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
También en este caso la sucesión es acotada, ya que sus términos pertenecen al intervalo \([-1,1]\). Sin embargo, no converge, porque toma periódicamente valores distintos y no se estabiliza en torno a un único límite.
Por ejemplo, para los índices de la forma \(4k+1\) se tiene
\[ a_{4k+1}=1, \]
mientras que para los índices de la forma \(4k+2\) se tiene
\[ a_{4k+2}=0. \]
Por tanto
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
La sucesión posee dos subsucesiones con límites distintos, de modo que no es convergente. Al ser acotada, no puede divergir a \(+\infty\) ni a \(-\infty\). Por consiguiente, es oscilante.
En resumen, una sucesión puede presentar tres comportamientos principales: puede converger a un número real, puede divergir a \(+\infty\) o a \(-\infty\), o bien puede ser oscilante. Esta clasificación constituye la base del estudio de los límites de sucesiones.