Las operaciones con conjuntos permiten construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos dados. Las operaciones fundamentales son la unión, la intersección, la diferencia, el complementario y la diferencia simétrica.
Junto a estas operaciones, desempeña también un papel importante el producto cartesiano, que no construye un conjunto formado simplemente por los elementos de los conjuntos de partida, sino un conjunto de pares ordenados.
En esta página introducimos las principales operaciones con conjuntos, damos sus definiciones formales, analizamos algunos ejemplos y reunimos las propiedades fundamentales del álgebra de conjuntos.
Índice
- Conjuntos y Pertenencia
- Unión de Conjuntos
- Intersección de Conjuntos
- Diferencia de Conjuntos
- Complementario de un Conjunto
- Diferencia Simétrica
- Producto Cartesiano
- Propiedades Fundamentales de las Operaciones con Conjuntos
- Diagramas de Venn
Conjuntos y Pertenencia
Antes de introducir las operaciones con conjuntos, recordemos algunas nociones fundamentales. Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos. Los elementos de un conjunto se consideran distintos: el orden en que se enumeran es irrelevante y un elemento repetido se cuenta una sola vez.
Para indicar que un elemento \(x\) pertenece a un conjunto \(A\), se escribe
\[ x \in A. \]
Para indicar, en cambio, que \(x\) no pertenece a \(A\), se escribe
\[ x \notin A. \]
Por ejemplo, si
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \]
entonces
\[ 3\in A, \qquad 7\notin A. \]
Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos. Por ejemplo,
\[ \{1,2,3\}=\{3,2,1\}. \]
Esto se debe a que, en los conjuntos, el orden de los elementos no cuenta.
Emplearemos además el símbolo \(\emptyset\) para designar el conjunto vacío, es decir, el conjunto que no contiene ningún elemento.
Por último, si todo elemento de un conjunto \(A\) pertenece también a un conjunto \(B\), decimos que \(A\) es un subconjunto de \(B\) y escribimos
\[ A\subseteq B. \]
Estas nociones permiten definir con precisión las principales operaciones con conjuntos.
Unión de Conjuntos
Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), la unión de \(A\) y \(B\) es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.
La unión de \(A\) y \(B\) se denota por
\[ A\cup B. \]
Formalmente,
\[ A\cup B=\{x:x\in A \text{ o } x\in B\}. \]
La palabra «o» debe entenderse en sentido inclusivo: un elemento pertenece a \(A\cup B\) si pertenece a \(A\), o pertenece a \(B\), o pertenece a ambos.
Por ejemplo, sean
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Entonces
\[ A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}. \]
Los elementos \(3\) y \(4\), aun perteneciendo a ambos conjuntos, aparecen una sola vez en la unión. En efecto, en un conjunto no se tienen en cuenta las repeticiones.
Propiedades de la unión
La unión de conjuntos satisface algunas propiedades fundamentales.
- Propiedad conmutativa: \[ A\cup B=B\cup A. \]
- Propiedad asociativa: \[ (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C). \]
- Propiedad idempotente: \[ A\cup A=A. \]
- Elemento neutro: \[ A\cup\emptyset=A. \]
La propiedad conmutativa muestra que el orden de los conjuntos no influye en la unión. La propiedad asociativa permite, en cambio, escribir la unión de tres conjuntos sin ambigüedad, omitiendo los paréntesis:
\[ A\cup B\cup C. \]
Intersección de Conjuntos
Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), la intersección de \(A\) y \(B\) es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a \(A\) y a \(B\).
La intersección de \(A\) y \(B\) se denota por
\[ A\cap B. \]
Formalmente,
\[ A\cap B=\{x:x\in A \text{ y } x\in B\}. \]
Así pues, un elemento pertenece a \(A\cap B\) si y solo si pertenece tanto a \(A\) como a \(B\).
Por ejemplo, sean
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\}. \]
Los elementos comunes a ambos conjuntos son \(3\), \(4\) y \(5\). Por tanto,
\[ A\cap B=\{3,4,5\}. \]
Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos \(A\) y \(B\) se dicen disjuntos si no tienen elementos en común, es decir, si su intersección es el conjunto vacío:
\[ A\cap B=\emptyset. \]
Por ejemplo, si
\[ A=\{1,3,5\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \]
entonces
\[ A\cap B=\emptyset. \]
En efecto, ningún elemento de \(A\) pertenece también a \(B\).
Propiedades de la intersección
La intersección de conjuntos satisface propiedades análogas a las de la unión.
- Propiedad conmutativa: \[ A\cap B=B\cap A. \]
- Propiedad asociativa: \[ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C). \]
- Propiedad idempotente: \[ A\cap A=A. \]
- Elemento absorbente: \[ A\cap\emptyset=\emptyset. \]
La propiedad conmutativa muestra que el orden de los conjuntos no influye en la intersección. La propiedad asociativa permite, en cambio, escribir la intersección de tres conjuntos sin ambigüedad, omitiendo los paréntesis:
\[ A\cap B\cap C. \]
Diferencia de Conjuntos
Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), la diferencia de \(A\) y \(B\) es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a \(A\) pero no pertenecen a \(B\).
La diferencia de \(A\) y \(B\) se denota por
\[ A\setminus B. \]
Formalmente,
\[ A\setminus B=\{x:x\in A \text{ y } x\notin B\}. \]
Así pues, un elemento pertenece a \(A\setminus B\) si y solo si pertenece al primer conjunto y no pertenece al segundo.
Por ejemplo, sean
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\) son \(1\) y \(2\). Por tanto,
\[ A\setminus B=\{1,2\}. \]
En cambio, el único elemento de \(B\) que no pertenece a \(A\) es \(6\). Por tanto,
\[ B\setminus A=\{6\}. \]
La diferencia no es conmutativa
En general, la diferencia de conjuntos no es conmutativa. En efecto, al cambiar el orden de los conjuntos, el resultado puede cambiar:
\[ A\setminus B\neq B\setminus A. \]
En el ejemplo anterior obtuvimos, de hecho,
\[ A\setminus B=\{1,2\}, \qquad B\setminus A=\{6\}. \]
Esto muestra que, en la diferencia de conjuntos, el primer conjunto desempeña un papel distinto del segundo: \(A\setminus B\) contiene lo que queda de \(A\) tras excluir los elementos que pertenecen también a \(B\).
Casos particulares
Para todo conjunto \(A\), se cumplen las siguientes propiedades:
- \[ A\setminus\emptyset=A. \]
- \[ A\setminus A=\emptyset. \]
- \[ \emptyset\setminus A=\emptyset. \]
La primera propiedad dice que quitar de \(A\) los elementos del conjunto vacío no modifica \(A\). La segunda dice que, al quitar de \(A\) todos los elementos de \(A\), no queda ningún elemento. La tercera dice que del conjunto vacío no puede obtenerse ningún elemento mediante una diferencia.
Complementario de un Conjunto
Para definir el complementario de un conjunto es necesario fijar un conjunto universal, es decir, un conjunto \(U\) dentro del cual estamos trabajando.
Si \(A\) es un subconjunto de \(U\), el complementario de \(A\) respecto de \(U\) es el conjunto formado por todos los elementos de \(U\) que no pertenecen a \(A\).
El complementario de \(A\) se denota a menudo por
\[ A^c. \]
Formalmente,
\[ A^c=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}. \]
Así pues, un elemento pertenece a \(A^c\) si y solo si pertenece al conjunto universal \(U\) pero no pertenece a \(A\).
Por ejemplo, sea
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
y sea
\[ A=\{2,4,6,8,10\}. \]
Entonces el complementario de \(A\) respecto de \(U\) es
\[ A^c=\{1,3,5,7,9\}. \]
En efecto, \(A^c\) contiene todos y solo aquellos elementos de \(U\) que no pertenecen a \(A\).
Dependencia del conjunto universal
El complementario de un conjunto no depende únicamente del conjunto \(A\), sino también del conjunto universal \(U\) elegido.
Por ejemplo, si
\[ A=\{2,4,6\} \]
y tomamos como universal
\[ U=\{1,2,3,4,5,6\}, \]
entonces
\[ A^c=\{1,3,5\}. \]
Si, en cambio, tomamos como universal
\[ V=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, \]
entonces el complementario de \(A\) respecto de \(V\) es
\[ V\setminus A=\{1,3,5,7,8\}. \]
Por este motivo, cuando se habla de complementario, el conjunto universal debe quedar claro por el contexto o declararse de manera explícita.
Propiedades del complementario
Si \(A\subseteq U\), entonces se cumplen las siguientes propiedades:
- \[ A\cup A^c=U. \]
- \[ A\cap A^c=\emptyset. \]
- \[ (A^c)^c=A. \]
- \[ \emptyset^c=U. \]
- \[ U^c=\emptyset. \]
La primera propiedad dice que todo elemento del universo pertenece a \(A\) o a su complementario. La segunda dice, en cambio, que ningún elemento puede pertenecer simultáneamente a \(A\) y al complementario de \(A\).
Diferencia Simétrica
Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), la diferencia simétrica de \(A\) y \(B\) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a \(A\) o a \(B\), pero no a ambos.
La diferencia simétrica de \(A\) y \(B\) se denota por
\[ A\triangle B. \]
Formalmente,
\[ A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A). \]
De forma equivalente, se puede escribir
\[ A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B). \]
Esta segunda fórmula muestra que la diferencia simétrica se obtiene tomando la unión de \(A\) y \(B\) y eliminando los elementos comunes a ambos conjuntos.
Por ejemplo, sean
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Los elementos que pertenecen a \(A\) pero no a \(B\) son \(1\) y \(2\), mientras que los que pertenecen a \(B\) pero no a \(A\) son \(5\) y \(6\). Por tanto,
\[ A\triangle B=\{1,2,5,6\}. \]
Los elementos \(3\) y \(4\), por ser comunes a ambos conjuntos, no pertenecen a la diferencia simétrica.
Propiedades de la diferencia simétrica
La diferencia simétrica satisface algunas propiedades fundamentales.
- Propiedad conmutativa: \[ A\triangle B=B\triangle A. \]
- Propiedad asociativa: \[ (A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C). \]
- Elemento neutro: \[ A\triangle\emptyset=A. \]
- Diferencia simétrica de un conjunto consigo mismo: \[ A\triangle A=\emptyset. \]
La propiedad conmutativa se debe a que, en la diferencia simétrica, no importa cuál de los dos conjuntos contiene el elemento, sino únicamente que el elemento pertenezca a uno solo de los dos.
La propiedad \(A\triangle A=\emptyset\), en cambio, expresa el hecho de que todo elemento de \(A\) pertenece a ambos conjuntos considerados, de modo que ningún elemento pertenece a uno solo de los dos.
Producto Cartesiano
Las operaciones consideradas hasta ahora producen conjuntos cuyos elementos son de nuevo elementos de los conjuntos de partida, o del conjunto universal fijado. El producto cartesiano tiene una naturaleza distinta: construye un conjunto de pares ordenados.
Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), el producto cartesiano de \(A\) y \(B\) es el conjunto de todos los pares ordenados \((a,b)\) cuyo primer elemento pertenece a \(A\) y cuyo segundo elemento pertenece a \(B\).
El producto cartesiano de \(A\) y \(B\) se denota por
\[ A\times B. \]
Formalmente,
\[ A\times B=\{(a,b):a\in A \text{ y } b\in B\}. \]
Así pues, para construir \(A\times B\), cada elemento de \(A\) se asocia con cada uno de los elementos de \(B\), respetando el orden del par.
Por ejemplo, sean
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{3,4,5\}. \]
Entonces
\[ A\times B=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}. \]
En cada par, el primer elemento procede de \(A\), mientras que el segundo procede de \(B\).
Pares ordenados
En el producto cartesiano, el orden de los elementos del par es esencial. En general,
\[ (a,b)\neq(b,a). \]
Por ejemplo,
\[ (1,3)\neq(3,1). \]
En consecuencia, en general el producto cartesiano no es conmutativo:
\[ A\times B\neq B\times A. \]
En efecto, \(A\times B\) está formado por pares cuyo primer elemento pertenece a \(A\) y cuyo segundo pertenece a \(B\), mientras que \(B\times A\) está formado por pares cuyo primer elemento pertenece a \(B\) y cuyo segundo a \(A\).
El producto cartesiano y el plano cartesiano
Un ejemplo fundamental de producto cartesiano es
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R}. \]
Este conjunto está formado por todos los pares ordenados \((x,y)\) en los que \(x\) e \(y\) son números reales:
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\{(x,y):x\in\mathbb{R} \text{ e } y\in\mathbb{R}\}. \]
El conjunto \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) se denota también por \(\mathbb{R}^2\) y representa el plano cartesiano.
Propiedades del producto cartesiano
El producto cartesiano satisface algunas propiedades útiles.
- Producto con el conjunto vacío: \[ A\times\emptyset=\emptyset, \qquad \emptyset\times A=\emptyset. \]
- Distributividad respecto de la unión: \[ A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C). \]
- Distributividad respecto de la intersección: \[ A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C). \]
Si \(A\) y \(B\) son conjuntos finitos, entonces el número de elementos del producto cartesiano viene dado por
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
En efecto, por cada elemento de \(A\) pueden formarse tantos pares como elementos tenga \(B\).
Propiedades Fundamentales de las Operaciones con Conjuntos
Las operaciones con conjuntos satisfacen algunas propiedades fundamentales. Estas propiedades permiten transformar y simplificar expresiones conjuntistas, de manera análoga a lo que ocurre con las propiedades de las operaciones con números.
En esta sección suponemos que \(A\), \(B\) y \(C\) son conjuntos contenidos en un mismo conjunto universal \(U\).
Propiedades de la unión y la intersección
| Propiedad | Unión | Intersección |
|---|---|---|
| Conmutativa | \(A \cup B = B \cup A\) | \(A \cap B = B \cap A\) |
| Asociativa | \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\) | \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\) |
| Idempotente | \(A \cup A = A\) | \(A \cap A = A\) |
| Elemento neutro | \(A \cup \varnothing = A\) | \(A \cap U = A\) |
| Elemento absorbente | \(A \cup U = U\) | \(A \cap \varnothing = \varnothing\) |
La tabla muestra una simetría importante: muchas propiedades de la unión tienen una propiedad correspondiente para la intersección. Esta correspondencia se denomina dualidad entre la unión y la intersección.
Propiedades distributivas
La unión y la intersección están ligadas también por las propiedades distributivas:
\[ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C). \]
\[ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C). \]
La primera fórmula expresa la distributividad de la unión respecto de la intersección. La segunda expresa la distributividad de la intersección respecto de la unión.
Leyes de absorción
Se cumplen además las siguientes leyes de absorción:
\[ A\cup(A\cap B)=A. \]
\[ A\cap(A\cup B)=A. \]
La primera igualdad dice que añadir a \(A\) una parte ya contenida en \(A\) no modifica el conjunto. La segunda dice que intersecar \(A\) con un conjunto que contiene con certeza a \(A\) deja \(A\) invariable.
Leyes del complementario
Para el complementario se cumplen las siguientes propiedades:
\[ A\cup A^c=U. \]
\[ A\cap A^c=\emptyset. \]
\[ (A^c)^c=A. \]
Asimismo, se cumplen las leyes de De Morgan:
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c. \]
\[ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
Las leyes de De Morgan muestran cómo el complementario transforma la unión en intersección y la intersección en unión.
Todas estas propiedades constituyen las reglas básicas del álgebra de conjuntos y son fundamentales para trabajar de manera rigurosa con expresiones conjuntistas.
Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn son representaciones gráficas empleadas para visualizar conjuntos y operaciones con conjuntos.
En un diagrama de Venn, el conjunto universal \(U\) se representa habitualmente mediante un rectángulo, mientras que los conjuntos contenidos en \(U\) se representan mediante regiones cerradas, a menudo círculos u óvalos.
Para dos conjuntos \(A\) y \(B\), las regiones del diagrama permiten visualizar de inmediato las principales operaciones:
- \(A\cup B\) corresponde a la región formada por los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos;
- \(A\cap B\) corresponde a la región común a \(A\) y \(B\);
- \(A\setminus B\) corresponde a la parte de \(A\) que no pertenece a \(B\);
- \(A^c\) corresponde a la parte del universo \(U\) exterior a \(A\);
- \(A\triangle B\) corresponde a la parte de la unión \(A\cup B\) que no pertenece a la intersección \(A\cap B\).
Los diagramas de Venn resultan especialmente útiles para comprender el significado de las operaciones con conjuntos y para comprobar visualmente algunas propiedades, como las leyes de De Morgan:
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c, \qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
No obstante, un diagrama no sustituye a una demostración formal. Para demostrar una identidad entre conjuntos, el método más riguroso consiste en mostrar que todo elemento del primer conjunto pertenece también al segundo, y recíprocamente.
Por ejemplo, para demostrar una igualdad de la forma
\[ X=Y, \]
se puede proceder demostrando las dos inclusiones
\[ X\subseteq Y \qquad \text{y} \qquad Y\subseteq X. \]
De este modo, el razonamiento no depende de la figura, sino de las definiciones de los conjuntos y de las operaciones involucradas.
Las operaciones con conjuntos permiten describir con precisión relaciones fundamentales entre colecciones de objetos. La unión reúne los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos considerados; la intersección identifica los elementos comunes; la diferencia selecciona los elementos que pertenecen a un conjunto pero no a otro; el complementario depende del conjunto universal; y la diferencia simétrica reúne los elementos que pertenecen a uno solo de los dos conjuntos.
El producto cartesiano introduce, en cambio, una operación de naturaleza distinta, pues construye conjuntos de pares ordenados. De este modo resulta posible describir relaciones, correspondencias y estructuras más complejas.
Estas nociones constituyen una parte fundamental del lenguaje matemático y están en la base de muchos temas posteriores, desde la lógica a la combinatoria, desde el álgebra a las funciones.