Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre monomios y polinomios, pensada para comprender de manera rigurosa las estructuras fundamentales del álgebra elemental. Los ejercicios abordan gradualmente el reconocimiento de los monomios, el cálculo del grado, las operaciones entre monomios y polinomios, los productos notables y las primeras técnicas de factorización.
Cada resolución está construida paso a paso, con explicaciones que aclaran no solo los cálculos que deben realizarse, sino también el motivo por el que determinadas reglas pueden aplicarse.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la siguiente expresión es un monomio:
\[ 5x^2y^3 \]
Resultado
Sí, es un monomio.
Resolución
Un monomio es una expresión obtenida como producto de un coeficiente numérico y potencias de variables cuyos exponentes son números enteros no negativos.
En la expresión:
\[ 5x^2y^3 \]
el coeficiente numérico es \(5\), y las variables son \(x\) y \(y\).
Los exponentes de las variables son:
\[ 2 \qquad \text{y} \qquad 3. \]
Ambos son números enteros no negativos. No aparecen radicales ni exponentes negativos o fraccionarios.
Por tanto, la expresión satisface todas las condiciones requeridas para ser un monomio.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si:
\[ \frac{3}{x} \]
es un monomio.
Resultado
No, no es un monomio.
Resolución
Para verificar si una expresión es un monomio, conviene reescribirla utilizando las propiedades de las potencias.
En efecto, se observa que:
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
Aparece entonces la potencia:
\[ x^{-1}, \]
cuyo exponente es negativo.
Un monomio solo puede contener exponentes enteros no negativos. La presencia de un exponente negativo viola, por tanto, la propia definición de monomio.
Por este motivo:
\[ \frac{3}{x} \]
no es un monomio.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar el grado del monomio:
\[ -7x^3y^2z \]
Resultado
El grado del monomio es \(6\).
Resolución
El grado total de un monomio no nulo se obtiene sumando los exponentes de todas las variables presentes en la parte literal.
En el monomio:
\[ -7x^3y^2z \]
las variables aparecen con los siguientes exponentes:
\[ x^3, \qquad y^2, \qquad z^1. \]
El exponente de la variable \(z\) es implícitamente \(1\), ya que:
\[ z=z^1. \]
Se suman entonces los exponentes:
\[ 3+2+1=6. \]
El monomio tiene, por tanto, grado total:
\[ 6. \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si los siguientes monomios son semejantes:
\[ 4x^2y^3 \qquad \text{y} \qquad -9x^2y^3 \]
Resultado
Sí, los dos monomios son semejantes.
Resolución
Dos monomios se llaman semejantes cuando tienen exactamente la misma parte literal. Esto significa que deben aparecer las mismas variables con los mismos exponentes.
La parte literal del primer monomio es:
\[ x^2y^3. \]
En el segundo monomio aparece exactamente la misma parte literal:
\[ x^2y^3. \]
Solo difieren los coeficientes numéricos, que son respectivamente:
\[ 4 \qquad \text{y} \qquad -9. \]
Dado que la parte literal coincide exactamente, los dos monomios son semejantes.
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) \]
Resultado
\[ -10x^5y^5 \]
Resolución
En el producto de monomios se multiplican primero los coeficientes numéricos y después se aplican las propiedades de las potencias a las variables iguales.
Se calculan entonces los coeficientes:
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Para las variables se utiliza la propiedad:
\[ x^a\cdot x^b=x^{a+b}. \]
Para la variable \(x\) se obtiene:
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Para la variable \(y\):
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
Reuniendo todos los factores:
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4)=-10x^5y^5. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y} \]
Resultado
\[ 4x^3y^2 \]
Resolución
En la división de monomios se dividen primero los coeficientes numéricos y después se aplica la propiedad de las potencias:
\[ \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}. \]
Se comienza por los coeficientes:
\[ \frac{12}{3}=4. \]
Para la variable \(x\):
\[ \frac{x^5}{x^2}=x^{5-2}=x^3. \]
Para la variable \(y\):
\[ \frac{y^3}{y}=y^{3-1}=y^2. \]
Todos los exponentes obtenidos siguen siendo no negativos, por lo que el resultado es de nuevo un monomio.
Se obtiene así:
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y}=4x^3y^2. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Reducir el siguiente polinomio:
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 \]
Resultado
\[ 5x^2-x+6 \]
Resolución
Reducir un polinomio consiste en sumar entre sí los términos semejantes, es decir, aquellos que tienen la misma parte literal.
Se observa que:
\[ 3x^2 \qquad \text{y} \qquad 2x^2 \]
son términos semejantes, porque ambos contienen \(x^2\). Su suma es:
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
También:
\[ -5x \qquad \text{y} \qquad 4x \]
son términos semejantes. Sumando los coeficientes se obtiene:
\[ -5x+4x=-x. \]
Por último, se suman los términos constantes:
\[ 7-1=6. \]
El polinomio reducido es, por tanto:
\[ 5x^2-x+6. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el grado del polinomio:
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
Resultado
El grado del polinomio es \(5\).
Resolución
El grado de un polinomio no nulo coincide con el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
En el polinomio:
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
el término de mayor grado es:
\[ 4x^5, \]
puesto que contiene la potencia \(x^5\).
Los demás términos tienen grado inferior:
\[ -2x^3 \]
tiene grado \(3\),
\[ x \]
tiene grado \(1\), mientras que:
\[ -9 \]
es un término constante y, por tanto, tiene grado \(0\).
El grado máximo presente es, por tanto:
\[ 5. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Desarrollar:
\[ (x+3)(x+5) \]
Resultado
\[ x^2+8x+15 \]
Resolución
Para desarrollar el producto de dos binomios se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.
Se multiplica entonces cada término del primer binomio por cada término del segundo:
\[ (x+3)(x+5)=x(x+5)+3(x+5). \]
Se realizan ahora los productos:
\[ x(x+5)=x^2+5x, \]
y:
\[ 3(x+5)=3x+15. \]
Sumando los resultados:
\[ x^2+5x+3x+15. \]
Los términos:
\[ 5x \qquad \text{y} \qquad 3x \]
son semejantes y pueden sumarse:
\[ 5x+3x=8x. \]
Se obtiene así:
\[ (x+3)(x+5)=x^2+8x+15. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Desarrollar:
\[ (2x-1)(x+4) \]
Resultado
\[ 2x^2+7x-4 \]
Resolución
También en este caso se utiliza la propiedad distributiva.
Se multiplica cada término del primer binomio por cada término del segundo:
\[ (2x-1)(x+4)=2x(x+4)-1(x+4). \]
Se desarrollan ahora los productos:
\[ 2x(x+4)=2x^2+8x, \]
mientras que:
\[ -1(x+4)=-x-4. \]
Sumando todo:
\[ 2x^2+8x-x-4. \]
Los términos:
\[ 8x \qquad \text{y} \qquad -x \]
son semejantes. Su suma es:
\[ 8x-x=7x. \]
El resultado final es, por tanto:
\[ 2x^2+7x-4. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Desarrollar:
\[ (x+2)^2 \]
Resultado
\[ x^2+4x+4 \]
Resolución
La expresión:
\[ (x+2)^2 \]
representa el cuadrado de un binomio.
Es importante recordar que el cuadrado de una suma no se obtiene elevando al cuadrado cada término por separado. La fórmula correcta es:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
En nuestro caso:
\[ a=x, \qquad b=2. \]
Sustituyendo en la fórmula:
\[ (x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2. \]
Se calculan ahora los términos individuales:
\[ 2\cdot x\cdot2=4x, \]
y:
\[ 2^2=4. \]
Se obtiene entonces:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★☆☆☆
Desarrollar:
\[ (x-5)^2 \]
Resultado
\[ x^2-10x+25 \]
Resolución
La expresión:
\[ (x-5)^2 \]
es el cuadrado de una diferencia.
Se aplica entonces la fórmula:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
En este caso:
\[ a=x, \qquad b=5. \]
Sustituyendo:
\[ (x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2. \]
Se realizan ahora los cálculos:
\[ 2\cdot x\cdot5=10x, \]
y:
\[ 5^2=25. \]
Por tanto:
\[ (x-5)^2=x^2-10x+25. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★☆☆☆
Desarrollar:
\[ (x+3)(x-3) \]
Resultado
\[ x^2-9 \]
Resolución
El producto:
\[ (x+3)(x-3) \]
está formado por la suma y la diferencia de los mismos dos términos.
En estos casos se aplica el producto notable denominado diferencia de cuadrados:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
En nuestro caso:
\[ a=x, \qquad b=3. \]
Aplicando directamente la fórmula:
\[ (x+3)(x-3)=x^2-3^2. \]
Puesto que:
\[ 3^2=9, \]
se obtiene:
\[ x^2-9. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Desarrollar:
\[ (2x-3)^2 \]
Resultado
\[ 4x^2-12x+9 \]
Resolución
Esta expresión representa también el cuadrado de una diferencia.
Se aplica entonces:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
En este caso:
\[ a=2x, \qquad b=3. \]
Sustituyendo:
\[ (2x-3)^2=(2x)^2-2(2x)(3)+3^2. \]
Se calculan ahora los distintos términos.
El cuadrado del primer término es:
\[ (2x)^2=4x^2. \]
El doble producto vale:
\[ 2(2x)(3)=12x. \]
Por último:
\[ 3^2=9. \]
Por tanto:
\[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Calcular el valor numérico del polinomio:
\[ P(x)=2x^2-3x+1 \]
para:
\[ x=4. \]
Resultado
\[ 21 \]
Resolución
Calcular el valor numérico de un polinomio consiste en sustituir la variable por el número dado.
Se sustituye entonces:
\[ x=4 \]
en la expresión:
\[ P(x)=2x^2-3x+1. \]
Se obtiene:
\[ P(4)=2\cdot4^2-3\cdot4+1. \]
Se calcula primero la potencia:
\[ 4^2=16. \]
Por tanto:
\[ P(4)=2\cdot16-12+1. \]
Se realizan ahora las operaciones:
\[ 2\cdot16=32, \]
y por tanto:
\[ 32-12+1=21. \]
El valor numérico pedido es, por tanto:
\[ 21. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Determinar los ceros del polinomio:
\[ x^2-7x+12 \]
Resultado
\[ x=3, \qquad x=4 \]
Resolución
Determinar los ceros de un polinomio consiste en hallar los valores de la variable que anulan el polinomio.
Es necesario, por tanto, resolver la ecuación:
\[ x^2-7x+12=0. \]
Se busca una factorización del trinomio de la forma:
\[ (x-a)(x-b). \]
Desarrollando el producto se obtiene:
\[ x^2-(a+b)x+ab. \]
Comparando con:
\[ x^2-7x+12, \]
hay que encontrar dos números tales que:
\[ a+b=7 \]
y simultáneamente:
\[ ab=12. \]
Los números que satisfacen ambas condiciones son:
\[ 3 \qquad \text{y} \qquad 4. \]
Por tanto:
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
Un producto es nulo si al menos uno de sus factores es nulo. Se obtiene entonces:
\[ x-3=0 \qquad \text{o bien} \qquad x-4=0. \]
Las soluciones son:
\[ x=3, \qquad x=4. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★☆☆
Verificar si:
\[ x=2 \]
es un cero del polinomio:
\[ P(x)=x^3-4x^2+x+6. \]
Resultado
Sí, \(2\) es un cero del polinomio.
Resolución
Un número real es un cero de un polinomio si, al sustituirlo en la variable, el valor del polinomio resulta igual a cero.
Es necesario, por tanto, calcular:
\[ P(2). \]
Se sustituye \(x=2\):
\[ P(2)=2^3-4\cdot2^2+2+6. \]
Se calculan ahora las potencias:
\[ 2^3=8, \qquad 2^2=4. \]
Por tanto:
\[ P(2)=8-4\cdot4+2+6. \]
Se calcula el producto:
\[ 4\cdot4=16. \]
Se obtiene entonces:
\[ P(2)=8-16+2+6. \]
Sumando:
\[ 8-16=-8, \]
y a continuación:
\[ -8+2+6=0. \]
Puesto que:
\[ P(2)=0, \]
el número \(2\) es efectivamente un cero del polinomio.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Realizar la división mediante la regla de Ruffini:
\[ x^3-6x^2+11x-6 \]
dividido entre:
\[ x-1. \]
Resultado
Cociente:
\[ x^2-5x+6 \]
Resto:
\[ 0 \]
Resolución
En la regla de Ruffini se utiliza el valor:
\[ r=1, \]
ya que el divisor es:
\[ x-1. \]
Se escriben los coeficientes del polinomio:
\[ 1, \qquad -6, \qquad 11, \qquad -6. \]
Se construye entonces el esquema de Ruffini:
\[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
El número final obtenido es:
\[ 0, \]
que representa el resto de la división.
Los coeficientes:
\[ 1, \qquad -5, \qquad 6 \]
forman el polinomio cociente:
\[ x^2-5x+6. \]
Por tanto:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Factorizar:
\[ x^2-9x+20 \]
Resultado
\[ (x-4)(x-5) \]
Resolución
Se quiere escribir el trinomio en la forma:
\[ (x-a)(x-b). \]
Desarrollando el producto:
\[ (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab. \]
Comparando con:
\[ x^2-9x+20, \]
hay que encontrar dos números tales que:
\[ a+b=9 \]
y:
\[ ab=20. \]
Los números requeridos son:
\[ 4 \qquad \text{y} \qquad 5. \]
Se obtiene entonces:
\[ x^2-9x+20=(x-4)(x-5). \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Factorizar completamente:
\[ x^3-6x^2+11x-6. \]
Resultado
\[ (x-1)(x-2)(x-3) \]
Resolución
Se buscan, en primer lugar, posibles ceros enteros del polinomio.
Puesto que el término independiente es:
\[ -6, \]
los posibles ceros enteros deben pertenecer al conjunto de los divisores de \(6\):
\[ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6. \]
Se comprueba que:
\[ P(1)=0. \]
Esto significa que:
\[ x-1 \]
es un factor del polinomio.
Aplicando la regla de Ruffini se obtiene:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Queda ahora por factorizar el trinomio:
\[ x^2-5x+6. \]
Se buscan dos números con suma \(5\) y producto \(6\). Dichos números son:
\[ 2 \qquad \text{y} \qquad 3. \]
Por tanto:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
La factorización completa del polinomio es, por tanto:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]