Una recopilación progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre lógica proposicional, diseñada para aprender a reconocer proposiciones, formalizar enunciados, construir tablas de verdad y utilizar correctamente los principales conectores lógicos.
Cada ejercicio se resuelve paso a paso, prestando atención al significado de las fórmulas y no solo al resultado final. El objetivo es aprender a razonar de forma rigurosa sobre el valor de verdad de los enunciados y sobre las relaciones lógicas entre proposiciones.
Recordemos que una proposición es un enunciado declarativo al que se puede atribuir, de manera no ambigua, uno y solo un valor de verdad:
\[ V \quad \text{o} \quad F \]
Los conectivos principales de la lógica proposicional son:
\[ \neg,\quad \land,\quad \lor,\quad \rightarrow,\quad \leftrightarrow \]
Estos permiten construir proposiciones compuestas a partir de proposiciones más simples.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determina cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
\[ \text{a) } 7>3 \]
\[ \text{b) } \text{Cierra la puerta.} \]
\[ \text{c) } 5+2=10 \]
\[ \text{d) } x+1=4 \]
Solución
Los enunciados a) y c) son proposiciones. Los enunciados b) y d) no son proposiciones.
Resolución
Para determinar si un enunciado es una proposición debemos preguntarnos si posee un valor de verdad bien determinado, es decir, si es verdadero o falso.
Consideremos el primer enunciado:
\[ 7>3 \]
Este enunciado es declarativo y podemos establecer claramente que es verdadero. Por tanto, es una proposición.
Consideremos ahora:
\[ \text{Cierra la puerta.} \]
Este no es un enunciado declarativo, sino una orden. No tiene sentido decir que sea verdadero o falso. Por lo tanto, no es una proposición.
El tercer enunciado es:
\[ 5+2=10 \]
Se trata de un enunciado declarativo. Podemos establecer que es falso, porque:
\[ 5+2=7 \]
Incluso un enunciado falso puede ser una proposición: lo que importa es que tenga un valor de verdad determinado.
Finalmente consideremos:
\[ x+1=4 \]
Este enunciado contiene una variable libre, \(x\). Sin especificar el valor de \(x\), no podemos establecer si es verdadero o falso.
Por ejemplo, si \(x=3\), el enunciado es verdadero; si \(x=0\), el enunciado es falso.
Por lo tanto, tal como está escrito, no es una proposición.
Resumiendo:
\[ \text{a) proposición verdadera} \]
\[ \text{b) no proposición} \]
\[ \text{c) proposición falsa} \]
\[ \text{d) no proposición} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determina si las siguientes proposiciones son atómicas o compuestas:
\[ \text{a) } 4 \text{ es par} \]
\[ \text{b) } 4 \text{ es par y } 5 \text{ es impar} \]
\[ \text{c) } \text{No llueve} \]
\[ \text{d) } \text{Si estudio, entonces apruebo el examen} \]
Solución
a) atómica; b) compuesta; c) compuesta; d) compuesta.
Resolución
Una proposición es atómica cuando no contiene conectores lógicos y no se obtiene combinando proposiciones más simples.
Una proposición es compuesta cuando contiene al menos un conectivo lógico, explícito o implícito.
Consideremos:
\[ 4 \text{ es par} \]
Esta proposición no está construida combinando otras proposiciones. Por tanto, es atómica.
Consideremos ahora:
\[ 4 \text{ es par y } 5 \text{ es impar} \]
Aquí aparecen dos proposiciones:
\[ 4 \text{ es par} \]
y:
\[ 5 \text{ es impar} \]
unidas por la palabra “y”, que corresponde al conectivo lógico de conjunción:
\[ \land \]
Por lo tanto, la proposición es compuesta.
La proposición:
\[ \text{No llueve} \]
contiene una negación. Si designamos con \(p\) la proposición “llueve”, entonces “no llueve” se escribe:
\[ \neg p \]
Por tanto, es compuesta.
Finalmente:
\[ \text{Si estudio, entonces apruebo el examen} \]
contiene una implicación lógica. Si establecemos:
\[ p = \text{estudio} \]
y:
\[ q = \text{apruebo el examen} \]
entonces la proposición se representa como:
\[ p \rightarrow q \]
Por tanto, es compuesta.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Traduce a símbolos lógicos la siguiente proposición:
“Marco estudia y Laura lee.”
Usa:
\[ p = \text{Marco estudia} \]
\[ q = \text{Laura lee} \]
Solución
\[ p \land q \]
Resolución
La proposición contiene dos enunciados simples.
El primero es:
\[ \text{Marco estudia} \]
que se indica con:
\[ p \]
El segundo es:
\[ \text{Laura lee} \]
que se indica con:
\[ q \]
La palabra “y” indica que las dos proposiciones deben ser verdaderas simultáneamente.
En lógica proposicional esto corresponde a la conjunción:
\[ \land \]
Por tanto, la proposición:
“Marco estudia y Laura lee”
se traduce como:
\[ p \land q \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Traduce a símbolos lógicos la siguiente proposición:
“Si llueve, entonces me quedo en casa.”
Usa:
\[ p = \text{llueve} \]
\[ q = \text{me quedo en casa} \]
Solución
\[ p \rightarrow q \]
Resolución
La frase contiene una estructura condicional:
“Si ..., entonces ...”
En lógica proposicional esta estructura se representa mediante la implicación:
\[ \rightarrow \]
El antecedente es la proposición que sigue a la palabra “si”:
\[ p = \text{llueve} \]
El consecuente es la proposición que sigue a “entonces”:
\[ q = \text{me quedo en casa} \]
Por tanto, la proposición:
“Si llueve, entonces me quedo en casa”
se traduce como:
\[ p \rightarrow q \]
Es importante notar que \(p\rightarrow q\) no significa que \(p\) y \(q\) sean ambos verdaderos, sino que la verdad de \(p\) obliga a la verdad de \(q\).
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Traduce al lenguaje natural la fórmula:
\[ \neg p \lor q \]
sabiendo que:
\[ p = \text{estudio} \]
\[ q = \text{apruebo el examen} \]
Solución
“No estudio o apruebo el examen.”
Resolución
La fórmula es:
\[ \neg p \lor q \]
Analicemos los símbolos uno a uno.
La proposición \(p\) significa:
\[ \text{estudio} \]
Por tanto:
\[ \neg p \]
significa:
\[ \text{no estudio} \]
La proposición \(q\) significa:
\[ \text{apruebo el examen} \]
El conectivo:
\[ \lor \]
representa la disyunción inclusiva, es decir, “o”.
Por consiguiente:
\[ \neg p \lor q \]
se lee:
“No estudio o apruebo el examen.”
En lógica, esta disyunción es verdadera también en el caso en que ambas proposiciones sean verdaderas, es decir, en el caso en que sea verdadero que no estudio y sea verdadero que apruebo el examen.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Construye la tabla de verdad de la fórmula:
\[ p \land q \]
Solución
| \(p\) | \(q\) | \(p \land q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Resolución
La fórmula contiene dos variables proposicionales:
\[ p \qquad \text{y} \qquad q \]
Una tabla de verdad con dos variables debe contener:
\[ 2^2=4 \]
posibles interpretaciones.
El conectivo:
\[ \land \]
representa la conjunción lógica.
La conjunción es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas simultáneamente.
Analicemos las cuatro filas.
En la primera fila:
\[ p=V \qquad q=V \]
ambas proposiciones son verdaderas, por lo que:
\[ p\land q = V \]
En la segunda fila:
\[ p=V \qquad q=F \]
una de las dos proposiciones es falsa. En consecuencia, la conjunción es falsa:
\[ p\land q = F \]
Lo mismo ocurre en la tercera fila:
\[ p=F \qquad q=V \]
porque no ambas proposiciones son verdaderas.
Finalmente, en la última fila:
\[ p=F \qquad q=F \]
ambas son falsas, por lo que también la conjunción es falsa.
Concluimos pues que:
\[ p\land q \]
es verdadera exclusivamente en el caso:
\[ p=V \qquad q=V \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Construye la tabla de verdad de la fórmula:
\[ p \lor q \]
Solución
| \(p\) | \(q\) | \(p \lor q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Resolución
El símbolo:
\[ \lor \]
representa la disyunción lógica inclusiva.
La disyunción es verdadera cuando al menos una de las dos proposiciones es verdadera.
También en este caso, como hay dos variables, debemos considerar:
\[ 2^2=4 \]
posibles interpretaciones.
En la primera fila:
\[ p=V \qquad q=V \]
ambas proposiciones son verdaderas. Por tanto:
\[ p\lor q = V \]
En la segunda fila:
\[ p=V \qquad q=F \]
al menos una de las dos proposiciones es verdadera, por lo que:
\[ p\lor q = V \]
En la tercera fila:
\[ p=F \qquad q=V \]
también aquí al menos una de las dos proposiciones es verdadera. Por consiguiente:
\[ p\lor q = V \]
Solo en la última fila:
\[ p=F \qquad q=F \]
ambas proposiciones resultan falsas.
En consecuencia:
\[ p\lor q = F \]
Concluimos por tanto que la disyunción inclusiva es falsa solo cuando ambas proposiciones son falsas.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Construye la tabla de verdad de la fórmula:
\[ p \rightarrow q \]
Solución
| \(p\) | \(q\) | \(p \rightarrow q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Resolución
La implicación:
\[ p\rightarrow q \]
se lee:
“si \(p\), entonces \(q\)”.
Este conectivo es a menudo el más delicado de interpretar correctamente.
La implicación es falsa exclusivamente en el caso en que:
\[ p=V \]
y simultáneamente:
\[ q=F \]
De hecho, en este caso el antecedente es verdadero pero el consecuente resulta falso, por lo que la promesa lógica contenida en la implicación se viola.
Analicemos las cuatro posibilidades.
Primera fila:
\[ p=V \qquad q=V \]
La implicación es verdadera.
Segunda fila:
\[ p=V \qquad q=F \]
Este es el único caso en que la implicación es falsa:
\[ p\rightarrow q = F \]
Tercera fila:
\[ p=F \qquad q=V \]
La implicación se considera verdadera.
De hecho, cuando el antecedente es falso, la implicación no se viola.
Cuarta fila:
\[ p=F \qquad q=F \]
También aquí la implicación es verdadera, siempre porque el antecedente es falso.
Concluimos pues que:
\[ p\rightarrow q \]
es falsa solo cuando:
\[ p=V \qquad \text{y} \qquad q=F \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Determina el valor de verdad de la fórmula:
\[ (p\land q)\rightarrow r \]
en la interpretación:
\[ p=V,\qquad q=F,\qquad r=F \]
Solución
La fórmula es verdadera.
Resolución
Consideremos la fórmula:
\[ (p\land q)\rightarrow r \]
Para evaluar correctamente la fórmula debemos proceder de dentro hacia fuera.
La subfórmula más interna es:
\[ p\land q \]
Sustituyamos los valores asignados:
\[ p=V,\qquad q=F \]
Obtenemos:
\[ V\land F \]
Una conjunción es verdadera solo si ambas proposiciones son verdaderas.
Dado que una de las dos es falsa, se sigue:
\[ p\land q = F \]
La fórmula inicial se convierte por tanto en:
\[ F\rightarrow F \]
Recordemos que una implicación es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
Aquí en cambio el antecedente es falso.
Por tanto:
\[ F\rightarrow F = V \]
Concluimos por tanto que la fórmula es verdadera.
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Verifica mediante tabla de verdad que:
\[ \neg(p\land q)\equiv \neg p \lor \neg q \]
Solución
Las dos fórmulas tienen los mismos valores de verdad en toda interpretación, por lo que son lógicamente equivalentes.
Resolución
Para demostrar que dos fórmulas son lógicamente equivalentes debemos verificar que asuman siempre el mismo valor de verdad.
Construyamos por tanto una tabla de verdad completa.
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) | \(\neg(p\land q)\) | \(\neg p\) | \(\neg q\) | \(\neg p\lor \neg q\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | F |
| V | F | F | V | F | V | V |
| F | V | F | V | V | F | V |
| F | F | F | V | V | V | V |
Observemos ahora las dos últimas columnas:
\[ \neg(p\land q) \]
y:
\[ \neg p\lor\neg q \]
Coinciden en todas las filas de la tabla.
En consecuencia:
\[ \neg(p\land q)\equiv \neg p\lor\neg q \]
Esta equivalencia recibe el nombre de primera ley de De Morgan.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Verifica mediante tabla de verdad que:
\[ p\rightarrow q \equiv \neg p \lor q \]
Solución
Las dos fórmulas tienen los mismos valores de verdad en toda interpretación, por lo que son lógicamente equivalentes.
Resolución
Queremos comparar las dos fórmulas:
\[ p\rightarrow q \]
y:
\[ \neg p \lor q \]
Dos fórmulas son lógicamente equivalentes si asumen el mismo valor de verdad en todas las posibles interpretaciones.
Como aparecen dos variables proposicionales, \(p\) y \(q\), debemos considerar:
\[ 2^2=4 \]
interpretaciones.
| \(p\) | \(q\) | \(p\rightarrow q\) | \(\neg p\) | \(\neg p\lor q\) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V |
Comparemos ahora la columna de \(p\rightarrow q\) con la columna de \(\neg p\lor q\).
Los valores son los mismos en cada fila:
\[ V,\ F,\ V,\ V \]
Por tanto, las dos fórmulas son lógicamente equivalentes:
\[ p\rightarrow q \equiv \neg p \lor q \]
Esta equivalencia es muy importante porque permite eliminar la implicación y reescribirla usando solo negación y disyunción.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Determina si la fórmula:
\[ p\lor\neg p \]
es una tautología, una contradicción o una fórmula contingente.
Solución
La fórmula es una tautología.
Resolución
Una fórmula es una tautología si es verdadera en toda interpretación.
Una fórmula es una contradicción si es falsa en toda interpretación.
Una fórmula es contingente si es verdadera en algunas interpretaciones y falsa en otras.
Consideremos:
\[ p\lor\neg p \]
La fórmula contiene una sola variable proposicional, por lo que debemos considerar:
\[ 2^1=2 \]
interpretaciones.
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p\lor\neg p\) |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | V |
En la primera fila \(p\) es verdadera y por tanto la disyunción es verdadera.
En la segunda fila \(p\) es falsa, pero \(\neg p\) es verdadera; por lo que también en este caso la disyunción es verdadera.
La fórmula resulta verdadera en todas las interpretaciones.
Por tanto:
\[ p\lor\neg p \]
es una tautología.
Esta tautología recibe el nombre de principio del tercero excluido.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Determina si la fórmula:
\[ p\land\neg p \]
es una tautología, una contradicción o una fórmula contingente.
Resolución
La fórmula es una contradicción.
Resolución
Consideremos la fórmula:
\[ p\land\neg p \]
Esta afirma simultáneamente \(p\) y su negación.
Construyamos la tabla de verdad.
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p\land\neg p\) |
|---|---|---|
| V | F | F |
| F | V | F |
En la primera fila \(p\) es verdadera, pero \(\neg p\) es falsa. La conjunción es por tanto falsa.
En la segunda fila \(p\) es falsa, mientras que \(\neg p\) es verdadera. También en este caso la conjunción es falsa.
La fórmula resulta falsa en toda interpretación.
Por tanto:
\[ p\land\neg p \]
es una contradicción.
Esta ley recibe el nombre de principio de no contradicción.
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Determina si la fórmula:
\[ p\rightarrow(p\lor q) \]
es una tautología, una contradicción o una fórmula contingente.
Solución
La fórmula es una tautología.
Resolución
Para clasificar la fórmula debemos construir su tabla de verdad completa.
La fórmula es:
\[ p\rightarrow(p\lor q) \]
La subfórmula interna a calcular es:
\[ p\lor q \]
Construyamos la tabla:
| \(p\) | \(q\) | \(p\lor q\) | \(p\rightarrow(p\lor q)\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | V | V |
| F | V | V | V |
| F | F | F | V |
Analicemos la columna final.
Contiene solo valores verdaderos:
\[ V,\ V,\ V,\ V \]
Por tanto, la fórmula es verdadera en toda interpretación.
Por consiguiente:
\[ p\rightarrow(p\lor q) \]
es una tautología.
Desde el punto de vista intuitivo, si \(p\) es verdadera, entonces es ciertamente verdadera también la disyunción \(p\lor q\), porque una disyunción inclusiva es verdadera cuando al menos uno de sus componentes es verdadero.
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Determina si la fórmula:
\[ (p\land q)\rightarrow p \]
es una tautología, una contradicción o una fórmula contingente.
Solución
La fórmula es una tautología.
Resolución
La fórmula a analizar es:
\[ (p\land q)\rightarrow p \]
Contiene una conjunción en el primer miembro de la implicación. Antes de evaluar la implicación, debemos calcular:
\[ p\land q \]
Construyamos la tabla de verdad completa:
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) | \((p\land q)\rightarrow p\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
Observemos la columna final:
\[ V,\ V,\ V,\ V \]
La fórmula es verdadera en todas las interpretaciones.
Por tanto:
\[ (p\land q)\rightarrow p \]
es una tautología.
El significado lógico es simple: si son verdaderas simultáneamente \(p\) y \(q\), entonces en particular es verdadera \(p\).
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Verifica si:
\[ p\land q \models p \]
Solución
Sí, \(p\) es consecuencia lógica de \(p\land q\).
Resolución
Escribir:
\[ p\land q \models p \]
significa afirmar que toda interpretación que hace verdadera la premisa \(p\land q\) hace verdadera también la conclusión \(p\).
Debemos por tanto considerar las interpretaciones en las que:
\[ p\land q \]
es verdadera.
Una conjunción es verdadera solo cuando ambos miembros son verdaderos. Por tanto:
\[ p\land q = V \quad \Longleftrightarrow \quad p=V \ \text{y}\ q=V \]
En toda interpretación en la que \(p\land q\) es verdadera, resulta necesariamente:
\[ p=V \]
Por lo tanto, no existe ninguna interpretación en la que la premisa sea verdadera y la conclusión sea falsa.
Por consiguiente:
\[ p\land q \models p \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Verifica si:
\[ p \models p\lor q \]
Solución
Sí, \(p\lor q\) es consecuencia lógica de \(p\).
Resolución
La notación:
\[ p \models p\lor q \]
significa que toda interpretación que hace verdadera la premisa \(p\) debe hacer verdadera también la conclusión \(p\lor q\).
Supongamos por tanto que la premisa es verdadera:
\[ p=V \]
La conclusión es:
\[ p\lor q \]
Una disyunción inclusiva es verdadera cuando al menos una de las dos proposiciones es verdadera.
Dado que \(p\) ya es verdadera, la disyunción:
\[ p\lor q \]
es necesariamente verdadera, independientemente del valor de \(q\).
De hecho:
\[ V\lor V=V \]
y:
\[ V\lor F=V \]
Por tanto, todo modelo de \(p\) es también un modelo de \(p\lor q\).
Por consiguiente:
\[ p \models p\lor q \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Verifica si:
\[ p\rightarrow q,\ p \models q \]
Solución
Sí, \(q\) es consecuencia lógica de las premisas \(p\rightarrow q\) y \(p\).
Resolución
La notación:
\[ p\rightarrow q,\ p \models q \]
significa que toda interpretación que hace verdaderas ambas premisas debe hacer verdadera también la conclusión.
Las premisas son:
\[ p\rightarrow q \]
y:
\[ p \]
Supongamos pues que ambas son verdaderas.
De la segunda premisa sabemos que:
\[ p=V \]
Además, la primera premisa afirma que:
\[ p\rightarrow q=V \]
Recordemos que una implicación con antecedente verdadero es verdadera solo si también el consecuente es verdadero.
Dado que el antecedente \(p\) es verdadero, para mantener verdadera la implicación debe ser necesariamente:
\[ q=V \]
Por tanto, toda interpretación que hace verdaderas las premisas hace verdadera también la conclusión.
Por consiguiente:
\[ p\rightarrow q,\ p \models q \]
Esta es la forma semántica del modus ponens.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Reduce la siguiente fórmula usando equivalencias lógicas:
\[ \neg(p\rightarrow q) \]
Solución
\[ \neg(p\rightarrow q)\equiv p\land\neg q \]
Resolución
Partimos de la fórmula:
\[ \neg(p\rightarrow q) \]
Para simplificarla, eliminamos primero la implicación.
Recordemos la equivalencia fundamental:
\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]
Sustituyendo obtenemos:
\[ \neg(p\rightarrow q)\equiv \neg(\neg p\lor q) \]
Ahora aplicamos la ley de De Morgan:
\[ \neg(A\lor B)\equiv \neg A\land\neg B \]
En nuestro caso:
\[ A=\neg p \qquad \text{y} \qquad B=q \]
Por tanto:
\[ \neg(\neg p\lor q)\equiv \neg\neg p\land\neg q \]
Finalmente usamos la doble negación:
\[ \neg\neg p\equiv p \]
Obtenemos:
\[ \neg(p\rightarrow q)\equiv p\land\neg q \]
El resultado es coherente también con el significado de la implicación: \(p\rightarrow q\) es falsa solo cuando \(p\) es verdadera y \(q\) es falsa.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Transforma la fórmula:
\[ p\rightarrow(q\lor r) \]
en una fórmula equivalente sin el conectivo \(\rightarrow\).
Solución
\[ p\rightarrow(q\lor r)\equiv \neg p\lor q\lor r \]
Resolución
La fórmula de partida es:
\[ p\rightarrow(q\lor r) \]
Queremos eliminar el conectivo de implicación.
Usamos la equivalencia:
\[ A\rightarrow B\equiv \neg A\lor B \]
En nuestro caso:
\[ A=p \]
y:
\[ B=q\lor r \]
Aplicando la equivalencia obtenemos:
\[ p\rightarrow(q\lor r)\equiv \neg p\lor(q\lor r) \]
Por asociatividad de la disyunción, podemos omitir los paréntesis:
\[ \neg p\lor(q\lor r)\equiv \neg p\lor q\lor r \]
Por tanto, la fórmula equivalente sin implicación es:
\[ \neg p\lor q\lor r \]
Esta fórmula es una cláusula disyuntiva, es decir, una disyunción de literales, y puede verse también como una forma normal conjuntiva compuesta por una sola cláusula.